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MECCANICA RAZIONALE. Appello del 16.6.99
Proff. Brinis, Spinelli
STATICA. In un piano verticale, una lamina a forma di triangolo rettangolo con angolo
in A di π3 può scorrere senza attrito col cateto AC, di lunghezza `, sull’asse x orizzontale. Un’asta omogenea di lunghezza ` e peso p, ha l’estremo H scorrevole con attrito
di coefficiente µ lungo l’asse verticale y mentre con l’estremo K poggia senza attrito
sull’ipotenusa AB della lamina. Una molla di costante elastica k collega il vertice A
della lamina all’origine O degli assi.
Determinare la posizione di equilibrio del sistema con l’asta orizzontale ed il minimo
valore sia del coefficiente µ, sia della costante k, affinché una tale configurazione sia
possibile.
B
y
µ
`, p
H
K
j
i
π
3
O
k
A
`
C
x
MECCANICA RAZIONALE. Appello del 16.6.99
Proff. Brinis, Spinelli
DINAMICA. In un piano verticale, un’asta omogenea AB di lunghezza 2` e massa
m è girevole attorno al suo estremo A, scorrevole con vincolo bilatero lungo una guida
orizzontale x.
Se inizialmente l’asta è inclinata di una angolo ϑ = π4 sull’orizzontale ed il suo atto
di moto è traslatorio, caratterizzato dalla velocità v A (con vAx > 0), determinare - in
assenza di ogni attrito - la velocità angolare dell’asta allorché essa passa per l’orizzontale
e, nella stessa configurazione, la reazione vincolare in A.
B
2`, m
j
ϑ
i
A
x
Appello del 16.6.99
Proff. Brinis, Spinelli
Risoluzione: Dr. Paolo Biscari
Statica. Siano i e j i versori indicati in figura. Per determinare la configurazione di
equilibrio possiamo utilizzare la prima equazione cardinale della statica applicata alla
lamina, proiettata lungo la direzione orizzontale, e la seconda equazione cardinale della
statica per l’asta HK, rispetto al polo K, proiettata
in direzione k. Detta ΦKH = ΦKH n
√
3
l’azione dell’asta sulla lamina in K, dove n = 2 i − 21 j è il versore ortogonale al lato
AB entrante nella lamina, e detta x l’ascissa del punto A rispetto all’origine O, avremo:

√

√

3

(lam)

 Rx
p 3
− kx = 0
= ΦKH
,
x=
2
=⇒
2k


`
`
(HK)

 MHz
ΦKH = p n .
= ΦKH − p = 0
2
2
Per determinare la reazione esterna ΦH utilizziamo la prima equazione cardinale della
statica per l’asta HK:
R(HK) = ΦH − p j − ΦKH = 0
=⇒
ΦH =
p
√
2
3
i+
p
j;
2
la relazione di Coulomb |ΦHt | ≤ µ|ΦHn |, che in questo caso impone |ΦHy | ≤ µ|ΦHx |,
porta a:
√
√
3
p
p 3
=⇒ µmin =
.
≤µ
2
2
3
Infine, la limitazione sul valore della costante elastica k si ottiene richiedendo che il valore
di x già trovato sia minore della lunghezza ` dell’asta HK:
√
p 3
≤`
2k
=⇒
kmin
√
p 3
=
.
2`
Appello del 16.6.99
Proff. Brinis, Spinelli
Risoluzione: Dr. Paolo Biscari
Dinamica. Il sistema possiede due gradi di libertà; scegliamo come parametri indipendenti l’ascissa x dell’estremo A dell’asta e l’angolo ϑ che essa forma con l’asse x (contato
in verso antiorario).
Per determinare l’atto di moto quando ϑ = ϑf = 0, utilizziamo due integrali primi
traducenti la conservazione sia dell’energia sia della componente orizzontale della quantità
di moto dell’asta (che risulta essere costante poiché tutte le forze esterne agenti sull’asta
sono verticali). Indicando con P̄ il baricentro dell’asta e con v̄ la sua velocità, abbiamo
P̄ − O = x + ` cos ϑ i + ` sin ϑ j e
v̄ = ẋ − `ϑ̇ sin ϑ i + `ϑ̇ cos ϑ j ,
da cui segue
Qx = m ẋ − `ϑ̇ sin ϑ = mvAx
e
√
1
1
1
2
2
2 2
2 2
2
.
T − U = m ẋ − 2`ϑ̇ ẋ sin ϑ + ` ϑ̇ + m` ϑ̇ + mg` sin ϑ = mvAx + mg`
2
6
2
2
Utilizzando la condizione finale ϑf = 0 otteniamo ẋf = vAx e ϑ̇2f =
velocità angolare dell’asta risulta
s √
3 2 g
ωf = −
k.
4 `
√
3 2 g
4 `,
per cui la
La reazione vincolare in A è, in ogni istante, verticale: ΦA = ΦA j; per determinare lo
scalare ΦA possiamo utilizzare la prima equazione cardinale della dinamica per l’asta,
proiettata in direzione verticale:
Q̇y = m`ϑ̈ cos ϑ − m`ϑ̇2 sin ϑ = −mg + ΦA ;
Derivando l’integrale dell’energia (dopo aver sostituito in esso ẋ = vAx + `ϑ̇ sin ϑ), possiamo ricavare
4
2
2
m`
− sin ϑ ϑ̈ − m`2 ϑ̇2 sin ϑ cos ϑ + mg` cos ϑ = 0 ,
3
da cui segue ϑ̈f = − 43
g
`
e quindi
ΦA f =
mg
j.
4