Misconcezioni in aritmetica - Università degli Studi di Parma

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Misconcezioni in aritmetica
Carlo Marchini
Dipartimento di Matematica dell’Università di Parma
Viale G.P. Usberti 53/a – 43100 PARMA
e.mail: [email protected]
Foligno 17 ottobre 2008
In queste pagine si recuperano le diapositive preparate in occasione di un incontro organizzato
presso il Laboratorio di Scienze Sperimentali di Foligno.
L’intervento è diviso in tre parti
Parte I: Alcuni aspetti teorici sulle misconcezioni (misconcetti)
Parte II: Esempi di misconcezioni e suggerimenti didattici
Parte III: Un questionario sull’eguaglianza e suoi risultati ottenuti con la collaborazione
di scuole di Foligno e Roma.
Parte I: Alcuni aspetti teorici sulle misconcezioni (misconcetti)
I.1. Misconcezioni e misconcetti nei programmi scolastici italiani.
Un primo problema è linguistico: in Italiano si hanno due parole distinte. Un’accezione
abbastanza condivisa è che ‘concezione’ riguarda il soggetto pensante, mentre ‘concetto’
riguarda l’oggetto della conoscenza. Il prefisso ‘mis’ ha allora la possibilità di connotare
negativamente sia concezione che concetto. Tuttavia nella letteratura internazionale, per lo più
scritta in Inglese, la parola ‘misconception’ è l’unica perché il termine ‘misconcept’ non è
usato.
•
I ‘programmi’ (le indicazioni) per il primo ciclo d’istruzione (Scuola primaria e
secondaria di 1° grado) espresse dal Ministro Moratti,
• le ‘Nuove indicazioni’ del Settembre 2007, emanate dal Ministro Fioroni.
Non fanno menzione alcuna di tale problema.
La National Numeracy Strategy, i programmi del Regno Unito per le classi
Reception (il nostro ultimo anno di Scuola dell’Infanzia) e gli anni 1 – 6 (la nostra
Scuola Primaria e il primo anno di Scuola Secondaria di 1° grado), citano le
misconcezioni dicendo:
«You can help sort out any ambiguities or misconceptions your pupils may have through a
range of open and closed questions.»
Vi sono testi inglesi che presentano le più consuete misconcezioni presenti ed accertate nella
scuola Primaria del regno Unito, in modo che gli insegnanti siano messi sull’avviso ad
intervenire al loro apparire.
•
I.2. Platone e le misconcezioni
Si può trovare un accenno al problema delle misconcezioni (e alle loro conseguenze) nel
dialogo Teeteto di Platone:
«Socrate – Ma anche, Teeteto, se noi non proviamo che in ciò vi è una falsa opinione, allora
noi saremo costretti ad ammettere molte cose strane.
Teeteto – E cosa?
1
C. Marchini – Misconcezioni in aritmetica
Foligno 17 Ottobre 2008
Socrate – Non te lo dico prima che io non cerchi di esaminare il problema da tutti i punti di
vista: tu ed io, altrimenti, ci dovremmo vergognare fintanto che questa convinzione
perdurasse, nell’ammettere le conseguenze strane di cui parlavo prima.»
L’attenzione al problema didattico posto dalle misconcezioni e dai misconcetti è però molto
più recente,
In questo brano è evidente uno degli aspetti tipici delle misconcezioni, la loro persistenza,
anche in presenza di conclusioni inaccettabili ed inoltre Socrate fornisce un primo esempio di
terapia delle misconcezioni: una riflessione approfondita dei vari aspetti coinvolti ed implicati
da queste conoscenze non corrette.
I.3. Misconcezioni nella ricerca didattica italiana
La ricerca didattica italiana si è occupata poco dell’argomento.
Per quanto ho potuto appurare i maggiori contributi sono di:
• Bruno D’Amore dell’Università di Bologna (e collaboratori);
• Rosetta Zan dell’Università di Pisa.
Qui si presenta un sunto dei loro lavori sul tema.
I.3.a. Il contributo di Bruno D’Amore
Il tema è trattato a più riprese in vari articoli. L’esposizione più organica, a mio parere, è in
Bruno D’Amore, 1999, Elementi di didattica della Matematica, Pitagora Editrice, Bologna.
In esso il capitolo
4. Conflitti. Misconcezioni. Modelli intuitivi. Modelli parassiti. (pp.123 – 144).
è dedicato al tema.
Per BDA le misconcezioni non si possono trattare separatamente da conflitti, modelli intuitivi
(e quindi anche intuizione), modelli parassiti, immagini e concetti.
Egli afferma che una misconcezione è un concetto errato, ma che non ha solo aspetti negativi.
(si noti lo slittamento tra concezione e concetto)
Per BDA, per apprendere un concetto C, lo studente si costruisce di esso una immagine I,
associando al concetto un significato intuitivo.
Lo studente è portato a ritenere quest’immagine stabile e definitiva, ma sotto la spinta di
nuove informazioni e stimoli, deve adattare l’immagine precedente ad una nuova;
quest’ultima deve conservare le informazioni recate dalla precedente e accordarsi con le
nuove informazioni.
Se in questo processo si giunge ad un’immagine I che resiste alla variazione delle richieste ed
è sufficientemente ‘forte’ da inglobare tutte le nuove argomentazioni ed informazioni portate
dal concetto C, di cui I è immagine, si dice che l’immagine I è un modello M di C.
In alcuni casi, le immagini che precedono M potrebbero essere misconcetti, in quanto
interpretazioni errate dell’informazione.
• Se M si forma al momento opportuno, lo studente ottiene il modello desiderato dallo
insegnante; in questo caso l’azione didattica ha funzionato bene.
• Se M si forma troppo presto è difficile poi ottenere C, poiché la stabilità di M è un
ostacolo.
Un esempio, dovuto a Fischbein, (e citato da BDA) è quello della moltiplicazione presentata
mediante gli schieramenti, che può essere considerata un modello adeguato, quando si tratta
di numeri naturali, ma che impedisce poi di costruire un concetto di moltiplicazione adatto ai
vari sistemi numerici.
I casi di precoce formazione del modello dànno luogo ai ‘modelli parassiti’
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Parte I - I.3. Misconcezioni nella ricerca didattica italiana
L’insegnante, talora, desidera o usa o suggerisce i modelli parassiti; giustificandoli con
un’esigenza di ‘semplicità’, o per dare un ‘indicazione’, per ‘aiutare gli studenti’.
L’insegnante opera in buona fede, desiderando contribuire con idee significative e stabili e
con certezze. Queste certezze e le continue conferme che l’immagine riceve trasformano
l’immagine in modello.
Sarà molto difficile, distruggere quel modello quando sarà necessario farlo.
Un modello non adeguato può dare luogo a
• Conflitto cognitivo: lo studente si sforza di mantenere fissa l’immagine anche in
presenza di informazioni che la contraddicono.
• Conflitto sociale: lo studente scopre che la sua immagine non è condivisa con
l’insegnante e i compagni e questo può portarlo ad isolarsi e anche ad allontanarsi
dalla Matematica.
I.3.b. Il contributo Rosetta Zan
Qui si fa riferimento principalmente a
Rosetta Zan, 2000, ‘Misconceptions’ e difficoltà in Matematica, L’insegnamento della
Matematica e delle scienze integrate, Vol. 23A, n.1, 45 – 68.
L’autrice spiega perché ha mantenuto il termine in lingua inglese:
«Misconcetti, misconcezioni, concezioni errate, fraintendimenti, sono i termini italiani
utilizzati in letteratura in corrispondenza del termine inglese “misconceptions”».
L’articolo contiene una breve storia sulla comparsa delle misconcezioni nella letteratura
didattica internazionale (in cui le misconcezioni appaiono spesso assieme ai preconcetti),
• in Fisica (DiSessa, 1983),
• in Probabilità e Statistica,
• nei Processi di decisione (Kahneman & Tversky, 1982),
• in Economia (Voss et al., 1989).
L’attenzione a misconcezioni e preconcezioni nasce dall’analisi dell’errore, le cui origini
possono essere dovute a
• mancanza di conoscenza,
• intuizione non corretta (misconception),
• intuizione prematura (preconception).
E’ da notare che le intuizioni naif su aspetti della realtà sopravvivono assieme alla
conoscenza formale, anche se la conoscenza formale contraddice le intuizioni stesse.
Le parole chiave che ricorrono più frequentemente nell’opera di RZ ad illustrare le
misconcezioni sono
• stereotipo,
• intuizione naif,
• copione (applicazione rigida di algoritmi),
• interpretazione distorta,
• modello primitivo,
• influenza tacita.
Le domande fondamentali sono due
• Come fare a riconoscere la presenza di misconcezioni?
• Come intervenire su esse?
Per la prima questione, RZ osserva che nell’ampia letteratura internazionale da lei citata non
compare mai una definizione esplicita di misconcezione. Preferisce individuare caratteri delle
misconcezioni:
• le misconcezioni hanno una coerenza locale;
• sono abbastanza stabili;
3
• sono difficili da individuare.
Le domande dirette non sono idonee a evidenziare le misconcezioni, poiché in tal caso il
soggetto potrebbe stimolare il suo processo di controllo e, in questo modo, attingere alla
conoscenza formale acquisita.
Per mettere in luce le misconcezioni, il soggetto deve essere posto in condizione tali da non
richiedere l’attivazione del processo di controllo, oppure deve concentrare questi controlli in
altre direzioni. Solo in queste condizioni potrebbero comparire le misconcezioni.
L’insegnamento stesso, talvolta, è responsabile del sorgere di misconcezioni.
L’insegnante non dovrebbe sentirsi troppo responsabile di avere favorito interpretazioni
distorte. I ricercatori, infatti, sono abbastanza d’accordo che l’evitare stereotipi, concezioni
errate, la costruzione di modelli primitivi, è impossibile.
Pertanto il problema maggiore dell’insegnamento è aiutare gli studenti nel mettere in pratica
sistemi efficienti per il controllo concettuale, sistemi il cui compito è quello di controllare
l’impatto di questi modelli.
I.4. Un esempio di studio delle misconcezioni dalla ricerca didattica inglese: una proposta di
Anne Cockburn.
La ricercatrice inglese Anne Cockburn dell’Università East Anglia a Norwich ha proposto una
complessa analisi delle misconcezioni che può illustrarsi col seguente diagramma
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Parte II - II.1. Proposte di riflessione
Questo complesso schema va visto come una proposta di studio, di approfondimento, del
contributo alle misconcezioni di ciascuna delle voci in esso indicate. L’approfondimento è
preliminare al successivo passaggio alla ricerca di strumenti per ‘curare’ le misconcezioni
stesse.
Le tre ellissi del grafico andrebbero rappresentate su piani diversi in quanto si tratta di
dimensioni cognitive diverse. Il fatto che alcune voci siano ripetute in settori diversi, non è un
errore, ma solo un tentativo di indicare la difficoltà di separazione in ambiti diversi.
Guardando la suddivisione tra l’ellisse centrale e le ‘corone’ più esterne si colgono ulteriori
suddivisioni. Procedendo dall’esterno all’interno si individuano le caratteristiche ‘generiche’
della mente del ragazzo (corona esterna), le richieste sociali e scolastiche (corona mediana) ed
infine le specificità matematiche (ellisse centrale).
Come si vede lo spazio per fare ricerca sul tema, con tutti i limiti messi in luce dalla
letteratura didattica, è assai ampio e, personalmente, lo ritengo importante per un
insegnamento più efficiente ed efficace.
I.5. Il progetto internazionale sulle misconcezioni aritmetiche
Lo schema precedente, non ancora apparso in letteratura, è stato presentato nel corso degli
incontri del progetto internazionale di ricerca sulle misconcezioni, M2i , progetto che ha le
seguenti caratteristiche:
• Progetto biennale finanziato dalla British Academy (2005 – 2007)
• Ricercatori universitari di 4 nazioni
• Anne Cockburn e Paul Parslow-Williams (University of East Anglia) U.K.
• Graham Littler (University of Derby) U.K.
• Darina Jirotkova (Università di Praga) Repubblica Ceca
• Sara Hershkovitz, Dina Tirosh, Pessia Tsamir (Università di Tel Aviv) Israele
• Carlo Marchini e Paola Vighi (Università di Parma) Italia
Il progetto M2i ha limitato il suo studio all’Aritmetica. I risultati sono stati elaborati in alcune
pubblicazioni consultabili al sito
http://www.unipr.it/arpa/urdidmat/M2ip
e in un testo, rivolto agli insegnanti, che dovrebbe apparire alla fine del 2008 presso la casa
editrice Sage di Londra, che apparirà con la copertina
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Parte II: Esempi di misconcezioni e suggerimenti didattici
II.1. Proposte di riflessione.
Si presentano alcune schede che sono state oggetto di studio e riflessione nel progetto
internazionale. Su queste schede si è organizzata la discussione in un workshop (di tre
sessioni) con insegnanti i ricercatori partecipanti al SEMT ’07 (Symposium in Elementary
Mathematics Teaching) a Praga, nell’Agosto del 2007 diretto, a turno, dai partecipanti al
progetto M2i .
