2.1.9 Carletto e la matematica

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2.1.9
Carletto e la matematica
Matematica (Aritmetica)
Elementare: classi 3°- 4°- 5°
Media: classe 1°
Riflettere sui fondamenti della matematica
Ecco un gruppo di cinque storielle inventate per far riflettere sull'aritmetica e i
suoi fondamenti.
CARLETTO E LA MATEMATICA
1.
Carletto va maluccio in aritmetica.
Ha delle strane idee sui numeri.
Un giorno la maestra gli chiede: - Quanto fa due più due?
E Carletto risponde pronto: - Tre.
- Ma come, Carletto... - comincia la maestra, ma Carletto la
interrompe.
- Quante dita sono queste? - e mostra alla maestra il pollice e
l’indice.
- Due - dice la maestra.
- E queste? - dice Carletto mostrando l’indice e il medio.
- Due. - dice la maestra.
- Allora in tutto sono tre! - conclude trionfalmente Carletto
mostrando pollice, indice e medio.
- Ma tu ci hai mostrato due volte l’indice! - osserva la maestra.
E Carletto: - Ma sei tu che l'hai contato due volte e pensi che fa
quattro; io l'ho contato una volta sola e perciò ho detto tre.
© Centro di ricerca e sperimentazione Metaculturale-Ufficio del Registro di Rieti n.2142/3-22.07.05
2.
Un’altra volta la maestra chiede a Carletto:
- Quanto fa 1 + 1?
E Carletto:
- Uno!
- Ma che dici? - fa la maestra, seccata.
- Dico quel che dico. - replica Carletto. Poi prende una biro, la
mostra alla maestra e le chiede:
- Quante biro vedi?
- Una - dice la maestra.
E Carletto, rivolto alla classe:
- Quante ne vedete?
- “Una” rispondono tutti in coro.
- Ecco, 1 + 1 = 1.
- Ma - gridano tutti - è sempre la stessa penna che ci hai mostrato!
E la maestra:
- Ci dovevi mostrare due penne diverse!
E Carletto:
- Ma nessuno mi ha mai detto che quando faccio 1+ 1 l’uno di destra
è diverso dall’uno di sinistra!
3.
Carletto con l’aritmetica proprio non ci va d’accordo.
- Ma almeno lo sai che cos’è? - gli domanda un giorno l’insegnante.
- L’aritmetica è quando si gioca con i numeri. - risponde Carletto.
- E i numeri che cosa sono?
- Quelli che servono per contare.
- Cioè?
- Bè...tre caramelle, tre canguri, tre aeroplani...
- E che cosa hanno in comune tre caramelle, tre canguri, tre
aeroplani...?
- Proprio niente!
4.
- Oggi facciamo le sottrazioni - dice l’insegnante.
Che incubo questa aritmetica per Carletto, ma che incubo anche per
l’insegnante, che non ne può più delle risposte di Carletto.
- Quanto fa 10 - 2?
Silenzio generale.
- Ecco 10 dita, se ne tolgo 2 quante ne restano? - continua
l'insegnante.
Carletto:
- Dipende da quali dita togli.
L’insegnante:
- Ma come! Che cosa cambia?
Carletto:
- Se le togli tutte e due da una mano, resta 3 + 5. Se ne levi una da
una mano e una da un’altra, resta 4 + 4.
L’insegnante:
- Ebbene, ma non fa sempre 8?
Carletto:
- Che c’entra! Questa è una lezione sulla sottrazione, mica
sull’addizione.
5.
L’insegnante vuole spiegare il numero 0.
Pensa di partire da un esempio.
Chiama Carletto e gli domanda:
- Carletto, secondo te, quanti rinoceronti ci sono in quest’aula?
Carletto:
- Non so, ci devo pensare.
Risata generale.
L’insegnante:
- Ma che c’è da pensare?
Carletto:
- Per essere proprio sicuro che non ci sono rinoceronti in questa
classe, dovrei sapere dove sono tutti i rinoceronti che esistono.
Altra risata generale.
La solita storia, ma che vuoi fare il furbo con me? - dice
l’insegnante, seccata.
Carletto:
- No, cerco solo di capire.
L’insegnante:
- E allora pensa ai tuoi rinoceronti e lasciaci lavorare!
