teoria dei sistemi sistemi lineari - Automazione@ingre

Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004
TEORIA DEI SISTEMI
Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica
Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale – Indirizzo Gestione Industriale
TEORIA DEI SISTEMI
SISTEMI LINEARI
Ing. Cristian Secchi
Tel. 0522 522234
e-mail: [email protected]
http://www.ingre.unimore.it/staff/secchi
Trasformazioni lineari
Dati due spazi vettoriali V e W, una trasformazione lineare T è una funzione
T:V → W che gode delle seguenti proprietà:
1. T(v1+v2)=T(v1)+T(v2) ∀ v1,v2 ∈ V
2. T(α v)=αT(v)
∀v∈V e∀α∈R
Una volta fissate una base in V e una base in W, è possibile rappresentare
una funzione lineare con una matrice; sia A tale matrice, allora:
La rappresentazione A della trasformazione T non è unica. Cambiando le
basi di V e W cambia la matrice che rappresenta la trasformazione lineare.
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Trasformazioni Lineari
L’Immagine di una trasformazione lineare T è il sottospazio vettoriale
definito da:
Il Kernel di una trasformazione lineare T è il sottospazio vettoriale definito
da:
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Sistemi lineari
Un sistema dinamico si dice lineare se:
1. E’ un sistema regolare
2. La funzione di transizione φ è lineare rispetto allo stato e rispetto
all’ingresso
3. La funzione di uscita è lineare rispetto allo stato e all’ingresso.
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Sistemi lineari
Il fatto che la funzione di transizione sia lineare significa che:
E’ possibile, per un sistema lineare, decomporre il movimento del sistema
nella somma di due contributi: uno dipende solamente dallo stato iniziale
e l’altro solamente dall’ingresso.
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Sistemi lineari
La funzione φl(t,t0,x(t0))=φ(t,t0,x(t0),0), che descrive il movimento del
sistema quando l’ingresso è nullo, è lineare in x(t0), cioè:
questo movimento è detto movimento libero.
Una volta fissata una base in X è possibile rappresentare φl con una
matrice e si ha:
dove la matrice Φ(t,t0), che dipende da t e t0, è detta matrice di
transizione dello stato.
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Sistemi lineari
La funzione φf, che descrive il movimento del sistema quando lo stato
iniziale è nullo, è lineare in u(·), cioè:
questo movimento è detto movimento forzato
Una volta fissata una base in U è possibile rappresentare φf con una
matrice e si ha:
dove la matrice Φf(t,t0), che dipende da t e t0, è detta matrice di
distribuzione degli ingressi.
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Sistemi lineari
Il fatto che la funzione di uscita sia lineare negli argomenti x e u,
significa, seguendo ragionamenti analoghi a quelli fatti per la funzione di
trasferimento di stato, che, una volta fissata una base in X e U, è
possibile scrivere:
dove le matrici C e D dipendono dal tempo.
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Rappresentazione dei sistemi lineari
Teorema: E’ possibile, rappresentare la funzione di stato di un sistema
lineare come:
dove t0 è l’istante iniziale
• Il teorema si dimostra sfruttando la linearità della funzione di
transizione dello stato
• E’ molto importante in quanto consente di rappresentare il sistema
con equazioni lineari nello stato e nell’ingresso.
• E’ possibile sfruttare potenti tecniche dell’algebra lineare per
analizzare e controllare tali sistemi.
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Rappresentazione dei sistemi lineari
Considerando il fatto che la funzione di uscita è lineare in x e u, è possibile
dimostrare che un sistema è lineare se e solo se è rappresentabile
mediante le seguenti equazioni:
che sono equivalenti a:
Il primo tipo di equazioni sono molto più utilizzate in quanto è possibile
dedurre importanti caratteristiche del sistema dalle proprietà delle
matrici A(t), B(t), C(t) e D(t).
