problemi di fisica tecnica ambientale proposti come

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Università degli Studi di Genova
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA MECCANICA, ENERGETICA, GESTIONALE E DEI TRASPORTI
Sezione Termoenergetica e Condizionamento Ambientale (TEC)
Dime
PROBLEMI DI FISICA TECNICA AMBIENTALE
PROPOSTI COME TEMI D'ESAME
Marco Fossa, A/Prof
Dime, Università di Genova
Via Opera Pia 15a - 16145 Genova, Italia
Tel. 010 3532198, Fax 010 311870
http://www.ditec.unige.it
(ver. nov 13)
Premessa
Questo fascicolo contiene i testi di alcune delle prove scritte d'esame, con le relative soluzioni,
proposte dallo scrivente nell'ambito dei corsi di Fisica Tecnica Ambientale e Fisica Tecnica di cui è
stato docente .
La raccolta è ordinata per temi, articolati nelle sottosezioni:

Termodinamica ed energetica

Termodinamica dell’aria umida

Fluidodinamica monodimensionale

Trasmissione del calore

Acustica ambientale
Per una trattazione completa e rigorosa delle metodologie risolutive dei problemi di
Termodinamica Tecnica, Trasmissione del Calore, Acustica ed Illuminotecnica si rimanda a testi
specializzati, alcuni dei quali sono citati nella bibliografia allegata al presente fascicolo.
Suggerimenti e notazioni di ogni genere sono ben accette ed auspicate.
Marco Fossa
M.Fossa, Esercizi proposti di Fisica Tecnica Ambientale
2
Bibliografia consigliata
Abramowitz M., Stegun I.A., Handbook of Mathematical Function, Dover Publ. Inc. NY (1964).
Barducci I., Elementi di Acustica Applicata, Ed. Esa (1988).
Bejan A., Heat Transfer, Wiley & Sons Inc. (1992).
Y.A. Çengel, Termodinamica e trasmissione del calore, Mc Graw-Hill, terza edizione, 2009
Cavallini A., Mattarolo L., Termodinamica Applicata, Cleup (1988).
Chapra S.C., Canale R.P., Metodi Numerici per l'Ingegneria, McGraw-Hill (1988).
Guglielmini G., Pisoni C., Elementi di Trasmissione del Calore, Ed. Veschi, seconda ediz., (2001).
Incropera F.P., Dewitt D.P., Fundamentals of Heat Transfer, Wiley & Sons Inc. (1981).
Kreith F., Principi di Trasmissione del Calore, Liguori Ed. (1988).
Lazzarin R. Strada M., Elementi di Acustica Tecnica, Cleup (1992).
Moran M.J., Shapiro H.N., Fundamentals of Engineering Thermodynamics, Wiley & Sons Inc.
(1988).
Parolini G., Parimbeni M., Tecnica dell'Illuminazione, Utet (1977).
Pizzetti C., Condizionamento dell'Aria e Refrigerazione, Masson Italia Ed. (1987).
3
Simbologia
Simbolo Significato
a
A
Bi
cp
cv
COP
D
f
f'
Fo
g
G
Gr
diffusività termica
fattore di assorbimento sonoro
area
assorbimento sonoro
numero di Biot
calore specifico a press. costante
calore specifico a vol. costante
coefficiente di prestazione cicli
inversi
diametro
frequenza
fattore di attrito
coeff. di perdita di carico
concentrata
numero di Fourier
accelerazione di gravità
irradianza
numero di Grashof
Forma
h L/k
[m²/s]
--[m²]
[m²]
--[J/kg K]
[J/kg K]
--[m]
[1/s]
-----
Fo= aτ/x2
g = 9.806m/s²
Gr=
βg (Tp - T∞) L3/ ν2
portata volumetrica
umidità relativa
i =ρv/ρvs
coefficiente di scambio termico
convettivo
entalpia specifica
h'
entalpia specifica riferita all'unità
di massa dell'aria secca
ha, hm
carico di attrito, carico motore
H
entalpia totale
k
conducibilità termica
K
trasmittanza
L
lunghezza
lavoro
L
lavoro specifico
livello di pressione sonora
10log10 (p²/p²0)
Lp
LMTD= differenza di temperatura media
logaritmica
∆Tm
m
massa
portata massica
&
m
m
massa molecolare
n
numero di kmoli
Nu
numero di Nusselt
Nu = h L/k
p
pressione
P
potenza
&
flusso termico
Q
Q
calore
Q
calore specifico
Gv
i
h
Unità di misura
--[m/s²]
[W/m²]
--[m3/s]
--[W/m²K]
[J/kg]
[J/kgas]
[m]
[J]
[W/mK]
[W/K]
[m]
[J]
[J/kg]
--[K]
[kg]
[kg/s]
[kg/kmol]
----[Pa]
[W]
[W]
[J]
[J/kg]
4
R
R
R1
Re
s
S
T
u
U
v
V
w
x
y
z
resistenza termica
potere fonoisolante
costante universale dei gas
R = 8314
costante particolare del gas
numero di Reynolds
Re = w L / ν
entropia specifica
entropia
temperatura
energia interna specifica
energia interna
volume specifico
volume
velocità
coordinata assiale nella direzione
del moto
grado igrometrico
altezza
[K/W]
--[J/kmol K]
[J/kg K]
--[J/kgK]
[J/K]
[K]
[J/kg]
[J]
[m3/kg]
[m3]
[m/s]
[m]
--[m]
Simboli Greci
α
β
ε
γ
η
λ
µ
ν
ρ
ρc, ρe
σ
τ
assorptività
coeff. di dilatazione termica β = (dv/dT)p/v
volumetrica
emissività
rapporto cp/cv
frazione utilizzata,
efficienza di aletta
lunghezza d'onda
viscosità dinamica
viscosità cinematica
densità
rendimento
isoentropico
di
compressione ed espansione
costante di Stefan Boltzman
σ=5.67*10-8
tempo
--[1/K]
------[m]
[kg/s m]
[m²/s]
[kg/m3 ]
--[W/m2K4]
[s]
Pedici
as
e
g
i
j
l
p
s
u
v
∞
dell'aria secca
lato esterno
della fase aeriforme
ingresso,
lato interno
del componente j-esimo
del liquido
di parete
isoentropico,
alla saturazione
uscita
del vapore
riferito alle condizioni indisturbate
5
Apici
'
''
'''
riferito all'unità di lunghezza
riferito all'unità di area
riferito all'unità di volume
M.Fossa, Short CV (sept 2011)
Professore Associato, Dottore di Ricerca in Fisica Tecnica, Autore di circa 100 pubblicazioni
scientifiche. Insegna, tra l’altro, Fisica Tecnica ed Energia Rinnovabile alla Facoltà di Ingegneria
dell’Università di Genova. Si occupa dal punto di vista scientifico di fluidodinamica bifase,
trasmissione del calore, energie rinnovabili (geotermia a bassa entalpia, solare termico e ibrido).
Vanta diverse collaborazioni internazionali (Cern di Ginevra, Insa Lione, UNSW Sydney). È stato
visiting Professor negli anni 2006, 2008 e 2010 presso UNSW.
È stato Direttore per conto di Unige dei corsi Certificazione Energetica degli Edifici e
Progettazione di Sistemi Geotermici a Bassa Entalpia
6
TERMODINAMICA ED ENERGETICA
G993/1B
In una turbina entra una portata di aria pari a 17kg/s alla temperatura di T1=930K e pressione
P1=16bar che espande adiabaticamente fino alla pressione di p2 =0.5bar e T2 =450K. Calcolare il
rendimento isoentropico dell'espansore e la potenza smaltita trascurando i termini cinetici e
potenziali.
Risoluzione
Il primo principio per il sistema con deflusso in regime stazionario ci consente di scrivere:
P= m& (hi-hu)
mentre per definizione si ha
ρe=(hi-hu)/(hi-hu)rev
L'interpolazione lineare da tabelle ci fornisce:
hi= 967.5
hu= 453.1 kJ/kg
si= 7.262
su= 7.475 kJ/kgK
hu,rev=hu(pu ,si) = 367.1
Da cui:
P=17*(967.5-453.1)=8744 kW
ρe=(967.5-453.1)/(967.5-367.1)=0.855
M993/1B
Un impianto motore a vapore opera con una pressione massima in caldaia di 80bar. Il vapore
prodotto entra in turbina a 480°C ed espande fino alla pressione di 0.08bar e titolo finale pari a
0.87. Si richiede di determinare il rendimento isoentropico dell'espansore e la portata massica di
vapore necessaria per ottenere una potenza di 25MW. Si richiede inoltre di calcolare il diametro
minimo dei tubi della pompa di circolazione dell'impianto, se la velocità del liquido saturo non deve
superare i 5m/s.
S993/1A
Occorre sottrarre ad una portata di azoto ( m& =0.3kg/s) inizialmente alla temperatura di 40 °C, 8 kW
termici. Per fare ciò si utilizza un ciclo inverso a vapore con refrigerante R12. Si richiede di
determinare :
1)
La temperatura finale dell'azoto
2)
La potenza del compressore (rendimento isoentropico 0.75)
3)
Il COP della macchina frigorigena
4)
La portata di refrigerante evolvente
Si utilizzino le informazioni seguenti:
7
-
La temperatura di evaporazione sia 4°C
La condensazione avvenga alla temperatura di 34°C
All'uscita del condensatore il fluido sia in condizioni di liquido saturo
La velocità di ingresso dell'azoto nel condotto dove viene raffreddato sia 15[m/s], la velocità
di uscita sia 3[m/s], la pressione sia quella atmosferica
D993/1A
Un serbatoio, del volume di 3000 litri, contiene una miscela di azoto ed ossigeno equamente
ripartiti dal punto di vista della massa. Le condizioni iniziali per l'aeriforme sono temperatura 27°C,
pressione 30bar. A seguito di un processo di riscaldamento isocoro il gas raggiunge dopo un'ora la
temperatura di 180°C.
Si richiede di determinare:
1) La pressione parziale dei due componenti nelle condizioni iniziali
2) La pressione finale vigente nel serbatoio
3) Il flusso termico medio fornito al sistema durante il periodo di riscaldamento
Risoluzione
Il sistema di massa m è costituito da ossigeno (componente a) e azoto (componente b); per ipotesi
ma = mb. In accordo alla legge di Dalton (p = pa + pb) ed assimilando i due fluidi a gas perfetti si
ha
ma = mb = pV/(T1 (R1a + R1b)) = 53.8kg
Nello stato iniziale (T1 = 300K) si ha:
pa = ma T1 R1a / V = 14bar
pb = 16bar
Nello stato finale (T2 = 453K) si ha:
pa = ma T2 R1a / V = 21.1bar
pb = 24.1bar
p = 45.2bar
Il primo principio ci assicura che Q12 = U2 - U1 = (maua + mbub)2 - (maua + mbub)1
L'interpolazione lineare da tabelle fornisce:
ua1 = 195.5
ua2 =299.4
ub1 = 222.7
Da cui si ottiene che Q12 =11700kJ
ub2= 336
( Q& )medio = Q12 / 3600 = 3.25kW
D993/1B
Una turbina viene alimentata con vapore alla pressione di 40bar, temperatura 310°C, velocità
50m/s. All'uscita dell'espansore il vapore è saturo alla pressione di 8bar e possiede una velocità pari
a 150m/s. Una piccola parte di vapor saturo viene inviato ad una valvola di laminazione (che opera,
al pari della turbina, come organo adiabatico) all'uscita della quale vengono misurate una pressione
di 1.5bar e una temperatura di 118°C.
Si richiede di valutare la potenza fornita a regime dalla turbina e, facoltativamente, il rendimento
exergetico della stessa. La portata di aeriforme evolvente sia pari a 27tonnellate/ora.
8
Risoluzione
Conviene ricordare che la trasformazione 2-3 nella valvola di laminazione avviene in maniera
isoentalpica. Si procede quindi al calcolo delle condizioni 3 e successivamente si applica il primo
principio al sistema turbina. La Soluzione è: P=1995kW, ηex=0.87]
F994/1B
Un impianto frigorifero a semplice espansione, doppia compressione in serie e refrigerazione
intermedia, opera con R12 garantendo un flusso termico all'evaporatore q=300kW. Le temperature
all'evaporatore Te ed al condensatore Tc valgono rispettivamente -40°C e 40°C. All'uscita del
condensatore il liquido è saturo, all'ingresso del compressore di bassa pressione il vapore è saturo
secco. Le compressioni sono entrambe adiabatiche con rendimento isoentropico di compressione
0.8. La refrigerazione intermedia avviene alla pressione (costante) di 5bar ed il fluido frigorigeno
viene raffreddato fino alla temperatura di 20°C. Due distinte portate di acqua vengono utilizzate per
sottrarre calore al fluido R12 nei componenti interefrigeratore e condensatore. Entrambe le portate
di acqua subiscono una variazione di temperatura di 10°C nell'attraversare i due elementi appena
citati.
Dopo aver tracciato uno schema di massima dell'impianto determinare:
1. La portata di R12
2. La potenza globale impegnata dai compressori
3. La portata di acqua di interefrigerazione
4. La portata di acqua al condensatore
5. Il coefficiente di effetto utile (COP) del ciclo
[Soluzione: m& =3.12kg/s, ⏐P⏐=180kW, m& l=1.2kg/s, cop=1.65]
M994/2A
Un impianto motore a vapore eroga una potenza netta di 65MW. Il ciclo compiuto dal fluido
consiste in un doppio surriscaldamento (temperatura finale 450°C) e doppia espansione. I due stadi
di turbina sono caratterizzati da un rendimento isoentropico di espansione pari a 0.8 e la prima
espansione avviene tra 80 e 25bar. Sapendo che la pressione al condensatore vale 0.09bar, si
richiede di valutare:
- La portata di vapore evolvente
- La frazione utilizzata ed utilizzabile dal ciclo
- La portata di refrigerante (acqua) al condensatore nell'ipotesi che la differenza di temperatura tra
ingresso ed uscita debba essere contenuta in 10°C.
9
L994/1A
Un compressore aspira una portata di aria pari a 36m3/h a pressione atmosferica e temperatura
30°C. La compressione monostadio, fino alla pressione di 8bar, è realizzata con rendimento
isoentropico 0.85. In serie al compressore è posto uno scambiatore a superficie nel quale il gas
viene raffreddato per mezzo di una portata di acqua (200litri/h) che subisce un aumento di
Si richiede di valutare, in condizioni di regime stazionario, la potenza spesa nel compressore e la
temperatura finale dell'aeriforme.
Nel caso in cui la temperatura finale dell'aria fosse 50°C e si operasse con aria umida (condizioni
all'aspirazione: T=30°C, umidità relativa 50%), a quanto ammonterebbe la portata di acqua
condensante in seguito al processo di compressione?
Si considerino a questo scopo condizioni finali di saturazione.
[Soluzione: P=3.4kW, T=121°C, m& l=4.1*10-5 kg/s]
S994/1A
Una delle prime macchine motrici basate sulla conversione termodinamica dell'energia è stata
concepita e realizzata da Newcomen (1720). Il funzionamento della macchina prevedeva
l'introduzione di vapor acqueo saturo secco a pressione atmosferica in un cilindro dotato di
stantuffo. Il successivo raffreddamento isocoro dell'aeriforme, provocando una diminuzione della
pressione interna, consentiva allo stantuffo di muoversi spinto dalla pressione atmosferica e
produrre lavoro.
Il ciclo termodinamico compiuto può essere pensato come la successione di tre trasformazioni:
a) raffreddamento isocoro fino alla temperatura di 70°C a partire da condizioni di vapor saturo
secco a pressione atmosferica;
b) compressione adiabatica e reversibile fino a pressione atmosferica;
c) Riscaldamento isobaro per ripristinare le condizioni iniziali (titolo del vapore unitario)
Si richiede di valutare, in riferimento all'unità di massa, il lavoro utile "netto" che la macchina
fornisce e l'ammontare del calore somministrato al sistema. Si valuti inoltre la frazione utilizzata, al
solito intesa come rapporto tra lavoro ottenuto e calore fornito al sistema.
[Soluzione: L=55kJ/kg, Q=1550kJ/kg, η=0.036]
D994/1A
Un impianto motore a vapore a semplice surriscaldamento opera con una portata di vapore pari a
140kg/s. Il fluido entra in caldaia alla temperatura di 55°C, pressione 80bar e ne esce alla
temperatura di 530°C, velocità 70m/s. Il flusso termico necessario per la trasformazione viene
fornito da una portata di fumi (assimilabili ad azoto) che, nell'attraversare la caldaia, subisce un
raffreddamento da 800°C a 150°C. Se all'uscita della turbina il vapore è saturo alla pressione di
15kPa, titolo x=0.92 e possiede una velocità di 160m/s, si valutino le seguenti grandezze:
1)
la potenza fornita dall'espansore in condizioni di regime stazionario;
2)
Il rendimento isoentropico dello stesso;
3)
la portata di fumi necessaria per effettuare lo scambio termico;
[Soluzione: P=147MW, ρe=0.84, m& f=627kg/s]
10
D994/1B
Un serbatoio adiabatico, la cui capacità ammonta a 45litri,
contiene anidride carbonica alla temperatura di 19°C. La
pressione vigente all'interno è misurata con un manometro
a mercurio i cui due rami sono in comunicazione
rispettivamente con il serbatoio e l'atmosfera. Inizialmente
la colonna liquida misura in altezza 150mm. Se
l'aeriforme viene agitato attraverso l'azione di un
mulinello, con conseguente scambio di lavoro isocoro pari
a 3.2kJ, calcolare:
1)
la temperatura finale;
2)
la pressione finale
[Soluzione: T=64°C, p=141kPa]
F995/2A
Un compressore aspira a regime permanente 550m³/ora di aria a pressione e temperatura ambiente
(p=1bar, T=25°C). La compressione avviene in due successivi stadi in cui la pressione aumenta
rispettivamente fino a 3 ed 8bar. Uno scambiatore di calore, interposto ai due stadi, raffredda
isobaricamente l'aria fino alla temperatura di 40°C (ingresso secondo stadio) e tale processo è
realizzato con una portata di acqua pari a 1.05m³/ora alla temperatura iniziale di 10°C.
