esercizi sulle equazioni cardinali della statica

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esercizi sulle equazioni cardinali della statica
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.1
1
▄
soluzione a pag.10
Esegui il computo dei vincoli e definisci la struttura
A
C
B
D
E
Esercizio no.2
R. [isostatica]
soluzione a pag.10
▄
Esegui il computo dei vincoli, dei gradi di libertà e definisci la struttura
A
B
R. [labile]
Esercizio no.3
soluzione a pag.10
▄
Esegui il computo dei vincoli, dei gradi di libertà e definisci la struttura
B
C
R. [labile]
A
D
Esercizio no.4
soluzione a pag.11
▄
Esegui il computo dei vincoli e definisci la struttura
A
R. [una volta iperstatica]
C
B
1
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.5
2
soluzione a pag.11
▄
Esegui il computo dei vincoli e definisci la struttura.
R. [isostatica]
Esercizio no.6
soluzione a pag.11
▄
Esegui il computo dei vincoli, dei gradi di
libertà e definisci la struttura.
R. [due volte iperstatica]
Esercizio no.7
soluzione a pag.12
▄
p=50kN
q=20kN
Trova le reazioni vincolari .
[
R . Ax = 0 Ay = 34 kN B y = 36 kN
Esercizio no.8
]
soluzione a pag.12
▄
Con q=450N. Determinare le reazioni vincolari
sulla cerniera A e sull’appoggio B.
[
R . Ax = 318 ,2 N
Ay = B y = 159 ,1 N
]
2
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
3
soluzione a pag.13
Esercizio no.9
p=60kN
q=30kN
Trova le reazioni vincolari .
[
R . Ax = 30 ,5 kN Ay = 36 ,6 kN B y = 47 ,3 kN
Esercizio no.10
]
soluzione a pag.13
▄
Considerando F=3kN e q=3kN/m calcola le reazioni vincolari
R . [V A = 5,25kN ,VB = 9,75kN
Esercizio no.11
]
soluzione a pag.14
▄
Essendo qm = 20 kN / m calcolare le
reazioni vincolari.
[
R . Ax = 0 Ay = 33 ,3kN B y = 16 ,6 kN
Esercizio no.12
]
soluzione a pag.15
▄
Trova le reazioni vincolari dato q=25kN/m.
[
R . Ax = 0 Ay = −25 kN B y = 75 kN
]
3
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.13
4
soluzione a pag.15
▄
Nello schema di figura le distanze sono
espresse in metri, inoltre,
p=2kN
q=4kN
f=3kN
Trova le reazioni vincolari.
[
R . Ax = 0 Ay = 2 ,5 kN B y = 6 ,5 kN
Esercizio no.14
]
soluzione a pag.16
▄
Nella struttura illustrata con p=1kN e le
dimensioni espresse in metri, trova le reazioni
vincolari.
21
5
5
5

R.  Ax = −
Ay = −
Fx =
Fy = 
16
4
16
4

Esercizio no.15
soluzione a pag.17
▄
Trova le reazioni vincolari con q=1kN/m e
p=3kN.
[
R . Ax = 3kN Ay = 2 kN M = 8 kN / m
]
4
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.16
5
soluzione a pag.17
▄
Assumendo le dimensioni in metri con
q=3kN, calcola le reazioni vincolari.
3
3


R .  Ax = −3kN Ay = − kN B y = kN 
4
4


Esercizio no.17
soluzione a pag.18
▄
Trovare le reazioni vincolari nella
struttura indicata, sapendo che
F=4N.
3
3

R.  VB = N V A = − N
2
2

Esercizio no.18

H A = H B = 2N 

soluzione a pag.18
▄
Trovare il valore delle reazioni vincolari nel sistema
illustrato, assumendo F=1N.

