Testo e soluzione

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE
Prima prova in itinere di FISICA -- 19 Aprile 2007
1) Un proiettile viene sparato da una torre alta h = 30 m con una angolazione di θ=30° rispetto
all’orizzontale. Dopo un tempo t = 2 s il proiettile raggiunge la quota massima.
Calcolare:
a) il modulo v0 della velocità con cui il proiettile è stato sparato e la quota massima raggiunta;
b) il tempo impiegato prima che il proiettile cada al suolo.
c) facoltativo: la distanza orizzontale x massima raggiunta dal proiettile.
2) Un corpo di massa m=100g è fissato ad una fune di massa trascurabile ed inestensibile, di
lunghezza R = 1 m. Il corpo si muove di moto circolare uniforme su di un piano orizzontale
privo di attrito, compiendo un giro ogni secondo.
a) Calcolare il modulo v della velocità con cui si muove il corpo, la tensione della fune ed
il lavoro svolto da essa durante un intero giro.
b) Supponendo ora che la fune si spezzi, descrivere la traiettoria seguita dal corpo dopo la
rottura della fune e determinarne la posizione rispetto al punto di stacco, dopo un tempo
t = 5 s.
3) Un corpo di massa m=50 g poggia nel punto A su un piano inclinato di 300, fissato ad una
fune di tensione T, come mostrato in figura.
a) Supponendo che il piano inclinato sia perfettamente liscio, si calcoli il modulo della
tensione della fune e quello della reazione normale esercitata dal piano inclinato sul
corpo.
b) Supponendo che il piano inclinato sia scabro (con coefficiente di attrito dinamico
µ d = 0.2) e che la fune venga tagliata, si calcoli la velocità con cui il corpo raggiunge
il punto O, alla base del piano inclinato, che dista di 3 metri da A.
A
O
300
SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE BREVEMENTE PROCEDIMENTI
SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE SENZA DIMENTICARE LE
UNITA` DI MISURA. Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: fisbio.webhop.net (AD, EN),
www.mi.infn.it/~sleoni (OZ)
SOLUZIONE ESERCIZIO 1
Le equazioni generali del moto del proiettile sono:
1 2
$
# x = x0 + vox t
! y = y0 + voy t % gt
2
#
"
!v x = v0 x
!v y = v0 y % gt
"
con
#v0 x = v0 cos $
"
!v0 y = v0 sin $
a) La quota massima raggiunta dal proiettile corrisponde alla coordinata verticale y con
velocità vy = 0, da cui si ricava:
v0 y = gt
v0 sin " = gt
v0 = gt / sin " = (9.8m / s 2 ! 2 s ) / sin 30 0 = 39.2m / s
La quota massima raggiunta è quindi data da:
1 2
1
1
gt = y 0 + ( gt )t " gt 2 = y 0 + gt 2
2
2
2
y = y 0 + voy t "
= 30m +
1
(9.8m / s 2 ) ! ( 2 s ) 2 = 49.6m
2
b) Per calcolare il tempo di volo del proiettile prima di cadere al suolo (corrispondente al
punto di coordinata y = 0) utilizziamo nuovamente l’equazione del moto in y:
y = y 0 + voy t $
1 2
gt = 0
2
1 2
gt $ voy t $ y 0 = 0
2
2
t1, 2 =
=
voy ± voy + 2 gy 0
g
19.6m / s ± (19.6 m / s ) 2 + 2(9.8 m / s 2 )30m # 5.2 s
="
9.8 m / s 2
!$ 1.18 s
Il tempo impiegato è quindi pari a t=5.2 s.
c) Per trovare la distanza massima orizzontale x raggiunta utilizziamo l’equazione di
moto sull’asse x in corrispondenza al tempo di volo:
x = x0 + vox t = 0 + v0 cosθ t = (39.2 m/s)×cos(300) ×(5.2s)= 176.5 m
SOLUZIONE ESERCIZIO 2
a) La tensione T della fune è la forza centripeta che mantiene il corpo in moto circolare
uniforme. La tensione T vale quindi in modulo:
mv 2
T=
R
Sapendo che il periodo di rivoluzione è t = 1 s, il modulo della velocità vale:
v=
2"R 2" ! (1m )
=
= 6.28m / s
t
1s
e quindi la tensione T della fune vale:
T=
0.1kg ! (6.28m / s ) 2
= 3.94 N
1m
Dato che la forza centripeta (ossia la tensione della fune) ha sempre direzione
perpendicolare alla traiettoria circolare, il suo lavoro è sempre identicamente nullo,
ossia
L=0
b) Dopo che la fune si è spezzata il corpo si muove di moto rettilineo ed uniforme
lungo la direzione posseduta dal vettore velocità all’istante dello stacco.
La distanza d raggiunta lungo questa direzione dopo un tempo t = 5 s è quindi pari a:
d = vt = 6.28m/s × 5s = 31.4 m
SOLUZIONE ESERCIZIO 3
a) Per calcolare la tensione della fune applichiamo la seconda legge di Newton,
proiettandola sugli assi x ed y, secondo lo schema mostrato in figura:
y
v
T
r
N
r r
r r
F = Fg + N + T = 0
Fx = mg sin " ! T = 0
v
Fg
Fy = !mg cos " + N = 0
300
x
da cui si ottiene
N = mg cosθ = (0.05 kg)×(9.8m/s2) ×cos(300)=0.42 Ν
T = mg sinθ = (0.05 kg)×(9.8m/s2) ×sin(300)=0.25 N
b) Dopo il taglio della fune, il corpo è soggetto alla forza peso, alla forza normale ed alla
forza di attrito dinamico, come mostrato in figura.
Per calcolare la velocità finale, al termine del tratto OA di lunghezza L, applichiamo il
teorema lavoro-energia cinetica, considerando come uniche forze che compiono lavoro
la forza peso e la forza d’attrito:
L = Lg + Latt = $K
r r r r 1
Fg # L + f d # L = mv 2
2
1
mgL cos(60°) + µ d NL cos(180°) = mv 2
2
1
3
1
mgL "
µ d mgL = mv 2
2
2
2
2
v = gL(1 " 3µ d )
v = 9.8m / s 2 ! 3m(1 " 3 ! 0.2) = 4.38m / s
y
r
N
r
L
x
300
v
Fg
r
fd