Si richiede di calcolare:
1) la potenza totale di compressione, posto che il rendimento isoentropico di ciascun compressore
sia pari a 0.7;
2) la temperatura dell'acqua di refrigerazione in uscita dello scambiatore
[Soluzione: P=54kW, T=30.1°C]
M995/1A
intermedia, opera con R12 garantendo un flusso termico all'evaporatore q=23kW. Le temperature
viene raffreddato fino alla temperatura di 25°C. Due distinte portate di fluido vengono utilizzate per
sottrarre calore al fluido R12 nei componenti interefrigeratore e condensatore. Nel primo caso viene
utilizzata aria, nel secondo acqua liquida; entrambe le portate si trovano inizialmente alla
temperatura di 10°C e subiscono una variazione di temperatura di 8°C nell'attraversare i due
elementi appena citati.
1. La portata di R12
2. La potenza globale impegnata dai compressori
3. La portata di aria di interefrigerazione
11
4. La portata di acqua al condensatore
Risoluzione
Dal diagramma pressione entalpia del fluido R12 si ricava:
h1=62[kJ/kg]
h5=h6=238
h2s=369
s1=1.59[kJ/kgK]
p5=p4=960
h4s=377
p1=64[kPa]
h3=365
Dalla definizione di rendimento isoentropico di compressione otteniamo:
h2=h1 + (h2s - h1)/ρc = 392
h4=h3 + (h4s - h3)/ρc = 385
p
5
4
T=25░C
3
2
Le equazioni di bilancio forniscono:
1) m& = Q& c /(h1 - h6) = 0.240[kg/s]
2)⏐P⏐ = m& ((h4 - h3) + (h2 - h1)) = 18.7[kW]
3) m& a = m& (h2 - h3)/(cpa *∆Ta ) = 0.81
4) m& l = m& (h4 - h5)/(cpl *∆Tl ) = 1.06
5) COP = Q& /⏐P⏐= 23 / 18.7 =1.23
1
6
h
D995/2A
Vapore
Acqua
Una pentola a pressione per uso domestico di capacità pari a
6.8dm³ contiene 0.1 litri di acqua liquida in equilibrio con il
proprio vapore alla temperatura iniziale di 95°C. Il coperchio
che chiude il contenitore è dotato di una valvola automatica
che mette in comunicazione il sistema con l'esterno quando
la pressione interna raggiunge 1.4bar, provvedendo quindi a
mantenere costante la pressione a tale valore. Se il sistema
riceve un flusso termico pari a 400W costante nel tempo si
richiede di valutare le seguenti grandezze trascurando la
capacità termica del contenitore:
1) la pressione vigente nel sistema ed il titolo del vapore
nelle condizioni iniziali;
2) la temperatura ed il titolo finale del vapore quando il
fluido raggiunge la pressione di 1.4bar;
3) il calore ceduto al fluido nel passare dalle condizioni
iniziali alla pressione di 1.4bar;
4) in seguito all'apertura della valvola, il tempo necessario affinché tutto il liquido vaporizzi.
Risoluzione
12
1) Dalle tabelle del vapor saturo (ls= liquido saturo, vs=vapor saturo secco):
(T=95°C)
ρls=961 kg/m³
ρvs=0.504
p1=ps=0.845 bar
hls= 398 kJ/kg
hvs= 2668
Da cui :
Ml= Vl ρls =0.0001*961= 0.0961 kg
Mv= Vv ρvs =0.0067*0.504= 0.00338
M1=Ml + Mv = 0.0995 kg vl = V / M = 0.0068/0.0995 = 0.0683 m³/kg
x1= Mv /M = 3.38/99.5 = 0.034
2) h1=hls + x1 ( hvs - hls ) = 398 + 0.034 (2668 - 398) = 475 kJ/kg
u1 = h1 -psv1 = 469 kJ/kg
A seguito del riscaldamento isocoro fino alla pressione p2= 1.4 bar, avremo:
v2 = v1 = [vls + x2 ( vls - vvs )]ps=1.4bar
x2 = [v1 - vls( ps=1.4bar)] / [vvs( ps=1.4bar) - vls( ps=1.4bar)] =
= [0.0683 - 0.00105] / 1.235 = 0.0545
3) u2 = [uls + x2 ( uvs - uls )]ps=1.4bar = 571 kJ/kg
Dal primo principio per i sistemi chiusi:
Q = M(u2 - u1 ) = 0.0995 (571 - 469) = 10.15 kJ
4) Quando la valvola è aperta dal sistema fuoriesce vapor saturo secco alla pressione di 1.4bar.
In questo caso il primo principio ci consente di scrivere la seguente relazione nell'ipotesi che
siano trascurabili le variazioni di energia cinetica e potenziale:
d(U)/dτ = Q& - m& hu
Integrando tra gli istanti 2 e 3 si ha:
M3u3 - M2u2 = Q& ( τ3-τ2 ) - ( M2 - M3 )hu
dove per ipotesi u3 = uvs
hu = hvs
M3 = (ρvs)ps=1.4bar *V = 0.0084 kg
hu = ( hvs)ps=1.4bar = 2690 kJ/kg
M2 = M1
Q& = 0.4 kW
u3 = 2517
∆τ = ( τ3-τ2 ) = [M3u3 - M2u2 + ( M2 - M3 )hu] / Q& = 523 s
13
D995/2B
Il vaporizzatore di un impianto frigorifero opera in regime
stazionario con fluido R134 alla pressione di 2.5bar;
R134
all'ingresso del componente il titolo del vapore è pari a 0.35
mentre in uscita il vapore è saturo secco. Lo scambio
Aria
termico avviene con una portata di aria, le cui proprietà
termodinamiche nella sezione di ingresso dello scambiatore
sono: temperatura 20°C, pressione 1.4bar, portata
1440m³/ora, velocità 4m/s. Sapendo che all'uscita dello
scambiatore (a sezione costante) la temperatura dell'aria è
8°C e la pressione vale 1.3 bar , determinare:
1) la portata massica di aria;
2) la sezione del canale attraversato dall'aria e la velocità dell'aria nella sezione di uscita
3) il flusso termico scambiato tra i due fluidi e la portata di refrigerante;
Risoluzione
1) ρì(aria) = p/R1T = 140 / (0.287*293) = 1.665 kg/m³
m& (aria) = Gv *ρì = 0.4*1.665 = 0.666 kg/s
Gv = 1440/3600 = 0.4 m³/s
2) ρu(aria)= p/R1T = 130 / (0.287*281) = 1.612 kg/m³
(equaz. di continuità)
wu(aria)= wi ρi / ρu = 4.13 m/s
A = maria / (ρi wi ) = 0.1 m²
3) Dalle tabelle dei gas e del fluido R134 otteniamo:
hì(aria) = 294 kJ/kg
hu(aria) = 282
hì(R134) = 166 kJ/kg
hu(R134) = 297
Q& = m& aria [( hu -hì ) + 0.5 (wu2 - wì2 )] = - 8 kW
m& R134 = Q& / [hu(R134) - hì(R134) ] = 0.0611 kg/s
Nota: nella versione attuale (2013), Tabelle e Diagramma del fluido R134 differiscono nei valori di
entalpia di 100 unità in relazione ad una diversa scelta del Riferimento.
Le differenze di entalpia risultano comunque le medesime
G996/1A
Una portata di 72 kg/s di acqua in condizioni di liquido saturo a 150°C è estratta da un impianto
geotermico. Il liquido espande in una valvola di laminazione fino alla pressione di 2.5 bar. In queste
condizioni il fluido entra in una camera di
separazione del vapore. Dal fondo della
camera esce liquido saturo mentre dalla
sommità si estrae vapore saturo secco che
viene inviato ad una turbina. Nella turbina il
vapore espande fino alla pressione di 0.20
bar. Il rendimento isoentropico di espansione è
0.8.
Calcolare la potenza dell'impianto
[Soluzione: P=1MW]
14
F996/1A
Un impianto a pompa di calore a singola espansione e singola compressione, opera con R134
garantendo un flusso termico al condensatore di 12kW. Le temperature all'evaporatore ed al
condensatore valgono rispettivamente -10°C e 50°C. All'uscita del condensatore il liquido è saturo e
la compressione è adiabatica con rendimento isoentropico di compressione 0.6. Il flusso termico
ceduto dal condensatore viene utilizzato per riscaldare una portata di aria (pressione relativa 0.2bar)
dalla temperatura iniziale di 8°C alla temperatura finale di 40°C. Dopo aver tracciato uno schema di
massima dell'impianto determinare:
1) la portata di fluido refrigerante;
2) la potenza impegnata dal compressore;
3) Il coefficiente di effetto utile (COP) del ciclo inverso a pompa di calore;
4) La portata massica di aria;
5) La velocità media dell'aria, nell'ipotesi che essa percorra a pressione costante un canale
rettangolare che misura 150x250mm.
Risoluzione
Dal diagramma pressione-entalpia del refrigerante R134
possiamo leggere:
p
h1=391kJ/kg
h2s=430
h3=h4=270
2s
3
2
Da cui per definizione:
h2 = h1+(h2s - h1)/ρc=456
Applicando il primo principio per i sistemi aperti
trascurando i termini cinetici e potenziali:
m& = Q& /(h2 - h3) = 0.0645kg/s
P = m& (h1- h2) = -4.19kW
4
1
COP = Q& /P = 2.86
h
m& aria = Q& /(hariaUscita- hariaIngresso) = 0.373kg/s
Tmedio = 297K
A = 0.0375m²
waria = ( m& aria R1 Tmedio) / (p A) = 7.06m/s
D996/1A
Per realizzare la pastorizzazione del latte è necessario un procedimento che innalzi la temperatura
del liquido in tempi brevi. Una tecnica consiste nell'immettere una portata di vapore d'acqua nella
tubazione dove scorre il latte in modo da sfruttare la condensazione del vapore per riscaldare il
liquido da trattare. Si consideri il seguente caso.
Il latte scorre alla velocità di 2m/s in un condotto cilindrico di diametro 20cm in cui la pressione è
1.1bar. La densità del latte è 1020kg/m³, il calore specifico 3.95kJ/kgK. Il vapore viene insufflato
alla temperatura di 150°C ed alla pressione vigente nel canale.
1) la portata massica di latte trattata;
2) la portata di vapore necessaria ad elevare la temperatura del latte da 42°C a 73°C.
Il regime termodinamico sia stazionario, le variazioni di energia cinetica e potenziale trascurabili, il
sistema adiabatico verso l'esterno. Il latte si comporti come un liquido incompribile a calore
specifico costante.
15
(Quesito facoltativo: se la composizione del latte prima del trattamento era 92% acqua, 8% elementi
nutritivi, dopo il trattamento termico a quanto ammonta la percentuale di elementi nutritivi sulla
massa totale?)
Risoluzione
Il sistema aperto pastorizzatore consta
di due ingressi e due uscite.
1) La portata di latte si calcola
dall'equazione di continuità:
Vapore surriscaldato
Latte + acqua
(T=73°C)
Latte (T=42°C)
m& 1atte=w*ρ*πD2/4 = 64.1 kg/s
2) la portata di vapore si calcola con l'equazione di conservazione dell'energia per i sistemi con
deflusso. Dalle tabelle del vapore possiamo ricavare l'entalpia del vapore surriscaldato in ingresso
(hvap=2775 kJ/kg) e l'entalpia dell'acqua uscita, (liquido compresso, T=73°C, hliq=305 kJ/kg).
Se la variazione di entalpia del latte può essere scritta come prodotto cp∆T, avremo
m& latte cp(Ti - Tu) = m& vap(hu - hi)
m& vap = [ m& latte cp(Ti - Tu)] /(hu - hi) = 3.18 kg/s
Da cui:
3) La percentuale di elementi nutritivi rispetto alla massa totale dopo il trattamento vale:
m& / m& tot = 0.08*64.1 / (64.1 + 3.18) = 0.076 = 7.6%
D996/1B
La turbina di un impianto motore Brayton viene attraversata da una portata di aeriforme le cui
condizioni all'ingresso ed all'uscita sono rispettivamente (T1=950°C, p1=9.8bar) e (T2=520°C,
p2=1.1bar).
Se l'aeriforme è assimilabile ad azoto si vuole determinare:
1) il rapporto fra le sezioni di passaggio a monte e a valle della turbina affinché la velocità del gas
sia uguale nelle due sezioni;
2) la portata di gas affinché la potenza erogata sia pari a 12MW;
3) il rendimento isoentropico dell'espansore.
Si ipotizzi il processo stazionario, il sistema adiabatico e le variazioni di energia cinetica e
potenziale trascurabili.
Risoluzione
1) L'equazione di continuità ci consente di scrivere: (w*ρ*A)i = (w*ρ*A)u
La densità del fluido in ingresso ed in uscita dal sistema può essere calcolata con la legge dei gas
perfetti. Si ha quindi:
Ai /Au = ( pu Ti ) / ( pi Tu ) = 1.1*1223 / (9.8*793) = 0.173
2) Il principio di conservazione dell'energia fornisce:
m& = P /(hu - hi)
dove hi = 1342.7 kJ/kg, hu = 838.7 kJ/kg (interpolazione lineare da tabelle)
Si ha quindi: m& = 12*103 / (1342-838) = 23.8 kg/s
3) Nelle condizioni iniziali l'entropia specifica del fluido è pari a:
16
si = s(T=950°C, p=9.8bar) = 7.715 kJ/kgK
Se l'espansione avvenisse in assenza di irreversibilità, all'uscita dell'espansore, dove vige una
pressione di 1.1bar, avremmo
su = si
T = 423°C
In questo stato termodinamico l'entalpia vale 729 kJ/kg
Per la definizione di rendimento isoentropico si ha infine:
ρe = (∆h) / (∆h)isoentropico = (1342-838) / (1342-729) = 0.822
O997/1A
Il compressore di un impianto motore Brayton viene attraversato da una portata di aeriforme le cui
condizioni all'ingresso ed all'uscita sono rispettivamente (T1=50°C, p1=1bar) e (T2=475°C,
p2=12bar).
Se l'aeriforme è assimilabile ad azoto si vuole determinare:
1) il rapporto fra le sezioni di passaggio a monte e a valle del compressore affinché la velocità del
gas in ingresso sia due volte la velocità dello stesso nella sezione di uscita;
2) la portata di gas, se la potenza fornita alla macchina è pari a 15MW;
3) il rendimento isoentropico del compressore.
Si ipotizzi il processo stazionario, il sistema adiabatico e le variazioni di energia cinetica e
potenziale trascurabili.
Risoluzione
Dalle tabelle dei gas perfetti si ricava
h1=335[kJ/kg]
s1=6.923[kJ/kgK]
p1=100[kPa]
h2=788
h2s=675
p2=1200
p2=1200
s2s=6.923
s2s=7.081
Dalla legge dei gas perfetti e dall'equazione di continuità otteniamo:
ρ1=1.04[kg/m³]
ρ2=5.40
A1/A2= 2.6
Le equazioni di bilancio dell'energia fornisce:
m& = ⏐P⏐ /(h2 - h1) = 33.1 [kg/s]
Dalla definizione di rendimento isoentropico di compressione otteniamo infine:
ρc =(h2s - h1)/(h2 - h1) = 0.75
G998/2A
La turbina di un impianto motore Rankine viene attraversata da una portata di vapore le cui
condizioni all'ingresso ed all'uscita sono rispettivamente (T1=450°C, p1=90bar, w=30m/s) e
(p2=20kPa, x=0.88). Si vuole determinare:
1) il rapporto fra le sezioni di passaggio a monte e a valle della turbina affinché la velocità del
vapore in uscita sia 5 volte la velocità in ingresso;
2) il rendimento isoentropico dell'espansore;
3) la portata di vapore affinché la potenza erogata sia pari a 120MW.
17
Si ipotizzi il processo stazionario, il sistema adiabatico e le variazioni di energia potenziale
trascurabili.