2
2
2
2 
R .  Ax = −
N Ay =
Cx = 0 C y =
N Bx = 0 B y =
N 
2
4
4
2


5
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.19
6
soluzione a pag.20
▄
Nella struttura dove le dimensioni sono espresse
in metri e q=2N/m calcola le reazioni dei
vincoli.
[
R . Ax = Bx = 0 Ay = −1N B y = 5 N
]
soluzione a pag.21
Esercizio no.20
Trova le reazioni vincolari con q=1N, considerando le
dimensioni in metri.
1 

R .  Ax = Fx = 0 Ay = Fy = N 
2 

soluzione a pag.22
Esercizio no.21
Nella struttura dove le dimensioni sono
espresse in metri e q=2kN/m calcola le
reazioni dei vincoli.
[
R . Ax = Ay = 2 ,5 kN Bx = −2 ,5 kN B y = 7 ,5 kN
]
6
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.22
7
soluzione a pag.22
▄
Con q=10kN, trova le
reazioni ai vincoli
[
R . Ay = 2 ,5 kN B y = 3 ,5 kN C x = 0
Esercizio no.23
C y = −1 kN
]
soluzione a pag.23
▄
La trave in figura è lunga l=1 m, la sua forza-peso è
P=600N; forma un angolo di 45° con l’orizzontale.
Trova intensità e direzioni delle reazioni vincolari.
[
R . Ax = 150 N Ay = 450 N B = 212 ,13 N
Esercizio no.24
▄
]
soluzione a pag.24
La mensola di figura, incernierata agli
estremi A , B e D è caricata al suo estremo
libero C da una forza q=160N con l’angolo
indicato di 30°.
Calcolare intensità e direzione delle reazioni
vincolari nelle cerniere A e .B
R . [ A = 481,47 N B = 424 ,9 N
]
7
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.25
8
soluzione a pag.25
▄
Nel sistema illustrato q=15 kN/m p=60 kN
ed f=60 kN, trova le reazioni vincolari.
 B = 47 ,17 kN