Le schede sono state occasione di una iniziale riflessione personale dei partecipanti al
workshop cui è seguita la discussione. Qui si premettono le schede alla discussione, in modo
che il lettore abbia il tempo di riflettere sulle richieste che vengono fatte e, se possibile, dia le
risposte annotandole su un foglio. Ritengo che la massima efficacia di questa attività si possa
raggiungere se i lettori si mettono in gruppo e discutono le soluzioni tra loro, prima di passare
alle risposte.
Il problema II.1.a ha un’ampia letteratura didattica, con dati diversi. Il problema II.1.b. è
originato da uno studio di Sara Hershkovitz. I problemi II.1.c, II.1.d, II.1.e, II.1.f. derivano da
un questionario, proposto da Anne Cockburn e Paul Praslow-Williams,. che verrà illustrato
nella parte III
II.1.a.
Lavoro di gruppo
Come pensate che operino i bambini quando chiedete di ordinare i seguenti numeri ?
E se sono dati i numeri?
23
203
0,23
0,203
-23
-203
-0.23
-0,203
Scrivete i risultati della vostra discussione.
Preparatevi a giustificare le vostre risposte discutendo assieme questi esercizi.
6
Parte II - II.1. Proposte di riflessione
II.1.b. Il problema di Sara
Date le cifre 2, 5, 6, 8, utilizzatele in modo da ottenere numeri di due cifre in ciascun
termine delle operazioni. Usate ciascuna cifra una sola volta in ogni calcolo e scegliete le cifre
in modo da ottenere il risultato maggiore possibile.
___ ___ + ___ ___ = _____________
___ ___ - ___ ___ = _____________
___ ___ × ___ ___ = _____________
___ ___ : ___ ___ = _____________
Per quali operazioni potreste trovare più di una risposta?
Secondo voi qual è la operazione che pone maggiori problemi ai ragazzi?
Per quali operazioni bisogna tener conto di maggiori conoscenze matematiche?
A vostro parere quali operazioni avranno maggior numero di risposte corrette?
Che tipo di errori vi attendete da parte degli studenti?
Quali proprietà matematiche sono coinvolte?
II.1.c.
Lavoro di gruppo
Secondo voi, uno studente che sbaglia, quale risultato potrebbe mettere nel quadretto?
96 - 32 =
Iniziate lavorando da soli e poi discutete le vostre proposte specificando i ragionamenti che
pensate gli scolari possano fare
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II.1.d.
Lavoro di gruppo
Stimate la percentuale di risposte esatte a questi due quesiti
7+2=
;
=3+4
Come pensate che possano sbagliare i ragazzi?
II.1.e.
Lavoro di gruppo
Come pensate che i bambini risolvano i seguenti quesiti?
9–3=
;
=4–1
Scrivete i risultati della vostra discussione, avanzando proposte circa la percentuale di risposte
corrette.
II.1.f.
Lavoro di gruppo
3 B. ha riempito i quadretti dando le seguenti risposte (in grigio e corsivo):
96 – 32 = 68 ;
94 – 45 = 51;
51 + 42 = 57 + 44.
Potete trovare un ‘ragionamento’ comune che giustifichi questi risultati?
II.1.g. Commento alle schede.
Tutte le schede chiedono che l’insegnante dia la risposta prima di svolgere l’attività in classe.
Questa fase didattica, detta analisi a priori di un problema o di una consegna, è molto
importante in quanto costringe l’insegnante ad interrogarsi non solo su cosa deve fare in
classe, ma sui motivi che lo consigliano a svolgere un certo argomento. Un’altra costante
delle schede è la richiesta di pensare a quali saranno gli errori dei ragazzi nello svolgere le
consegne. L’esperienza maturata nelle sperimentazioni del progetto M2i permette di
concludere che questa richiesta è quasi impossibile da soddisfare pienamente, anche con una
conoscenza pluriennale dei propri alunni. In questi esercizi, provati in classe, gli intervistati
hanno superato in fantasia anche le previsioni dei ricercatori del progetto, con vari anni di
esperienza sul campo. Ma l’argomento delle misconcezioni (in aritmetica) che è assai poco
usuale nella tradizione scolastica italiana, per questo richiede un tale sforzo, attività
preliminare per individuare la presenza di misconcezioni nelle risposte scorrette (e talvolta
anche nelle risposte corrette, come ha mostrato il problema di Sara). Solo riconoscendo le
misconcezioni si può poi intervenire in modo efficace per debellarle.
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Parte II - II.2. Esempi di misconcezioni aritmetiche
II.2. Esempi di misconcezioni aritmetiche.
Un’attività che è possibile ad un ricercatore, ed è invece molto difficile per un insegnante, è
quella di proporre gli stessi quesiti ad un ampio campione scolastico verticale. Se una risposta
errata è data allo stesso quesito da soggetti di età e scolarità molto diverse, risulta difficile
sostenere che si tratti di un errore di ‘distrazione’ (terminologia spesso usata dagli studenti).
Rilevare quindi che ad una semplice addizione o sottrazione viene sbagliata nello stesso modo
da scolari di classe terza di scuola Primaria e da studenti universitari, pone seri interrogativi
sulle dinamiche interiori e sulle pratiche di insegnanti diversi che portano a questo stesso
risultato.
II.2.a. La scheda II.1.a.
Come pensate che operino i bambini quando chiedete di ordinare i seguenti numeri ?
E se sono dati i numeri?
23
203
0.23
0,203
-23
-203
-0.23
-0,203
L’introduzione dell’ordine tra i numeri naturali segue strade diverse.
Per numeri ‘piccoli’ si considera la quantità (approccio cardinale) o l’approccio ordinale o la
linea dei numeri ; ad esempio coi numeri 2 e 3.
Per numeri ‘grandi’ l’approccio mediante la cardinalità o la retta dei numeri è difficile da
applicare ed infatti prima si considera la lunghezza del numerale, poi si applica l’ordine
lessicografico, l’ordine con cui è costruito un vocabolario: ad esempio se si vogliono
confrontare i numeri 81 e 230, oppure 230 e 203.
Il successo ottenuto con tante applicazioni di queste semplici regole prepara la strada al
sorgere di una misconcezione ben analizzata nella letteratura didattica.
Questo schema è inappropriato (misconcezione) per gli altri sistemi numerici: frazioni,
numeri decimali, numeri interi relativi.
Da notare che l’introduzione dei numeri negativi cambia ancora le carte in tavola.
II.2.b. La scheda II.1.b.
F) Date le cifre 2, 5, 6, 8, utilizzatele …
_ _ + _ _ = ______ ; _ _ - _ _ = ______ ;
_ _ × _ _ = ______ ; _ _ : _ _ = ______ ;
Il quesito è semplice, ma può non esserne immediatamente compresa la formulazione. Forse
potevano esserci minori difficoltà di interpretazione del testo usando quattro bigliettini che
recavano le cifre, da posizionare, due per parte attorno al segno di operazione, e di qui
calcolare il risultato. Il biglietto ha una concretezza maggiore della ‘cifra’. Un problema
analogo, coi biglietti, è presente nella banca dati del Rally Matematico Transalpino (classi 4 e
5):
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IL PRODOTTO PIÙ GRANDE (Cat. 4, 5) ARMT©
Clara ha questi sei cartoncini:
x
1
4
2
5
3
Utilizzando i cartoncini con le cifre, Clara forma due numeri.
Tra questi numeri sistema il cartoncino con il segno di moltiplicazione.
Come deve disporre i cartoncini Clara per ottenere il prodotto più grande possibile?
Scrivete tutti i vostri calcoli.
La presenza dei bigliettini, pensati come oggetti concreti, rende difficile di ipotizzare, come è
avvenuto con bambini israeliani, la possibilità di ripetere le cifre.
II.2.b.1. Quesito con l’addizione
Risposte corrette:
85+62 = 147
82+65 = 147
oppure
oppure
62 + 85 = 147
65 + 82 = 147
quindi sono possibili quattro diverse disposizioni delle cifre che, in virtù della proprietà
commutative dell’addizione, si riducono a due.
Le spiegazioni più frequenti degli studenti:
a. “Metto il numero più grande nelle decine e gli altri nelle unità”
b. “Ho cercato i due numeri più grandi e li ho messi all’inizio dei numeri di due cifre e poi li
ho fatti seguire dagli altri numeri”.
Gli errori più frequenti (di bambini israeliani):
c. “La risposta è: 86 + 52 = 138, ho scritto il numero più grande che potevo trovare
usando le cifre date (86), poi ho scritto il numero più grande che potevo con le due cifre
rimanenti (52) in questo modo ho trovato la somma più grande”
d. “La risposta è 86 + 52 = 138, ho ordinato i numeri dal più grande al più piccolo, poi ho
raggruppato ciascuna coppia in numeri di due cifre".
e. “La mia risposta è 68 + 52 = 120, ed ho cercato di ottenere una somma che dia un
numero di 3 cifre.”
f. “Ho cercato con molti calcoli ed ho trovato che 85+68 = 151”
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Interessante la risposta e. in cui sembra evidente una misconcezione legata all’ordine: il
risultato di tre cifre è maggiore di quelli con due cifre che si potevano ottenere, si veda quanto
detto relativamente al quesito B).
II.2.b.2. Quesito con la sottrazione
Risposte corrette:
g. “Per iniziare ho scelto il numero più grande e poi il più piccolo”.
h. “Per ottenere il risultato maggiore nella sottrazione ho sottratto il numero più piccolo dal
più grande”.
i. “Ho costruito i numeri più piccoli ed ho scritto 28-25=3”
j. “Quando sottraggo un numero grande da un numero grande ottengo la differenza più
piccola: 85 – 62 = 23”
k. “Ho seguito il mio lavoro precedente ed ho ottenuto i numeri più grandi”
l. “La risposta è 86-52=34, ho messo i numeri più grandi nelle decine per ottenere il
risultato più grande”
m. “68 – 25 = 43 ho composto i numeri più piccoli per ottenere la differenza più grande”.
II.2.b.3. Quesito con la divisione
In questo quesito si sono riscontrate reazioni simili a quelle nel quesito con la sottrazione.
II.2.b.4. Quesito con la moltiplicazione
Il quesito più difficile è stato quello con la moltiplicazione.
Non tutti gli studenti che hanno trovato la risposta numerica giusta 82
spiegazione esauriente.
× 65 hanno dato una
Per esempio:
n. “La cifra più grande dà luogo al risultato più grande”
o. “Abbiamo messo le cifre più grandi nei valori delle decine e poi abbiamo provato in quale
ordine mettere le cifre delle unità.”
p. “Dobbiamo moltiplicare i numeri grandi per i numeri grandi"
L’errore più tipico che abbiamo trovato è stato
86 × 52 = 4472,
ma abbiamo ricevuto spiegazioni diverse come:
q. “Ho moltiplicato i numeri più grandi”
r. “Ho moltiplicato il numero più grande per il più piccolo”
s. “Ciò che ho trovato dopo i miei calcoli”
Un altro errore tipico è stato
11
t. “82
× 56 = 4592 Sono arrivato in questo modo alla risposta corretta”
II.2.b.5. La sperimentazione in Italia
Questi dati si possono integrare con i risultati della sperimentazione sugli stessi quesiti fatta in
Italia.
Sono stati coinvolti 204 bambini di terza, quarta e quinta (Scuola Primaria di Viadana (MN))
Di essi 60 bambini di terza hanno affrontato solo i quesiti su addizione e sottrazione, 40 di
quarta e 63 di quinta hanno svolto gli esercizi di addizione-sottrazione e moltiplicazionedivisione. Hanno partecipato anche 41 bambini di due quinte, ma dagli esiti e dalle risposte
fornite, pare evidente che l’insegnante abbia completamente frainteso il testo, imponendo la
condizione che il risultato delle operazioni fosse di due cifre. Scrivono infatti bambini di
queste classi:
Per l’addizione: “Ho provato tante volte ma mi usciva sempre un numero con 3 cifre ma dopo
un po’ mi sono uscite 2 cifre”
Per la moltiplicazione: “nella moltiplicazione, non potendola fare di due cifre perché sarebbe
venuto troppo grande ho fatto il numero più grande a una cifra (8) per il secondo numero più
grande a una cifra (6)”
Prescindendo da questi dati inaffidabili si hanno i seguenti risultati:
Classe n.alunni Addizione Sottrazione Moltiplicazione Divisione
3A
22
22.73%
27.27%
3B
17
0.00%
23.53%
3E
21
33.33%
33.33%
4C
19
36.84%
73.68%
10.53% 68.42%
4D
21
42.86%
76.19%
14.29% 66.67%
5A
19
52.63%
68.42%
36.84% 73.68%
5B
20
55.00%
65.00%
35.00% 65.00%
5C
24
54.17%
66.67%
16.67% 75.00%
Freq
39.26%
54.60%
22.33% 69.90%
esatti
II.2.b.6. Spiegazione matematica.