Risoluzione
Le tabelle del vapore consentono di ricavare:
h1 = 3256kJ/kg
s1 = 6.485kJ/kgK
v1 = 0.0335m³/kg
h2 = 2326kJ/kg
s2 = 7.057kJ/kgK
v2 = 6.732m³/kg
h2s = 2135kJ/kg
Da cui, per definizione:
ρe = (∆h) / (∆h)isoentropico = (3256-2326) / (3256-2135) = 0.830
1) L'equazione di continuità ci consente di scrivere:
A1 /A2 =5 v1 / v2 = 0.0248
(w*ρ*A)1 = (w*ρ*A)2
2) Il principio di conservazione dell'energia (w1 = 30m/s) fornisce infine:
m& = P /[(h1 - h2) - 24w12/2 ] = 131kg/s
N998/1A
Due serbatori adiabatici a pareti indeformabili sono collegati tra loro attraverso una valvola
inizialmente chiusa. I serbatoi contengono due masse A e B di azoto rispettivamente nelle
condizioni: (mA=2kg, pA=0.7bar, TA=90°C) e (mB=8kg, pB=1.4bar, TB=15°C). A seguito
dell'apertura della valvola le due masse vengono miscelate in un processo adiabatico fino al
raggiungimento di una condizione di equilibrio termodinamico comune ad entrambi i serbatoi.
1) la densità del gas contenuto inzialmente nei due serbatoi;
2) il volume dei due serbatoi;
3) l'energia interna (per unità di massa) del gas dopo il miscelamento;
4) la temperatura finale;
5) la densità finale.
Risoluzione
Utilizzando la legge dei gas perfetti si ottiene:
ρA=1.63 kg/m³, ρB=0.65 kg/m³, VA=3.07 m³, VB=4.88 m³
Dalle tabelle dei gas si ricava: uA=269 kJ/kg, uB=214 kJ/kg,
Per il sistema adiabatico a pareti indeformabili si ha:
Ufinale=Uiniziale=uAmA + uBmB
Da cui : ufinale=(uAmA + uBmB)/(mA+mB) = 225 kJ/kg
Tfinale=303 K, pfinale=113 Kpa
M999/1A
Un dispositivo cilindro/stantuffo contiene un volume iniziale pari a 0.1355m³ di vapore nelle
condizioni p1=900kPa, T1=270°C. Il vapore subisce un processo di espansione fino al
raggiungimento delle condizioni p2=700kPa, T2=210°C. Durante tale processo il vapore riceve un
flusso termico pari a 8kJ ed inoltre riceve lavoro dall'esterno (2 kJ) per mezzo dell'azione di un
mulinello. Si richiede di calcolare:
1) la massa di vapore contenuta nel sistema ed il numero di kmoli;
2) il lavoro fatto dal vapore sull'esterno dovuto all'azione sullo stantuffo;
18
Risoluzione
Dalle tabelle si ricavano i seguenti dati (vapore
surriscaldato)
Punto 1, p=900 kPa, T=270 °C, u=2744 kJ/kg, v=0.2708
m³/kg
Punto 2, p=700 kPa, T=210 °C, u=2651 kJ/kg, v=0.3073
m³/kg
La massa ed il numero di moli presenti sono:
m=V1/v1=0.1355/0.2708 = 0.5 kg
T
1
2
n= m/
s
= 0.5/18 = 0.02778
Durante la traformazione vengono scambiati calore e
lavoro. In particolare viene scambiato lavoro sia
attraverso l'azione del mulinello che attraverso il
movimento del pistone. Il primo principio si scrive:
(u2 - u1) = Q - (Lpist + Lmul)
Da cui: Lpist= 8 + 2 +(2744-2651)*0.5 = 56.5 kJ
S999/1A
intermedia, opera con R134a con un flusso termico al condensatore pari a 70kW. Le temperature
viene raffreddato fino alla temperatura di 20°C. Due distinte portate di acqua vengono utilizzate per
sottrarre calore al fluido R134a nei componenti interefrigeratore e condensatore. Entrambe le
portate di acqua subiscono una variazione di temperatura di 10°C nell'attraversare i due elementi
appena citati.
1. la portata di fluido refrigerante;
2. la potenza globale impegnata dai due compressori;
3. la portata di acqua di interefrigerazione;
4. la portata di acqua al condensatore;
Risoluzione
19
Dal diagramma pressione-entalpia del refrigerante R134
possiamo leggere:
h1=272kJ/kg
h2s=318
h3=310
h4s=325
h5=h6=156kJ/kg
Da cui per definizione di rendimento isoentropico:
h2 = h1+(h2s - h1)/ρc=338
h4 = h3+(h4s - h3)/ρc=331
p
5
4
3
2s
2
6
1
h
m& 2l= m& r(h4 - h5)/(cpl *10) = 1.67 kg/s
La portata di fluido frigorigeno risulta:
m& r= Q& /(h4 - h5) = 0.4 kg/s
Le portate di acqua al refrigeratore intermedio e al
condensatore valgono rispettivamente:
m& 1l= m& r(h2 - h3)/(cpl *10) = 0.278 kg/s
La potenza dei compressori ed il COP sono dati da:
⎪P⎪ = m& r[(h2 - h1)+(h4 - h3)] = 34.8 kW
COP = (h1 - h6)/[(h2 - h1)+(h4 - h3)] Q& /P = 1.33
20
TERMODINAMICA DELL’ARIA UMIDA
A993/1B
Due portate di aria umida vengono miscelate adiabaticamente alla pressione di 101.1kPa. Si
richiede di valutare le condizioni finali dell'aria (grado igrometrico, entalpia specifica) noti i
seguenti dati sulle portate in ingresso:
corrente 1
corrente 2
Portata volumetrica [m3/ora]
12
22
Temperatura [°C]
12
35
Umidità relativa
60%
30%
Risoluzione
Il problema si risolve applicando il primo principio al sistema con deflusso costituito da due
ingressi ed un uscita, trascurando le variazioni di energia cinetica e potenziale. Le proprietà
termodinamiche delle correnti possono essere dedotte per via analitica o ricorrendo al diagramma
psicrometrico.
Si ha:
ρas = pas/R1T
pv = i * ps(T)
pas = ptot - pv
3600
y = 0.622 pv/(ptot - pv)
h' = cpaT + y(cpvT+2500)
Da cui:
ρas1 =1.27
ρas2 =1.12
[kg/m3]
m& as1=0.00423
m& as2=0.00684
[kg/s]
y1=0.00528
y2=0.0105
h'1=25
h'2=62
[kJ/kgas]
m& as = Gv*ρas /
h'3=( m& as1h'1 + m& as2h'2) / ( m& as1 + m& as2) = 48
y3=( m& as1y1 + m& as2y2) / ( m& as1 + m& as2) = 0.0085
T3=(h'3 - y3 * 2500) / (cpa + y3cpv) = 26.3 [°C]
A993/2B
Una portata m& as=20kg/s di aria secca a pressione atmosferica, temperatura T=20°C ed umidità
relativa i=40% attraversa, in condizioni di regime stazionario, un condizionatore nel quale riceve un
flusso termico q=1.67kW ed una portata di vapore m& v =30.5g/s saturo secco alla pressione di 1 bar.
Si valutino le condizioni dell'aria all'uscita del condizionatore (temperatura, umidità relativa).
Risoluzione
y1 = 0.622 i*ps(T1) / (ptot - i*ps(T1)) = 0.0058
h'1 = cpaT1 + y(cpvT1+2500) = 35 [kJ/kgas]
L'equazione di conservazione della massa fornisce:
m& as (y1 - y2) = m& v
y2 = y1 +( m& v/ m& as) = 0.073
21
Il primo principio per i sistemi aperti, trascurando le variazioni di energia cinetica e potenziale
fornisce:
Q& = m& as(h'1 - h'2) + m& v hv
h'2 = h'1 + Q& / m& as + hv ( m& v/ m& as) = 39.2 [kJ/kgas]
T2=(h'2 - y2 * 2500) / (cpa + y2cpv) = 21.5 [°C]
A994/1A
Due portate di aria umida vengono miscelate adiabaticamente alla pressione di 101.1kPa. A
miscelamento avvenuto, alla portata d'aria risultante viene aggiunta una portata di vapore saturo
secco (alla medesima pressione) pari a 0.04g/s. Si richiede di valutare le condizioni finali dell'aria
(entalpia specifica, temperatura) noti i seguenti dati sulle portate in ingresso:
Portata volumetrica [m³/ora]
Temperatura [°C]
Umidità relativa
corrente 1
15
14
60%
corrente 2
25
35
30%
[Soluzione: h'=57.5 kJ/kgas, T=27.3°C]
G995/1A
Due portate di aria umida vengono miscelate adiabaticamente alla pressione di 104kPa. A
miscelamento avvenuto, la portata d'aria risultante subisce un processo di umidificazione con
aggiunta di una portata di acqua liquida pari a 0.03g/s. Sono noti i seguenti dati sulle portate in
ingresso:
corrente 1
Temperatura [°C]
Umidità relativa
12
12
60%
corrente 2
25
32
30%
Si richiede di valutare:
1) la portata massica di aria secca ed il grado igrometrico delle due correnti nella sezione di
ingresso;
2) le condizioni termodinamiche a miscelazione avvenuta (entalpia, grado igrometrico);
3) le condizioni finali, in termini di temperatura ed umidità relativa.
[Soluzione: m& 1=4.2*10-3, m& 2=8.1*10-3 kg/s, h'=44.3kJ/kg, y=7.4gv/kgas, T=19.1°C, i=0.73]
22
F995/1A
Due portate di aria umida vengono miscelate adiabaticamente alla pressione di 106kPa. A
miscelamento avvenuto, la portata d'aria risultante subisce un processo di riscaldamento isobaro con
un apporto di 18.5kW. Sono noti i seguenti dati sulle portate in ingresso:
corrente 1
corrente 2
2200
1800
Temperatura [°C]
12
32
Umidità relativa
60%
30%
1) la portata massica di aria secca ed il grado igrometrico per i due effluenti nella sezione di
ingresso;
3) le condizioni finali, in termini di entalpia e grado igrometrico;
S995/1B
Un componente elettronico è raffreddato da aria alla temperatura di 25°C. Il componente è montato
verticalmente, misura in altezza 40mm e possiede una superficie di scambio pari a 3600mm². Si
determini il coefficiente di scambio termico convettivo nell'ipotesi che la temperatura superficiale
del dispositivo sia pari a 115°C. Determinare inoltre la potenza termica dissipata complessivamente
(per effetto convettivo e radiante) dal componente nell'ipotesi che lo stesso sia contenuto in un
grande involucro la cui temperatura coincida con quella dell'aria ambiente. L'emissività del
componente e della cavità in cui è alloggiato sia pari a 0.8. Per quanto riguarda lo scambio termico
convettivo si utilizzi la correlazione: Nu=0.59 Ra1/4 e la sottostante tabella delle proprietà
termofisiche dell'aria:
T [K]
βg/ν2 [1/m3K]
k [W/mK]
290
300
310
320
340
350
360
370
15.6×107
13.3×107
11.5×107
10×107
7.5×107
6.6×107
5.8×107
4.9×107
0.025
0.026
0.026
0.027
0.028
0.029
0.030
0.030
(Pr=0.72)
[Soluzione: h=9.8W/m²K, P=5.6W]
N995/1A
In relazione al dimensionamento di un impianto di condizionamento operante in una località di
montagna dove la pressione atmosferica vale 84.5kPa, occorre calcolare la portata di acqua
necessaria per umidificare una portata di aria pari a 2500m³/ora. Si determini la temperatura della
corrente dopo il processo di umidificazione, posto che la temperatura iniziale sia 40°C, l'umidità
relativa iniziale 0.3 ed il contenuto finale di vapore sia pari a 22g per kg di aria secca.
Si considerino i due possibili processi di umidificazione:
23
A) con acqua liquida (Tliq=30°C),
B) con vapore saturo secco (alla medesima pressione dell'aria).
[Soluzione: TA=27.1°C, TB=40.5°C]
S995/1A
Un impianto di condizionamento estivo dotato di ricircolo dell'aria deve provvedere a smaltire un
flusso termico pari a 10kW ed un apporto di vapor acqueo pari a 14.4 kg/h. L'aria trattata viene
immessa nel locale alla temperatura di 15°C ed il locale è mantenuto alla temperatura di 24°C,
umidità relativa 50%. La portata di rinnovo è imposta per legge in base alla destinazione del locale
e vale 2800kg/h. Le condizioni esterne sono temperatura 35°C, umidità relativa 70%, in uscita della
batteria fredda l'umidità relativa è pari al 90%. Si richiede di rappresentare le trasformazioni sul
diagramma psicrometrico e valutare, unitamente alla portata di acqua che condensa, i flussi termici
scambiati nell'unità di trattamento dell'aria.
[Soluzione: m& l =0.017kg/s, Q& c=9.2kW, | Q& f|=70kW]
G996/2B
Due portate di aria umida vengono miscelate adiabaticamente. A miscelamento avvenuto, la portata
d'aria risultante subisce un processo di riscaldamento fino alla temperatura di 40°C. Entrambi i
processi avvengono alla pressione costante di 85kPa.
Sono noti i seguenti dati sulle portate in ingresso:
corrente 1
Temperatura [°C]
Umidità relativa
corrente 2
15
10
60%
25
30
30%
1) la portata massica di aria secca ed il grado igrometrico per i due effluenti nella sezione di
ingresso;
3) il flusso termico ceduto alla corrente di aria;
4) l'umidità relativa nelle condizioni finali dopo il processo di riscaldamento.
Risoluzione
Il problema si risolve applicando il primo principio al sistema con deflusso costituito da due
ingressi ed un uscita, trascurando le variazioni di energia cinetica e potenziale. Le proprietà
termodinamiche delle correnti sono dedotte per via analitica.
Si ha:
pas = ptot - pv
ρas = pas/R1T
pv = i * ps(T)
y = 0.622 pv/(ptot - pv)
h' = cpaT + y(cpvT+2500)
Da cui:
ρas1 =1.037
ρas2 =0.96
[kg/m3]
m& as = Gv*ρas / 3600
24
m& as1=0.00432
y1=0.00545
h'1=23.8
m& as2=0.00669
y2=0.00945
h'2=54.3
[kg/s]
[kJ/kgas]
Condizioni di fine miscelazione:
h'3=( m& as1h'1 + m& as2h'2) / ( m& as1 + m& as2) = 42.3
y3=( m& as1y1 + m& as2y2) / ( m& as1 + m& as2) = 0.00788
m& as3=+ m& as1 + m& as1= 0.011
Condizioni al termine del riscaldamento:
y4=y3
T4=40°C
h'4= 60.5
Q& = m& as3 (h'4 - h'3) = 0.2kW
i4=(y4 ptot )/ [ps(T4) (y4 + 0.622)] = 0.14
M996/1A
Una sala da conferenze può contenere fino a 95 persone.
Essa è dotata di un impianto di climatizzazione senza
ricircolazione che insuffla aria trattata a pressione
atmosferica dal soffitto della sala (vedi figura). Durante il
periodo estivo, la sala in esercizio è soggetta ad un flusso
termico sensibile pari a 12kW ed a un flusso termico
latente dovuto alla presenza delle persone, ciascuna delle
quali produce una portata oraria di vapore pari a 0.12kg.
Sapendo che le condizioni da mantenere all'interno della
sala sono T=26°C, i=0.5 e le condizioni dell'aria esterna
sono T=32°C, i=0.7, si richiede di valutare:
1) la portata di aria trattata, assumendo come temperatura della stessa all'immissione un valore
compreso tra 15 e 19°C;
2) il diametro del condotto di ripresa se la velocità dell'aria per ragioni di rumorosità non deve
eccedere i 6m/s;
3) la portata di liquido che condensa nelle batterie di condizionamento a seguito del processo di
deumidificazione.
Risoluzione
1) Ipotizziamo di immettere l'aria nell'ambiente alla temperatura di 15°C.
Il flusso termico latente che interessa il volume di controllo vale:
Q& l = m& v r0 = 95*0.12 / 3600 *2500 = 7.26 kW
Per individuare graficamente la retta di carico calcoliamo il rapporto:
Q& s /( Q& l + Q& s ) che risulta pari a 0.6
Individuata la retta di carico, risulta che le condizioni all'immissione (per T=15°C) sono
i=0.7, y=0.0075 kgv/kgas .
Le condizioni dell'aria esterna sono i=0.7, y=0.0215 kgv/kgas
La portata di aria secca viene calcolata applicando un bilancio (di massa o energia) al volume di
controllo in regime stazionario. Dall'equazione di continuità (indicando con il pedice I le
condizioni dell'aria all'immissione, con A le condizioni ambiente):
m& as = m& v / (yA - yI ) = 0.12 *95 / (3600 *(0.0105 - 0.0075)) = 1.056 kgas/s
25
2) Calcolo del diametro del condotto. Utilizziamo l'equazione di continuità per l'aria secca,
trascurando la presenza del vapore:
D2 = 4 m& as * R1T / ( p * π * w) = 4*1.056 * 0.287 * 299 / (101.3 * π * 6) = 0.190 m2
D = 0.436 m
3) Bilancio di massa all'unità di trattamento dell'aria:
m& l = m& as * (yE - y1 ) = 1.056 (0.0215 - 0.0075) = 0.0148 kg/s
G997/1A
Una portata di aria umida defluisce a regime in un canale a pareti adiabatiche e sezione rettangolare
(dimensioni 10x15cm) alla velocità media di 6m/s. La pressione nel canale è pari a 0.9bar, la
temperatura dell'aria in ingresso è 35°C e l'umidità relativa è pari a 0.6. In una sezione del canale
viene insufflata una portata di vapore d'acqua pari a 0.001kg/s alla temperatura di 150°C e alla
pressione di 0.9bar . Si determini:
1) il grado igrometrico e l'entalpia specifica dell'aria all'ingresso del canale;
2) la portata massica di aria secca;
3) la temperatura dell'aria dopo il processo di umidificazione con vapore.