R .  Ax = 86 ,65 kN
 Ay = −33 ,35 kN

Esercizio no.26





soluzione a pag.27
▄
Calcolare i vincoli considerando q=2kN
e le distanze in metri.
[
R . B = 2 ,5 kN Ax = 0 Ay = −0 ,5 kN / m
]
soluzione a pag.28
Esercizio no.27
Nell’arco a tre cerniere
illustrato, con
q=120 N
p=80 N
Trova le reazioni in A e B.
[
R .. Ax = − Bx = 43,3 N Ay = 135 N B y = 65 N
]
8
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.28
9
soluzione a pag.29
▄
Se q=500N indicare quanto deve
valere p per tenere in equilibrio il
sistema.
R.
[ p = 216 ,5 N ]
9
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.1
10
▄
Esegui il computo dei vincoli e definisci la struttura
La struttura è complessivamente costituta da n=3 elementi, quindi i gradi di libertà sono l=3n=9.
Il sistema è fissato tramite 1 carrello C che toglie 1 grado di libertà e 2 cerniere D ed E che tolgono
ciascuna 2 gradi di libertà. Vi sono due cerniere interne
v = 3 ⋅ i + 2 ⋅ c + 1 ⋅ a + 2 ⋅ ∑i (m − 1)
v = 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 2 + 1 ⋅1 + 2 ⋅ (2 − 1) + 2 ⋅ (2 − 1) = 4 + 1 + 2 + 2 = 9
g=v il sistema è isostatico.
Esercizio no.2
▄
Esegui il computo dei vincoli, dei gradi di libertà e definisci la struttura
Il sistema è costituito da un solo elemento che ha 3 gradi di libertà.
E’ presente, un appoggio che toglie un solo grado di libertà ed un carrello che toglie anch’esso un
solo grado di libertà. quindi: 3=l>v=2
la struttura è labile.
Esercizio no.3
▄
La struttura è complessivamente costituta da
n=3 elementi, quindi i gradi di libertà sono
l=3n=9.
I vincoli esterni sono; la cerniera D che toglie
due gradi di libertà ed il carrello A che ne toglie
solo uno; poi vi sono le due cerniere interne B e
C.
v = 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ (2 − 1) + 2 ⋅ (2 − 1) = 2 + 1 + 2 + 2 = 7
9=l>v=7
la struttura è labile.
10
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.4
11
▄
La struttura è complessivamente costituta da n=2
elementi, quindi i gradi di libertà sono l=3n=6.
I vincoli esterni sono: l’incastro B che toglie 3 g.l.; la
cerniera A che toglie 2g.l. poi dobbiamo considerare
la cerniera interna C in cui concorrono 2 elementi.
v = 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ (2 − 1) = 3 + 2 + 2 = 7
6=l<v=7
la struttura è una volta iperstatica.
Esercizio no.5
▄
La struttura è complessivamente costituta da
n=3 elementi, quindi i gradi di libertà sono
l=3n=9.
I vincoli esterni sono: la cerniera A che toglie
2g.l. il carrello B che toglie 1g.l.. e le tre
cerniere interne in cui concorrono 2 elementi in
ciascuna.
v = 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ (2 − 1) + 2 ⋅ (2 − 1) + 2 ⋅ (2 − 1) = 2 + 1 + 2 + 2 + 2 = 9
9=l=v=9
la struttura è isostatica.
Esercizio no.6
▄
La struttura è complessivamente costituta da
n=2 elementi, quindi i gradi di libertà sono
l=3n=6.
I vincoli esterni sono: le due cerniere A ,B e
Che tolgono 2g.l. ciascuna; poi dobbiamo
considerare la cerniera interna D.
v = 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ (2 − 1) = 6 + 2 = 8
6=l<v=8
la struttura è due volte iperstatica.
11
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.7
12
▄
p=50kN
q=20kN
Trovare le reazioni vincolari .
per le forze orizzontali
Ax = 0
per le forze verticali
Ay + B y = p + q
l’equazione dei momenti ottenuta fulcrando in A
2 p + 4q − 5 By = 0
→
By =
dalla seconda equazione scritta:
Esercizio no.8
2 p + 4 q 2 ⋅ 50 + 4 ⋅ 20 180
=
=
= 36 kN
5
5
5
Ay + 36 = 50 + 20
→
Ay = 70 − 36 = 34 kN
▄
Con q=450N. Determinare le reazioni vincolari
sulla cerniera A e sull’appoggio B.
[
R . Ax = 318 ,2 N
Ay = B y = 159 ,1 N
]
Dobbiamo decomporre le forze attive e quelle reattive nelle loro componenti orizzontali e verticali.
qx = q y = q
evidentemente
 Ay + B y = q y

q y = 2 B y
Ax = q x = 318 ,2 N
 Ay + B y = q y

 B y = q y / 2 = 159,1N
2
2
= 450
= 318 ,2 N
2
2
La reazione in B può essere solo verticale, dato
che l’appoggio può reagire soltanto in senso
ortogonale al piano.
con
ovviamente seguirà : Ay = q y −
qy
2
= 159 ,1
12
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
13
Esercizio no.9
p=60kN
q=30kN
Trova le reazioni vincolari .
q x = q ⋅ cos 60° = 15 kN