I numeri da comporre hanno la struttura (A×
×10 + B) e (C×
×10 + D), ove A, B, C e D sono le
cifre indicate nel testo della consegna. Già il passaggio dalla scrittura in cui le cifre sono
semplicemente accostate a formare un numero, al valore posizionale delle cifre non è banale e
per questo passaggio si verificano casi di incomprensione anche nella scuola superiore.
Era possibile una strategia di soluzione di tutti i quesiti, considerando tutti e 24 i casi possibili
(legati alle permutazioni delle quattro cifre). Ma si trattava di una strategia dispendiosa che
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avrebbe richiesto almeno 96 calcoli. Le risposte (errate) f. e s. sembrano riflettere questa
strategia.
Il quesito richiede sia le operazioni che l’ordine.
I ragazzi hanno agito (almeno parzialmente) con una strategia di riduzione dei casi. La si
desume dal tutte le risposte riportate sopra, tranne le risposte (errate) e., f. (forse), i., e j. (nei
quali è evidente l’incomprensione della consegna).
Per l’addizione, il risultato dell’addizione è (A+C)×10 + (B+D). Per ottenere il risultato più
grande bisogna che sia massimo A+C, quindi basta prendere le due cifre più grandi. In questo
caso si hanno più soluzioni possibili accorpando diversamente le cifre, quindi A = 6 e B = 8
oppure A = 8 e B = 6, le altre due lettere si scambiano i ruoli di 2 e 5. Si ottengono così i
possibili quattro casi (che poi per opera della proprietà commutativa dell’addizione si
riducono a due).
×10 + (B - D) oppure (A – C – 1)×
×10 + (B +
Per la sottrazione il risultato è dato da (A – C)×
10 – C). per rendere massima la differenza bisogna che A – C sia massima e quindi A = 8 e C
= 2 e non ci sia riporto, B = 6 e D = 5; 86
- 25 = 61 (un solo caso).
La risposta corretta per la divisione si ottiene con la stessa coppia di numeri che forniscono la
risposta corretta per la sottrazione 86 : 25 = 3,44.
In realtà il quesito è ambiguo in quanto in una divisione non è chiaro cosa sia il risultato, ed
inoltre può dipendere pesantemente dal contratto didattico. Ad esempio se non è stata ancora
affrontata la divisione con quoziente decimale e si vuole il resto nullo, è possibile un’unica
risposta: 56 : 28 = 2. Se si accetta divisione tra numeri naturali e il risultato è il quoziente
anche se il resto non è nullo, allora 85 : 26 = 3 e pure 86 : 25 = 3, con resti diversi. Se
si ammette la divisione in cui il risultato è il quoziente con una (due) cifra(e) decimale(i), e
non ha importanza il resto, allora si ottiene quello che per i ricercatori israeliani è il risultato
‘giusto’, 86 : 25 = 3,4(4). Con le due cifre decimali il resto è nullo. Se poi per risultato si
intendeva il resto della divisione tra numeri naturali, la risposta è ancora altra: 65
: 82 =
65. In questo quesito è importante il ruolo di 0 come numero di cifre decimali, come resto o
come quoziente (naturale).
Si osservi che 86 – 25 =
61 è l’unica risposta corretta al quesito relativo alla sottrazione.
Il quesito con la moltiplicazione è matematicamente il più complesso e il numero dei risultati
esatti è stato inferiore a quelli delle altre operazioni.
Il risultato della moltiplicazione è dato da
(A×
×10+B)×
×(C×10+D) = ((A×
×C)×
×100) + ((A×
×D)+(B×
×C))×
×10 + B×
×D.
Scritto in questo modo sembra che si tratti di un numero di tre cifre, ma è immediato
constatare che comunque prese due delle cifre assegnate il loro prodotto supera la decina:
2×
×5 = 10; 2×
×6 = 12; 2×
×8 = 16; 5×
×6 = 30; 5×
×8 = 40; 6×
×8 = 48, quindi il
13
risultato è un numero di quattro cifre. Nell’elencazione precedente si fa uso della proprietà
commutativa della moltiplicazione, altrimenti ci sarebbero da elencare altri 6 prodotti
scambiando i fattori.
Si tratta quindi di massimizzare il prodotto A×
×C, e ciò avviene in modo analogo a quanto
provato per la moltiplicazione, quindi A = 8 e C = 6 oppure A = 6 e C = 8. Il prodotto
cercato è quindi maggiore di 4800. Anzi visto questa scelta si può affermare che il numero
cercato è maggiore di 4810, tenendo conto che le cifre rimanenti sono B = 2 e D = 5,
oppure B = 5 e D = 2, che forniscono comunque il prodotto 10.
Per individuare la soluzione richiesta bisogna rendere massimo il termine
((A×
×D)+(B×
×C))×
×10. Come detto in precedenza, i due prodotti indicati sono, ciascuno,
maggiori di 10, quindi si tratta di un numero con tre cifre.
Avendo determinato i possibili valori delle quattro cifre mediante le considerazioni precedenti
resterebbero quattro casi da trattare. Per massimizzare il risultato basta scegliere A e D in
modo da ottenere il massimo possibile e dai prodotti precedenti (a parte la proprietà
commutativa) si ricava A = 8 e D = 5 e di conseguenza C = 6 e B = 2, oppure massimizzare
B e C, scegliendo C = 8 e B = 5 e di conseguenza A = 6 e D = 2. Le due coppie ottenute
sono tra le quattro coppie che forniscono il risultato corretto per il quesito sull’addizione. Le
soluzioni sono quindi 82 × 65 = 5330 oppure 65 × 82 = 5330, e per la proprietà
commutativa della moltiplicazione, si tratta di un’unica soluzione possibile.
Questa argomentazione è complessa e forse la sua intrinseca articolazione (anche implicita) è
al di là della portata degli allievi di scuola elementare. Ciò giustifica i risultati della
sperimentazione.
N.B. Il problema del Rally coi cartoncini ha per soluzione 431 × 52 = 22.412. La strategia
ritenuta migliore per risolverlo è la seguente:
Osservare che si ottengono i prodotti più grandi se uno dei fattori comincia con la cifra 5 e
l’altro con la cifra 4.
- Capire che sono possibili due tipi di prodotti:
i prodotti nei quali uno dei fattori è un numero con tre cifre e l’altro un numero con due
cifre, e ancora i prodotti nei quali uno dei fattori è un numero con quattro cifre e l’altro un
numero ad una cifra.
- Calcolare i prodotti suscettibili di fornire la soluzione :
532 × 41 ; 531 × 42 ; 521 × 43 ; 432 × 51 ; 431 × 52 ; 421 × 53 poi 5 × 4321 e 4 × 5321;
dedurre che 431 × 52 = 22412 è la soluzione richiesta.
14
Parte III - III.I. Il questionario sull’uguaglianza
Parte III: Un questionario sull’eguaglianza e suoi risultati ottenuti con la collaborazione
di scuole di Foligno e Roma.
III.1. Il questionario sull’uguaglianza.
Le schede II.2. b. – f. sono relative ad un questionario sull’uguaglianza, di cui sono autori
Anne Cockburn e Paul Parslow-Williams. Il questionario è ispirato ad analoghi esempi noti
nella letteratura, con qualche novità nella scelta dei quesiti.
Il questionario è articolato in 2 livelli (numeri con una cifra, livello 2; numeri con due cifre,
livello 3) e in diversi tipi di domande (a = addizione, s = sottrazione); in ogni livello 27
quesiti, per un totale di 54 domande. Si è preferito presentare separatamente le domande con
addizione e quelle con la sottrazione. Di fatto, per rispondere correttamente lo studente deve
utilizzare in ciascun foglio entrambe le operazioni. La traduzione italiana è solo nelle parole
introduttive.
15
Problemi relativi all’uguaglianza
Puoi completare queste relazioni numeriche?
Scuola………………………Classe…………………… Studente n. …………………
Livello 2a
a) 7 + 2 =
b) 5 +
=8
c)
+ 4=9
d)
=3+4
e) 5 =
+1
f) 8 = 5 +
g) 5 + 4 =
+8
h) 6 + 2 = 3 +
i) 1 +
j)
=6+2
+3 =7+2
k) 5 +
=
+ 7
l) 9 =
m) 5 + 4 =
n) 4 + 3
+ 6
= 2 +
=
=
+1 =
16
Livello 2s
a) 9 – 3 =
b) 7 -
=2
c)
-4=5
d)
=4–1
e) 5 =
-1
f) 5 = 7 g) 5 – 4 =
-8
h) 6 – 2 = 9 i) 7 j)
k) 6 -
=8–2
-3=7–5
=8-
l) 5 - 4 = 7 m) 8 – 5 = 5 -
=
=6-
=
17
Problemi dell’Uguaglianza
Puoi completare queste relazioni tra numeri?
Livello 3a
a) 47 + 21 =
b) 51 +
= 68
c)
+ 14 = 49
d)
= 52 + 19
e) 54 =
+ 28
f) 87 = 51 +
g) 51+ 42 =
+ 44
h) 61 + 25 = 35 +
i) 17 +
= 16 + 29
j)
+ 35 = 45 + 20
k)
+ 21=
+ 11
l) 52 + 14 = 18 +
m) 32 +
25
=
=
+ 16 =
n) 42=
18
Livello 3s
a) 96 - 32 =
b) 79 -
= 25
c)
- 45 = 51
d)
= 24 - 13
e) 57 =
- 12
f) 53 = 78 g) 50 - 22 =
- 25
h) 66 - 22 = 80 i) 95 j)
= 68 - 25
- 30 = 75 - 54
k) 50 -
= 25 -
l) 58 - 16 =
62 -
m) 48 -
= 47 -
=
= 46 -
19
=
III.1.a. Scopi del questionario
Il questionario è stato pensato per essere somministrato ai bambini della scuola primaria e per
questo si è‘ deciso di presentare ciascuna serie omogenea di quesiti su un unico foglio,
formato A4, in modo da non causare interferenza tra domande sull’addizione e domande sulla
sottrazione. Però per confrontare il comportamento dello studente e valutare
complessivamente la prova è indispensabile che ogni foglio domande rechi il modo di
individuare lo studente, ad esempio col numero sul registro.
Se il test viene svolto in più classi o l’insegnante intende contribuire alla ricerca che sto
facendo, allora interessa l’indicazione della scuola e della classe. Qualora l’insegnante voglia
contribuire alla ricerca che sto svolgendo, può inviarmi i questionari completi di dati
identificativi o lo spoglio degli stessi, con solo le risposte date a ciascuna domanda ed io
invierò l’analisi comparata dei risultati ottenuti dall’insegnante col campione nazionale che si
sta costruendo.
La spaziatura originale tra le domande è quindi diversa da quella adottata qui dato che questo
documento utilizza sul foglio spazi per intestazione e piede di pagina. Se si vuole riprodurre
‘in originale’ il questionario bisogna impostare le pagine con i seguenti margini: Superiore
0.75 cm, Inferiore 1.25 cm, Sinistro e Destro 3.17 cm, Rilegatura 0 a Sinistra.
Si è mantenuto questo formato anche per gli studenti degli altri tipi di scuole (università), ma
per essi potrebbe essere sufficiente porre i quesiti 2a e 2s, come pure i quesiti 3a e 3s su una
stessa pagina, come per altro è stato fatto in una terza superiore.
I tempi e le modalità di somministrazione sono lasciati all’insegnante. In una classe di
Primaria potrebbero essere somministrati i quattro fogli del questionario in giorni diversi, in
una scuola Secondaria si potrebbero dare due o quattro fogli contemporaneamente. La
variabile tempo è comunque importante: bisogna mettere gli studenti in condizioni di ‘stress’
per riuscire a fare emergere le misconcezioni, quando i meccanismi di controllo non hanno
tempo e modo di essere applicati, secondo quanto illustrato da Zan.
Gli scopi del questionario sono i seguenti:
• risposte errate – confronto verticale per individuare misconcezioni e/o errori;
• risposte errate – analisi della risposta e tentativi di spiegazione;
• risposte corrette – analisi della risposta per individuare la presenza/assenza delle
proprietà formali dell’uguaglianza (riflessiva, simmetrica e transitiva) e delle
operazioni;
• rilevamento dell’interpretazione dell’uguaglianza come relazione o come procedura.
In base alla letteratura didattica più recente, la comprensione del ruolo dell’uguaglianza come
relazione che gode della proprietà strutturali è passo estremamente importante per
l’apprendimento delle equazioni. Siccome l’uguaglianza viene presenta assieme alle
operazioni aritmetiche, gli esiti di questa sperimentazione consigliano di prestare maggiore
attenzione didattica al concetto in sé, a partire dalla scuola Primaria, senza rapporto con le
operazioni.
III.1.b. Le parentesi
In Italia il questionario è stato modificato da me per studiare se la presenza di parentesi ha
effetti positivi o negativi sulla soluzione dei quesiti. Si sono quindi introdotte parentesi inutili
dal punto di vista del calcolo per testare se effettivamente sono inutili o hanno un ruolo di
facilitatori del processo di soluzione. Si è così introdotto un altro scopo della ricerca:
• Valutare l’influenza delle parentesi.