Risoluzione
Il grado igrometrico nella sezione di ingresso (sezione 1) si calcola con la relazione:
y1= 0.622 i*ps(T1) / (ptot - i*ps(T1)) = 0.622*0.6*5.62 / (90 - 0.6*5.62) = 0.0242
L'entalpia specifica dell'aria umida nella medesima sezione vale invece:
h1' = cpaT1 + y1(r0 + cpvT1) = 97.3 kJ/kgas
La portata volumetrica di aria Garia all'ingresso del canale è pari al prodotto (sezione di
passaggio)*(velocità dell'aria):
Garia=Garia secca=Gvapore=0.1*0.15*6=0.09 m³/s
La densità dell'aria secca si ricava dalla legge dei gas perfetti:
ρas=(ptot - pv) / R1T1 = (ptot - i*ps(T1)) / R1T = (90 - 0.6*5.62) / (0.287*308) = 0.98 kg/m3
Da cui
m& as=Gas*ρas= 0.09*0.98 = 0.0881 kg/s.
Per il calcolo delle condizioni finali dell'aria occorre utilizzare le equazioni di conservazione della
massa e dell'energia al sistema a due ingressi ed una uscita, nell'ipotesi che non si verifichi
condensazione del vapore . A tale scopo occorre calcolare l'entalpia del vapore in ingresso hvi che
risulta da tabelle essere pari a 2776 kJ/kg.
Avremo quindi:
y2 = ( m& as y1 + m& vi ) / m& as = 0.0355
h2' = ( m& as h1' + m& vi hvi ) / m& as = 128.8 kJ/kgas
T2 = (h2' - y2 r0 ) / (cpa + y2 cpv ) = 37.3 °C
26
F997/1B
Una portata di aria umida percorre a regime un canale circolare (diametro 20cm) alla velocità media
di 5m/s e alla pressione totale di 85kPa. Le condizioni di ingresso sono T1=28°C, i1=60%.
Nell'attraversare il canale la portata di aria subisce un processo di raffreddamento con
deumidificazione: il flusso termico sottratto è pari a 5.2 kW, la portata di acqua che condensa è pari
a 3.94kg/h.. Il processo di raffreddamento avviene per mezzo di una superficie alettata attraversata
da fluido R134a.
Si vuole determinare:
1) la portata massica di aria secca;
2) il grado igrometrico della corrente in uscita;
3) la temperatura e l'umidità relativa dell'aria in uscita;
4) la temperatura al bulbo umido che uno psicrometro ad aspirazione indicherebbe se posto
all'ingresso del canale;
5) la portata di fluido refrigerante, nell'ipotesi che in ingresso della batteria di raffreddamento il
titolo del vapore sia 0.35 ed in uscita il vapore sia saturo secco alla temperatura di 7°C.
Risoluzione
1) La portata massica di aria secca si calcola dall'equazione di continuità ed utilizzando la legge
dei gas perfetti:
m& as=w*ρas*πD2/4 = w*(pas/R1T1)*πD2/4 = 0.150 kg/s
2) il grado igrometrico finale si calcola con l'equazione di conservazione della massa per il
componente acqua:
y1 = 0.622 i1ps (T1) / (pt - i1ps (T1)) = 0.0171
y2 = y1 - m& l / m& as = 0.0171 - 0.00109/0.15 = 0.0099
3) nell'ipotesi che l'acqua che condensa si trovi alla medesima temperatura dell'aria in uscita,
l'equazione di conservazione dell'energia può scriversi:
Q& = m& as [cpa T2+ y2 (cpv T2 + r0)] + m& lcplT2 - m& ash'1
dove:
h'1 = cpa T1 + y1 (cpv T1 + r0) = 71.8 kJ/kgas
Da cui, ricordando che q è pari a -5,2kW, si ricava:
T2 = ( Q& + m& as (h'1 -y2 r0)) / [ m& as(cpa + y2 cpa ) + m& l cpl ] = 11.6°C
i2 = y2 pt / (ps (T2)*(0.622 + y2)) = 0.95
4) La temperatura al bulbo umido si ricava dall'eguaglianza:
h'(Tbu) = h'l
e dalle relazioni:
h'(Tbu) = cpa Tbu + ybu (cpv Tbu + r0)
ybu = 0.622 ps (Tbu) / (pt - ps (Tbu))
27
Da cui, per tentativi,
Tbu = 21.7°C
5) Tenuto conto che il fluido refrigerante è un vapore saturo a temperatura assegnata, il
diagramma pressione-entalpia del fluido R134a consente di leggere i valori dell'entalpia del fluido
refrigerante in ingresso ed uscita dal sistema batteria di raffreddamento. Il bilancio di primo
principio, nell'ipotesi di regime stazionario e variazioni di energia cinetica e potenziale
trascurabili, può quindi scriversi nella forma:
m& as = Q& / (hu - hi) = 5.2 / (305 - 182) = 0.0423 kg/s
G999/1A
Una portata di aria umida defluisce a regime in un canale a pareti adiabatiche e sezione rettangolare
(dimensioni 10x15cm) alla velocità media di 5m/s. La pressione nel canale è pari a 0.8bar, la
temperatura dell'aria in ingresso è 50°C e l'umidità relativa è pari a 0.8. In una sezione del canale è
posta una batteria di tubi alettati mantenuti alla temperatura di 5°C grazie ad un processo di
completa vaporizzazione di fluido R134a all'interno dei tubi. Dopo il raffreddamento la temperatura
dell'aria è 8°C e l'umidità relativa è pari a 0.95.
Si determini:
1) la portata massica di aria secca che defluisce nel canale;
2) il grado igrometrico e l'entalpia specifica dell'aria all'ingresso del canale;
3) il flusso termico sottratto alla corrente di aria;
4) la portata massica di fluido refrigerante (temperatura di vaporizzazione 5°C) necessaria per
l'operazione di raffreddamento.
Si trascurino nei bilanci di energia le variazioni di energia cinetica e potenziale e si ipotizzi che il
titolo del fluido R134a in ingresso della batteria di raffreddamento sia pari a 0.4.
Risoluzione
1) Per calcolare la portata massica di aria secca occorre conoscerne la densità valutata alla
pressione parziale dell'aria secca (la pressione parziale del vapore è pari, in questo caso, a circa il
12% di quella totale).
ρas = pas /R1Ti = [ptot - ips(Ti)]/R1Ti = (80 - 9.84) / (0.287*323) = 0.757 kg/m³
G = A*w= (0.1*0.15*5)= 0.075 m³/s
m& as = G *ρas = 0.0568 kg/s
2) yi= 0.622 ii ps(Ti)/[ptot- ii ps(Ti)] = 0.0872 kgv/kgas
h'i= 276.5 kJ/kgas
3) Dal primo principio possiamo ricavare il flusso termico sottrato all'aria. Occorre valutare a
questo scopo le condizioni termodinamiche dell'aria in uscita e la portata di vapore condensato.
yu= 0.622 iu ps(Tu)/[ptot-iu ps(Tu)] = 0.008 kgv/kgas
h'u= 28.1 kJ/kgas
m& liq = m& as (yi- yu ) = 0.00449 kg/s
Q& = m& as ( h'u -h'i ) + m& liq cpliq*Tliq = - 14.1 kW
4) Il flusso termico sottratto all'aria consente infine di valutare la portata di fluido R134a
necessaria per il raffreddamento e la deumidificazione dell'aria
hi(R134) = 184 kJ/kg
hu(R134) = 300 kJ/kg
&
m& R134 = Q / [hu(R134) - hi(R134) ] = 0.128 kg/s
28
FLUIDODINAMICA MONODIMENSIONALE
M993/1A
Una pompa che fornisce una pressione (relativa) di mandata pari a 105kPa consente il deflusso di una
portata di olio (densità ρ=820kg/m , viscosità dinamica µ=200*10-4 kg/ms) attraverso un condotto
(lunghezza 50m, diametro interno 26mm, scabrezza 50µm,
dislivello h=3m) fino ad un serbatoio posizionato più in
alto ed a pressione atmosferica (vedi figura). Trascurando
h
le perdite di carico concentrate, si valuti la portata
effluente nell'ipotesi (da verificare) che il regime di moto
all'interno del condotto sia laminare.
F994/1A
Due serbatoi sono tra loro collegati da una tubazione di diametro 26mm e rugosità assoluta 120µm.
I serbatoi contengono un olio le cui proprietà sono: densità 850kg/m³, viscosità dinamica
2
0.02kg/sm. Il serbatoio posto in basso è mantenuto alla pressione di
1.55bar relativi, il serbatoio superiore si trova invece a pressione
14
atmosferica. Con riferimento alla figura a lato che riporta le lunghezze
2
in metri dei vari tratti di condotto, si richiede di determinare la portata
26
20
di liquido effluente e la pressione vigente nel tratto più elevato della
linea. Si assumano i seguenti valori per i coefficienti λ' relativi alle
perdite di carico concentrate:
1
Gomito a 90°:
0.8
2
Restrizione od allargamento brusco:
1.2
&
[Soluzione: m=0.67kg/s,
p=0.6bar]
G995/1B
Una conduttura del diametro interno di 60mm,
scabrezza assoluta 300µm, è collegata ad un
serbatoio in pressione (p=2.1bar relativi) che
contiene un fluido le cui caratteristiche sono
densità
850kg/m³,
viscosità
dinamica
0.01kg/sm. Il circuito, che prevede la presenza
di una pompa, è schematizzato nella figura
annessa dove sono riportate alcune lunghezze
in metri. Utilizzando quale coefficiente per le
perdite di carico concentrate 0.8, si richiede di
valutare:
1) la potenza della pompa (rendimento unitario), se portata di fluido nel condotto vale 6kg/s;
2) la portata di liquido che fluirebbe nel circuito in assenza di pompa.
29
Risoluzione
Applichiamo l'equazione di Bernoulli tra le sezioni 1 e 2 poste rispettivamente in corrispondenza
del pelo libero del serbatoio inferiore e della bocca della conduttura in prossimità del serbatoio
superiore. In questo caso potremo porre w1=0, p1=(2.1 +1.013)bar, p2=1.013bar, (z2 - z1)=25m
Avremo poi:
& ρπD2) = 2.5m/s
Re = w2D/ν = 12750
w2 = 4 m/(
Da cui ricaviamo che il fattore di attrito f (Re=12750, ε/D=0.005) è pari a 0.0361
L'equazione di Bernoulli ci consente di scrivere:
hm = w22 /2g (L/D f + Σ 13 f' + 1) + (p2 - p1)/ρg + (z2 - z1) = 13.36
La potenza fornita dalla pompa sarà quindi pari al prodotto:
⏐P⏐ = hm g m& = 786W
In assenza di pompa ed ipotizzando moto laminare avremo:
w22 /2g (64Lν/w2D2 + Σ3 f' + 1) + (p2 - p1)/ρg + (z2 - z1) = 0
Occorre quindi risolvere un'equazione del tipo:
aw22 + bw2 + c = 0
dove a=0.173, b= 0.693, c= -0.18
che possiede la radice reale w2 = (-b + (b2 - 4ac)0.5 )/2a = 0.245m/s
valore per il quale risulta Re<2300 (come da ipotesi) e m& = 0.588kg/s
G996/2A
Un ventilatore aspira in regime
permanente una portata di aria pari a
5180m³/ora alla pressione di 98kPa e alla
temperatura di 40°C; in queste condizioni
il valore corrispondete della viscosità
dinamica è 1.9*10-5kg/sm. Un lungo
canale in lamiera metallica di sezione
rettangolare (400x300mm, scabrezza
1500µm, lunghezza complessiva 215m)
adduce il fluido ad un locale nel quale la
pressione deve essere mantenuta pari a
100kPa (vedi figura). Considerando quale
diametro equivalente del condotto il rapporto 4A/p (p=perimetro del condotto, A sezione trasversale
dello stesso) ed ipotizzando la densità dell'aria costante lungo il condotto, si richiede di valutare:
1) la portata massica di fluido che fluisce nel canale e la velocità media di percorrenza;
2) il fattore di attrito relativo alle perdite di carico di tipo distribuito;
3) la potenza della soffiante (il cui rendimento è pari a 0.6).
Si trascurino le perdite di carico concentrate all'imbocco e all'uscita del canale e si utilizzi per il
calcolo delle perdite di carico concentrato nelle curve a 90° la seguente tabella che riporta la caduta
di pressione locale in funzione della velocità della corrente d'aria:
5
15
20
35
50
65
90
∆p [Pa]
w [m/s]
4
6
8
10
12
14
16
30
Risoluzione
ρ = p/R1T = 98/(0.287*313) = 1.091kg/m
Deq= 4A/p = 0.343m
m& = Gv ρ=5180 * 1.091/ 3600 = 1.57kg/s
Re=wDeq/ν=2.36*105
w=Gv/A=12m/s
Fattore di attrito f(Re, ε/Deq)=0.030
Equazione di Bernoulli (densità costante, sezione costante, ingresso ed uscita del volume di
controllo in prossimità degli estremi del canale)
-he=ha + (p2-p1)/ρg + (z2-z1) = [w2/2g f*L/D + Σ(∆p/ρg)] + (p2-p1)/ρg + (z2-z1)
-he= 144*0.030*215/(2*9.81*0.343) + 3*50/(1.091*9.81) + 2000/(1.091*9.81) +7 = 345.9m
& η= -8.88*103W
P=heg m/
S996/1A
Uno degli strumenti per misurare la viscosità di un liquido è il viscosimetro capillare a gravità. Esso
e' costituito da un recipiente termostatato (in comunicazione con l'aria ambiente) recante nella parte
inferiore un tubicino capillare posto in posizione verticale (vedi figura). Il principio di
funzionamento del dispositivo si basa sull'ipotesi di moto stazionario, laminare e sull'invarianza
della quota del pelo libero nel recipiente.
Le misure indicano che attraverso il capillare defluiscono
200g di liquido in 30 secondi. Considerando le sole perdite
di carico distribuite nel capillare e sapendo che il liquido in
esame ha densità pari a 1090kg/m³,
1) calcolare la viscosità cinematica del liquido;
Di=3mm
2) verificare l'ipotesi di moto laminare.
Risoluzione
L=28cm
H=30cm
L'equazione di Bernoulli tra le sezioni 1 (pelo libero del
recipiente) e 2 (estremo inferiore del capillare) si scrive:
w22
L
ρ
+ 32 w2 2 ν + ( a − 1) Hg = 0
D
2
ρl
La velocità w nel capillare si calcola nota la massa defluita nel tempo τ=30s, la densità del liquido,
la sezione di passaggio del tubicino:
πD 2
w = m& / ρl A = m / ( τ ρl
) = 0.87m/s
4
Utilizzando quale valore per la densità dell'aria ρa = 1.2kg/m³, la risoluzione dell'equazione di
Bernoulli fornisce υ=2.95×10-6 m²/s, a cui corrisponde Re=wD/υ = 882
G998/1A
Il camino a tiraggio naturale di una industria di processo deve provvedere allo smaltimento di una
portata di fumi pari a 2860m³/ora. Il gas espulso si trova alla temperatura di 90°C ed è composto (su
base massica) dal 65% di azoto e dal 35% di anidride carbonica. La viscosità dinamica della
miscela è pari a 1.9×10-5kg/sm, la temperatura dell'aria ambiente 20°C. I dati di progetto prevedono
che il camino (a sezione costante ed adiabatico) assicuri una velocità dei fumi in uscita pari a 5m/s
ed abbia un rapporto altezza/diametro non superiore a 15.
31
Nell'ipotesi che la superficie del canale di deflusso presenti una scabrezza assoluta pari a 200µm,
trascurando le perdite di carico concentrate si richiede di calcolare:
1) il diametro del camino;
2) la portata massica dei fumi;
3) la caduta di pressione per unità di lunghezza dovuta agli attriti;
4) l'altezza del camino;
5) la potenza di un eventuale ventilatore da inserire nel canale qualora l'altezza del camino
eccedesse il valore di progetto.
Risoluzione
La densità dei fumi si ricava dalla legge dei gas perfetti (Tfumi=90°C) previa il calcolo della
costante particolare della miscela
R1m= 0.65*R1azoto + 0.35*R1anidride carbonica = 0.259kJ/kgK
ρ = p/R1mT = 101.3/(0.259*363) = 1.077kg/m³
Analogamente la densità dell'aria
ρa = p/R1a Ta = 1.205kg/m³
Il diametro del canale e la portata massica dei fumi risultano
& Gv ρ=2860 * 1.077/ 3600 = 0.856kg/s
D= (4Gv /πw)0.5 =0.45m
m=
Fattore di attrito
Re=wDρ/µ=1.275*105
La caduta di pressione per unità di lunghezza
f(Re, ε/D) = 0.0192
∆p/L = w2ρ f /(2D) = 0.574Pa/m
L'equazione di Bernoulli (densità costante, sezione costante, velocità del fluido in ingresso
trascurabile, lunghezza del canale coincidente con l'altezza dello stesso, assenza di propulsori)
consente di scrivere
0=ha + w2/2g + (p2-p1)/ρg + (z2-z1) = w2/2g [ f H/D + 1] + (-ρaH)/ρ + H
Da cui
H = w2/2g [ρa/ρ -1 -w2/2g f/D]-1 = 19.75m
Riscrivendo l'equazione di Bernoulli per il caso del propulsore e ponendo H=15D si ottiene
0= he + w2/2g (1 + 15f) + 15D (1-ρa/ρ)
-he= 25/(2*9.81)*(1+15*0.0192) + 15*0.45*(1- 1.205/1.077) = 0.839m
La potenza del propulsore (per rendimento unitario) risulta quindi
& -7.05*W
P=heg m=
F998/1A
Il camino a tiraggio naturale di una industria di processo deve provvedere allo smaltimento di una
portata di fumi pari a 3200m³/ora. Il gas espulso si trova alla temperatura di 80°C ed è composto da
una miscela la cui massa molecolare media è pari a 26.8kg/kmol. La viscosità dinamica della
miscela è pari a 1.8×10-5kg/sm, la temperatura dell'aria ambiente 15°C.