q y = q ⋅ sin 60° = 26 kN
 p x = p ⋅ cos 75° = 15 ,5 kN

 p y = p ⋅ sin 75° = 58 kN
 Ax = q x + p x

 Ay + B y = q y + p y

2 q y + 4 p y = 6 B y
sulla prima eq. Ax = 15 + 15 ,5 = 30 ,5 kN
sulla terza eq. B y =
2q y + 4 p y
6
=
2 ⋅ 26 + 4 ⋅ 58
= 47 ,3 kN
6
dalla seconda: Ay = q y + p y − B y = 26 + 58 − 47 ,3 = 36 ,6 kN
Esercizio no.10
▄
F=3kN
q=3kN/m
Il carrello A ha un 1 g.v., la cerniera B ha
2g.v.
il carico distribuito ha risultante Q = q ⋅ l = 4 ⋅ 3 = 12kN applicata sul punto medio del tratto su cui
è collocato
per le forze orizzontali:
HB = 0
13
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
per le forze verticali :
momenti rispetto a B
F + Q = VA + VB
8V A − 6 F − 2Q = 0
da questa ultima avremo: VA =
F + Q = VA + VB
Esercizio no.11
→
14
6 F + 2Q 6 ⋅ 3 + 12 ⋅ 2 18 + 24
=
=
= 5 ,25 kN poi dalla
8
8
8
3 + 12 = 5 ,25 + VB
→
VB = 15 − 5 ,25 = 9,75 kN
▄
qm = 20 kN / m
Per le considerazioni teoriche che caratterizzano il carico distribuito linearmente: Q = qm ⋅
Q = 20 ⋅
5
= 50 kN
2
ovviamente si avrà
Eq. dei momenti al polo A: 2Q = 6 B y
→
By =
l
2
Q 50
=
= 16 ,6 kN
3
3
Ax = 0
poi:
Ay + B y = Q → Ay = Q − B y = 50 − 16 ,6 = 33 ,3 kN
14
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.12
15
▄
q=25kN/m.
Q = ql = 25 ⋅ 2 = 50 kN
Ax = 0
Ay + B y = Q
3Q = 2 B y
By =
3Q 3 ⋅ 50
=
= 75 kN poi
2
2
Ay = Q − B y = 50 − 75 = −25 kN
Questo vuol dire che Ay ha in realtà verso opposto a quello indicato.
Esercizio no.13
▄
p=2kN
q=4kN
f=3kN
Come al solito consideriamo due reazioni
per la cerniera e una per il carrello
Ax = 0
fulcrando in A:
5 ,9 f + 2 ,7 q + p = 4 ,7 B y
→
By =
le forze verticali: Ay + B y = p + q + f
5 ,9 f + 2 ,7 q + p 5 ,9 ⋅ 3 + 2 ,7 ⋅ 4 + 2
=
= 6 ,5 kN
4 ,7
4 ,7
→ Ay = p + q + f − B y = 2 + 4 + 3 − 6 ,5 = 2 ,5 kN
15
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.14
16
▄
Con p=1kN
Scriviamo le eq. di equilibrio con i momenti
calcolati rispetto al polo A.
L’unica cose che otteniamo è:
F y = − Ay = 5 / 4
Ci serve un’eq. ausiliaria che decidiamo di
ottenere aprendo la cerniera in E, sottintendendo
 E y = E'y

 E x = E'x
4 E x − 4 E y = 0

8 Fx + 2 E x = 0
8 F + 4 F + 4 E + 2 E = 0
y
y
x
 x
La prima è l’eq. dei momenti di BE rispetto ad
E.
La seconda è l’eq. dei momenti di DF rispetto a
D
La terza è l’eq. dei momenti di CDF rispetto a C

E x = E y

 E x = −4 Fx

5
8 Fx + 4 + 6 E x = 0
4

→
8 Fx + 5 − 24 Fx = 0
→
Fx =
5
16
tornando alla prima eq. sistema iniziale:
Ax +
5
+1=0
16
→
Ax = −
21
16
16
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.15
17
▄
Con q=1kN/m e p=3kN.
Le equazioni di equilibrio sono quelle indicate, con l’equazione dei
momenti eseguita rispetto al polo A.
Sviluppando questa ultima:
 Ax = p = 3kN

 Ay = q = 2 kN

M + 2 q − 4 p = 0
M = 4 p − 2 q = 12 − 4 = 8 kN / m
Esercizio no.16
▄
Dimensioni in metri con q=3kN.
Scrivendo le condizioni di equilibrio con eq.
dei momenti con polo in A
 Ax + q = 0