Come si vedrà dalle successive schede le domande sono ‘le stesse’ in quanto la modifica
riguarda solo la presenza delle parentesi, con una eccezione: il quesito 2s.i che nella versione
20
originale è dato da 7 - = 8 – 2, si presenta nella versione con parentesi, sempre come
quesito 2s.i, nelle forma (6 - ) = (8 – 2), per costringere in questo modo ad avere almeno una
domanda la cui risposta è 0. Ciò perché il ruolo dello zero è assai critico nella scuola Primaria
e oltre.
Le quattro pagine del questionario con le parentesi sono le seguenti:
21
Livello 2a
(
)
a) 7 + 2 =
(
)=8
b) 5 +
(
c)
)
+4 =9
(
d)
= 3+4
e) 5 =
(
+1
(
)
)
)
f) 8 = 5 +
(
) (
(
) (
g) 5 + 4 =
+8
)
)
h) 6 + 2 = 3 +
(
) = (6 + 2 )
(
+3 = 7+2
i) 1 +
j)
(
k) 5 +
) (
)
)=(
+7
)
l) 9 =
(
) (
+6 =
(
) (
)=(
m) 5 + 4 =
n) 4 + 3 = 2 +
)
)
+1 =
22
Livello 2s
(
)
a) 9 – 3 =
(
)=2
(
-4 =5
b) 7 c)
)
(
d)
= 4–1
e) 5 =
)
(
-1
(
)
f) 5 = 7 -
(
) (
(
) (
)
g) 8 – 7 =
-8
)
h) 6 – 2 = 9 -
(
i) 6 j)
) = (8 – 2 )
(
-3 = 7–5
(
) = (8 -
k) 6 -
(
) (
) (
l) 5 - 4 = 7 -
(
)
) (
m) 8 – 5 = 5 -
)
)
)=
) = (6 -
)=
23
Livello 3a
(
)
a) 47 + 21 =
(
) = 68
(
+ 14 = 49
b) 51 +
c)
)
(
d)
= 52 + 19
e) 54 =
(
+ 28
(
)
)
)
f) 87 = 51 +
(
) (
(
) (
g) 51+ 42 =
+ 44
)
)
h) 61 + 25 = 35 +
(
i) 17 +
) = (16 + 29)
j)
(
+ 35 = 45 + 20
) (
)
k)
(
+ 21 =
) (
+ 11
(
) (
l) 52 + 14 = 18 +
(
) (
m) 32 + 25 =
)
)=
)
+ 16 =
n) 42=
24
Livello 3s
(
)
a) 96 – 32 =
(
)
(
- 45 = 51
b) 79 c)
= 25
)
d)
= 24 – 13
(
)
e) 57 =
(
- 12
)
(
)
f) 53 = 78 -
(
) (
(
) (
g) 50 – 22 =
- 25
)
)
h) 66 – 22 = 80 -
(
) = (68 – 25)
(
- 30 = 75 – 54
(
) = (25 -
i) 95 j)
k) 50 -
(
) (
) (
l) 58 – 16 = 62 -
(
m) 48 -
) = (47 -
)
)
)=
) = (46 25
)=
III.1.c. Modalità consigliata di somministrazione del questionario.
Se l’insegnant,e lettore di queste note, volesse provare nelle classi come rispondono i suoi
alunni può agire in questo modo:
- il questionario deve essere somministrato individualmente, dato che le misconcezioni
sono individuali e il confronto (o la copiatura) tra compagni nasconderebbe il
fenomeno. Eventualmente dopo la raccolta dei questionari è possibile discuterne
singolarmente mediante interviste, oppure in gruppo, chiedendo quale ragionamento
potrebbe giustificare una risposta sbagliata.
- per garantire una distribuzione bilanciata tra quesiti con e senza parentesi, l’insegnante
può prepararsi una scaletta in cui suddividere i ragazzi in gruppi di 16.
Infatti i possibili accoppiamenti dei fogli di domande sono i seguenti
2a – 2s – 3a – 3s
2a – 2s – 3a – 3sPar
2a – 2s – 3aPar – 3s
2a – 2s – 3aPar – 3sPar
2a – 2sPar – 3a – 3s
2a – 2sPar – 3a – 3sPar
2a – 2sPar – 3aPar – 3s
2a – 2sPar – 3aPar – 3sPar
2aPar – 2s – 3a – 3s
2aPar – 2s – 3a – 3sPar
2aPar – 2s – 3aPar – 3s
2aPar – 2s – 3aPar – 3sPar
2aPar – 2sPar – 3a – 3s
2aPar – 2sPar – 3a – 3sPar
2aPar – 2sPar – 3aPar – 3s
2aPar – 2sPar – 3aPar – 3sPar
In questo modo per ogni gruppo di 16 studenti ci sono 8 esemplari dello stesso foglio di
domande, ma ciascuno dei 16 ha un compito diverso da quello degli altri. Nel caso che il
numero degli studenti non sia un multiplo di 16, si possono scegliere gli esercizi da dare
doppiando alcuni dei questionari in modo che al massimo 2 studenti abbiano la stessa prova.
Se l’insegnante ha più di una classe dello stesso livello, i gruppi di 16 possono comprendere
studenti di classi parallele.
Se l’insegnante ha qualche dubbio sul come organizzare la prova può trarre spunto dal
documento TestEguagFoligno.pdf scaricabile dal sito http://www.unipr.it/arpa/urdidmat/M2ip
e che si consiglia di stampare fronte-retro.
III.2. La sperimentazione del test sull’uguaglianza.
Nell’anno scolastico 2007-2008 si è condotta la sperimentazione su 10 tipi di classi, dalla
seconda Primaria alla terza di Secondaria di 2° grado e su matricole dell’Università. Sono
stati coinvolti 1.147 studenti e si sono analizzate 62.836 risposte.
Come detto in precedenza la verticalità della ricerca offre la possibilità di individuare
misconcezioni.
Si mostra un primo schema riassuntivo in cui si mostrano numeri di risposte (in rosso) con
le percentuali di successo (in blu). Per successo si intende considerare il numero di risposte
esatte rispetto al numero di quesiti sottoposti, assimilando così le risposte mancanti alle
risposte errate.
Le caselle a sfondo giallo sono relative alla versione originale del test, quelle a sfondo azzurro
sono invece relative alla versione con parentesi. Le classi vengono indicate col numero nella
prima colonna e tale numero rappresenta gli anni di scolarità.
Nella prima riga si denotano i fogli delle domande dei vari livelli. Si noti che nella scuola
Primaria gli alunni che hanno svolto la prova con parentesi sono quasi tutti tra quelli che
hanno svolto la prova senza parentesi, in quanto l’intervallo tra le due prove è stato maggiore
di due mesi e si è valutato che non ci fossero pericoli di ricordarsi le soluzioni dei problemi
proposti.
Negli altri ordini scolastici il campione degli studenti che hanno risposto ad un foglio di
domande senza parentesi è disgiunto da quello degli studenti che hanno svolto gli esercizi
dello stesso livello con le parentesi.
26
Parte III - III.2. La sperimentazione del test sull’uguaglianza
2a
2
2s
49,9
3
60,7
4
54
83
36
58,1
56,2
3a
3s
(2a)
36
81
36
41,8
73
24
32,4
37
20
85,1
81,5
(2s)
22
48
22
67,5
(3a)
(3s)
22
22
23
23
76,2
72,2 78,9 66,9 92,2 88,5
88,2 83,6
114
96
96
113
114
114
113
113
84,4
78,3 76,3 69,4 91,6 86,0
80,6 75,7
138
140
145
142
144
142
137
140
81,0
80,0 74,4 57,1 85,6 83,01 72,6 64,1
82
85
82
83
92
87
92
87
86,2
83,9 83,9 67,6 86,2 84,4
71,8 65,9
95
69
69
93
68
93
93
70
88,3
88,7 86,9 75,0 94,5 89,2
84,7 79,7
30
32
30
26
32
30
32
35
88,64 79,3 76,4 65,4 92,6 90,8
76,1 72,3
9
9
10
10
13
13
12
12
73,8
56,4 60,0 51,5 69,2 66,9
67,9 21,8
25
21
19
23
22
26
28
24
96,6
98,2 97,7 82,3 97,4 96,2
83,7 78,2
60
60
52
52
97,1 89,5
94,9 89,9
5
6
7
8
9
10
11
14
Tabella 1
La seguente Tabella 2 offre altre informazioni sullo stesso campione.
Scuole
Classi
Primaria
Seconda
(54+22) MN
Terza (83+48) MN
Secondaria 1°
grado
Prima
(145+144)
PR, CR, LO,
PG, Roma
Seconda (82+92) PR, Terza (94+93) PR,
CR, LO, PG, Roma
CR, PG, Roma
Secondaria 2°
grado
Prima (32+35) Seconda (10+13) PR Terza (25+28)
MN, PR
MN, PR
Quarta (36+23)
MN
Quinta
(114+114)
PR
Matricole Università
(60+52) PR
di Parma (*)
Tabella 2
I numeri a sfondo giallo indicano il numero degli studenti che hanno ricevuto protocolli senza
parentesi, mentre quelli a sfondo azzurro i numeri degli studenti che hanno risolto i quesiti
27
con le parentesi. Nello schema sono indicate le sigle delle province in cui si è svolta la
sperimentazione.
Riguardo al successo (in percentuale) si può considerare la Successiva Tabella 3, che fornisce
anche il numero di domande e di risposte
TOT
2a
(2a)
2s
(2s)
3a
(3a)
3s
(3s)
n. dom
14
14
13
13
14
14
13
13
n. ques 9.008 8.050 7.564 7.124 8.218 8.148 7.552 7.228
n. risp 8.792 7.879 7.206 6.970 7.759 7.673 6.757 6.542
Risp% 97,60 97,88 95,27 97,84 94,41 94,17 89,47 90,51
n. esatt 7.095 7.108 5.797 6.066 6.034 6.455 5.056 5.213
Esatte% 78,76 88,30 76,64 85,15 76,71 79,22 66,95 72,12
Tabella 3 - Campione nazionale globale
Dal raffronto tra le colonne a sfondo giallo e quelle a sfondo azzurro immediatamente alla
destra si può affermare che generalmente la presenza delle parentesi migliora il numero delle
risposte ai quesiti (tranne la coppia 3a e 3aPar), mentre il miglioramento del successo
percentuale varia da un minimo di 2,51 ad un massimo di 9,54 punti percentuali. Un’analisi
per classe data nella Tabella 1, mostra che le parentesi migliorano la prestazione nelle classi
degli alunni più giovani, dalla seconda Primaria alla prima di scuola Secondaria di primo
grado. Per gli studenti più grandi, la presenza delle parentesi in certi casi peggiora il tasso di
successo.
Questo fatto dà da pensare perché i bambini della scuola Primaria non hanno un insegnamento
specifico sul ruolo delle parentesi, cosa che invece avviene quando si iniziano le cosiddette
espressioni.
III.3. I dati della scuola Secondaria di Primo grado.
Ho ricevuto dalle scuole di Foligno e dintorni, e da Roma, tramite il Laboratorio di Scienze
Sperimentali di Foligno, un nutrito pacco di protocolli svolti in classi di scuola Secondaria di
Primo Grado. Illustro ora i risultati del campione nazionale di questo livello scolare, per fare
poi un confronto tra quello che hanno prodotto gli studenti di Foligno e Roma (ma d’ora in
poi, pur sbagliando, parlerò solo di Foligno).
Per comodità del lettore scorporo dalla tabella 1 i dati di questo tipo di scuola.
In essa i numeri che compaiono in rosso indicano percentuali di risposta e di successo
inferiori a quelle riscontrate sul campione globale, mentre i numeri in blu, valori superiori a
quelli medi del campione globale.
28
Parte III - III.3. I dati della scuola Secondaria di Primo Grado
SS1°G
2a
(2a)
2s
(2s)
3a
(3a)
3s
(3s)
n. ques 4.382 4.228 3.809 4.173 4.144 4.508 4.134 3.861
n. risp 4.317 4.123 3.687 4.101 4.010 4.284 3.740 3.497
Risp% 98,52 97,52 96,80 98,27 96,77 95,03 90,47 90,57
n. esatt 3.702 3.710 3.166 3.553 3.309 3.422 2.699 2.636
Esatte% 84,48 87,75 83,12 85,14 79,85 75,91 65,29 68,27
Tabella 4 - Campione nazionale di scuola Secondaria di 1° Grado
Dalla Tabella 4 si evince che la scuola Secondaria di 1° grado dà un contributo positivo alla
media delle risposte del campione nazionale globale (tranne che per le domande di 2aPar). Per
la media di successo, per le domande senza parentesi il contributo è positivo tranne che per
3a, ma per tutti i quesiti con le parentesi, la scuola Secondaria di Primo grado, abbassa la
media del campione nazionale globale.
Sui certi quesiti con le parentesi, la scuola Secondaria di 1° Grado, nel suo complesso non
raggiunge il successo registrato in quarta e neppure in quinta.
Le successive tre tabelle mostrano i dati del campione nazionale di scuola Secondaria di 1°
grado suddiviso per classi.