Nell'ipotesi che il camino sia alto 5m, a sezione costante ed adiabatico e che la superficie del canale
di deflusso presenti una scabrezza assoluta pari a 200µm, si richiede di calcolare:
1) la portata massica dei fumi;
2) la velocità di espulsione dei fumi;
3) il diametro del camino.
Si trascurino le perdite di carico concentrate e la velocità dei fumi all'imbocco del canale.
32
Risoluzione
Il problema è simile a quello proposto a gennaio 1998.
La densità dei fumi si ricava dalla legge dei gas perfetti (Tfumi=80°C, R1f =(8.314/26.8)kJ/kgK)
ρf = p/R1fT = 101.3/(0.310*353) = 0.926kg/m³
ρa = p/R1a Ta = 1.226kg/m³
Analogamente la densità dell'aria
La portata massica risulta quindi
m& = ρf Gv = 3200* 0.926/ 3600 = 0.823kg/s
L'equazione di Bernoulli (densità costante, sezione costante, velocità del fluido in ingresso
trascurabile, lunghezza del canale coincidente con l'altezza dello stesso, assenza di propulsori)
consente di scrivere
0=ha + w2/2g + (p2-p1)/ρf g + (z2-z1) = w2/2g [ f(w) H/D + 1] + (-ρaH)/ρf + H
L'espressione contiene le incognite w e D; quest'ultima può ricavarsi dall'equazione di continuità,
D= (4Gv /πw)0.5, ancora in funzione di w.
La soluzione iterativa dell'equazione risultante fornisce
w=5.14m/s
Il diametro del canale risulta infine
D= (4Gv /πw)0.5 =0.469m
G999/1B
Una conduttura orizzontale del diametro interno di 60mm, scabrezza assoluta 300µm, lunghezza
30m, collega due serbatoi i quali si trovano rispettivamente alla pressione relativa di 0.2bar ed alla
pressione atmosferica. Il fluido in essi contenuto ha densità 880kg/m³, viscosità dinamica
0.02kg/sm.
Se il pelo libero del serbatoio a pressione atmosferica si trova 2m più in alto rispetto al pelo libero
dell'altro serbatoio, si valuti:
1) la portata di liquido che fluisce nel circuito, verificando se il regime è laminare o turbolento;
2) la potenza di un eventuale pompa (di rendimento unitario), dimensionata in modo da assicurare
una velocità del fluido nel condotto pari a 6m/s;
Si trascurino le perdite di carico concentrate.
Risoluzione
Applichiamo l'equazione di Bernoulli tra le sezioni 1 e 2 poste rispettivamente in corrispondenza
del pelo libero dei serbatoi. In questo caso potremo porre w1=w2=0, p1=(0.2 +1.013)bar,
p2=1.013bar, (z2 - z1)=2m
In assenza di pompa ed ipotizzando moto laminare avremo:
w2 /2g (64Lν/wD2) + (p2 - p1)/ρg + (z2 - z1) = 0
Occorre quindi risolvere di 1° grado nell'incognita w che fornisce w = 0.513m/s
valore per il quale risulta Re<2300 (laminare) e m& = 1.278kg/s
In presenza di un circolatore:
w2 = 6m/s
Re = wD/ν = 21100 (turbolento)
m& = 14.93kg/s
Da cui ricaviamo che il fattore di attrito f è pari a 0.035
L'equazione di Bernoulli ci consente di scrivere:
⏐he⏐ = w2 /2g (f L/D ) + (p2 - p1)/ρg + (z2 - z1) = 31.4
La potenza fornita dalla pompa sarà quindi pari al prodotto:
⏐P⏐ = hm g m& = 4.6kW
33
TRASMISSIONE DEL CALORE
G993/1A
Una conduttura in ferro (diametro esterno 26mm, diametro interno 22mm) alimenta con acqua una vasca
di decantazione. Il tubo scorre per un lungo tratto interrato fatta eccezione per gli ultimi 20m nei quali il
tubo è montato su supporti e si trova all'aria aperta. Si richiede di valutare la portata minima di acqua
effluente nel condotto al fine di evitare il congelamento della stessa. Si utilizzino le informazioni
seguenti:
La temperatura dell'aria esterna è pari a -10°C ed il sito è soggetto a vento con velocità di 2m/s
Si adotti la seguente relazione semplificata (valida per ReD<105) per il calcolo del coefficiente
convettivo esterno: NuD = 0.4 ReD0.5 Pr0.4.
La temperatura dell'acqua nel tratto di condotto interrato sia 6°C e si consideri una opportuna
temperatura media altrove. Si trascuri la resistenza termica lato liquido, lo scambio termico radiante lato
aria e si consideri la resistenza termica delle pareti del condotto, eventualmente mostrando se sia
possibile trascurarla
Si adottino i seguenti valori delle proprietà termofisiche:
Conducibilità termica dell'aria karia =0.025[W/mK], conducibilità del ferro kf =45[W/mK],
viscosità cinematica aria ν =15*10-6 [m2/s] diffusività aria=22*10-6 [m2/s], calore specifico acqua
cp=4.18[kJ/kgK]
Risoluzione
Il problema consiste nel determinare la portata di acqua necessaria affinchè nel tratto di condotto
esposto all'aria la temperatura del liquido non raggiunga zero gradi centigradi. In particolare se q
rappresenta il flusso termico ceduto dal liquido all'ambiente attraverso la superficie del tubo,
dovrà essere verificato il primo principio per il sistema con deflusso in regime stazionario:
Poniamo che Tu (liquido all’uscita del condotto) debba essere pari a 1°C.
& i -hu)= Q& ovvero mc
& p(Ti-Tu)= Q&
m(h
& Q& /(cp(Ti-Tu)
Allora m=
∆Tm
1 he Ae + ln( De / Di ) 2 πk f L
∆Tm=((Ti-Test)-(Tu-Test))/ln((Ti-Test)/(Tu-Test)) = (16-11)/ln(16/11)=13.3 °C
q=
Nu=0.4(wDe/ν)0.5 Pr0.4 = 0.4*(2*0.026/15*10-0.6)0.5*(0.72)0.4=0.4*34670.5*(0.72)0.4 = 20.7
he=Nu*karia/De = 20.7*0.025/0.026=19.9 W/m2K
13. 3
q=
=13.3/(0.0308+0.00003)=432 W
1
+ ln( 26 / 22 ) 2 π * 45 * 20
19. 9 * π * 0. 026 * 20
m& =432/(4180*5)=0.02 kg/s
34
A993/2A
La superficie interna della parete di un forno si trova a 250°C. La parete, alta 50cm e larga 70cm, è
costituita da uno strato di mattoni refrattari (conduttività k=0.4W/mK, spessore s=30cm) e da un
rivestimento in acciaio(k=50, s=2cm). Si valuti il flusso termico disperso dalla parete (in regime
stazionario) se la faccia esterna è lambita da aria (t=25°C) circolante per convezione naturale
trascurando lo scambio termico radiante. Per il calcolo del coefficiente di scambio termico
convettivo lato esterno, si utilizzi la correlazione Nu=0.54(GrPr)0.25.
Si assuma Pr=0.72, karia =0.027. Si valuti il numero di Grashof alla temperatura media del fluido
utilizzando la seguente tabella:
T [K]
βg/υ² [1/m³K]
290
15.6*107
300
13.3*107
310
11.5*107
320
10*107
330
8.7*107
340
7.5*107
350
6.6*107
360
5.8*107
Si eseguano un numero di passi di calcolo sufficienti a stimare il flusso termico con un errore
massimo intorno al 20% rispetto all'iterazione precedente.
Risoluzione
Nell'ipotesi di flusso termico monodimensionale,
possiamo scrivere:
Q& = A (Ti - Te) / (R1 + R2 + R3)
Q& conv = A (Tpe - Te) / R3
Q& cond = A (Ti - Tpe) / (R1 + R2)
Q& conv = Q& cond = Q&
Ti
Tpe
R1 = s1 / k1
Te
R2 = s2 / k2
R3 = 1 / h3
h3 = Nu *karia / L = 0.54(GrPr)0.25 * (karia / L)
Gr = (βg/ν2) * (Tpe - Te) L3
Il problema è complicato dal fatto che il coefficiente convettivo è funzione non lineare della
temperatura di parete Tpe,anche in ragione del fatto che il gruppo (βg/ν2) va calcolato alla
temperatura media del film, (Tpe + Te) / 2.
L'equazione implicita F(z) = Q& conv(z) - Q& cond(z) = 0, nell'incognita z = Tpe , non può essere
quindi risolta direttamente ma necessita di una procedura iterativa.
Le strategie per risolvere equazioni di tipo implicito sono diverse. Per una rassegna esauriente si
rimanda ai riferimenti citati (Abramovitz et Al., Chapra et Al., Tagliafico et Al.). Un algoritmo
semplice, affidabile, che assicura la convergenza è il metodo detto di bisezione.
Questo metodo è classificabile come metodo chiuso, in quanto consente di ricavare la radice
dell'equazione una volta indentificato un intervallo (di estremi z1 e z2) in cui questa è contenuta.
35
Scelti due valori z1 e z2 tali che F( z2 )*F( z1 )<0, si procede per passi successivi dimezzando di
volta in volta l'intervallo (z1 , z2). Ad ogni passo viene calcolato il valore znuovo = (z1 + z2)/2 che
individua due sottointervalli uguali (z1, znuovo), (znuovo, z2): il sottointervallo che soddisfa la
disequazione F( z2 )*F( z1 )<0 viene quindi considerato ed il processo si ripete un numero di volte
sufficiente per ottenere che l'ampiezza dell'intervallo divenga più piccola di una quantità prefissata
o sia soddisfatto un qualche altro criterio di convergenza della procedura numerica.
A partire dai valori di tentativo Tpe1=300, Tpe2 =360, l'algoritmo ci consente di ricavare ad ogni
passo di calcolo i seguenti valori delle grandezze di nostro interesse.
Tpe1 [K]
300
330
345
Tpe2[K]
360
360
360
F(Tpe1)
<0
<0
<0
F(Tpe2)
>0
>0
>0
Tpe1 + Tpe2
Q& (
) [W]
2
90
83
79
Dopo tre iterazioni l'approssimazione può ritenersi soddisfacente, e la procedura conclusa.
M993/2A
Una superficie piana orizzontale di forma quadrata (lato 50cm) si trova all'aria aperta in un sito
soggetto a vento (velocità 6m/s) e temperatura dell'aria T =3°C. La volta celeste verso la quale la
piastra irraggia può essere pensata, durante la notte, come un corpo alla temperatura di 255K se
vigono condizioni di cielo sereno.
Per questa situazione semplificata, si richiede di determinare la temperatura raggiunta dalla
superficie superiore della piastra (supposta un corpo grigio di emissività ε=0.85) in seguito agli
scambi termici convettivi e radianti. Si assuma che la superficie inferiore della piastra sia
adiabatica. Si adotti la correlazione,
Nu=0.664 Re0.5 Pr0.33
verificando la condizione di regime di moto laminare.
(Proprietà dell'aria: conduttività k=0.025W/mK, Pr=0.72, viscosità cinematica ν=14*10-6 )
[Soluzione: T=-1.2°C]
M993/3A
Uno scambiatore controcorrente è costituito da due tubi coassiali, nel più interno dei quali
(diametro D=0.07m) scorre acqua ( m& =0.4kg/s, c =4180J/kgK, k =0.67W/mK, ρ=950kg/m , ν
=0.35*10-6, Pr=2, Tingresso=351K). Lo spazio anulare compreso tra il tubo interno ed il tubo
esterno (diametro D=0.1m) è alettato con 8 alette longitudinali (spessore s=0.001m, altezza
h=0.015m) ed è percorso da aria ( m& =0.12kg/s, cp =1005J/kgK) che entra alla temperatura di 300K
ed esce alla temperatura di 340K. Si richiede di valutare:
1) il coefficiente globale di scambio termico trascurando la resistenza termica conduttiva legata allo
spessore del tubo interno;
2) la lunghezza dello scambiatore affinchè svolga il compito assegnato.
36
Sono noti i seguenti dati:
coefficiente di scambio termico convettivo lato aria h =100W/mK, conduttività delle alette in
alluminio k=80W/mK.
Si adotti la correlazione: Nu=0.023 Re0.8Pr0.33
per il calcolo del coefficiente di scambio termico convettivo lato acqua. Si ricavi il rendimento
dell'aletta singola utilizzando la relazione per aletta con estremità adiabatica.
[Soluzione: K=34.3W/m²K, L=5.6m]
A994/1B
Una parete di spessore 30cm è realizzata con un materiale la cui conducibilità termica vale
0.86W/mK e la cui diffusività termica vale 4.8*10-7m²/s. La parete inizialmente si trova alla
temperatura di 35°C, concidente con
quella dell'aria che ne lambisce il lato
esterno con coefficiente convettivo pari a erfc(η)
12W/m²K. Il lato interno da un certo
istante in poi viene investito da una
corrente di vapore che ne eleva la
temperatura di superficie a 400°C.
Si richiede di valutare, in condizioni di
regime stazionario:
1) lo spessore minimo di isolante
(conducibilità termica 0.15W/mK) da
apporre sulla superficie esterna della
parete al fine di assicurare un flusso
termico inferiore a 475W/m²;
2) la temperatura della superficie esterna
in assenza di isolante;
3) la temperatura della superficie esterna
in presenza di isolante.
η
4) Si richiede inoltre di valutare, per
quanto riguarda il transitorio termico, la temperatura in un punto interno della parete distante 5cm
dalla superficie calda della stessa dopo che sono trascorsi 15 minuti dall'inizio del processo di
riscaldamento. Si utilizzi il grafico a fianco (η=0.5(Fo)-0.5)
[Soluzione: s=0.05m, T2=105°C, T3=74.6°C, T4=68°C]
M994/1A
Un radiatore domestico è realizzato con una piastra piana verticale (altezza 60cm) al cui interno
scorre acqua. Il fluido vettore entra nell'elemento scaldante alla temperatura di 80°C e ne esce a
70°C. Si richiede di valutare la superficie del corpo scaldante affinché esso assicuri uno scambio
termico convettivo e radiante pari a 1400W. Sono noti i seguenti dati:
1) Il radiatore è installato in un ambiente a temperatura uniforme dell'aria e delle pareti circostanti
pari a 22°C.
2) L'emissività della superficie radiante, supposta un corpo grigio, sia pari a 0.85.
3) Si trascuri la resistenza convettiva interna al corpo scaldante e quella conduttiva, assumendo
pertanto una opportuna temperatura media della piastra. Si assuma inoltre che lo scambio termico
interessi una sola faccia dell'elemento.
4) Il fenomeno convettivo sia retto da una correlazione di scambio termico del tipo:
37
Nu=0.57(Ra)0.25, valida per regime laminare. Si assuma Pr=0.72.
Le proprietà termofisiche possono essere valutate utilizzando la seguente tabella:
T [K]
k [W/mK]
βg/υ² [1/m³K]
280
300
320
340
370
0.025
0.026
0.027
0.028
0.030
18.4*107
13.3*107
10*107
7.5*107
4.9*107
[Soluzione: A=2.45m²]
M994/1B
Un collettore solare piano, senza copertura in vetro, ha una superficie ricevente caratterizzata da
emissività ε=0.1 e coefficiente di assorbimento α=0.95 nei confronti della radiazione solare.
Quando l'intensità della radiazione solare incidente vale 650W/m², la temperatura superficiale del
collettore risulta Tc=100°C. In queste condizioni la temperatura dell'aria esterna è 30°C, mentre
quella della volta celeste risulta 17°C. Il coefficiente convettivo esterno può essere valutato secondo
la relazione: h=1.43(Tc-Tamb)0.33.
Calcolare il flusso termico utile che può essere ottenuto dal collettore e la sua efficienza in queste
condizioni di funzionamento. Quali accorgimenti potrebbero essere impiegati per aumentare
l'efficienza di captazione?