 Ay + B y = 0

q − 4 B y = 0

 Ax = −q = −3

3

 Ay + B y = 0 → Ay = − B y = −
4

q 3

 B y = 4 = 4
17
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.17
18
▄
Sapendo che F=4N.
Scriviamo le tre equazioni cardinali
ordinarie aggiungendo come al solito
un’equazione ausiliaria dei momenti
al polo C riguardante solo il tratto
AC:
F = H A + H B

V A = −VB = − 3 N

2

V = 3F = 12 = 3 N
 B
8
8 2
3H + 4V = 0
A
 A
F = H A + H B
V + V = 0
 A
B

3F − 8VB = 0
3H A + 4V A = 0
 4  3
 ⋅  −  = 2N
 3  2
4
3
dall’ultima si ha H A = − V A =  −
dalla prima: 4 = 2 + H B
Esercizio no.18
→
HB = 2 N
▄
Con F=1N.
Sapendo che Fx = Fy =
2
N useremo le seguenti:
2
18
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
19
 Ax + C x + Fx = 0
F = A + C
y
y
 y
 l
 Fy − C y l − C x l = 0
 2

l
 Ay l − Fx = 0

2
l’equazione dei momenti per l’intera struttura è stata ottenuta fulcrando in A; L’equazione ausiliaria
riguarda i momenti per il tratto AB con polo in B.
Dall’ultima abbiamo:
Ay l = Fx
l
→
2
dalla terza Fy
Ay =
2
poi dalla seconda
4
l
= C y l + C xl →
2
2 2− 2
2
2
2
=
+ Cy → Cy =
=
4
4
2
4
2
2
=
+ Cx → Cx = 0
4
4
Ax + C x + Fx = 0 → Ax = −C x − Fx = −
poi dalla prima
2
2
Le forze che si scambiano le aste attraverso i vincoli
interni sono essenzialmente azioni e reazioni. Soppressa
la cerniera B, la struttura acquista 2 gradi di libertà,
facendo le equazioni dei momenti in A e in C:
 B' y = B y

 B' x = Bx
poi avremo:
 B' x = Bx = 0
 B' x = 0



2
 B y l − Fy l = 0  B y = Fy =

2
19
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.19
20
▄
Il carico distribuito q=2N/m si trasforma nel carico concentrato q=4N. Dalle condizioni di
equilibrio: con polo dei momenti in B:
 Ax + Bx = 0

 Ay + B y = q

4 Ax + q + 4 Ay = 0
3 eq. con 4 incognite; per procedere sganciamo la cerniera C
 Ay + C y = q → Ay = q − C y = 4 − 5 = −1N


5
5
5 q − 4C y = 0 → C y = q = ⋅ 4 = 5 N
4
4

adesso considerando Ay= -1N possiamo tornare a
considerare il sistema scritto inizialmente.
 Ax + Bx = 0

 Ay + B y = q

4 Ax + q + 4 Ay = 0
 Ax + Bx = 0

− 1 + B y = 4

4 Ax + 4 − 4 = 0
 Bx = 0

By = 5

 Ax = 0
20
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.20
21
▄
Ricordando che q=1N;
possiamo, ovviamente scrivere le condizioni di
equilibrio considerando i momenti rispetto ad A:

 Ax + Fx = 0  Ax + Fx = 0


1 1

 Ay + Fy = q  Ay = 1 − =
2 2


−
=
4
F
2
q
0
y
1


 Fy = 2
ma sappiamo già che esse non sono sufficienti,
Apriamo il sistema sulla cerniera D, dove valgono le:
 Dx = D'x

'
 D y = D y
Facendo il momento rispetto al polo C:
4 D'y = 0 →
D'y = D y = 0
considerando questo fatto, scriviamo le eq. dei
momenti del tratto opposto, con polo in E e rispetto a
B:
6 Fx − 2 Dx = 0

