Sviluppi di Mc Laurin - Dipartimento di Matematica

Analisi Matematica 1
Formule di McLaurin di Funzioni Elementari
Supponiamo che x → 0. Allora
• ex = 1 + x +
x2
xk
+···+
+ o xk
2!
k!
• sin x = x −
x2k+1
x3 x5
+
+ · · · + (−1)k
+ o x2k+2
3!
5!
(2k + 1)!
• cos x = 1 −
x2 x4
x2k
+
+ · · · + (−1)k
+ o x2k+1
2!
4!
(2k)!
• sinh x = x +
x3 x5
x2k+1
+
+···+
+ o x2k+2
3!
5!
(2k + 1)!
• cosh x = 1 +
x2k
x2 x4
+
+···+
+ o x2k+1
2!
4!
(2k)!
x2 x3
xk
+
+ · · · + (−1)k−1
+ o xk
2
3
k
α
α 2
α k
α
• (1 + x) = 1 +
x+
x +···+
x + o xk
1
2
k
α
dove, per α ∈ R e k ∈ N ,
è il coefficiente binomiale generalizzato cosı̀ definito
k
α
α (α − 1) · · · (α − k + 1)
=
.
k
k!
• log(1 + x) = x −
In particolare, per α = −1 e α =
1
2
si ottiene
1
= 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)k xk + o xk
1+x
√
1 3
5 4
1 + x = 1 + 12 x − 18 x2 + 16
x − 128
x + o x4
• arctan x = x −
x3 x5
x2k+1
+
+ · · · + (−1)k
+ o x2k+2
3
5
2k + 1
• arcsin x = x +
x3
3
+ x5 + o x6
6
40
• tan x = x +
x3
2
+ x5 + o x6
3
15
1