Alla fine della lezione l’insegnante vuol far pace con Carletto e gli
domanda sorridendo:
- Bè, lo sai adesso dove stanno tutti i rinoceronti che esistono?
Carletto:
- Sì, lo so.
L’insegnante, sempre sorridendo:
- E dove?
Carletto:
- Fuori da quest'aula.
RIFLESSIONI METODOLOGICHE
Carletto ci viene presentato come un bambino che con la matematica non ci
va d’accordo. In effetti, come vedremo, sembra piuttosto che Carletto abbia
una mente, uno stile mentale, da vero matematico. Non è detto infatti che
pensare da matematico voglia dire essere abile nel calcolo: qualsiasi
computer sa far di conto meglio di qualsiasi essere umano, non per questo
diremmo che è un matematico. E’ anche vero che le argomentazioni
antimatematiche di Carletto sono facilmente smontabili in sede specialistica e
che quindi non costituiscono un effettivo pericolo per la teoria del numero.
Carletto però rappresenta il pensiero comune, non specializzato, e le sue
argomentazioni vanno valutate appunto entro questi limiti.
D’altronde il pensiero comune ha un’estensione ben maggiore di quello
specialistico, e gli specialisti, tra cui appunto i matematici, dovrebbero forse
tenerlo in maggior conto di quanto non facciamo abitualmente.
INDICAZIONI DI LAVORO
Per prima cosa l’insegnante si assicurerà, storiella per storiella, che i bambini
abbiano capito, non solo il testo verbale, ma anche le semplici operazioni
matematiche di cui è questione. Lascerà poi che i bambini commentino da
soli le stranezze di Carletto, intervenendo ordinatamente, uno per volta pro o
contro il loro immaginario compagno. E’ essenziale comunque che ciascuno
motivi per quanto possibile la sua posizione.
Vediamo però in dettaglio:
1.
Il dialogo può essere drammatizzato affidandolo a due bambini, l’uno
impersonante Carletto, l’altro l’insegnante (i due eseguiranno anche i
gesti necessari).
Si verificherà poi se i bambini sanno eseguire correttamente l’operazione
2 + 2 = 4; quindi si concretizzerà questa operazione accostando 2 + 2
oggetti simili (per esempio dita di una mano o punti segnati sulla lavagna)
e contando che la loro somma è effettivamente 4.
Dove sta allora il trucco di Carletto (che però non è un trucco ma la
conseguenza di un ragionamento)?
Esaminiamo per prima la conclusione della maestra: Ma tu ci hai mostrato
due volte l’indice!
Che avrà voluto dire?
Se Carletto l’avesse contato due volte avrebbe ottenuto 4, non 3:
(pollice + indice) + (indice + medio)
dita due
+
dita due
= 4 dita
Forse l’insegnante voleva dire:
“Ci hai mostrato due volte uno stesso dito (l’indice) e ce l’ hai fatto contare
due volte. ”
Al che Carletto avrebbe risposto:
“E’ proprio quello che ho fatto io!”
2.
La contestazione di Carletto sembra di primo acchito essere analoga a
quella del caso precedente: 1 + 1 = 2 se, e solo se, gli insiemi cui ci si
riferiscono sono disgiunti, se cioè l’elemento rappresentato dal primo 1 non
è identico a quello rappresentato dal secondo 1 (“Ci dovevi mostrare due
penne diverse!”).
Una prima diversità sta in questo: nel caso precedente Carletto mostra le
dita a uno stesso osservatore (l’insegnante), ma lo fa in due momenti
diversi (prima il pollice e l’indice, poi l’indice e il medio); qui mostra le
penne a due osservatori diversi (la maestra e il gruppo classe), che però
vedono contemporaneamente la stessa penna. Se Carletto avesse posto a
ognuno dei suoi compagni la stessa domanda, avrebbe ottenuto:
1 + 1 + 1 + 1 ….. = 1
Ciò che non cambia è la penna, cambiano gli osservatori interrogati da
Carletto, cambiano cioè le immagini mentali che di quell’unica penna si
fanno i vari osservatori.
Ora, dice Carletto, quando facciamo 1 + 1 = 2, in che senso l’uno di sinistra
è diverso dall’uno di destra? Cambia forse la sua immagine mentale? E, se
non cambia, come facciamo a dire che 1 + 1 = 2? E’ come dire che una
mela più la stessa mela fanno due mele.