2 Fx + 4 Fy − 2 q − 6 Dx = 0
quindi: 2 Fx + 2 − 2 − 18 Fx = 0
 Dx = 3 Fx


1
2
F
4
+
⋅
− 2 − 18 Fx = 0
x

2
→
− 16 Fx = 0
sulla prima delle eq. scritte: Ax + Fx = 0 →
→
Fx = 0
Ax = 0
21
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.21
22
▄
Sapendo che q=2kN/m
Le condizioni si equilibrio con eq. dei
momenti con polo in A:
 Ay + B y = q

 Ax + Bx = 0
7 ,5 q − 10 B = 0
y

dall’ultima:
B y = 0 ,75 q = 7 ,5 kN
dalla prima:
Ay + 7 ,5 = 10 →
Ay = 2 ,5 kN
Considerando il tratto CB l’eq. del momento col
polo in C:
2 ,5 q = 5 B y + 5 Bx →
Bx =
Ax = − Bx →
Ax = 2 ,5 kN
Esercizio no.22
▄
1
10
q − By =
− 7 ,5 = −2 ,5 kN
2
2
poi essendo:
Con q=10kN.
22
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
23
 Ay + B y + C y = q

C x = 0
q = 4 B + 9 C
y
y

ma se facciamo l’eq. del momento del tratto AD con polo in D:
2 Ay = q → Ay =
q
= 2 ,5 kN
2
2 ,5 + B y + C y = 5

5 = 4 B y + 9C y
 B y + C y = 2 ,5

5 = 4 B y + 9C y
5 = 10 − 4C y + 9C y →
quindi rimaniamo col sistema:
 B y = 2 ,5 − C y
ne segue:

5 = 4 ⋅ 2 ,5 − C y + 9C y
(
)
− 5 = 5C y → C y = −1 kN quindi
B y = 2 ,5 − (− 1) = 3 ,5 kN
Esercizio no.23
▄
Considerando che l’asta è lunga l=1 m con p=600N e forma un angolo di 45° con l’orizzontale
La struttura può essere indicata nel modo illustrato, con la reazione B che deve essere ortogonale al
piano dell’appoggio. In questa configurazione è possibile immediatamente, eseguire il calcolo dei
momenti rispetto ad A.
1 2
2
2
B ⋅1 = p ⋅ ⋅
→B= p
= 600
= 212 ,13 N
2 2
4
4
23
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
24
Questa forza si può decomporre nelle sue due
componenti ortogonali
Bx = B y = 212 ,13
2
= 150 N
2
 Ax = Bx = 150 N

 Ay + B y = p
ne segue:
Ay = 600 − 150 = 450 N
Esercizio no.24
▄
Con q=160N.
Si ottiene la distanza AD =
4
= 4 ,61 mentre AB = 4 ,61 sin 30° = 2.3
cos 30°
L’equazione dei momenti per l’intero sistema con polo in B:
2 ,3 Ax + 6 q = 0 → Ax = −
6
⋅ q = −417 ,3 N
2 ,3
sempre per l’intero sistema : Ax + Bx = 0 →
Bx = − Ax = 417 ,3 N
Si apre la cerniera D considerando le reazioni interne D y = D'y e Dx = D'x
4 D y = 2 ,3 Dx

