Elettrostatica - Fabio Panozzo

1. Elettrostatica
!
L'elettrostatica è una branca dell'elettromagnetismo che studia le cariche elettriche stazionarie
nel tempo, generatrici del campo elettrostatico.!
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1.1 Elettrizzazione dei corpi
Sappiamo già che un atomo è elettricamente
neutro perché il numero dei protoni, particelle
con carica positiva, è uguale al numero di Fin dai tempi di Talete, nel V secolo a.C., si era
elettroni, particelle con carica negativa; quindi notato che una bacchetta di ambra strofinata
una bacchetta di vetro, o una di ambra, con un panno era in grado di attirare piume,
costituita da atomi elettricamente neutri, è pagliuzze, fili, definendo il fenomeno elettrizzaneutra. Quando si strofina la bacchetta di vetro zione dei corpi. Il termine "elettricità" deriva
con il panno di lana, alcuni elettroni, che sono infatti proprio dalla parola greca "elektron", che
le particelle libere di muoversi, lasciano la significa ambra. Esistono due tipi di stati
bacchetta e si trasferiscono sul panno. La elettrici (o cariche): positivo, come quello del
bacchetta di vetro perde dunque elettroni e, vetro; negativo, come quello dell'ambra.
quindi, ha un numero di protoni maggiore di
quello degli elettroni: si dice allora che si carica positivamente; il panno, invece, acquista elettroni e
quindi ha un numero di elettroni maggiori di quello dei protoni: ecco perché si dice che si carica
negativamente. Se invece di una bacchetta di vetro si utilizza una bacchetta di ambra, gli elettroni
passano dal panno alla bacchetta. In questo caso la bacchetta di ambra, che acquista elettroni, si
carica negativamente e il panno, che perde elettroni, si carica positivamente. Dunque quando si
strofinano due corpi, uno si elettrizza positivamente e uno negativamente.!
L'elettrizzazione di un corpo si può ottenere anche con tre metodi differenti:!
• per strofinio;!
• per induzione (elettrizzazione temporanea);!
• per contatto (elettrizzazione permanente).!
Per saperne di più…
SIMBOLI DELLA
CARICA NEGATIVA
(SINISTRA) E
POSITIVA (DESTRA)
!
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La carica elettrica
Definizione
La carica elettrica (Q) è una grandezza fisica scalare dotata di segno, ed è una proprietà
fondamentale della materia responsabile dell'interazione elettromagnetica, essendo sorgente del
campo elettromagnetico.!
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La carica elettrica è una grandezza quantizzata, ossia essa esiste solo in forma di multipli di una
quantità fondamentale: la carica dell'elettrone, che viene definita come negativa e indicata con −e.!
Nel Sistema Internazionale (SI) l’unità di misura della carica elettrica è Il coulomb1 (simbolo C)
definita in termini di ampere: 1 C è la quantità di carica elettrica trasportata in 1 s dal flusso di
corrente di 1 A.!
!
Ricorda!
I=
!
Q
!
t
t=
Q
!
I
Q = I ⋅t !
!
ricorda!
Per saperne di più…
Fino alla metà del XVIII secolo, erano noti solo
gli aspetti qualitativi della forza elettrica: gli
scienziati, quindi, iniziarono a studiarne anche
le proprietà quantitative, così che si fece strada
l'idea di una somiglianza con la forza di gravità,
ovvero:!
• una costante universale indipendente dal
sistema di misura adottato;!
• una proporzionalità diretta con la prima
potenza delle particelle puntiformi interagenti;!
• proporzionalità inversa con il quadrato della
distanza.!
Tra il 1777 e il 1785 fu Charles Augustin de
Coulomb a provare sperimentalmente che
effettivamente la forza elettrica era proporzionale all'inverso del quadrato della distanza, ma
non fu il primo dato che gli stessi esperimenti di
Coulomb furono precedentemente condotti
dall'inglese Henry Cavendish, il quale per la
sua bizzarra personalità non pubblicò la
maggior parte dei suoi lavori. Questo è stato il
primo tentativo di capire il funzionamento della
forza elettrica.
1 coulomb è all'incirca 6,24 × 1018 volte la
carica di un elettrone.!