Per uscire da questo garbuglio una via potrebbe essere:
considerare l’ 1 – e tutti i numeri – in due modi o come campioni, prototipi,
modelli ideali, o come occorrenze concrete, repliche, copie per l’uso pratico
(è la via di uscita proposta da Platone). Come campioni sono unici, come
repliche sono molteplici e distinte (le mele di un cesto). Più semplicemente,
la matematica può essere vista come un gioco con i suoi elementi dati e le
sue regole, su cui non c’è niente da discutere. Vale solo la considerazione:
la matematica serve a qualcosa? E’ utile alla nostra vita? E la risposta non
può che essere positiva.
Tutto questo può essere pensato autonomamente dai bambini? E se non è
così, che senso ha offrire delle spiegazioni?
Alla prima domanda non sapremmo rispondere. Certo, i bambini non si
esprimerebbero come qui si è fatto, ma non è da escludere che pensino
come Carletto. Quanto alle spiegazioni, le riteniamo poco utili se chiudono
la mente e non lasciano spazio al dubbio, all’ulteriore cammino del
pensiero.
3.
Che la matematica sia o possa essere un gioco lo pensa anche Carletto. E
i bambini della sua età che ne pensano? E gli insegnanti?
E alla domanda “Che cosa sono i numeri?" come rispondono?
La risposta di Carletto suona un po’ strana. Non dice: “quelli che servono
per contare”, ma “quelli che si contano”. Come se fossero oggetti qualsiasi.
5, 7, 6 sono tre numeri; così come possono esserci tre caramelle, tre
canguri, tre aeroplani. In questo senso anche i numeri si possono contare.
Vuol dire che i numeri possono, a seconda dei casi, considerarsi come
oggetti (da contare) o come strumenti (per contare).
Per assicurarsi che i bambini abbiano capito questa differenza, chiedete di
scrivere 5 numeri (per ora necessariamente dallo zero al nove): per
esempio 7, 0, 6, 8, 2 (il 5 neppure compare).
Chiedete poi di usare i numeri per contare 5 caramelle (o altri oggetti).
Quasi certamente i bambini conteranno 1, 2, 3, 4, 5 e si fermeranno al 5.
Avranno cioè usato i numeri per contare altri oggetti. Ma lo stesso
avrebbero potuto fare anche con i numeri precedentemente scritti. Se ne
ricava (osservare se i bambini se ne rendono conto autonomamente ) che,
per servire alla conta, i numeri vanno usati in un certo modo, nominandoli
cioè secondo l’ordine ufficiale ( vedi progetto Dall’1 al 9: una strana
filastrocca) a partire da 1 (e perché non da 0?). E se, alla richiesta di
scrivere 5 numeri, un bambino avesse scritto proprio
1, 2, 3, 4, 5?
Questi sarebbero degli oggetti (come 5 caramelle) o lo strumento per
contare appunto i 5 numeri scritti?
Discutete: non è tuttavia importante che arriviate tutti a una stessa
conclusione, importante è che ciascuno argomenti la sua.
Carletto intanto è andato avanti.
Ha capito benissimo che la maestra vuol fargli dire che tre caramelle, tre
canguri e tre aeroplani hanno in comune il numero 3. Lui però si riferisce
agli oggetti (caramelle, canguri e aeroplani) e risponde come risponde. La
maestra invece a che cosa si vuol riferire? Il numero 3 non fa parte infatti
degli oggetti caramelle, canguri, aeroplani. Fa parte invece, anzi è una
proprietà, degli insiemi detti equipotenti.
4.
Le argomentazioni di Carletto sembrano essere superficiali e in effetti
l’ultima sua frase suona come una battuta.
A uno sguardo più attento sono dei veri attentati alla solidità dell’edificio
matematico. Qui per esempio egli sembra da principio negare ogni valore
astratto, insiemistico al concetto di numero. "2" non significa nulla se non
gli associamo concretamente degli oggetti (delle dita) e allora non è affatto
indifferente quali oggetti vi associamo (un indice, un pollice….). Ma, al
solito, Carletto non si ferma a questo. Lascia da parte il problema di quali
oggetti associare ai numeri e, osserva come il risultato di un’operazione
(qui una sottrazione) tra numeri può assumere diversi nomi aritmetici.