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Rappresentazione dei sistemi lineari
A(t), B(t), C(t) e D(t) sono matrici i cui elementi possono dipendere dal
tempo. Nel caso di un sistema con n stati, m ingressi e p uscite, tali
matrici hanno i seguenti nomi e la seguente struttura:
• Matrice di stato:
Matrice Quadrata
• Matrice di ingresso:
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Rappresentazione dei sistemi lineari
• Matrice di uscita:
• Matrice di ingresso-uscita:
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Esempio – Circuito Elettrico
A
R1
E
R2
u
y
x
F
B
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C
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Esempio – Circuito Elettrico
Sia la funzione di stato che la funzione d’uscita sono lineari nello stato e
nell’ingresso, quindi il sistema è lineare. In particolare il sistema ha 1
stato, 1 ingresso e 1 uscita e, quindi, le matrici A(t), B(t), C(t) e D(t)
saranno tutte 1 X 1, cioè scalari. Le equazioni che modellano il sistema
sono:
dove
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Esempio – Sistema Meccanico
x1
x2
m
k
u
b
y
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Esempio – Sistema Meccanico
Sia la funzione di stato che la funzione d’uscita sono lineari nello stato e
nell’ingresso, quindi il sistema è lineare. In particolare il sistema ha 2
stato, 1 ingresso e 1 uscita e, quindi, la matrice A(t) sarà 2 x 2, B(t) sarà
2 x 1, C(t) sarà 1 x 2 e D(t) sarà 1 x 1. Le equazioni che modellano il
sistema lineare sono:
.
C(t)
B(t)
A(t)
x(t)
C(t)
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D(t)
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Principio di sovrapposizione degli effetti
Teorema: Dato un sistema lineare con istante iniziale t0, siano x’ e y’ il
movimento dello stato e l’uscita generati dall’ingresso u’ a partire dallo
stato x’(t0) e, rispettivamente, x’’ e y’’ il movimento dello stato e l’uscita
generati dall’ingresso u’’ a partire dallo stato x’’(t0). Allora, per ogni coppia
di scalari α e β, il movimento dello stato x’’’ e l’uscita y’’’ generati da
a partire dallo stato
sono
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Principio di sovrapposizione degli effetti
Il principio di sovrapposizione degli effetti è di grande importanza perché
consente di calcolare il movimento (e l’uscita) generato da più cause
(cioè da coppie stato iniziale-ingresso) come la somma pesata dei singoli
effetti provocati da ciascuna causa.
La dimostrazione del teorema è una conseguenza della linearità delle
funzioni di transizione dello stato e della funzione di uscita.
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Esempio: Principio di sovrapposizione degli effetti
u
m
k
b
Applicando una forza costante la massa si ferma in una posizione in cui la
forza elastica Fe generata dalla molla equilibria la forza applicata u.
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Esempio: Principio di sovrapposizione degli effetti
Caso 1 : Fe(t)=-kx(t): il sistema è lineare.
x’(t0)=0 u’=1 N
5
5
4.5
4.5
4
4
y’(t)
3.5
3
3
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
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5
y’’(t)
3.5
2.5
0
0
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x’’(t0)=0 u’’=2 N
10
15
0
0
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5
10
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Esempio: Principio di sovrapposizione degli effetti
x’’’(t0)=0 u’’’=3 N
5
4.5
y’’’(t)
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
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5
10
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Sistemi Lineari -- 21
Esempio: Principio di sovrapposizione degli effetti
Il sistema è lineare e, quindi, vale il principio di sovrapposizione degli
effetti. Infatti, l’andamento dell’uscita corrispondente a x’’’(t0)=0 e
u’’’=3N è dato dalla somma dell’andamento delle uscite in corrispondenza
a x’(t0)=0 e u’=1N e x’’(t0)=0 e u’’=2N. Infatti:
e, quindi
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Esempio: Principio di sovrapposizione degli effetti
Caso 2 : Fe(t)=-kx3(t): il sistema NON è lineare.
Le equazioni che descrivono il sistema sono:
Non sono
equazioni
lineari
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Esempio: Principio di sovrapposizione degli effetti
x’(t0)=0 u’=1 N
x’’(t0)=0 u’’=2 N
5
5
4.5
4.5
4
4
y’(t)
3.5
3
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
5
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y’’(t)
3.5
10
15
0
0
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5
10
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Esempio: Principio di sovrapposizione degli effetti
x’’’(t0)=0 u’’’=3 N
5
4.5
4
y’’’(t)
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
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5
10
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Esempio: Principio di sovrapposizione degli effetti
Il sistema non è lineare e, quindi, non vale il principio di sovrapposizione
degli effetti. Infatti, nonostante:
si ha che
Il principio di sovrapposizione degli effetti vale solo per i sistemi lineari.