Risoluzione
Il bilancio termico del collettore solare in condizioni di regime si scrive:
Q& ''utile = αsol G - Q& ''conv - εσ (Tc4 - Tvc4 )
dove G è l'irradianza solare, αsol è l'assorptività della superficie captante nei confronti della
radiazione solare ed ε è l'emissività della stessa alla temperatura di esercizio del collettore. Si ha
quindi:
h=1.43(100 - 30)0.33 = 5.81W/m²K
Q& ''utile = 0.95*650 - 5.81*(100 - 30) - 0.1*σ (3734 - 2904) = 141 W/m²
η= Q& ''utile / G = 141/650 = 0.22
M994/2B
Un criostato contenente azoto liquido a pressione atmosferica (temperatura alla saturazione 77K,
densità 805kg/m³) è realizzato in acciaio inox (emissività di riferimento ε=0.08) con una struttura a
contenitori concentrici (vedi figura) recante una intercapedine in cui è stato realizzato il vuoto. Il
serbatoio, la cui superficie esterna misura 2.2m², è lambito da aria
ambiente a temperatura di 20°C e coefficiente convettivo pari a 8W/m²K.
Si richiede di valutare la portata oraria di azoto evaporante (entalpia di
passaggio di fase a pressione atmosferica 199kJ/kg) ipotizzando che
l'intercapedine sia sede di solo scambio termico raggiante e le resistenze
conduttive e quella convettiva lato azoto siano trascurabili.
&
[Soluzione: m=0.67kg/h]
38
M994/2B
Una parete di un forno (spessore 30cm) è realizzata con un materiale la cui conduttività termica kp
vale 0.86W/mK. In condizioni di funzionamento, la temperatura delle superfici interna ed esterna
valgono, rispettivamente 1100°C ed 35°C.
Dopo avere calcolato il flusso termico che si instaura attraverso il divisorio, si richiede di valutare
lo spessore minimo di isolante (kis=0.35W/mK) da apporre alla parete per ridurre tale flusso
termico al di sotto di 1850W/m².
L994/1B
La conduttura che collega la centrale termica di una industria chimica alle utenze, è percorsa da
acqua alla temperatura di 80°C (viscosità cinematica 0.3*10-6 m²/s, densità 975kg/m³, conducibilità
0.67W/mK, Pr=2.25). Tale tubatura, per un tratto pari a 20m, si trova all'aria aperta (T=5°C,
coefficiente liminare esterno 25W/m²K).
Si richiede di valutare per tale tratto, il flusso termico disperso in condizioni di regime stazionario.
1) La tubazione è realizzata in ferro (conducibilità kf = 40W/mK, diametro interno 36mm, spessore
2mm) e ricoperta con uno strato di isolante (kis = 0.08W/mK) di spessore 1cm.
2) La portata di liquido è pari a 2kg/s, la convezione forzata interna può essere descritta dalla
correlazione: Nu=0.023Re0.8Pr0.3, valida per regime turbolento e moto completamente sviluppato
(verificare).
[Soluzione: Q& =1470W]
S994/1A
Un grande blocco di ghiaccio distaccatosi dalla banchina polare si muove sospinto dal vento
nell'oceano. L'iceberg, che si trova alla temperatura di zero centigradi, presenta una struttura piatta
a parallelepipedo (vedi figura). L'acqua del mare si trova alla temperatura di 10°C, quella dell'aria a
15°C. Se il blocco di ghiaccio si muove con velocità di 10cm/s
(direzione del vento)
rispetto all'acqua e l'aria si muove rispetto al solido alla velocità
di 3.1m/s, a quanto ammonta il calore complessivamente
sottratto all'iceberg da acqua ed aria per effetto convettivo?
Quanto vale la portata oraria di ghiaccio che fonde?
30m
Si adottino le seguenti ipotesi:
1) il fenomeno convettivo (di tipo forzato) può essere descritto
dalla teoria dello strato limite su lastra piana per il quale
50m valgono le note relazioni:
Nul = 0.664 Re0.5Pr0.33
(moto laminare)
0.8
0.33
Nul = (0.037 Re - 871)Pr
(moto turbolento)
2) le proprietà termofisiche
dell'acqua da considerare sono:
viscosità cinematica 1.5*10-0.6m²/s, conducibilità termica 0.57W/mK, entalpia di fusione 333kJ/kg
&
[Soluzione: m=23400kg/h]
39
F995/1B
La struttura composta di una parete perimetrale (legno,
conducibilità termica 0.15W/mK) è costituita da una serie di
travi che racchiudono un'intercapedine profonda 5cm in cui è
inserito del materiale isolante (conducibilità termica
0.06W/mK). L'elemento ripetitivo caratteristico dal punto di
vista termico è schematizzato in figura (vista dall'alto), dove
compaiono alcune dimensioni espresse in centimetri. Si richiede
di valutare la trasmittanza della parete (per unità di area), utilizzando quali valori per i coefficienti
liminari interno ed esterno 8 e 25W/m²K.
Risoluzione
Nell'ipotesi che il campo termico nella struttura descritta possa essere considerato
monodimensionale, il problema può essere risolto ricorrendo all'analogia elettrica. La struttura
può essere pensata come un insieme di resistenze termiche collegate tra loro in serie e parallelo,
ma è possibile riconoscere almeno due circuiti elettrotermici che descrivono il processo. Il questo
caso si conviene di calcolare la resistenza equivalente che compete ai due schemi, verificare che i
due valori ottenuti non si discostino tra loro per più del 50% (rispetto alla media aritmetica dei
valori) ed assumere tale media come valore di riferimento per i successivi calcoli...(vedi anche il
testo di Tagliafico e Cavalletti)
A995/1A
La conduttura che collega la centrale termica ad un sistema di utenze, è percorsa da acqua alla
temperatura di 80°C (viscosità cinematica 0.3*10-6 m²/s, densità 975kg/m³, conducibilità
0.67W/mK, Pr=2.25). Tale tubatura, per un tratto pari a 30m, si trova all'aria aperta (T=5°C,
coefficiente liminare esterno 25W/m²K).
Si richiede di determinare lo spessore di materiale isolante da apporre sulla superficie del tubo nel
tratto in esame, al fine di contenere il flusso termico disperso in condizioni di regime stazionario in
80 W/m.
1) La tubazione è realizzata in ferro (conducibilità kf = 40W/mK, diametro interno 36mm, spessore
2mm) ed il materiale coibente ha conducibilità kis=0.08W/mK.
2) La portata di liquido è pari a 2kg/s, la convezione forzata interna può essere descritta dalla
correlazione: Nu=0.023Re0.8Pr0.3, valida per regime turbolento e moto completamente sviluppato
(verificare).
[Soluzione: s=0.009m]
40
A995/1B
In relazione al dimensionamento di un
impianto di condizionamento estivo,
occorre calcolare l'apporto termico radiante
giornaliero di un edificio (posto in un sito
alla latitudine 45°) attraverso una sua
vetrata verticale disposta a sud. La vetrata,
la cui superficie è pari a 18m², è costituita
da un singolo vetro le cui caratteristiche di
trasmissività sono τ=0.65 per lunghezze
d'onda inferiori a 4.5µm e zero altrove. Si
utilizzi il diagramma allegato, che riporta
l'andamento del flusso termico solare
incidente su superficie unitaria (kW/m²) in
funzione del tempo espresso come ore
prima e dopo il mezzodì. Si assuma che la
composizione spettrale della radiazione
termica sia assimilabile a quella di un corpo
nero alla temperatura di 5800K e l'apporto
termico attraverso la vetrata dipenda solo dalla componente trasmessa nel mezzo semitrasparente.
[NOTA: la valutazione dell'apporto energetico giornaliero presuppone il calcolo dell'integrale
della curva in figura. Tale integrale rappresenta l'energia incidente in una metà giornata. Esso può
essere calcolato per esempio in maniera approssimativa tenendo conto che ciascun quadretto
rappresenta 0.2*3600 KJ/m². Soluzione: Q=140.1*103kJ]
M995/1B
Una copertura piana di un edificio misura 10×15m ed è costituita da una struttura portante in
calcestruzzo (conducibilità termica k1 =1.2W/mK, spessore 20cm) e da un rivestimento di materiale
isolante (k2=0.08W/mK, spessore 4cm). La temperatura dell'aria esterna sia pari a 32°C, quella
dell'aria interna a 25°C; il coefficiente liminare esterno (convettivo e radiante) valga 30W/m²K
mentre lo scambio termico lato interno possa essere descritto dalla relazione h=0.95(∆T)0.33. Se la
superficie esterna è assimilabile ad una superficie grigia di emissività 0.8, si determini in condizioni
di regime stazionario il flusso termico che attraversa la struttura nell'ipotesi che l'intensità della
radiazione solare incidente sia pari a 750W/m²
Te
Risoluzione
R1
Il problema termico in regime stazionario può essere
descritto da uno schema elettrico come quello di figura
che ci consente di scrivere il seguente sistema di
equazioni:
Q& rad = Q& conv + Q& cond
Q& rad = α G A
Q& conv = Ahe (Tpe - Te)
Q& cond = A(Tpe - Tpi) / (s1/K1+s2/K2) = Ahi (Tpi - Ti)
qrad
qconv
Tpe
R2
qcond
R3
Tpi
R4
Ti
41
dove hi è ancora una funzione della temperatura incognita interna di parete Tpi nella forma:
hi = 0.95(Tpi - Ti)0.33
Combinando le varie equazioni è possibile ottenere un'equazione implicita nell'incognita Tpi da
risolversi per via iterativa, adottando una opportuna strategia (Cfr. Aprile 1993/2A).
Alla fine del processo si ottiene: Tpi = 35.9°C, Q& cond =3.44kW; Tpe =51.2°C.
N995/1B
Il lunotto di un automobile è sbrinato per mezzo di un sottile film trasparente apposto sulla
superficie interna dello stesso e riscaldato elettricamente. Assumendo il riscaldamento uniforme, si
valuti il flusso termico specifico necessario per mantenere una temperatura di parete interna di 15°C
quando la temperatura dell'ambiente interno è di 25°C e quella esterna è di -5°C. Si assuma che i
coefficienti liminari lato interno e lato esterno valgano rispettivamente 12 e 60W/m²K, lo spessore
del vetro sia 4mm e la sua conducibilità termica valga 1W/mK.
[Soluzione: Q& "=848W/m²]
D995/1A
Una portata di aria (temperatura iniziale 60°C, pressione 1.8bar, portata volumetrica 4320m³/ora,
viscosità cinematica 19*10-6m²/s) attraversa in regime permanente una conduttura in lamiera a
sezione costante di forma quadrata, lunghezza 340m, scabrezza 150µm. Durante il percorso la
corrente di aria riceve un flusso termico pari a 45kW.
Si richiede di calcolare:
1) la portata massica di aria;
2) la sezione trasversale del condotto A affinchè all'imbocco del canale la velocità del gas sia pari a
3m/s;
3) la temperatura e la velocità dell'aria all'uscita del canale (nell'ipotesi che la pressione non vari);
4) la caduta di pressione tra ingresso ed uscita del condotto, supposto rettilineo ed orizzontale,
considerando quale diametro equivalente del condotto il rapporto 4A/p (p=perimetro del condotto)
e la densità dell'aria costante.
[Soluzione: m& =2.26kg/s, A=0.4m², T=80°C, w=3.2m/s, ∆p=99Pa]
D995/1B
Si vuole misurare la temperatura dell'aria all'esterno di un locale. Per realizzare questa operazione si
dispone di un termometro a capillare, inizialmente alla temperatura di 20°C, coincidente con quella
dell'ambiente interno in cui opera. Il termometro può essere assimilato ad un cilindro in vetro
(conducibilità termica 1.1W/mK, densità 2200kg/m³, calore specifico 750J/kgK) di altezza 10cm e
diametro 3mm.
la temperatura esterna sia pari a 8°C, lo scambio termico sia di tipo convettivo forzato (velocità
dell'aria all'esterno 2m/s, conducibilità 0.025W/mK, viscosità cinematica 14*10-6m²/s, Pr=0.72),
per il quale valga la relazione semplificata NuD=0.4 ReD0.5Pr0.33
42
1) il coefficiente convettivo esterno;
2) l'applicabilità del modello di corpo sottile al sistema termometro;
3) il tempo necessario affinchè il termometro (inteso come corpo sottile) si porti ad una temperatura
che differisce da quella esterna di 0.5°C
[Soluzione:h=62W/m²K, Bi=0.043, τ=63s]
G996/1B
Un anemometro a filo caldo è un congegno che consente misure locali di velocità di una corrente
fluida a partire da misure di tipo elettrico. L'anemometro è costituito da una resistenza elettrica, i
cui valori caratteristici variano con la temperatura secondo la relazione:
R [ohm]= Ro (1+ a(T-T0))
Ro=6 [ohm]; a=0.005 [1/C°]; T0= 25°C.
L'elemento sensibile dell'anemometro ha forma cilindrica (lunghezza 1 cm, diametro 1 mm) ed è
investito (ortogonalmente rispetto al proprio asse) da aria a pressione P=1 bar, T∞=20°C.
Supponendo che sia valida la seguente correlazione di scambio termico:
Nu = 0.622 Re0.5 Pr0.4.
e ricordando che valgono le relazioni V=RI, q=VI (legge di Ohm), calcolare la velocità dell'aria se
la tensione misurata è Vm= 3V e la corrente misurata è Im= 0.4A.
Si utilizzino le seguenti proprietà termofisiche dell'aria:
k
cp
[°C]
ν
[m2/s]
[W /m K]
[kJ/kg K]
0
13.0 10-6
0.0237
1.004
100
23.2 10-6
0.0304
1.010
T
[Soluzione: w=40m/s]
F996/1B
Due piastre parallele di forma rettangolare, la cui distanza è piccola se confrontata con le
dimensioni delle stesse, misurano 1400x1600mm. Le superfici in questione, mantenute
rispettivamente alla temperatura di 750°C e 300°C, sono caratterizzate da valori di emissività pari
a 0.2 nel campo di lunghezze d'onda comprese tra 0 e 4µm e 0.8 per lunghezze d'onda superiori.
Dopo avere calcolato l'emissività delle due superfici "media" su tutto il campo delle lunghezze
d'onda, si richiede di valutare il flusso termico radiante scambiato dalle piastre nell'ipotesi che
queste si comportino come superfici grigie caratterizzate dalle emissività medie calcolate in
precedenza.
Risoluzione
L'emissività totale di una superficie è definita come: ε=
∫
∞
0
∫
ε λ e nλ dλ
∞
0
e nλ dλ
Nel nostro caso avremo quindi:
43
4 µm
∫
ε = 0.2
∫
0
∞
0
e nλ (T)dλ
e nλ (T)dλ
∞
∫
+ 0.8
∫
4 µm
∞
0
e nλ (T)dλ
e nλ (T)dλ
4 µm
∫
= 0.8 + (0.2 − 0.8)
∫
0
∞
0
e nλ (T)dλ
e n λ ( T ) dλ
Il rapporto che compare nell'ultima espressione viene sovente indicato con il simbolo F0-λ e può
essere calcolato in funzione del prodotto λT, per esempio utilizzando le apposite tabelle per il
calcolo della radiazione del corpo nero. Indicando con A la superficie alla temperatura inferiore e
con B quella alla temperatura superiore, avremo:
(λT)B=4*1023=4096µmK
(λT)A=4*573=2292µmK
(F0-λ)B=0.498
(F0-λ)A=0.119
εA=0.729
εB=0.501
Lo scambio termico radiante tra due superifici grigie parallele molto estese può essere descritto
dalla relazione:
A σ ( TA4 − TB4 )
che fornisce come risultato Q& =53.15kW
q=
1 / ε A+ + 1 / ε B − 1
M996/1A
Domanda 1)
Calcolare il flusso termico scambiato da un cavo in rame per la trasmissione di energia elettrica di
2.5 cm di diametro, sapendo che la massima temperatura ammessa è 100 °C. Il cavo è disposto
orizzontalmente in aria tranquilla alla temperatura di 30°C.
Per il calcolo dello scambio termico per convezione si può utilizzare la relazione:
Nu = 0.53 Ra1/4
in regime laminare.
Nu = 0.13 Ra 1/3
in regime turbolento.
L'emissività totale del filo è = 0.9, l'ambiente circostante si trova alla temperatura dell'aria.
Considerare il cavo come un corpo sottile.
Proprietà termofisiche dell'aria:
T
ρ
[K]
(βg)/ν2
[1/m3K ]
Pr
[kJ/kg K]
a
[m2/s]
0.0259
1.005
21.86 10-6
1.33 108
0.719
2.08 10-5
0.0292
1.008
28.74 10-6
6.60 107
0.719
2.29 10-5
0.0323
1.013
36.13 10-6
3.65 107
0.719
µ
λ
cp
[kg/m3]
ν
[m2s]
[Pa s]
[W/m K]
300
1.177
15.7 1-6
1.85 10-5
350
1.008
20.6 10-6
400
0.8825
25.9 10-6
Domanda 2)
Dimostrare la validità dell'ipotesi di corpo sottile utilizzata al punto 1, sapendo che la conducibilità
termica del rame è km=400 [W/m K].
Risoluzione
1) Calcoliamo le caratteristiche geometriche del filo per unità di lunghezza:
A/l = π D l/l = 3.14 0.025 = 0.07785 m²/m
V/l = π D² /4 / l = 3.14 0.025² / 4 = 0.0004908 m³/m
Per il calcolo dello scambio termico in convezione naturale valutiamo le proprietà fisiche alla
temperatura del film che vale:
Tf = (tp + ta )/2 = (100 + 30 )/2 = 65 °C = 338 K
44
Valuto quindi
βg /υ² = 13.3 107 +38 (6.6- 13.3)107/50= 8.21 107
k = 0.0259 +38 (0.0292 - 0.0259)/50= 0.0284 [W/mK]
Pr = 0.719
Numero di Grashof
Gr = ∆T D³ βg /υ² =70 (2.5 10-2)3 8.21* 107 = 89.8*103
Numero di Rayleigh
Ra= 6.46*104 : regime laminare!
