1 Distribuzione di Weibull

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Distribuzione di Weibull
Effettuando delle prove di caratterizzazione meccanica su un campione di provini estratti da un certo materiale e aventi tutti un volume V0 si osserva che, per
una assegnata grandezza, ad esempio la tensione di rottura, non esiste un preciso livello di tensione di rottura al di sotto del quale nessun provino si rompe
e al di sopra del quale tutti i provini si rompono. Il passaggio dalla non rottura alla rottura avviene progressivamente, nell’intorno di un particolare livello
tensionale.
La distribuzione cumulativa della probabilità di sopravvivenza, in funzione
del livello di tensione raggiunto, è ben descritta dalla distribuzione di probabilità
cumulativa scoperta dall’ingegnere svedese W.Weibull, sulla base della ipotesi
dell’anello debole della catena:
· µ ¶m ¸
¾
Ps (V0 ) = exp ¡
:
¾0
V0 rappresenta il volume dei provini soggetto alla tensione costante ¾: La tensione di riferimento ¾ 0 ; rappresenta la tensione cui sopravvive una frazione di
provini pari a 1=e = 0:368: Il parametro m viene definito modulo di Weibull
ed è caratteristico del materiale (anche se alcune recenti ricerche evidenziano la
dipendenza dalla geometria del provino).
1
0.8
Ps ( σ , 5)
Ps ( σ , 10)
0.6
Ps ( σ , 50)
Ps ( σ , 100)
0.4
0.2
0
0
0
0.5
1
1.5
σ
0
σo
Figura 1 - Distribuzione di Weibull in scala lineare per differenti valori del
modulo di Weibull
1
2
2
1.1
Effetto del volume
Se si utilizzasse un provino con volume pari a n volte V0 si avrebbe una probabilità di sopravvivenza pari a:
Ps (V ) = Ps (nV0 ) = [Ps (V0 )]n
da cui
Ps (V0 ) = Ps (V )
1=n
V0 =V
= Ps (V )
· µ ¶m ¸
¾
= exp ¡
¾0
µ ¶m
¾
V0
ln Ps (V ) = ¡
V
¾0
µ ¶m
¾
V
ln Ps (V ) = ¡
V0 ¾ 0
·
µ ¶m ¸
V
¾
Ps (V ) = exp ¡
V0 ¾ 0
Ps (V )V0 =V
L’ultima equazione rappresenta la distribuzione di Weibull corretta in modo da
tener conto dell’effetto della differenza tra il volume del provino di riferimento e
il volume del componente o del provino che si vuole caratterizzare. E possibile
immediatamente verificare che si ritorna immediatamente alla distribuzione di
Weibull di partenza adottando una nuova tensione di riferimento pari a
¾ 0V = ¾ 0
µ
V0
V
¶1=m
che mostra come varia la tensione di riferimento al variare del volume.
La tensione di riferimento (e quindi le proprietà di resistenza meccanica del
materiale) si riduce all’aumentare del volume e in una rappresentazione in un
diagramma doppio-logaritmico la riduzione è descritta da una relazione lineare
con pendenza pari a ¡1=m:
Quindi i materiali con modulo di Weibull elevato (per i materiali metallici il
modulo di Weibull è intorno a 100) hanno un intervallo limitato di tensione in
cui si registra il passaggio dalla non rottura alla rottura e un effetto limitato del
volume sulla resistenza meccanica, mentre i materiali ceramici di elevata qualità
hanno un modulo di Weibull intorno a 10 (5 per materiali quali gesso e terracotta) con una ampia distribuzione delle tensioni di rottura e un importante effetto
del volume.
2
1.585
10
σov( σo , V , 5)
σo
σov( σo , V , 10)
σo
σov( σo , V , 50)
1
σo
σov( σo , V , 100)
σo
0.631 0.1
0.1
0.1
1
10
V
Vo
10
Figura 2 - variazione della tensione di riferimento in funzione del volume
1.2
Effetto del tempo
Nei materiali ceramici si notano rotture inspiegabili, perché avvengono senza
che il componente sia apparentemente sollecitato in modo importante. L’osservazione delle superfici di rottura rivela analogie con le rottura a fatica, nel senso
che è possibile rilevare l’esistenza di zone con cricche che si sono propagate lentamente e una zona di rottura finale. Questa analogia ha portato all’introduzione
della terminologia impropria e forviante, ma di uso consolidato, di fatica statica.
La propagazione lenta dei difetti avviene per effetto di fenomeni di ossidazione
delle superfici dei difetti e di reazione con le stesse superfici con il vapore acqueo. Quando uno dei difetti raggiunge una dimensione critica in relazione alle
sollecitazioni applicate o alle autotensioni presenti (caso dei vetri temprati) si
ha la rottura immediata del componente.
I risultati sperimentali consentono di esprimere una relazione di dipendenza
del tempo di rottura dalla tensione analoga a quella della fatica:
¾ n t = costante = ¾ nT tT
dove ¾ T e tT rappresentano la tensione di lavoro e il tempo di rottura determinati
in una prova sperimentale. L’esponente n per i materiali ceramici a temperatura
ambiente è compreso tra 10 e 20.
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