I
2a
(2a)
2s
(2s)
3a
(3a)
3s
(3s)
n. ques 1.932 2.016 1.820 1.846 2.030 1.918 1.846 1.820
n. risp 1.890 1.959 1.737 1.810 1.954 1.795 1.635 1.534
Risp% 97,83 97,17 95,44 98,05 96,26 93,59 88,57 84,29
n. esatt 1.565 1.725 1.455 1.533 1.508 1.391 1.054 1.116
Esatte% 81,00 85,75 79,95 83,04 74,29 72,52 57,10 64,07
Tabella 5 - Classe Prima
29
Nella Tabella 5, come nelle due successive i numeri in rosso indicano che la classe fa
decrescere il valore medio del campione nazionale della scuola Secondaria di Primo Grado,
mentre i numeri in blu (che sono assenti dalla Tabella 5) indicano il fatto che il contributo
dato dalla classe alla media del campione nazionale della scuola Secondaria di Primo Grado è
positivo.
Anche il colore dello sfondo ha un suo significato. La casella con lo sfondo rosa,
segnala
che il valore numerico della casella è inferiore a quello del campione nazionale globale,
mentre la casella a sfondo azzurro,
mette in luce che il contributo alla media del campione
nazionale globale è positivo.
Sulla base di ciò, si può dire che i risultati delle classi prime abbassano la media del campione
nazionale della scuola Secondaria di Primo Grado, sia come percentuale di risposte che come
successo. Confrontati i risultati della prima con quelli del campione nazionale globale, ci sono
alcuni segnali di positività sul numero delle risposte, ma ben pochi per quanto riguarda il
successo.
II
2a
(2a)
2s
(2s)
3a
(3a)
3s
(3s)
n. ques 1.134 1.274 1.105 1.131 1.148 1.288 1.079 1.131
n. risp 1.125 1.233 1.074 1.113 1.111 1.217
963
1.033
Risp% 99,21 96,78 97,19 98,41 96,78 94,49 89,25 91,34
n. esatt
978
1.099
927
955
962
928
729
745
Esatte% 86,93 86,26 83,89 84,44 83,80 72,05 67,56 65,87
Tabella 6 - Classe Seconda
La Tabella 6 mostra che i contributi al successo per le domando senza parentesi sono sul
piano globale ed anche nel confronto col campione nazionale della scuola Secondaria di
Primo grado. La situazione si capovolge completamente per le domande con le parentesi.
30
Parte III - III.4. Risposte alle schede II.1.c. – e.
III
2a
(2a)
2s
(2s)
3a
(3a)
3s
(3s)
n. ques 1.316 938
884
1.196
966
1.302 1.209
910
n. risp 1.303 931
876
1.178
945
1.272 1.136
825
Risp% 99,01 99,25 99,10 98,49 97,83 97,70 93,96 90,66
n. esatt 1.161 911
784
1.065
839
1.103
907
725
Esatte% 89,10 97,12 88,69 89,05 86,85 84,72 75,02 79,67
Tabella 7 - Classe Terza
In virtù dei risultati riassunti nella Tabella 7 si può affermare che nella classe terza si è
compiuta una maturazione degli studenti che li porta a risultati positivi per quanto riguarda la
percentuale di risposte ed anche per il tasso di successo..
Quindi nei tre anni di scuola Secondaria di Primo Grado c’è un percorso positivo che, di fatto
recupera la difficoltà, probabilmente legata al passaggio dalla scuola Primaria a quella
dell’ordine successivo. La fase di passaggio si avverte anche tra la scuola Secondaria di Primo
grado e quella di Secondo grado, come è possibile desumere dalla tabella 1.
Queste ‘crisi’ sono inattese data la estrema semplicità dei quesiti, presupponendo che il sapere
aritmetico sia acquisito una volta per tutte. I risultati dicono che non è così ed ogni volta lo
studente si trova costretto a ‘ricreare’ la sua conoscenza degli algoritmi di base.
Se mi si consente un paragone, un 60% di successo in seconda elementare è un risultato
miglior di un 90% all’università, dove ci si aspetta che i problemi assegnati abbiano tutte le
risposte esatte (ma così non è!)
III.4. Risposte alle schede II.1.c. – e.
Se il lettore ha seguito scrupolosamente i consigli dati sul modo di utilizzare le schede
presentate nel paragrafo II.1, avrà scritto, a suo tempo le risposte alle varie domande. È il
momento di confrontarle con quelle che hanno dato i ragazzi del campione nazionale globale
e quelli di Foligno della scuola Secondaria di Priomo Grado.
III.4.a. La scheda II.1.c.
Lavoro di gruppo
Secondo voi, uno studente che sbaglia, quale risultato potrebbe mettere nel quadretto?
96 - 32 =
Iniziate lavorando da soli e poi discutete le vostre proposte specificando i ragionamenti che
pensate gli scolari possano fare
31
Il quesito ha avuto il 93,25% (93,86%) di risposte esatte, quindi globalmente si può ritenere
un quesito facile. Ecco le 30 (28) risposte sbagliate date da studenti italiani. Accanto a queste
sono da considerare anche le 11 (8) risposte mancanti. I numeri tra parentesi indicano le
risposte del questionario 3sPar. Analizzate i loro errori/misconcezioni per tentare di
comprendere cosa hanno pensato? Queste risposte sono in accordo con quanto avete pensato
prima?
3A 01
54 6FERE 17
3C A.
54 6FERF 26
(52) 7FoG MD
3C B.
68 6FERG 04
(34) 7L G.
3C D.
69 6FERG 05
63 7RC 06
3C M.
62 6FoC 16
63 7RE Totti
94
4 A.
34 6FoG E
(30) 8FERD 06
164
4 F.
52 6FoG G
(66) 8FERD 14
68
4 S.
63 6FoG L
3
8FERD 16
34
5B A.
(34) 6FoM 02
5
8FoG Pooh
62
5B G.B.
(74) 6L T.
5C C. C.
(34) 6RE Minni
36 7FoG L
(52) 8RC 07
(33)
(62)
2
(128)
(74)
60 9T 1A01
(34)
5C L.
56 7D L.D.
(65) 9T 1A11
(34)
5E E.
74 7FERA 17
(34) 9T 1B10
34
5E L.
(96) 7FERA 21
(34) 9V 90
(16)
5E M.V.
(63) 7FERB 11
(20) 10G 08
(29)
6D O.
78 7FERD 02
34 14 Bio 01
(65)
6FERB 09
34 7FERD 05
(128) 14 M 11
(34)
6FERB 12
34 7FERD 11
(34) 14 M 12
(34)
6FERB 17
34 7FoG DeG
6FERB 20
9
34
(62)
7FoG K
Tabella 8 - Risposte errate al quesito 3s.a)
Si osservi che questo quesito ha avuto risposte errate nella scuola Primaria, nella scuola
Secondaria e, sorprendentemente, anche all’università (tra le matricole di Matematica!!!). La
32
risposta errata più frequente è 34 (18 volte su 58), presente in ogni ordine scolastico. È
difficile considerare tale risposta dovuta a distrazione o errore di calcolo!
Le caselle con sfondo grigio sono relative a studenti di Foligno. Come si vede sono poco
numerose (14 su 58 e 14 su 35 della scuola Secondaria di Primo Grado). Un solo studente di
Foligno in seconda si è lasciato attrarre dalla sirena della risposta 34. La risposta errata più
presente a Foligno è 62 (con frequenza assoluta 3 su 12 casi e tutti e tre in seconda e in terza)
Possibili spiegazioni degli errori presentati
96 – 32 = 54 perché si va a prestito nelle decine.
Analogamente 96 – 32 = 63 perché si calcola 9-3 = 6 e poi si va a prestito delle unità.
In questo caso bisogna controllare se il bambino inizia l’algoritmo della sottrazione da sinistra
(come nella divisione) Misconcezione
96 – 32 = 34 perché invece di 96 si calcola 66 – 32. Analoga spiegazione 96 – 32 =
74 perché si calcola 96 – 22. È possibile che 96 – 32 = 63 come risultato di 96 – 33
e pure 99 – 33 = 66. Ascrivibile a difetti di lateralizzazione.
Più complessa la risposta 96 – 32 = 68 e su questa si torna in seguito. Interessante
osservare che tale risposta pur essendo poco frequente (2 casi) è data in terza Primaria e terza
Secondaria di 1° grado. Anche 96-32 = 69 potrebbe avere la stessa giustificazione,
considerando 96
– 33. Analogo discorso potrebbe giustificare 96 – 32 = 78 complicato
dall’errato computo delle decine. Misconcezione
La risposta 96 è conseguenza di un’attenzione molto locale, lo stesso dicasi per la risposta 3,
risultato della differenza delle cifre adiacenti in segno di sottrazione, mentre 5, potrebbe
essere la differenza delle sole unità, sotto l’influenza della linea dei numeri. Anche 2 potrebbe
essere dovuta all’attenzione molto locale all’ultima cifra soltanto, quella più vicina
all’uguaglianza.
La risposta 33 potrebbe essere il risultato dell’attenzione al solo sottraendo, con l’aggravante
della ripetizione della cifra, legata alle difficoltà di lateralizzazione. Misconcezione
128 è il risultato dell’addizione (l’interpretazione del segno di sottrazione come addizione è
attivo in altri items) Misconcezione
Non sono riuscito a trovare spiegazioni accettabili per
96 – 32 = 62; 96 – 32 = 52 ma potrebbero essere correlate (a parte il riporto) e per
96 – 32 = 65. La risposta 96 – 32 = 56 potrebbe essere ricondotta a quella precedente
con uno scambio di cifre. Pure resistenti alla giustificazione i casi 96 – 32 = 30 e 96 –
32 = 16.
I casi 96 – 32 = 60 e 96 – 32 = 94 potrebbero essere correlati, nel senso che il primo
è il risultato di avere trascurato le unità, mentre nel secondo sono trascurate le decine del
sottraendo.
Restano non chiarite le ragioni delle risposte 20, 29, 164 che potrebbero essere ottenute
come applicazione di più misconcezioni oppure semplici errori
33
di calcolo.
Gli studenti che hanno dato risposte non minori di 96 oppure risposte date da numeri con una
sola cifra, non hanno il cosiddetto senso del numero che porta a dire che in una
sottrazione dei numeri naturali il risultato è minore del minuendo, e che se le cifre delle
decine sono ‘molto diverse’ nel senso che la loro differenza è maggiore di 2, la risposta non
può essere un numero naturale minore di 10. Il fatto che in queste condizioni ci siano ancora
studenti della scuola Secondaria di Primo Grado è abbastanza sorprendente e lo si può ritenere
un errore più grave di un errore di calcolo, cioè una misconcezione.
Le analisi precedenti dànno all’insegnante la possibilità di intervenire. In questo caso deve
essere fatta un’attenta ricognizione a prove precedenti dello stesso scolaro, per vedere se si
tratta di un episodio, comunque assi rilevante, oppure di una prassi. In ogni caso rimediare ad
una misconcezione, proprio perché individuale, richiede un’azione mirata sul piano
individuale.
III.4.b. La scheda II.1.d.
Un’analisi come quella condotta sull’esercizio precedente è assai impegnativa in termini di
spazio e di tempo e per questo le schede successive si presentano in maniera più riassuntiva.
Lavoro di gruppo
Stimate la percentuale di risposte esatte a questi due quesiti
7+2=
;
=3+4
Come pensate che possano sbagliare i ragazzi?
Ed ecco i risultati della sperimentazione
quesito
7+2 =
= 3+4
Risposte esatte
%
97,74 (98,96)
n. risp.
mancanti
1 (2)
n. risposte
sbagliate
14 (4)
89,31 (97,74)
3 (5)
68 (8)
Tabella 9 - I quesiti 2a.a) e 2a.d)
Come si vede c’è notevole differenza tra le percentuali di successo dei due quesiti senza
parentesi. Per quelli con parentesi la differenza è poca. Se l’alunno trova facile rispondere alla
prima domanda e più difficile rispondere alla seconda, ciò non è dovuto sicuramente alla
maggiore complessità degli addendi. Le due domande, poste non contigue sul foglio, hanno
dato indicazione sul fatto che la proprietà simmetrica della uguaglianza è poco sentita da parte
degli studenti. Chi avesse salda questa proprietà, di fronte alla difficoltà della seconda
domanda avrebbe potuto risolvere mentalmente o per iscritto 3 + 4 = e dal risultato trovato,
34
sempre per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza, arrivare a darle la risposta corretta. Non
è stato così
Le risposte sbagliate alla prima domanda
Frequenza delle risposte sbagliate alla
seconda domanda
risposta frequenza
5 (1)
5
3 (1)
7
3 (2)
8
2
3
1
14
risposta frequenza
1
47
3
5
2
3
11
3
6
2 (2)
0
1
4
1 (2)
8
1 (1)
9
1 (2)
10
1
14
1
17
1
4+3
1
5+2
(1)
Tabella 10 - Frequenza assoluta
di risposte errate al quesito
2a.a)
Misconcenzioni attive
attenzione molto locale,
a rovescio- inverso,
moltiplicazione=addizione .
passa al precedente- successivo
uguaglianza procedurale
Tabella 11 - Frequenza assoluta di
risposte errate al quesito 2a.d)
La risposta errata più frequente al secondo esercizio è la risposta giusta al calcolo sbagliato:
4-3 = 1. Essa è frutto della misconcezione secondo cui andando da destra a sinistra invece
di sommare si sottrae. Anche se si è avuto un solo caso in entrambi i quesiti, c’è chi interpreta
l’addizione come moltiplicazione (le risposte 14 al primo e 11 al secondo). Altri non leggono
il segno di addizione come presente e ciò giustifica le risposte che forniscono uno solo dei due
addendi, eventualmente ‘alterato’. Pure la risposta non corretta più frequente del primo
esercizio sembra dipendere da una lettura sbagliata del segno di addizione visto come
un’uguaglianza ed il segno di uguaglianza visto come addizione.