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Sistemi tempotempo-invarianti (o stazionari)
Un sistema si dice tempo-invariante (o stazionario) se:
1) L’insieme dei tempi T è un gruppo additivo
2) Per ogni u(·) ∈ Ω e ∀ τ ∈ T, la funzione uτ(·), ottenuta per traslazione
(uτ(t)=u(t+τ), ∀ τ ∈ T), appartiene a Ω
3) La funzione di transizione dello stato gode della proprietà:
4) La funzione d’uscita è indipendente da t:
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Sistemi tempotempo-invarianti (o stazionari)
Le condizioni 1) e 2) sono tecniche. La prima serve per giustificare la
somma di istanti di tempo (nel caso T=R tale condizione è soddisfatta);
la seconda serve per poter ammettere, tra le funzioni di ingresso
ammissibili, tutte quelle traslate nel tempo di una certa quantità
La condizione 3) dice che la funzione di transizione dello stato non
dipende dai parametri t e t0 in modo indipendente ma è funzione
solamente della differenza (t-t0), cioè della quantità di tempo trascorsa
dall’istante iniziale.
E’ quindi sempre possibile riportarci nella situazione in cui l’istante
iniziale coincide con l’origine dei tempi, cioè, in cui t0=0.
Nel corso studieremo sistemi tempo-invarianti e, quindi, assumeremo
sempre t0=0.
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Sistemi tempotempo-invarianti (o stazionari)
La condizione 4) implica che l’uscita non dipende esplicitamente dal
tempo t.
In generale, le equazioni che rappresentano un sistema dinamico
tempo-invariante sono:
Il tempo non appare esplicitamente né nella funzione di stato né nella
funzione di uscita.
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Sistemi Lineari Tempo Invarianti (LTI)
La condizione di tempo-invarianza per i sistemi lineari si traduce nel fatto
che le matrici che descrivono il sistema NON dipendono dal tempo. Un
sistema LTI è pertanto rappresentato dalle seguenti equazioni:
dove A, B, C e D sono matrici costanti di dimensioni opportune.
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Sistemi tempotempo-invarianti - Esempi
R1
A
E
R2
u
y
x
C
F
B
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Sistemi tempotempo-invarianti - Esempi
x1
x2
m
k
u
b
y
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Soluzione della funzione di stato
Problema: Data l’equazione
che descrive l’evoluzione dello stato di un sistema dinamico, trovare il
movimento dello stato x(t) associato a un certo stato iniziale x(t0)
• Occorre risolvere un’equazione differenziale che può essere non lineare e
che dipende esplicitamente dal tempo.
Non esiste una soluzione generale al problema.
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Soluzione della funzione di stato
E’ possibile risolvere il problema per certe classi di sistemi, come per
esempio quella dei sistemi lineari.
Anche se esiste la soluzione per sistemi lineari tempo-varianti, ci
concentreremo su una classe più ristretta di sistemi, quella dei sistemi
lineari tempo-invarianti
L’equazione che considereremo sarà quindi:
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Soluzione della funzione di stato per sistemi LTI
Consideriamo prima il caso di un sistema LTI autonomo (cioè con
funzione di ingresso nulla):
Sappiamo che:
dove Φ(t) è la matrice di transizione dello stato che modella il movimento
libero del sistema
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Soluzione della funzione di stato per sistemi LTI
Dalle precedenti relazioni segue che:
La soluzione dell’equazione, analogamente al caso scalare, è:
Ma cosa significa fare l’esponenziale di una matrice?
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Soluzione della funzione di stato per sistemi LTI
L’esponenziale è definibile mediante la sua espansione in serie:
Analogamente, è possibile definire l’esponenziale di una matrice come:
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Soluzione della funzione di stato per sistemi LTI
Consideriamo ora il caso più generale:
La soluzione dell’equazione è data dalla cosiddetta formula di Lagrange :
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Soluzione della funzione di stato per sistemi LTI
Per verificare il risultato si utilizza la seguente formula di derivazione:
Derivando la formula di Lagrange e applicando tale formula si ottiene:
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Soluzione della funzione di stato per sistemi LTI
Rimane una questione in sospeso: come calcolare eAt?
E’ impensabile dover usare direttamente la definizione che
implicherebbe una somma di una serie matriciale. E’ possibile
ottenere delle formule più compatte per il calcolo dell’esponenziale.
Prima di ottenere tali formule, però, occorre introdurre strumenti
ulteriori per l’analisi dei sistemi LTI.
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