Questi nomi, quali oggetti designano?
Per la maestra sempre lo stesso, si tratta cioè di sinonimi: “8” lo posso
chiamare “3 + 5” o “4 + 4” o “9 – 1” o in molti altri (infiniti) modi diversi.
Da questa osservazione di Carletto (e della maestra) possiamo ricavare un
gioco, limitato per ora ai numeri da 0 a 9 e alle operazioni di addizione e
sottrazione, aperto in seguito a ogni possibile operazione con i numeri:
Trovare x sinonimi di un dato numero y.
Esempio: trovare 7 sinonimi del numero 4.
2+2
1+3
9–5
6+2–4
0+4
5–3+2
1+1+1+1
5.
Qui l'oggetto conteso è il difficile numero “0” (che sia difficile lo testimoniò il
matematico Peano quando, non riuscendo a dimostrarne la natura di
numero, ne fece un assioma). Anche il nostro insegnante si trova in
difficoltà e cerca una scappatoia, ma… nella sua classe c’è Carletto, che
per i concetti matematici fa un po’ da cartello di transito vietato. E anche lo
zero non passerà tanto facilmente.
Il concetto di “0” per Carletto non è affatto intuitivo: “ci devo pensare”, dice.
Eppure lo vede bene che non ci sono rinoceronti in classe….
Ma questa constatazione puramente negativa non gli basta: lo zero da solo
non è sufficientemente informativo, non ammette riferimenti concreti, quindi
come possiamo usarlo per affermare qualcosa sui rinoceronti? E Carletto
inverte la domanda, cercando informazioni positive sui rinoceronti.
Ma forse sta scherzando, è in vena di battute….La sua risposta alla risata
della classe e all’insegnante infastidita sembra invece molto seria: “Cerco
di capire”. La soluzione che egli trova infatti alla fine dell’ora ne è una
prova. Non solo egli riesce a esprimere l’assenza di rinoceronti nell’aula (lo
zero rinoceronti) in una forma positiva (che ammette l’esistenza di
rinoceronti e ci dà un’informazione sul dove andare a cercarli: dappertutto
fuorché nell’aula di Carletto), ma sembra anche voglia dirci che lo "0"
riceve senso da tutto ciò che zero non è (ha senso dire che nell’aula ci
sono "0" rinoceronti solo se i rinoceronti esistono, se non nella realtà,
almeno come pensabili).
Ma, dirà qualche matematico, il nostro problema è lo zero, non lo
zerorinoceronti.
“Ma di quello che m’importa! " gli risponderà Carletto.
Anche questa volta, dalle stranezze di Carletto è possibile ricavare qualche
gioco con i numeri.
Per esempio:
Ho x caramelle e y bambini a cui voglio darle in numero variabile da
bambino a bambino; a me non dovrà restarne nessuna.
Trovare almeno 4 soluzioni diverse. Si potrà procedere nel modo seguente:
Siano 9 le caramelle e 3 i bambini
Totale
1°
2°
Caramelle
bambino
bambino
3°
bambino
9
-
7
-
1
-
1
= 0
9
-
2
-
4
-
3
= 0
9
-
5
-
2
-
2
= 0
9
-
8
-
0
-
1
= 0
La distribuzione delle caramelle, in particolare nell’ultimo caso, non sembra
essere equanime. Che ne pensano i bambini? C’è qualche caso in cui
potrebbe essere giustificabile?
E, se volessimo non far torto a nessuno, come distribuiremmo le caramelle
tra i tre bambini? (avvio all’operazione della divisione).
E se y fosse maggiore di x, cioè se ci fossero più bambini che caramelle,
come ci comporteremmo?
Dalle risposte dei bambini si potranno ricavare utili informazioni sul loro
modo di pensare. Osservare in particolare il loro modo di risolvere il
problema aritmetico:
- individuando un sinonimo di 9 (4+3+2) e dando 4 caramelle ad un
bambino, 3 ad un altro e 2 a un terzo;
- distribuendo una alla volta le caramelle ai bambini (non è detto che tutti
ricevano lo stesso numero di caramelle);
- ………………………..
centro di ricerca e sperimentazione metaculturale

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