Le risposte 4+3 e 5+2 al secondo esercizio sono frutto dell’interpretazione procedurale del
segno di uguaglianza che denoterebbe una procedura invece che una relazione.
Relativamente agli studenti di Foligno si ha
35
quesito
7+2 =
= 3+4
Risposte esatte
%
99,22 (99,22)
n. risp.
mancanti
0 (1)
n. risposte
sbagliate
1 (0)
94,57 (97,66)
0 (1)
7 (2)
Tabella 12 - I quesiti 2a.a) e 2a.d) a Foligno
Tra le poche risposte sbagliate è interessante notare che la più frequente al secondo quesito
senza parentesi è 1 (con frequenza 6), mentre le due risposte errate allo stesso quesito con
parentesi sono date da 9 e sono ottenute in due classi prime diverse. Quest’ultima è difficile
interpretazione e, guardando la frequenza del campione nazionale globale, si desume che è
presente solo a Foligno (o più esattamente, una a Foligno e una a Roma).
III.4.c. La scheda II.1.e.
Lavoro di gruppo
Come pensate che i bambini risolvano i seguenti quesiti?
9–3=
;
=4–1
Scrivete i risultati della vostra discussione, avanzando proposte circa la percentuale di risposte
corrette.
La somiglianza con la scheda precedente è evidente, e come prima la conoscenza della
proprietà simmetrica dell’uguaglianza servirebbe allo studente a ricondurre l’esercizio alla
forma più ‘facile’. I risultati ottenuti nel campione nazionale globale sono i seguenti:
quesito
9-3 =
= 4-1
Risposte esatte % n. risp. mancanti
n. risp. errate
97,35 (98,18)
2 (2)
14 (8)
85,26 (94,53)
10 (5)
79 (25)
Tabella 13 - I quesiti 2s.a) e 2s.d)
I quesiti risultano di difficoltà paragonabile a quelli con l’addizione, ma stavolta anche i
solutori dei test con parentesi hanno successi diversi per i due quesiti. Il secondo problema
con la sottrazione è risultato più difficile del secondo quesito con l’addizione.
Si forniscono i dati sulle frequenze assolute ai due quesiti sulla sottrazione
36
quesito
Risposte errate
frequenza
9-3 =
7
10 (3)
9-3 =
12
2(1)
9-3 =
3
1
9-3 =
5
1 (2)
9-3 =
9
(1)
= 4-1
5
56 (20)
= 4-1
4
6
= 4-1
7
5
= 4-1
9
5(1)
= 4-1
0
2
= 4-1
1
2
= 4-1
8
2
= 4-1
6
1(2)
= 4-1
2
(1)
= 4-1
2+1
(1)
Tabella 14 - Frequenze assolute di risposte errate ai quesiti 2s.a) e 2s.d)
Misconcezioni attive:
attenzione molto locale ,
linea dei numeri,
7
a rovescio- inverso
passa al precedente- successivo
uguaglianza procedurale
37
8
9
Al secondo quesito sono numerose le risposte che denotano la mancanza del senso
del
numero: ben 75 senza parentesi e 24 con le parentesi. Se ne trae che il segno e le proprietà
della sottrazione sono poco comprese.
La risposta 9 – 3 = 7 al primo quesito è indicata dai testi inglesi come una delle più frequenti
misconcezioni aritmetiche della scuola Primaria. Essa viene giustificata sulla base della linea
dei numeri, dovuta al fatto che si contano le ‘tacche’ e non gli intervalli (distanza) che
separano 7 da 9.
La sperimentazione a Foligno ha prodotto i seguenti risultati
quesito
Risposte esatte % n. risp. mancanti
9-3 =
97,97 (97,64)
1 (0)
2 (3)
87,60 (95,28)
3(0)
13 (6)
= 4-1
n. risp. errate
Tabella 15 - I quesiti 2s.a) e 2s.d) a Foligno
In questo caso le risposte errate con maggior frequenza coincidono con quelle del campione
nazionale, 7 per la prima domanda e 5 per la seconda.
III.5. La scheda II.1.f.
3 B. ha riempito i quadretti dando le seguenti risposte (in blu):
96 – 32 = 68 ;
94 – 45 = 51;
51 + 42 = 57 + 44.
Potete trovare un ‘ragionamento’ comune che giustifichi questi risultati?
3 B. ha profitto medio. L’insegnante è rimasto molto sorpreso. La mia collega Paola Vighi ha
avanzato una proposta di interpretazione risposte date. (Nella presentazione a Foligno qualche
insegnante ha dato la stessa motivazione). Abbiamo chiesto all’insegnante di matematica se
poteva intervistare l’alunno per farsi spiegare il ragionamento seguito. Ciò è stato fatto da
un’altro insegnante dello stesso modulo, per cercare di minimizzare la possibilità
dell’attivazione di un controllo sul calcolo che avrebbe impedito di riconoscere il pensiero
dell’alunno. Le risposte ottenute hanno confermato l’ipotesi di Paola Vighi.
Ecco l’aritmetica di 3 B.
96 - 32 = (9 - 3) × 10 + (6 + 2) = 68 (quesito 3s.a);
45 + 51 = (4 + 5) × 10 + (5 - 1) = 94 (quesito 3s.c);
(51 + 42) - 44 = 93 - 44 = (9-4) × 10 + ( 3 + 4) = 57 (quesito 3a.g).
38
Parte III - III.6. I risultati di Foligno.
Da notare che l’addizione 51 + 42 è stata eseguita correttamente, ma ciò potrebbe essere il
risultato del fatto che applicando il procedimento visto prima per l’addizione, cioè 51 + 42 =
(5+4)×10 + (1-2), la sottrazione 1 – 2 potrebbe essere un ostacolo per 3 B.
Questo esempio potrebbe essere utilizzato in classe per discutere dell’algoritmo per addizione
e sottrazione, visto che il caso di 3 B. non è isolato.
Si ritrova infatti la risposta 96 – 32 = 68 in classe terza secondaria di primo grado, la risposta
94 al quesito 3s.c. ha frequenza assoluta 20 (!!!) senza parentesi e 15 con parentesi ed è
presente in tutte le classi della scuola Primaria e della scuola Secondaria di Primo Grado ed ha
un esemplare anche all’Università.
Nelle classi di Foligno si trova in due soli casi di classe prima senza parentesi e tre in classe
seconda con le parentesi.
Al quesito 3a.g rispondono come 3 B. un altro studente di Foligno (senza parentesi) e 2 con
parentesi, uno di Foligno e uno della scuola Secondaria di Secondo Grado.
Non si può dire che il caso di 3 B. sia isolato ma neppure che sia ampiamente diffuso.
III.6. I risultati di Foligno.
Per completare la trattazione resta da mostrare come si sono comportati i ragazzi di Foligno
rispetto al campione nazionale della scuola Secondaria di Primo grado. Ringrazio i Proff.
Montenovo, Camilli, Bazzucchi, Lippi, Russo e il/la collega di Montefalco per la
collaborazione ed il Laboratorio di Scienze Sperimentali per aver proposto/e raccolto il
materiale.
III.6.a. Il campione di Foligno della scuola Secondaria di Primo Grado.
Il campione analizzato e formato dalle seguenti classi/alunni
Scuola
Sede
Alunni Prime n. Alunni Seconde n. Alunni Terze n
Alfieri
Roma
45
Carducci
Foligno
25
Gentile da
Foligno
Foligno
20
Melanzio
13
Montefalco
37
30
21
23
Piermarini Foligno
18
Piermarini Sellano
4
5
8
125
63
81
Totali
20
Tabella 16 - Il campione di Foligno
Purtroppo alcuni studenti hanno ricevuto i quesiti con ‘ripetizioni’, ad esempio 2a e 2aPar
assieme, e per questo le loro prove sono state considerate nella sperimentazione solo
parzialmente, escludendo le prove ‘ripetute’.
Nella Tabella 17 sono presentati i risultati del campione di Foligno, costituito interamente da
studenti di scuola Secondaria di Primo Grado.
39
SS1°G
2a
(2a)
2s
(2s)
3a
(3a)
3s
(3s)
n. ques
1.806
1.792
1.677
1.651
1.792
1.848
1.690
1.651
n. risp
1.797
1.753
1.624
1.631
1.756
1.748
1.517
1.451
Risp%
99,50
97,82
96,84
98,79
97,99
94,59
89,76
87,89
n. esatt
1.545
1.682
1.420
1.431
1.503
1.451
1.125
1.143
Esatte% 85,55
93,86
84,68
86.67
83,87
78,52
66,57
69.23
Tabella 17 - Risultati del campione di Foligno
inferiori a quelle riscontrate sul campione nazionale della scuola Secondaria di Primo grado,
mentre i numeri in blu, valori superiori a quelli medi del campione nazionale della scuola
Secondaria di Primo grado (Tabella 4). Anche il colore dello sfondo ha un suo significato. La
casella con lo sfondo rosa,
segnala che il valore numerico della casella è inferiore a quello
del campione nazionale globale (Tabella 3), mentre la casella a sfondo azzurro,
mette in
luce che il contributo alla media del campione nazionale globale è positivo.
Si desume dai dati che dal punto di vista del successo la scuola di Foligno si colloca bene su
tutti i fogli di domande nel contesto della scuola Secondaria di Primo Grado.
III.6.b. Le classi prime di Foligno
Analizziamo ora per classi il comportamento del campione di Foligno. Per quanto riguarda le
classi prime si ha
I
2a
(2a)
2s
(2s)
3a
(3a)
3s
(3s)
n. ques
882
868
806
819
910
840
858
767
n. risp
877
851
776
806
882
789
749
687
Risp%
99,43
98,04
96,28
98,41
96,92
93,93
87,30
89,57
n. esatt
710
796
658
677
706
614
501
498
91,71
81,64
82,66
77,58
73,10
58,39
64,93
Esatte% 80,50
Tabella 18 - Risultati classi prime di Foligno
40
Parte III - III.6. I risultati di Foligno.
inferiori a quelle riscontrate sul campione nazionale delle classi prime della scuola Secondaria
di Primo grado Tabella 5), mentre i numeri in blu, valori superiori a quelli che compaiono
nella Tabella 5. Stavolta il colore dello sfondo ha un suo significato. La casella con lo sfondo
rosa,
segnala che il valore numerico della casella è inferiore a quello dei risultati del
campione di Foligno (Tabella 17), mentre la casella a sfondo azzurro,
mette in luce che il
contributo alla media del campione di Foligno è positivo.
Questa semantica dei colori si applica per le tabelle analoghe delle classi seconde e terze.
La percentuale di successo nella scheda di domande 2s coincide con il valore medio della
tabella dei risultati del campione di Foligno. Per il resto si vede che il successo delle prime di
Foligno è maggiore di quello nazionale per 5 degli otto casi, ma che fa diminuire la media di
successo del Campione di Foligno.
III.6.c. Le classi seconde di Foligno
II
2a
(2a)
2s
(2s)
3a
(3a)
3s
(3s)
n. ques
364
406
403
312
364
434
312
377
n. risp
363
344
384
307
360
406
294
319
Risp%
99,73
94,58
95,29
98,40
98,90
93,55
94,23
84,62
n. esatt
311
358
344
269
329
325
225
251
88,18
85,36
86,22
90,38
74,88
72,12
66,58
Esatte% 85,44
Tabella 19 - Risultati classi seconde di Foligno
Il contributo delle classi seconde a migliorare il successo del campione nazionale per le classi
seconde della scuola Secondaria di Primo grado è evidente, ma rispetto alle medie del
campione di Foligno, le classi seconde hanno un effetto negativo (in 5 casi su 8).
III.6.d. Le classi terze di Foligno
Con la Tabella 20 si completa il confronto delle classi con la scuola secondaria di Primo
Grado di Foligno (Tabella 17) e col campione nazionale delle classi terze di scuola
Secondaria di Primo Grado (Tabella 7).
Si può concludere che le classi terze sono buone, fornendo risultati che alzano la media del
campione nazionale delle classi di pari grado. Inoltre, con un’eccezione per la scheda 2s. il
contributo delle classi terze è positivo per l’intero campione di Foligno.