Numero di Nusselt
Nu= 0.53 Ra1/4 = 8.45
Il coefficiente di scambio:
hc= Nu k/D = 8.45*0.0284/0.025 = 9.6 W/m² K
Il flusso termico per convezione
Q& c/l= h A/l (tp- ta) = 9.6*0.07785*70 = 52.78 W/m
Il flusso termico termico per irraggiamento si può valutare come quello scambiato da un corpo
piccolo inserito in una cavità molto grande (l'ambiente).
Q& i = A/l σε (tp4 - ta4) = 0.07785* 5.67* 0.9 (4.734 - 3.034) = 29.42 W/m
Il flusso termico totale Q& = 82.2 W/m
Domanda B)
il coefficiente liminare h = hc + hi = Q& /A(tp -ta) = 15.1W/m²K
Il numero di Biot
Bi = h D/km = 0.0008 < 0.1. L'ipotesi di corpo sottile è ampiamente
giustificata
M996/1B
Un problema tipico connesso al deflusso di fluidi criogenici in condotti è la formazione di ghiaccio
sulla superficie esterna delle tubazioni quando queste sono immerse in aria ambiente. Si consideri il
seguente caso: una lunga tubazione in acciaio di spessore trascurabile è attraversata da azoto liquido
alla temperatura di -200°C. Il canale è coibentato con materiale isolante (conducibilità termica
0.04W/mK), il diametro esterno del condotto metallico è pari a 0.1m mentre lo spessore
dell'isolante è 15mm. Se il coefficiente liminare lato ambiente vale 20W/m²K, la temperatura
esterna vale 20°C, la resistenza termica convettiva lato azoto è trascurabile, si richiede di
determinare, in condizioni di regime stazionario:
1) Il flusso termico scambiato per unità di lunghezza attraverso la superficie del tubo in assenza di
ghiaccio e la temperatura esterna del condotto;
2) lo spessore di ghiaccio (conducibilità termica 2.2W/mK) che si deposita sul tubo.
In relazione alla domanda 2, si rammenta che il processo di formazione di brina qui considerato si
arresta quando la superficie esterna raggiunge gli 0°C.
Risoluzione
In assenza di ghiaccio sulla superficie esterna:
Te − Ti
20 + 200
=
Q& ′ =
= 188.6 W/m
ln( D2 / D1 )
1
ln( 13 / 10 )
1
+
+
20 * π * 0.13 2π * 0.04
heπDe
2πk
Te = Ta - Q& ' / (he π D2 ) = 20 - 188.6 / (20 * 0.13 *π) = -3.1 °C
In presenza di ghiaccio, il bilancio di energia in regime stazionario ci consente di scrivere che il
flusso termico conduttivo nel cilindro a due strati eguaglia il flusso termico di tipo convettivo
all'esterno della superficie dove vige la temperatura Tsol = 0°C. Si fa osservare che il flusso
termico nei due casi considerati non è lo stesso:
45
Tsol − Ti
T −T
= a sol
1
ln( De / D2 ) ln( D2 / D1 )
+
2 πk g
2 πk
he πDe
Per tentativi si ottiene De = 0.151, lo spessore del ghiaccio risulta quindi di circa 1cm
M996/2A
Occorre mantenere una temperatura di 20°C all'interno di una stanza quando la temperatura esterna
vale 5°C. Le superfici perimetrali che separano la stanza dall'esterno sono di due tipi: pareti in
muratura (spessore 30cm, superficie complessiva 35m², conducibilità termica 0.8W/mK) e superfici
vetrate (spessore 6mm, superficie complessiva 5m², conducibilità termica 1.1W/mK).
Nell'ipotesi di regime stazionario e flusso termico monodimensionale e posto che i coefficienti
liminari lato interno e lato esterno valgano rispettivamente 8 e 23W/m²K, si determini:
1) il flusso termico disperso attraverso il confine del sistema;
2) la temperatura della superficie interna delle pareti in muratura e delle superfici vetrate;
3) la portata di acqua calda da inviare ai corpi scaldanti nell'ipotesi che essa si raffreddi di 10°C
nell'attraversare gli elementi.
Risoluzione
Con le ipotesi fatte il flusso termico attraverso le superfici opache e trasparenti vale:
Q& 1 = A1(Ti - Te ) / (1/hi + 1/he + s1/k1) = 966W
Q& 2 = A2(Ti - Te ) / (1/hi + 1/he + s2/k2) =431W
Il flusso termico disperso complessivamente è pari a:
Q& = Q& 1 + Q& 2 = 1397W
Le temperature sulla faccia interna delle superfici considerate valgono rispettivamente:
Tp1 = Ti - Q& 1 / (A1 hi ) = 20 - 966 / (35 * 8) = 16.5°C
Tp2 = Ti - Q& 2 / (A2 hi ) = 20 - 431 / (5 * 8) = 9.2°C
La portata di acqua da inviare ai corpi scaldanti risulta:
m& = Q& / cp ∆T = 1397 / (4180*10) = 0.0334 kg/s
S996/1B
Per misurare il calore specifico di un provino solido assimilabile ad un corpo sottile si può ricorrere
alla seguente esperienza. Si immerge il provino in una corrente forzata di aria e lo si riscalda per
mezzo di una resistenza elettrica che dissipa un flusso termico noto; quando una temperatura di
regime è stata ottenuta, si interrompe il flusso termico e si osserva il transitorio di raffreddamento,
le cui caratteristiche dipendono, tra l'altro, dal calore specifico incognito del provino in esame.
Una prova eseguita secondo la procedura appena descritta ha fornito i seguenti dati: temperatura del
provino a regime 40°C, temperatura della corrente forzata di aria 20°C, velocità dell'aria 6m/s,
tempo necessario al provino per raffreddarsi fino alla temperatura di 24°C: 85 secondi.
Sono note le proprietà termofisiche del provino (densità 960kg/m³, conducibilità termica 6W/mK) e
della corrente d'aria (viscosità cinematica 1.8*10-5 m²/s, conducibilità termica 0.027W/mK,
Pr=0.72).
46
Il provino ha forma cilindrica (D=0.01m, L=0.12m), lo scambio termico tra il solido e l'aria
ambiente sia esclusivamente di tipo convettivo forzato per il quale valga la relazione: NuD= 0.4
ReD0.5 Pr0.3.
1) l'attendibilità del modello di corpo sottile;
2) il calore specifico del provino nell'ipotesi di corpo sottile.
Risoluzione
1) Calcoliamo il coefficiente di scambio termico convettivo.
I dati del problema sono D = 0.01m, w=6 m/s, k = 0.027 W/mK, υ=1.8×10-5 m²/s
Da cui:
h=Nu k / D = 0.4 (w D / ν)0.5 Pr0.3 k / D = 56.5 W/m²K
Il numero di Biot è definito come Bi= (h V/S)/kp , dove V/S=2.5mm è il rapporto
volume/(area esterna) del provino e kp è la conducibilità termica dello stesso.
Risulta quindi Bi=0.02, l'ipotesi di corpo sottile è giustificata.
⎛ θ⎞
hS
2) Il transitorio di corpo sottile è descritto dalla relazione ln⎜⎜ ⎟⎟ = −
(τ − τ 0 ) , dalla quale è
ρcV
⎝ θ0 ⎠
possibile esplicitare la grandezza incognita calore specifico.
⎛ θ⎞
Noto il rapporto ⎜⎜ ⎟⎟ = (24-20) / (40-20) = 0.2, si ricava c=1243 J/kg K.
⎝ θ0 ⎠
O996/1B
Una goccia di olio (ρ=820kg/m³, cp=1800J/kgK) di forma sferica (diametro D=4mm) percorre una
traiettoria verticale in aria (T=20°C, p=101kPa, k=0.026W/mK, Pr=0.72, ν=1.5*10-5m²/s) per
effetto della gravità. Dopo un breve transitorio iniziale la velocità di caduta si assesta su un valore
costante per il quale la forza di gravità eguaglia la forza di attrito esercitata dall'aria; quest'ultima
può essere espressa dalla relazione F=½CdAw2ρa, dove Cd è un coefficiente di attrito che vale 0.44,
ρa è la densità dell'aria, A e w sono rispettivamente la sezione trasversale e la velocità della goccia.
1) la velocità asintotica della goccia;
2) il coefficiente di scambio termico convettivo aria/goccia nell'ipotesi che valga la relazione
NuD=2+0.6 Re 0D.5 Pr0.33;
3) il tempo necessario affinché la goccia (intesa come corpo "sottile") possa portarsi dalla
temperatura iniziale di 60°C alla temperatura finale di 30°C per effetto dello scambio termico
convettivo.
Risoluzione
1) La velocità asintotica di caduta si ricava eguagliando la forza di attrito alla forza di gravità.
Tenuto conto che la massa della goccia vale:
m=1/6πD3 ρ=2.75×10-5 kg
e la densità dell'aria vale 1.2kg/m3 (legge dei gas perfetti) si ha:
2mg
w=
=9m/s
Cd A ρa
47
2) Calcoliamo il coefficiente di scambio termico convettivo.
I dati del problema sono D = 0.004m, w=9 m/s, k = 0.026 W/mK, υ=1.5×10-5 m²/s , Pr=0.72. Da
cui:
h=Nu k / D = (2+0.6 (w D / ν)0.5 Pr0.3) k / D = 185 W/m²K
⎛ θ⎞
hS
3) Il transitorio di corpo sottile è descritto dalla relazione ln⎜⎜ ⎟⎟ = −
(τ − τ 0 ) , dalla quale è
θ
cV
ρ
⎝ 0⎠
possibile esplicitare l'intervallo di tempo incognito.
⎛ θ⎞
Noto il rapporto ⎜⎜ ⎟⎟ = (30-20) / (60-20) = 0.25, e la superficie S della sfera, si ricava:
⎝ θ0 ⎠
(τ-τ0 )=7.4 secondi.
G997/1B
Si vuole fare in modo che sull'alettone di un aeroplano non si formi ghiaccio quando il veivolo si
trova in quota. La superficie in oggetto ha forma rettangolare (80x120cm) ed è investita dall'aria su
entrambe le facce nella direzione della dimensione minore. La superficie è riscaldata dall'interno
per mezzo di una portata di olio (cp=2000J/kgK) che all'imbocco dell'alettone si trova alla
Si vuole determinare:
1) la potenza termica da fornire a regime alla superficie affinché non si formi ghiaccio sulla stessa;
2) la portata di olio da inviare al sistema.
I dati del problema sono i seguenti:
velocità del veivolo 635km/h, temperatura dell'aria esterna -40°C, pressione esterna 60kPa.
Si trascuri lo scambio termico radiante rispetto a quello convettivo, per il quale valga la relazione:
Nu=0.037Pr0.3(Re0.8-23500). Le proprietà termofisiche dell'aria possono essere dedotte dalla
tabella sottostante:
T
µ
k
[°C]
[kg/sm]
1.45*10-5
[W/mK]
0.020
0.72
1.71*10-5
1.76*10-5
0.024
0.72
0.025
0.72
-50
0
10
Pr
Risoluzione
Per risolvere il problema occorre fissare opportuni valori della temperatura a cui si vuole
mantenere la superficie alare Ts e della temperatura dell'olio all'uscita del sistema Tu.
Poniamo Ts = 2°C, Tu = 20°C
Per calcolare il flusso termico disperso a regime dalla superficie alare utilizziamo la legge di
Newton. Il coefficiente convettivo h si ricava utilizzando la relazione per il numero di Nusselt
proposta, i dati del problema (velocità dell'aria w, lunghezza significativa L) e le proprietà
termofisiche dell'aria valutate alla temperatura media del film (-19°C). La densità dell'aria si
ricava con la legge dei gas perfetti.
Avremo w=176.4 m/s, L=0.8 m, k=0.022, µ=1.61*10-5, ρ=0.826, υ=1.95*10-5
Da cui risulta
Re=wL/υ=7.237*106, Nu=hL/k=9442, h=259 W/m²K
48
Q& =hA(Ts - Ta) = 259 * 2 *(1.2*0.8)* (2+40) = 2.089*104 W
Infine avremo:
m& olio = Q& / [cp *(Ti - Tu)] = 2.089*104 / (2000*60) = 0.174 kg/s
M997/1B
Una superficie piana è esposta a radiazione solare di intensità 600W/m². Lo spettro di quest'ultima
possa ritenersi coincidente con lo spettro del corpo nero a 5800K. La superficie in questione
possiede, dal punto di vista radiante, un comportamento selettivo essendo caratterizzata da
emissività pari a 0.8 per lunghezze d'onda inferiori a 2µm e pari a zero per lunghezze d'onda
superiori.
In assenza di altri scambi termici diversi da quello radiante verso l'ambiente circostante (20°C), si
richiede di determinare:
1) la temperatura di equilibrio qualora la superficie si comportasse come un corpo nero;
2) la temperatura di equilibrio assunta dalla superficie nelle condizioni attuali.
Risoluzione
Il bilancio di energia a regime fornisce:
Q& entrante= Q& uscente
Nel caso del corpo nero, si ha
σ(Tp4 - Tamb4 )= G
Da cui Tp = 4 G / σ + T 4 amb = 4 600 / 5. 67 *10−8 + 2934 = 366[K]
Nel caso in esame, l'equazione di bilancio assume la forma:
G α = ε σ(Tp4 - Tamb4 )
dove
∞
∫ α λ e nλ (Ts )dλ = α * (F )
α= 0 ∞
0-λ s
∫ e nλ (Ts )dλ
0
α * = ε * = 0.8
ε =
∫
∞
0
∫
ε λ e nλ (Tp )dλ
∞
0
e nλ (Tp )dλ
= ε * σ (F0-λ)p
λ= 2µm
La quantità a primo membro è nota, in quanto sono note la temperatura Ts =5800K ed il prodotto
λTs = 11600 da cui dipende la funzione (F0-λ)s .
La quantità a secondo membro risulta dipendere dalla temperatura incognita della piastra Tp che
compare implicitamente anche nel gruppo (F0-λ)p .
La soluzione richiede quindi una procedura di tipo iterativo, che fornisce quale risultato
Tp=820[K]
49
M997/2A
Si consideri il locale schematizzato in figura.
T=0°C
3.8m
Esso è delimitato dall'esterno (T=0°C) da una
2m
struttura vetrata verticale, mentre due pareti in
T=20°C
h=3m
2m
muratura e una porta vetrata lo separano
dall'ambiente interno (T=20°C). Nell'ipotesi di
T=20°C
flusso termico monodimensionale in regime
stazionario e trascurando gli scambi termici
attraverso le superfici orizzontali, si valuti:
1) la trasmittanza delle pareti verticali che
delimitano il locale;
2) la temperatura che si stabilisce nel locale;
3) Il valore massimo dell'umidità relativa affinché, all'interno del locale, non si abbia formazione di
condensa superficiale.
Parete
Spessore [cm]
Conducibilità termica [W/mK]
vetrata
muratura
1
20
1.1
0.8
Coefficiente liminare [W/m²K]
(Interno edificio) 8
(Esterno edificio) 23
[Soluzione: T=6.3°C, i=0.77]
O997/1B
Una tubatura verticale alettata è attraversata da un liquido alla temperatura di 50°C. La tubatura
(altezza H=1m, diametro D=20mm) è lambita da aria in convezione naturale e presenta 4 alette
longitudinali di spessore s=2mm e lunghezza L=50mm (vedi figura). Nell'ipotesi di trascurare la
resistenza convettiva interna e la resistenza conduttiva del condotto metallico e delle alette
(alluminio, conducibilità termica 190 W/mK), si calcoli:
1) il flusso termico convettivo naturale smaltito dalla superficie quando lambita da aria alla
temperatura di 10°C utilizzando la correlazione: NuH = (0.825 + 0.325RaH1/6)2 ;
2) Si verifichi l'ipotesi circa la resistenza termica conduttiva, calcolando il rendimento di aletta con
la formula di aletta ad estremità adiabatica.
Per il calcolo delle proprietà termofisiche dell'aria si utilizzi la tabella sottostante:
T [K]
βg/ν2 [1/m3K]
k [W/mK]
290
300
310
320
15.6×107
13.3×107
11.5×107
10×107
0.025
0.026
0.026
0.027
(Pr=0.72)
Risoluzione
50
1) La superficie di scambio complessiva (alette più tubo) risulta:
A = π D H + 8 L H= 0.062 + 0.4= 0.462 [m²]
Per il calcolo dello scambio termico in convezione naturale valutiamo le proprietà fisiche alla
temperatura del film che vale:
Tf = (tp + ta )/2 = (50 + 10 )/2 = 30 [°C] ≈ 300[K]
La lunghezza significativa per la convezione naturale è l'altezza H, dimensione lungo la quale si
sviluppa lo strato limite. Avremo quindi
βg /υ² = 13.3 107
k = 0.026
Pr = 0.72
Numero di Grashof
Gr = ∆T H³ βg /υ² = 5.32*109
Numero di Rayleigh
Ra= = 3.83.*109
Numero di Nusselt
Nu= 187
Il coefficiente di scambio:
hc= Nu k/H = 4.9 [W/m² K]
Il flusso termico per convezione
Q& c= h A (tp- ta) = 90.6 [W]
2) Il rendimento di aletta ad estremità adiabatica può essere calcolato con le relazioni
m=(hp/kAal)0.5
p≈ 2H
Aal=H s = 0.002[m²]
ηal=tgh(mL)/mL = 0.98
F998/1B
Un pannello piano di un altoforno è esposto a una radiazione termica di intensità 400W/m², il cui
spettro può ritenersi coincidente con lo spettro del corpo nero a 1200°C. La superficie in questione
possiede, dal punto di vista radiante, un comportamento selettivo essendo caratterizzata da
emissività pari a 0.8 per lunghezze d'onda inferiori a 4µm e pari a zero per lunghezze d'onda
superiori.
