sezione 3

3.
3.
LE
LE PRINCIPALI
PRINCIPALI
FUNZIONI
FUNZIONI DI
DI DISTRIBUZIONE
DISTRIBUZIONE
Ed.1 del 14/09/98
Rev. 3 del 08/09/00
AFFIDABILITA' DI COMPONENTI E SCHEDE ELETTRONICHE-sez 3
1
LE PRINCIPALI FUNZIONI DI DISTRIBUZIONE
•Distribuzione esponenziale
•Distribuzione di Weibull
•Distribuzione normale
•Distribuzione lognormale
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2
LA DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE
λ(t)
λ (t) = λ
t
R(t) = e
( − ∫ λ (t) dt)
0
F(t) = 1 − e
=e
− λt
− λt
dR(t)
− λt
= λe
f(t) = −
dt
∞
1
MTTF = ∫ R(t)dt =
0
λ
λ
0
t
1
F(t)
R(t)
0
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t
3
LA DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE
TEMPO MEDIO AL GUASTO
 λ
F(MTTF) = 1 − exp − 
 λ
F(MTTF) = 1 − exp( − 1) = 1 − 0,37 = 0,63
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4
LA DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE
TEMPO MEDIANO AL GUASTO
F(t m ) = 1 − exp( − λ t m ) = 0.5
exp( − λ t m ) = 0.5
1
MTTF =
λ
ln0.5 0.69
=
= 0.69 * MTTF
tm = −
λ
λ
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5
LA DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE
I COMPONENTI CHE SEGUONO
LA DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE
NON HANNO MEMORIA
DI QUANTO TEMPO HANNO FUNZIONATO
CIOE’ NON SONO SOTTOPOSTI
AD INVECCHIAMENTO
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6
LA DISTRIBUZIONE ESPONENZIALE
VANTAGGI
•LA RACCOLTA ED ANALISI DEI DATI E’ PIU’ SEMPLICE
•NON E’ NECESSARIO CONOSCERE LA STORIA PASSATA
•SI PUO’ USARE L’ANALISI MARKOVIANA
SVANTAGGI
•SPESSO L’IPOTESI DI λ COSTANTE NON E’ VERA
•LE SEMPLIFICAZIONI PERMESSE DA TALE IPOTESI HANNO
PORTATO ALLO SVILUPPO DI MODELLI COSI’ COMPLESSI
CHE POCO HANNO A CHE FARE CON LA REALTA’
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7
LA DISTRIBUZIONE DI WEIBULL
β
 t − γ 
R(t) = exp  − 
 
  α  
β(t − γ )
f(t) =
αβ
 t − γ 
F(t) = 1 − exp  − 
 
  α  
β
β −1
β
 t − γ 
exp  − 
 
  α  
β(t − γ ) β −1
λ (t) =
β
α
α , PARAMETRO DI SCALA
β , PARAMETRO DI FORMA
γ , PARAMETRO DELL’ORIGINE
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8
LA DISTRIBUZIONE DI WEIBULL
TASSO
DI GUASTO
λ(t)
β=3
PROBABILITA’
DI GUASTO
F(t)
β=1
63%
β=3
β=1
β=0.5
β=0.5
0
tempo (t)
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tempo (t)
9
TASSO DI GUASTO
LA CURVA A VASCA DA BAGNO
MORTALITA’
INFANTILE
VITA
UTILE
USURA
TEMPO
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10
TASSO DI GUASTO
LA CURVA A VASCA DA BAGNO
MORTALITA’ INFANTILE
VITA UTILE
USURA
TEMPO
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11
L’AFFIDABILITA’
C
R
CARICO-RESISTENZA
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12
PROBABILITA’
L’AFFIDABILITA’
C
R
CARICO-RESISTENZA
AFFIDABILITA' DI COMPONENTI E SCHEDE ELETTRONICHE-sez 3
13
PROBABILITA’
L’AFFIDABILITA’
C
R
CARICO-RESISTENZA
AFFIDABILITA' DI COMPONENTI E SCHEDE ELETTRONICHE-sez 3
14
TASSO DI GUASTO
LA CURVA A VASCA DA BAGNO
MORTALITA’ INFANTILE
TEMPO
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15
PROBABILITA’
L’AFFIDABILITA’
C
R
CARICO-RESISTENZA
S
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16
TASSO DI GUASTO
LA CURVA A VASCA DA BAGNO
VITA UTILE
TEMPO
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17
PROBABILITA’
L’AFFIDABILITA’
C
R
CARICO-RESISTENZA
AFFIDABILITA' DI COMPONENTI E SCHEDE ELETTRONICHE-sez 3
18
TASSO DI GUASTO
LA CURVA A VASCA DA BAGNO
USURA
TEMPO
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19
LA DISTRIBUZIONE NORMALE
 1  x − µ 
1
f(x) =
exp  − 
 
1/2
σ (2 π )
 2 σ  
2
ϕ (z) =
2
1
z
 
exp 
 2
2π
X−µ
Z=
σ
z
Φ (z) = ∫ ϕ (ζ )dζ
−∞
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20
LA DISTRIBUZIONE NORMALE
DENSITA’ DI
PROBABILITA’
DI GUASTO
PROBABILITA’
DI GUASTO
F (x)
X
f X(x)
1
0.4
0.5
0
0.2
µ
x
0
µ-3σ µ
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x
µ+3σ
21
LA DISTRIBUZIONE LOGNORMALE
X normale
Parametri: µ, σ
t=eX lognormale
Parametri: tm=eµ, σ
 1  lnt - lnt m  
1
f(t) =
exp  − 
 
1/2
 
tσ (2 π )
σ
 2
2
 ln(t / t m ) 
F(t) = Φ 

 σ

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22
LA DISTRIBUZIONE LOGNORMALE
TASSO
DI GUASTO
PROBABILITA’
DI GUASTO
F(t)
1.0
λ(t)
σ=0.3
σ=0.3
σ=1.0
0.5
σ=1.0
σ=1.5
0
tm
tempo (t)
σ=1.5
0
tm
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tempo (t)
23