41
III
2a
(2a)
2s
(2s)
3a
(3a)
3s
(3s)
n. ques
560
518
468
520
518
574
520
507
n. risp
557
518
464
518
514
554
474
445
Risp%
99,46
100
99,15
99,62
99,23
96,52
91,15
87,77
n. esatt
524
493
418
485
468
499
907
394
Esatte%
93,57
95,17
89,32
93,27
90,35
86,93
76,73
77,71
Tabella 20 - Risultati classi terze di Foligno
III.7. Analisi dei risultati di Foligno nei singoli fogli domande.
Per fornire ulteriori informazioni sull’andamento delle prove nel campione di Foligno, si sono
suddivisi i risultati in base ai quattro livelli del test.
III.7.a. Il test 2a a Foligno
La struttura del campione che ha affrontato il test 2a è la seguente
Classi
Senza Parentesi
Con Parentesi
Prime
63
62
Seconde
32
24
Terze
36
40
Globale
129
128
Tabella 21 - Campione del test 2a a Foligno
Invece di offrire risultati numerici, si presentano i dati sotto forma di grafici (Figura 1).
Il ‘riassunto’ del campione di Foligno è rappresentato nel grafico dalle linee bianche. Si vede
bene che le prime (linee blu) hanno risultati inferiori per quasi tutti i quesiti mentre le terze
(linee rosse) hanno risultati superiori. I ‘rombi’ indicano i valori dei test senza parentesi,
42
Parte III - III.7. Analisi dei risultati di Foligno nei singoli fogli domande.
mentre i quadrati quelli con le parentesi. Per tutte le classi ed in particolare per le prime, il
successo nei quesiti con le parentesi rispetto a quelli senza parentesi è notevole.
successo %
Test 2a - Riassunto
Prime
Prime Par
Seconde
Seconde Par
Terze
Terze Par
Globale
Globale Par
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
2a.a 2a.b 2a.c 2a.d 2a.e 2a.f 2a.g 2a.h 2a.i
2a.j 2a.k 2a.l 2a.m 2a.n
quesiti
Figura 1 - I risultati del test 2a a Foligno
Con una valutazione di tipo scolastico (0 nessuna risposta corretta – 10 tutte le risposte
corrette), si ottiene la seguente Tabella 22.
Voti
Classi
Prime
Seconde
Terze
Globale
Senza Parentesi Con Parentesi
8,05
8,54
9,27
8,55
9,22
8,82
9,50
9,21
Tabella 22 - Valutazione nel test 2a a Foligno.
La valutazione del test senza parentesi sembra seguire lo sviluppo cognitivo dello studente. Il
test con parentesi delle prime, già nella Figura 1, mostra valori nelle prime superiori a quelli
delle seconde.
Si può concludere che il test risulta facile per tutte le classi con o senza parentesi, ci sono
tuttavia alcuni problemi che risultano critici. Qui se ne considerano tre, quelli con le peggiori
percentuali di successo, confrontando col campione nazionale globale.
In alcuni casi si scende sotto la sufficienza (percentuale di successo inferiore al 60%).
Tuttavia il tasso di successo delle prove di Foligno sono comunque migliori di quelli
nazionali.
43
Foligno
Nazionale
2a.g)
5+4= +8
2a.gPar)
(5 + 4) = ( + 8)
2a.m)
5+4= +6=
2a.mPar)
(5+4)=( +6)=
2a.n)
4+3=2+ = +1=
2a.nPar)
(4+3)=(2+ )=(
+1)=
Successo%
77,52
64,31
n.Risposte Risp. errate più Frequenza rel.% su
EM
frequenti
EM
29
9
75,86
237
9
62,48
82,61
11
100
9
63,63
55,81
57
(9,15)
84,21
20
(9,15)
50,00
42
(5,7,8)
26,19
17
(7,9,10)
41,18
88,28
49,47
84,38
76,00
67,97
56,51
86,72
76,52
9
285
(9,15)
142
(9,15)
247
(5,7,8)
136
(7,9,10)
74,00
71,93
47,18
23,48
29,41
Tabella 23 - I tre peggiori risultati nella scheda 2a a Foligno
Analizzando le risposte scorrette si vede che per i tre esercizi la percentuale di successo in
presenza di parentesi è maggiore di quelle senza parentesi, cala inoltre la frequenza relativa
dell’errore più frequente con l’eccezione del caso 2a.n). Ma tale caso è assai particolare in
quanto le risposte errate più frequenti sono diverse nei casi con e senza parentesi!
Nell’esercizio 2a.g) l’attenzione dello studente che sbaglia è concentrata solo sulla prima
parte del quesito, e la presenza della scrittura +8 sembra avere nessun valore. I quesiti 2a.m) e
2a.n) offrivano la possibilità di un controllo mediante l’applicazione della proprietà transitiva
dell’uguaglianza. Ma questo richiede di sapere guardare l’esercizio nel suo complesso.
Per quanto riguarda 2a.m) le risposte sbagliate più frequenti sono state una ripetizione di
quanto fatto in 2a.g), ma stavolta l’aggravante con la mancanza di controllo della proprietà
transitiva.
Nel caso di 2a.n) chi ha sbagliato nel quesito senza parentesi con la risposta errata più
frequente ha iniziato bene, rispondendo 5, vale a dire tenendo conto della presenza del 2, si
può supporre che ciò dipenda dalla posizione del quadrato da riempire, posto lontano dal
segno di uguale, a differenza della situazione presente in 2a.g), poi l’aderenza del secondo e
del terzo quadrato da riempire con il segno di uguale ha riprodotto la situazione dell’esercizio
precedente ed ha portato a riempire il secondo quadrato con 7 e, a questo punto, si direbbe in
modo corretto, il terzo quadrato con 8; tutto ciò, come si diceva senza tenere conto che la
prima addizione aveva somma 7.
Dal confronto tra questi esercizi appare assai discutibile ritenere consolidata la presenza della
proprietà commutativa dell’addizione, dato che la posizione del quadrato da riempire ha
effetti così rilevanti.
L’esercizio 2a.nPar), stando alla risposta salita più frequente, mostra che la presenza delle
parentesi ha almeno benefico effetto sulla proprietà commutativa dell’addizione, in quanto il
tipo dell’errore è lo stesso in entrambe i primi due quadrati da riempire, pur non essendo
d’aiuto per ‘ricordare’ allo studente la transitiva dell’uguaglianza.
Da questi ed altri casi si deduce un immediato consiglio didattico: usare esercizi di questo tipo
per mostrare l’importanza delle proprietà formali delle operazioni e dell’uguaglianza, come
44
strumenti per rendere più semplice il calcolo, senza restare ad una presentazione di tipo
nominalista delle dette proprietà.
III.7.b. Il Test 2s a Foligno.
Seguo lo stesso schema di presentazione usato sopra.
La struttura del campione che ha affrontato il test 2s è la seguente
Classi
Senza Parentesi
Con Parentesi
Prime
62
63
Seconde
31
24
Terze
36
40
Globale
129
127
Tabella 24 - Campione del test 2s a Foligno
Invece di offrire risultati numerici, si presentano i dati sotto forma di grafici (Figura 2).
Il ‘riassunto’ del campione di Foligno è rappresentato nel grafico dalle linee bianche. Si vede
bene che le prime (linee blu) hanno risultati inferiori per quasi tutti i quesiti mentre le terze
(linee rosse) hanno risultati superiori. I ‘rombi’ indicano i valori dei test senza parentesi,
mentre i quadrati quelli con le parentesi.
successo %
Test 2s - Riassunto
Prime
Prime Par
Seconde
Seconde Par
Terze
Terze Par
Globale
Globale Par
100%
90%
80%
70%
60%
2s.a 2s.b 2s.c 2s.d 2s.e 2s.f
2s.g 2s.h
2s.i
quesiti
Figura 2 - I risultati del test 2s a Foligno
45
2s.j 2s.k
2s.l 2s.m
Per economizzare spazio ho scelto di presentare la parte ‘interessante dei grafici e questo ha
portato alla restrizione del campo di rappresentazione (il codominio) a valori diversi. Mentre
nella Figura 1 il codominio è dato dall’intervallo 30% - 105%, nella figura 2 è 60% - 105%, a
riprova che in nessun problema e nessuna classe scende sotto il 60%. Quindi il lettore è
invitato a non lasciarsi ingannare dall’aspetto grafico che dipende dalle scale utilizzate nella
rappresentazione.
A commento dei risultati, dal grafico si evince che vi sono diversi esercizi in cui i quesiti
senza parentesi hanno più successo dei corrispondenti con le parentesi, per cui è difficile
trarre indicazioni univoche.
Voti
Classi
Prime
8,16
8,27
Seconde
8,54
8,62
Terze
8,93
9,33
Globale
8,50
8,70
Tabella 25 - Valutazione nel test 2s a Foligno.
Stavolta la valutazione del test senza e con parentesi sembra seguire lo sviluppo cognitivo
dello studente. I risultati senza parentesi nelle prime sono migliori di quelli della scheda 2a. I
risultati delle seconde e delle terze sono inferiori di quelli della scheda 2a.
Si può concludere che il test risulta facile per tutte le classi con o senza parentesi, ci sono
tuttavia alcuni problemi che risultano critici. Qui se ne considerano tre, quelli con le peggiori
percentuali di successo, confrontando col campione nazionale globale.
nazionali.
Foligno
Nazionale
2s.g)
5-4= -8
2s.gPar)
(5 - 4) = ( - 8)
2s.k)
6- = 8 2s.kPar)
(6- ) = (8 - )
2s.m)
8-5=5- =6- =
2s.mPar)
(8-5)=(5- )=(6)=
Successo%
70,54
53,15
70,08
70,07
74,42
63,78
84,25
n.Risposte
EM
38
Risp. errate più
frequenti
7
Frequenza rel.% su
EM
42,11
38
7
57,89
33
(2,6); (2,9); (3,6)
6,06
283
164
1
7
285
(2,2)
45,23
48,17
9,78
79,93
184
20
(4,4)
15,00
68,99
58,46
40
211
(2,4,2)
26,19
77,17
29
(3,2,4)
41,18
76,09
(4,4)
(3,2,4)
131
(3,2,4)
Tabella 26 - I tre peggiori risultati nella scheda 2s a Foligno
46
47,18
6,36
23,66
E’ interessante osservare che nel caso di 2s.g) (senza parentesi) la risposta errata più frequente
a Foligno è diversa da quella data nel campione nazionale globale. In esso la risposta 7 è
comunque frequente (con frequenza relativa 28,62%, mentre nel campione folignate la
risposta 1 ha frequenza relativa 39,47%). Le misconcezioni che esse rivelano sono diverse: la
risposta 1 è ancora una volta frutto di attenzione locale, chi la dà non tiene conto del fatto che
dopo il quadrato da riempire con la soluzione c’è -8. La risposta 7 invece fa ricorso ad una
sorta di inesistente proprietà commutativa della sottrazione: 7-8 = 8-7, che si riscontra anche
in altri quesiti sulla sottrazione, ma rivela un’attenzione globale al problema. Nel campione
nazionale globale e in quello di Foligno, la risposta errata più frequente a 2s.gPar) è 7, ma è
presente anche la risposta 1, con frequenza relativa 35,37% nel campione nazionale e con
frequenza relativa 23,68% in quello di Foligno. C’è quindi una leggera preminenza di
attenzione globale al problema. Tuttavia la risposta 7 tradisce uno scarso senso del numero:
infatti viene solitamente messo in luce che lavorando coi numeri naturali il minuendo non
deve essere minore del sottraendo. Inoltre può entrare in gioco anche una misconcezione
legata alla retta numerico: la distanza tra 7 e 8, vista come tratto che congiunge le due tacche,
viene rappresentata indistintamente con lo stesso segmento e quando l’insegnante insiste che
la distanza si calcola con la differenza, forse non tiene conto che può causare questa
misconcezione.
Le base frequenze relative delle risposte errate presenti negli esercizi 2s.k) e 2s.m) possono
indicare che le risposte errate sono frutto di sbagli occasionali piuttosto che misconcezioni.
Ma analizzando le risposte si possono intuire le ragioni delle stesse. Interessanti anche le
differenze tra i risultati dei test con parentesi e senza parentesi, sia per le risposte diverse, sia
per le differenze di frequenze relative.
Analizzando le risposte scorrette si vede che per gli tre esercizi 2s.k) e 2s.m) la percentuale di
successo in presenza di parentesi è maggiore di quelle senza parentesi. La situazione sembra
invece indifferente per il quesito 2s.g).
Resta difficile chiarire il ragionamento che porta quasi la metà degli studenti del campione
nazionale globale a riempire con due 4 le caselle vuote dell’esercizio 2s.kPar) (in disaccordo
con quanti risolvono male l’analogo esercizio senza parentesi). Una spiegazione possibile è
che il primo quadrato da sinistra sia riempito a caso, contando sulla successione dei numeri
pari e il secondo sia messo interpretando il segno di sottrazione come una divisione. La stessa
interpretazione potrebbe giustificare la risposta (3,6) di 2s.k) dove stavolta è il primo segno di
sottrazione (da sinistra) ad essere letto come divisione. Per completezza di informazione la
risposta (4,4) è presente anche tra le risposte errate di 2s.k) con frequenza relativa 3,26%; è
difficile interpretare il ruolo delle parentesi in questo caso specifico.