In assenza di altri scambi termici diversi da quello convettivo verso l'ambiente circostante
(T=30°C), si richiede di determinare:
1) Il flusso termico radiante assorbito dalla superficie di area unitaria;
2) la temperatura di equilibrio assunta dalla superficie, nell'ipotesi che il coefficiente convettivo di
scambio termico valga 20W/m²K.
Risoluzione
Il bilancio di energia a regime fornisce Q& entrante= Q& uscente
Nel caso in esame, l'equazione di bilancio assume la forma:
dove
G α = h(T - Ta)
α=
∫
∞
α λ e nλ (TR )dλ
0
∫
∞
0
ε * = 0.8
e nλ (TR )dλ
=
∫
∞
0
∫
ε λ e nλ (TR )dλ
∞
0
e nλ (TR )dλ
= ε * (F0-λ)
λ= 4µm
La quantità a secondo membro è nota, in quanto sono note la temperatura TR =1473K ed il
prodotto λTR = 5892µmK da cui dipende la funzione (F0-λ). Avremo quindi
assorptività media
α =0.583
flusso radiante captato dalla superficie
α G=233.3W/m²
temperatura di equilibrio
Tp=41.6°C
M998/1A
51
La parete perimetrale di un locale è alta 3m e larga 6m. Essa è costituita da una struttura portante in
blocchi di cemento (spessore s1=30cm, conducibilità termica k1=0.9W/mK) e da una pannellatura
leggera in cartongesso e fibra di roccia (spessore s2=4cm, conducibilità termica k2=0.08W/mK).
Durante il periodo estivo, la temperatura interna del locale è mantenuta a 24°C dall'impianto di
condizionamento, mentre all'esterno la temperatura è pari a 30°C. La parete, grigia dal punto di
vista radiante, possiede emissività pari a 0.9 ed è esposta a irradianza solare pari a 600W/m2.
Adottando come coefficienti liminari interno ed esterno i valori previsti dalla normativa italiana
(rispettivamente 8 e 23W/m2K), si richiede di calcolare:
1) il flusso termico che interessa la parete;
2) la temperatura della superficie esterna della parete.
Risoluzione
Il problema termico in regime stazionario può essere descritto da uno schema elettro-termico come
quello di figura. Il primo principio ci consente di scrivere:
αG + (Ti -Tpe) / (s1/k1+s2/k2+ 1/hi ) +he(Te -Tpe) =0
Da questa equazione si ricava facilmente Tpe = 52 °C
Il flusso conduttivo q che attraversa la parete sarà:
Q& = A(Ti -Tpe) / (s1/k1+s2/k2+ 1/hi ) = 525 W
La temperatura Tpi inoltre risulta:
Tpi = Tpe - Q& /[A(s1/k1+s2k2)] = 27.7 °C
M999/1B
52
Una batteria di tubi alettati viene utilizzata per
raffreddare una portata di aria in un impianto di
climatizzazione. I tubi hanno diametro esterno D=18mm
e presentano alette circonferenziali (in alluminio,
conducibilità k=180W/mK) di lunghezza L=20mm e
spessore t=0.8mm. La superficie delle alette rappresenta
l'80% della superficie totale che ammonta a 2.5m². Il
coefficiente convettivo h lato aria (supposto costante su
tutta la superficie) vale 70W/m²K. La temperatura sulla
superficie cilindrica di base del tubo vale 5°C, mentre
l'aria da refrigerare si trova alla temperatura media di
25°C.
Si richiede di determinare, utilizzando il diagramma in
figura:
1) il rendimento di aletta circonferenziale;
2) il rendimento della superficie di scambio complessiva
(rendimento di alettatura);
3) il flusso termico scambiato;
D
L
t
Risoluzione
Dalla diagramma allegato si ricava che il rendimento di
aletta singola risulta:
η=0.8
Il rendimento di superficie alettata ηsa vale invece:
ηsa = (Abase +η Aalette) / (Atotale) = (0.2*Atotale + 0.8*Atotale*η ) / Atotale = 0.84
Q& =h Atotale ηsa *(Tbase -Taria) = 2940 W
S999/1B
Un radiatore è costituito da una serie di tubazioni cilindriche verticali (diametro esterno 5cm,
altezza 60cm) al cui interno scorre acqua. Il fluido entra nell'elemento scaldante alla temperatura di
80°C e ne esce a 70°C. Si richiede di valutare il numero di corpi cilindrici necessari per uno
scambio termico convettivo e radiante pari a 1400W. Sono noti i seguenti dati:
1) Il radiatore è installato in un ambiente a temperatura uniforme dell'aria e delle pareti circostanti
pari a 22°C.
2) L'emissività della superficie radiante, supposta un corpo grigio, sia pari a 0.85 ed il fattore di
vista dei corpi cilindrici rispetto alla stanza sia unitario.
3) Si trascuri la resistenza convettiva interna al corpo scaldante e quella conduttiva, assumendo
pertanto una opportuna temperatura media della superficie.
4) Il fenomeno convettivo sia retto da una correlazione di scambio termico del tipo:
Nu=0.68(Ra)0.25, valida per regime laminare. Si assuma Pr=0.72.
Risoluzione
53
Per il calcolo dello scambio termico convettivo e radiante assumiamo che la superficie di trovi alla
temperatura media di 75°C (348K). Le proprietà termofisiche dell'aria andranno quindi calcolate
alla temperatura del film pari a (22+75)/2.
Ricordando che nel caso in esame la dimensione caratteristica del fenomeno convettivo è l'altezza
H della superficie cilindrica, il numero di Rayleigh risulta pari a 0.74*109 ed il numero di Nusselt
pari a 112.
Il coefficiente di scambio convettivo sarà dato da:
h=Nu k/H = 112*.0275/0.6 = 5.1 W/m2K
Infine il numero dei condotti cilindrici può essere calcolato con l'espressione:
n ≅ Q& /[[h (Tp- Ta) + σ ε (Tp4 - Ta4)] π D H] = 24
Si osservi che l'errata assunzione del diametro come dimensione caratteristica del fenomeno
convettivo comporta un'errore sulla valutazione del coefficiente di scambio pari al 100%.
54
ACUSTICA AMBIENTALE
G995/1A
Si determini il livello di pressione sonora per banda di ottava ed il livello sonoro globale nel locale
adiacente a quello in cui è contenuta una sorgente sonora (vedi figura). La parete comune ad i due
ambienti è realizzata in mattoni pieni intonacati, il livello sonoro per bande di ottava nel locale
disturbante è dato dalla tabella acclusa unitamente ai valori dei coefficienti di assorbimento delle
superfici che delimitano il locale disturbato:
f [Hz]
coeff. assorbimento
pavimento.
125
250
500 1000 2000 4000
0.02 0.02 0.03 0.03 0.04 0.05
coeff. assorbimento soffitto 0.02 0.03 0.03 0.04 0.02 0.03
e pareti
potere fonoisolante del
divisorio
34
35
40
50
55
57
Lp1 [dB]
65
58
50
50
50
47
Risoluzione
Supponiamo per semplicità che la propagazione del
rumore avvenga esclusivamente attraverso la parete
divisoria e che l'emissione della sorgente sia costante nel tempo. Introdotta la grandezza potere
fonoisolante R ed invocando la teoria elementare della riverberazione (densità sonora costante
nello spazio ed assorbimento continuo) si può dimostrare che esiste il seguente legame tra livello
sonoro nell'ambiente disturbante (1) e nell'ambiente disturbato (2):
Lp1 - Lp2 = R + 10 Log (A2/Sp)
dove A2 è l'assorbimento caratteristico del locale disturbato ed Sp è la superficie del divisorio.
Possiamo quindi costruire la seguente tabella per bande di ottava:
f [Hz]
125
250
500
1000
2000
4000
R
34
35
40
50
55
57
A2 = Σai Si
2.2
3.05
3.3
4.15
2.7
3.8
10Log (A2/Sp)
-8.3
-6.9
-6.6
-5.6
-7.4
-6
Lp2
39.3
29.9
16.6
5.6
2.4
-4
Il livello sonoro globale nel locale disturbato sarà dato dalla relazione:
(Lp2 )tot =10 Log Σ 10Lpi/10
dove Lpi rappresenta il livello sonoro nella banda i-esima.
Il livello sonoro globale risulta quindi pari a 39.8dB
M996/2B
55
In una sala di un ristorante (dimensioni 10x24x3.5m) si vuole diminuire il livello sonoro prodotto
dalla presenza di 100 persone nelle condizioni di massimo affollamento. A tale scopo si prevede di
applicare dei pannelli fonoassorbenti
f [Hz]
125 250 500 1000 2000 4000
a soffitto. Utilizzando la tabella
acclusa, che riporta le caratteristiche
Lp1 [dBA]
53 65 72 70 68 63
fonoassorbenti delle superfici della
stanza ed il livello sonoro misurato
coeff. assorbimento pareti 0.02 0.04 0.04 0.04 0.04 0.05
prima dell'intervento, si determini:
verticali e pavimento.
1) il livello sonoro complessivo
prima dell'intervento;
coeff. assorbimento
0.02 0.03 0.03 0.02 0.02 0.03
2) il livello sonoro complessivo
soffitto
dopo la posa in opera dei pannelli
fonoassorbenti
coeff. assorbimento
0.4 0.6 0.8 0.62 0.4 0.26
Si adotti l'ipotesi di ambiente pannelli fonoassorbenti
riverberante perfettamente diffuso.
Assorbimento per singola 0.09 0.21 0.61 0.59 0.62 0.1
persona seduta [m²]
Risoluzione
Nell'ipotesi di ambiente perfettamente
diffuso, la differenza di livello sonoro
nei due casi considerati è data, per
ogni banda di ottava, dalla relazione:
Lp1 - Lp2 = 10Log(A2 / A1 ).
Occorre
quindi
calcolare
l'assorbimento alle varie frequenze in
assenza ed in presenza di pannelli
fonoassorbenti come mostrato in
tabella.
Il livello complessivo (in banda larga)
nei due casi è dato dalla relazione Lp
= 10LogΣ 10Lp2/10 che fornisce:
Lp1 =75.7, Lp2 =71.3 [dBA]
f [Hz]
125 250 500 1000 2000 4000
Lp1 [dBA]
53
65
72
70
68
63
A1 = Σ (ai Si )1+
100*Apersona [m²]
23.4 47.3 87.3 82.9 85.9 41.1
A2 = Σ (ai Si )2+
100*Apersona [m²]
114.6 184.1 272.1 226.9 177.1 96.3
10Log(A1/A2)
6.9
Lp2 = Lp1 10Log(A1/A2) [dBA]
5.9
4.9
4.4
3.1
3.7
46.1 59.1 67.1 65.6 64.9 59.3
M997/2B
Un potente ventilatore è posto sulla parete verticale di un edificio industriale. Il rumore da esso
prodotto si irradia nello spazio circostante (campo libero) sotto forma di onde semisferiche.
Lo spettro di potenza sonora è noto e vale:
LW [dB]
f [Hz]
85
63
93
125
100
250
98
500
100
1000
95
2000
80
4000
Si vuole determinare il livello di pressione sonora a 300m di distanza dalla sorgente in termini di:
1) livello di pressione sonora per bande di ottava;
2) livello sonoro complessivo (banda larga);
3) livello sonoro complessivo ponderato A;
4) il livello di pressione sonora a 1000Hz, quando si considera l'assorbimento atmosferico (T=20°C,
i=0.5, Aatm=7.4 (f 2 * r) / i *10-10 dB)
56
[Soluzione: Lp=47.5dB, LpA=45.1dB, LpA(f=1000)=42.1dB]
M998/1B
Nell'ipotesi che il flusso termico che interessa tutte le pareti del locale descritto nell'esercizio
precedente valga 1700W, e che la portata oraria di vapor d'acqua introdotto nell'ambiente sia pari a
1kg, si richiede di determinare alcune condizioni di funzionamento dell'impianto di
condizionamento dell'aria. I dati del problema sono i seguenti: il locale deve essere mantenuto nelle
condizioni T1=24°C, i1=0.5, l'aria immessa nel locale si trova alla temperatura T2=18°C, a monte
dell'unità di trattamento dell'aria le condizioni termodinamiche sono T3=30°C, i3=0.6, la pressione
atmosferica è quella standard.
Calcolare:
1) la portata di aria secca necessaria per le operazioni di condizionamento;
2) il diametro del condotto dell'aria affinché la velocità risulti inferiore a 6m/s;
3) la portata oraria di condensato nella batteria di raffreddamento;
4) il livello sonoro in scala A prodotto dal sistema di immissione dell'aria (bocchette di aerazione),
note le componenti alle varie frequenze di seguito riportate:
f [Hz]
250
Lp[dB] 34
500
1000
2000
4000
36
38
38
36
Risoluzione
Con l'ausilio del diagramma psicrometrico (la pressione atmosferica è quella standard, 101.3 kPa),
o con le note relazioni analitiche, si ricava:
h1=39.3 kJ/kg
y1 = 0.00934 kgv/kgas
y3 = 0.016
La retta di carico ha la pendenza che può essere espressa in funzione dei carichi termici sensibile
Q& s e latente Q& l:
Q& s = 1700 W
Q& l= 694 W Q& s / ( Q& s+ Q& l) = 0.710
Per via grafica o analitica, le equazioni di conservazione ci consentono di ricavare le condizioni
dell'aria all'immissione nel locale:
h2=48 kJ/kg
y2 = 0.00834 kgv/kgas
m& as = m& v/(y1-y2) = 0.278 kg/s
La portata di liquido condensante nell'unità di trattamento dell'aria risulta infine:
m& l = m& as (y3-y2) = 0.0021 kg/s = 7.66 kg/h
Il livello sonoro complessivo ponderato A si ricava dalla relazione
LpA= 10 log ∑ 10(Lpi+Ci)/10 , dove Ci rappresenta il termine correttivo previsto dalla scala A alle
varie frequenze di ottava. Si ottiene LpA= 43.4 dBA
M999/1A
57
Si vuole ridurre il rumore prodotto da una
f [Hz]
125 250 500 1000 2000 4000
arteria viaria posta in ambito urbano
utilizzando una barriera acustica. La
Lwi [dB]
96
85
79
77
73
65
mezzeria della strada è posta alla distanza
di 12 m da una serie di palazzine disposte Ci (Pesatura A) [dB] -16.1 -8.6 -3.2 0
1.2
1
parallelamente alla stessa. Il rumore
prodotto dalla circolazione dei veicoli è assimilabile a quello di una sorgente lineare avente un
numero infinito di sorgenti disposte alla distanza di 5 m una dall'altra e poste a 0.5 m da terra; la
potenza della singola sorgente è espressa (per bande di ottava) nella tabella acclusa.
Si calcoli, nell'ipotesi propagazione semicilindrica:
1) il livello sonoro in dBA in assenza di barriera in corrispondenza della facciata degli edifici
(altezza di riferimento 5 m);
2) l'altezza di una barriera acustica (di lunghezza infinita, da porre ad una distanza di almeno 5 m
dalla mezzeria della strada) in modo da ottenere un effetto complessivo di attenuazione del livello
sonoro di almeno 5 dBA.
Risoluzione
R
d2
1) Per calcolare il livello sonoro ad una distanza
prefissata si utilizza il modello di propagazione
semicilindrica. Se r0 rappresenta la distanza tra la linea
delle sorgenti e la postazione ricevente ed inoltre b è la
distanza tra le singole sorgenti, il legame tra livello di
potenza e livello di pressione può esprimersi :
Lpi=Lwi -10log(r0b) -5
dove r0 =12.8m e b=5m
d1
r
0
S
H
Il livello sonoro complessivo con pesatura A si calcola tenendo conto dei termini correttivi Ci
relativi alla pesatura A:
LpiA = Lpi+Ci
=61.1 [dBA]
LpA = 10log ∑10(LpiA)/10
Infine, scelta la geometria della barriera, l'attenuazione da barriera ed il livello sonoro
complessivo attenuato possono ricavarsi con le relazioni:
Abi=10log N +8
LpA b=10log ∑10[(LpiA-Abi)/10]
dove N è il numero di Fresnel, f è la frequenza, c la velocità di propagazione del suono
N = 2f (d1+d2-r0) /c.
Ponendo per esempio la barriera a 5 metri dalla sorgente e con un'altezza H pari a 4m si ottiene
un'attenuazione complessiva (o perdita per inserzione) pari a 5dB, da cui
LpA b=56.1
[dBA]
58