'
6 q + 4 D y = 0
4 D y = 2 ,3 Dx

 '
3
 D y = D y = − q = −240
2

Per la sola asta AD: Ay + D y = 0 →
ne segue Dx = −
4
⋅ 240 = −417 ,4 N
2 ,3
Ay = − D y = 240 N
24
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
25
Per l’intero sistema Ay + B y = q → B y = q − Ay = 160 − 240 = −80 N
Il reale orientamento delle reazioni vincolari è:
A=
 Ay 
Ax2 + Ay2 = 417 ,32 + 240 2 = 481,47 N θ = atg   = 30°
 Ax 
 By 
B = Bx2 + B y2 = 417 ,3 2 + 80 2 = 424 ,9 N β = atg   = 10 ,8°
 Bx 
Viene qui messo in evidenza come la struttura si comporti come un sistema tirante-puntone con
l’asta AC sollecitata a compressione e l’asta AD sollecitata a trazione (secondo la direzione della
stessa asta).
Esercizio no.25
▄
Ricordando che q=15 kN/m p=60 kN ed f=60 kN.
Il carrello in B reagisce con un’unica reazione, ortogonale al piano di appoggio e di scorrimento del
carrello stesso, quindi, con una inclinazione di 45° rispetto l’orizzontale. Una eventuale equazione
dei momenti rispetto ad A ci permetterebbe di avere come unica incognita la reazione B, ma
dobbiamo individuare il braccio che intercorre fra il polo A e la reazione B .
il carico laterale, viene ricondotto ad un’unica sollecitazione q = 15 ⋅ 8 = 120 kN
25
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
26
il braccio fra il polo A e la reazione B è dato
dalla lunghezza AK della retta perpendicolare
alla direzione del vettore B (che ha
coeff.angolare -1) passante per il punto B(5,4).
Quest’ultima è individuata dall’equazione
canonica y = − x + q che deve passare per il
punto di coordinate B(5,4)
4 = −5 + q → q = 9 . La distanza AK (il
braccio) può essere individuato se è nota
l’intersezione fra le due rette:
y = x

y = −x + 9
→ x = −x + 9 →
x= y=
9
2
2
il braccio fra la reazione in B e il polo A vale b =
2
9 9
  +   = 6,36 m
2 2
L’eq. dei momenti con polo in A vale:
3 f + 6 ,36 B = 4 q →
B=
4 q − 3 f 4 ⋅ 120 − 3 ⋅ 60
=
= 47 ,17 kN
6 ,36
6 ,36
per il calcolo delle reazioni in A, ci avvaliamo della possibilità di decomporre nelle due direzioni
ortogonali xy la reazione in B : Bx = B y = B / 2 = 33,35 kN
q + Ax = Bx

 f + Ay + B y = p
120 + Ax = 33 ,35

60 + Ay + 33 ,35 = 60
 Ax = 120 − 33 ,35 = 86,65 kN

 Ay = −33 ,35
26
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.26
27
▄
Considerando q=2kN, la condizione di equilibrio solo per l’asta a destra di C, calcolata con eq. deli
momenti con polo in C:
4 B = 5q →
B=
5
5
q = ⋅ 2 = 2 ,5 kN
4
4
L’eq. dei momenti per l’intero sistema con polo in A:
M + 7 q = 6 B → M = 6 B − 7 q = 6 ⋅ 2 ,5 − 7 ⋅ 2 = 15 − 14 = 1 kN / m
notiamo che
Ay + B = q
Ax = 0
→
per le forze verticali, potremo dire:
1
Ay = q − B = 2 − 2 ,5 = − kN
2
27
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.27
28
▄
Ricordando che è q=120 N p=80 N
Per le condizioni di equilibrio:

 Ay + B y = p + q

 Ax + Bx = 0

q 5
4 B y = + p
2 2

con polo dei momenti in A.
Da quest’ultima:
By =
q + 5p
= 65 N
8
dalla prima
Ay = p + q − B y = 135 N
deve essere aperta la cerniera
interna C e viene di seguito
applicata al tratto AC
l’equazione dei momenti con
polo in C
q
− Ay + 3 Ax = 0
2
→ Ax =
Ay
3
−
q
2 3
=
135 60
−
= 43 ,3 N = − Bx
3
3
28
Edutecnica.it – Equazioni cardinali della Statica
Esercizio no.28
29
▄
Con q=500N.
Per le condizioni di equilibrio:
 Ay + B y = q

 Ax = p
4 A − 3q = 0
 y
Con polo dei momenti in B.
Da quest’ultima:
Ay =
3
q = 375 N
4
Se per la sola asta AC si esegue
l’eq. dei momenti con polo in C:
Ay − Ax 3 = 0
ne seguirà:
Ax =
Ay
3
=
375
= 216 ,5 N = p
3
29

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