E’ interessante osservare che in una prima di Foligno si è avuto l’unico caso corretto di
utilizzazione dei numeri negativi per risolvere 2s.k) dell’intero campione nazionale globale.
Infatti uno studente ha risolto il problema ponendo 6 – 11 = 8 – 13. Potrebbe essere anche il
frutto di una misconcezione legata alla retta dei numeri, come visto in altri casi.
Sempre il quesito 2s.k) poteva essere risolto con poco sforzo applicando le proprietà formali
della sottrazione e dello zero. Infatti la soluzione che richiedeva il minor numero di calcoli è
6 – 6 = 8 – 8, riscontrata in soli 5 casi a Foligno, 3 in prima, 1 in seconda e 1 in terza, oppure
quella appena più complicata, che però richiede un buon senso del numero, 6 – 0 = 8 – 2, e
questa con due soli esempi in prima. Ciò conferma che la padronanza delle proprietà formali
non è stata applicata molto spesso per risolvere i quesiti posti.
Nel caso di 2a.n), chi a Foligno sbagliato nel quesito senza parentesi con la risposta errata più
frequente ha iniziato bene, rispondendo 2, ma poi ha cercato di sottrarre a 6 quanto serve per
arrivare a 2, trascurando completamente la presenza di ‘5 –’. In questo caso non si può
47
invocare la posizione del quadretto da riempire rispetto al simbolo di uguaglianza, perché è la
stessa. Il ruolo della proprietà transitiva dell’uguaglianza non è stato tenuto in considerazione
inteso da chi ha sbagliato risposta, sia senza che con parentesi.
La risposta a questo esercizio (3,2,4) è sbagliata in modo ‘coerente’ nel senso che in ogni caso
si è applicato lo stesso procedimento di riempire il quadretto, iniziando da sinistra, con il
risultato di quanto scritto a sinistra
III.7.c. Il Test 3a a Foligno.
La struttura del campione che ha affrontato il test 3a è la seguente
Classi
Senza Parentesi
Con Parentesi
Prime
65
60
Seconde
26
31
Terze
37
41
Globale
128
132
Tabella 27 - Campione del test 3a a Foligno
Invece di offrire risultati numerici, si presentano i dati sotto forma grafica in Figura 3. Il
‘riassunto’ del campione di Foligno è rappresentato nel grafico dalle linee bianche.
successo %
Test 3a Riassunto
Prime
Prime Par
Seconde
Seconde Par
Terze
Terze Par
Globale
Globale Par
100%
90%
80%
70%
60%
50%
3a.a 3a.b 3a.c 3a.d 3a.e 3a.f 3a.g 3a.h 3a.i
quesiti
Figura 3 - I risultati del test 3a a Foligno
48
3a.j 3a.k 3a.l 3a.m 3a.n
Si vede bene che le prime (linee blu) hanno risultati inferiori per quasi tutti i quesiti mentre le
terze (linee rosse) hanno risultati superiori. I ‘rombi’ indicano i valori dei test senza parentesi,
mentre i quadrati quelli con le parentesi. Per tutte le classi ed in particolare per le prime, il
successo nei quesiti senza parentesi rispetto a quelli con parentesi è notevole.
Pure in questo caso il lettore è invitato a non lasciarsi ingannare dall’aspetto grafico che
dipende dalle scale utilizzate nella rappresentazione. Con una valutazione di tipo scolastico (0
nessuna risposta corretta – 10 tutte le risposte corrette), si ottiene la seguente Tabella 28.
Voti
Classi
Prime
Seconde
Terze
Globale
7,76
9,07
9,03
8,39
7,64
7,42
8,68
7,84
Tabella 28 - Valutazione nel test 3a a Foligno.
I risultati sono globalmente inferiori rispetto a quelli della scheda 2a. Ciò è causato dalle
scarse performance della prima (senza parentesi) e della prima e della seconda con le
parentesi. La presenza di numeri con due cifre è quindi un possibile ostacolo per i ragazzi, che
mostrano in tal modo che in un’abbastanza ampia parte della popolazione studentesca
l’algoritmo della somma non è ben consolidato.
Il test risulta facile per la terza, sia con che senza parentesi. Nella seconda risulta facile senza
le parentesi ed ostacolato dalla presenza delle parentesi. Nelle prime sembra un buon
suggerimento rinforzare la padronanza dell’algoritmo di addizione anche se il problema non
sembra quello del riporto, dato che il test lo prevede solo in 5 casi su 14 (e in taluni di essi si
potrebbe evitare il riporto e lavorare con la proprietà invariantiva dell’addizione e della
sottrazione).
nazionali, tranne che per 3a.iPar).
In questi casi non c’è differenza tra le risposte errate date ai quesiti con o senza parentesi, solo
variazioni di frequenza relativa.
Per quanto riguarda il quesito 3a.i) è evidente il percorso da destra a sinistra nel procedimento
risolutivo che porta a non considerare come rilevante la presenza della scrittura ‘17+’.
Per 3a.l) si ripete quanto detto altrove per casi simili: la casella va riempita con la somma dei
due numeri che precedono il segno di uguaglianza. Poco importa se questo, esplicitamente
porta a considerare l’uguaglianza 66 = 84, come risultato di una mal compresa proprietà
transitiva dell’uguaglianza.
Lo stesso tipo di misconcezione è attivo nella risposta errata più frequente a 3a.m). La coppia
dei due esercizi era stata posta per controllare di nuovo se la posizione del quadrato da
riempire ha un’influenza sulla risposta corretta/errata.
Dal confronto dei due casi si nota che la frequenza di applicazione della misconcezione
aumenta tra le risposte errate o mancanti, ma aumenta anche la percentuale di successo (in
assenza di parentesi). In questo caso infatti le parentesi sembrano attivare maggiormente la
considerazione della proprietà commutativa dell’uguaglianza, oppure una più generica
proprietà di ‘indifferenza’ alla scrittura.
49
Foligno
Successo%
Nazionale
3a.i)
17+ = 16+29
3a.iPar)
(17+ )=(16+29)
3a.l)
52+14=18+ =
3a.lPar)
(52+14)=(18+ )=
3a.m)
32+25= +16=
3a.mPar)
(32+25)=( +16)=
78,91
67,93
n.Risposte Risp. errate Frequenza
EM più frequenti rel.% su EM
27
45
14,81
195
45
14,36
69,24
42
179
45
28,57
68,75
40
(66,84)
(66,84)
7,50
13,07
47
(66,84)
19,15
38
(57,73)
26,32
49
(57,73)
20,41
68,18
61,13
199
64,39
62,54
218
70,31
61,33
198
62,88
62,20
220
45
(66,84)
(57,73)
(57,73)
15,63
11,93
36,36
19,09
Tabella 29 - I tre peggiori risultati nella scheda 3a a Foligno
III.7.d. Il Test 3s a Foligno.
La struttura del campione che ha affrontato il test 3s è la seguente
Classi
Senza Parentesi
Con Parentesi
Prime
66
59
Seconde
24
29
Terze
40
39
Globale
130
127
Tabella 30 - Campione del test 3s a Foligno
Invece di offrire risultati numerici, si presentano i dati sotto forma grafica in Figura 4. Il
‘riassunto’ del campione di Foligno è rappresentato nel grafico dalle linee bianche.
50
successo %
Test 3s Riassunto
Prime
Prime Par
Seconde
Seconde Par
Terze
Terze Par
Globale
Globale Par
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
3s.a 3s.b 3s.c 3s.d 3s.e 3s.f
3s.g 3s.h
3s.i
3s.j 3s.k
3s.l 3s.m
quesiti
Figura 4 - I risultati del test 3s a Foligno
Questa scheda di domande è risultata la più difficile, con 9 quesiti senza parentesi su 13 e 8 su
13 con parentesi che non hanno ricevuto la sufficienza per le prime, ma non sono esenti da
insufficienze anche le seconde (3 su 13 senza parentesi e 5 su 13 con parentesi) e le terze
(senza parentesi 2 su 13 e nessuna con parentesi). I voti della tabella 28 illustrano bene la
situazione particolare generale.
L’andamento è contraddittorio in quanto in alcuni casi le terze hanno ottenuto risultati
inferiori alle seconde ed anche alle prime.
Si segnala al lettore che per tenere conto dei dati la scala dei valori di successo parte in basso,
dal 30%, in quanto il minimo successo riscontato è 34,85% delle prime nel quesito 3s.g),
largamente inferiori a quelli ottenuti da classi quarte della scuola Primaria.
La forte differenza tra i risultati della scheda domande sull’addizione con numeri di due cifre
e della sottrazione con numeri sempre di due cifre, induce a ritenere che l’algoritmo della
sottrazione richieda molta attenzione nella scuola Secondaria di Primo Grado.
Voti
Classi
Prime
Seconde
Terze
Globale
5,84
7,21
7,67
6,66
6,49
6,66
7,77
6,92
Tabella 31 - Valutazione nel test 3s a Foligno.
I risultati sono globalmente inferiori rispetto a quelli delle alte schede.
In questo caso è difficile la scelta delle tre domande che hanno avuto risultati peggiori,
comunque per non prolungare ulteriormente il testo si trattano solo i casi delle domande
51
3s.g), 3s.i) e 3s.j), ma l’analisi completa sarebbe estremamente interessante e il lettore che
volesse fare l’esperienza nella sua classe.
Stavolta i risultati di Foligno sono in linea o leggermente inferiori a quelli del campione
globale nazionale, a riprova che il tipo di quesito è risultato difficile per tutti.
Foligno
Successo%
Nazionale
3s.g)
50 – 22 = - 25
3s.gPar)
(50 – 22) = ( - 25)
3s.i)
95 - = 68 - 25
3s.i Par)
(95 - )= (68 – 25)
3s.j)
- 30 = 75 - 54
3s.jPar)
( - 30) = (75 – 54)
44,62
50,08
49,61
57,19
58,46
57,00
59,06
64,75
53,08
53,54
59,84
62,05
n.Risposte Risp. errate Frequenza
EM più frequenti rel.% su EM
72
28, 47
16,67
303
28
22,11
64
47
15,63
54
43
20,07
52
43
15,38
61
21
11,48
51
9
13,73
238
261
196
282
211
47
43
43
9
9
15,13
19,92
17,95
11,70
15,64
Tabella 32 - I tre peggiori risultati nella scheda 3s a Foligno
In queste prove talora il campione di Foligno ha dato risposte diverse rispetto a quello
nazionale globale, come pure c’è differenza tra risposta al quesito senza 3s.g) senza parentesi
e con parentesi. Di sicuro la parentesi aiuta a focalizzare l’attenzione sui termini messi a lato
del simbolo di uguaglianza, ma è preoccupante il fatto che la risposta 47 si ottenga come
somma di 22 e 25, trascurando ‘pezzi’ e dove sono collocati gli improbabili addendi rispetto
al simbolo di uguaglianza.
Nell’esercizio 3s.i) chi ha dato risposta sbagliata 43, ha di fatto operato da destra a sinistra.
Interessante osservare che un simile esercizio era il 2s.i): 7 - = 8 – 2. Questo esercizio ha
avuto il 74,17% di successo nel campione nazionale globale e la percentuale di 85,27% di
successo a Foligno. L’errore più frequente è stato dello stesso tipo: il quadrato è stato riempito
con 6. La presenza di numeri di due cifre ha decisamente ridotto le percentuali di successo.
Nel problema 3s.j) la posizione del quadrato da riempire ha giocato, a Foligno un ruolo
diverso rispetto all’esercizio precedente senza e con le parentesi. La risposta 21 è anch’essa
determinata dal trascurare ciò che rende ‘difficile’ l’esercizio, vale a dire la presenza di ‘- 30’.
Tengono conto, invece di ‘– 30’, a loro modo quelli che rispondono 9 identificando però il
primo segno ‘-’ con il segno di uguale e il segno di uguale con il ‘-’; risolvono quindi il
quesito = 30-(75-54). Nel campione di Foligno senza parentesi la risposta 9 ha frequenza
assoluta 5 (frequenza relativa 8,20%) ed è strano perché la soluzione della scrittura (ambigua)
= 30 – 75 – 54 avrebbe potuto essere anche -79, dato che non vale la proprietà associativa
della sottrazione e che una regola talvolta usata (qui a sproposito) in presenza di più
operazioni è quella di partire da sinistra.
L’analogo esercizio 2s.j): – 3 = 7 – 5, ha avuto a Foligno un successo del 81,40% (e nel
campione nazionale globale del 61,92%, causa esiti disastrosi nella primaria) e la risposta
52
errata più frequente a Foligno è stata 10, con un ragionamento molto diverso da quello messo
in campo per risolvere 3s.j), in cui il ragionamento analogo ha dato 105 in due casi. In
2s.jPar) a Foligno la risposta errata più frequente è stata 1, ottenuta in coerenza con la risposta
9 di 3s.j). La stessa risposta 1 è la più frequente nel campione nazionale globale con e senza
parentesi.
53

Misconcezioni in aritmetica - Università degli Studi di Parma

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