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La carica misurabile più piccola è quella
dell'elettrone, e viene indicata con e = −1,602
× 10-19 C.!
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1.2 Il campo elettrico
Definizione
Il campo elettrico nel vuoto (E) è un campo di
forze generato nello spazio dalla presenza di
carica elettrica o di un campo magnetico
variabile nel tempo.!
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Nel vuoto, il campo elettrico E in un punto
dello spazio è definito come la forza per unità
di carica elettrica positiva alla quale è soggetta
una carica puntiforme q, detta carica "di
prova", se posta nel punto:!
1
Coulomb: Prende il nome da Charles Augustin de Coulomb (1736 - 1806), il primo scienziato a studiare
qualitativamente le cariche e le forze che ne regolano il moto.
2
CAMPO ELETTRICO
GENERATO DA DUE CARICHE,
UNA POSITIVA ED UNA
NEGATIVA.
Ricorda!
!
E=
F
!
q
q=
F
!
E
F = E ⋅q !
!
Dalla definizione si ricava che l'unità di misura del campo elettrico è N/C, che equivale a V/m.!
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La forza di Coulomb
Definizione
La forza di Coulomb, descritta dalla legge di Coulomb, è l’interazione presente tra due corpi
elettricamente carichi.!
!
Essa è la forza esercitata dal campo
elettrico su una carica elettrica. Si tratta
della forza che agisce tra oggetti elettricamente carichi, ed è operativamente definita
dal valore dell'interazione tra due cariche
elettriche puntiformi e ferme nel vuoto.!
Considerando q 1 e q 2 come cariche
puntiformi interagenti nelle posizioni r1 ed r2,
la forza elettrostatica esercitata da una
particella carica q1 su una carica q2 vale:
" "
!"
r1 − r2
F = k ⋅q1 ⋅q 2 " " 3 .!
r1 − r2
! !
Se d = r 1 − r 2 è la distanza tra le cariche, il
modulo della forza è:!
!
3
Ricorda!
F =k
q1 ⋅ q 2
!
d2
!
dove:!
• F: forza di Coulomb espressa in newton, N;!
• q1: carica di una delle particelle espressa in coulomb, C;!
• q2: carica di una delle particelle espressa in coulomb, C;!
• d: distanza tra le particelle espressa in metri, m;!
• k: costante di Coulomb, pari a 8,99 x 109, Nm2/C2.!
!
Ricorda!
Esistono due tipi di stati elettrici (o cariche): positivo, come quello del vetro; negativo, come quello
dell'ambra. Cariche dello stesso segno si respingono, mentre cariche di segno opposto si
attraggono, in entrambi i casi nel rispetto della legge di Coulomb.!
!
!
Rigidità dielettrica
Definizione
La rigidità dielettrica è definita come il valore limite di campo elettrico, espresso comunemente in
kV/mm (kilovolt su millimetro), oltre il quale si produce una conduzione di elettricità (scarica
elettrica) attraverso il materiale dielettrico.!
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Se il campo elettrico supera tale valore, gli atomi o le molecole del materiale subiscono un
processo di ionizzazione a valanga, che provoca un arco elettrico attraverso il materiale. A causa
del calore e della pressione provocati dalla ionizzazione improvvisa il materiale subisce, se solido,
alterazioni permanenti: può perforarsi, fessurarsi o anche incendiarsi.!
La rigidità dielettrica determina il limite massimo di tensione sopportabile da un condensatore o da
un cavo elettrico, oppure la distanza minima di separazione in aria che deve avere un conduttore
in alta tensione per garantire l'isolamento.!
Quando lo spessore di uno strato isolante si riduce a spessori di millesimi di millimetro, anche
tensioni relativamente basse possono dare origine a campi elettrici elevatissimi e superare il valore
di rigidità dielettrica. È questo il motivo per cui i circuiti integrati usati in elettronica sono
particolarmente suscettibili di essere danneggiati da scariche elettrostatiche.!
La determinazione del valore di rigidità dielettrica si effettua applicando valori progressivamente
crescenti di differenza di potenziale tra due facce di un campione di dimensioni e forma standard di
un materiale.!
!
!
4
1.3 Il condensatore
Per saperne di più…
Intorno al 1780 Volta, nell'ambito dei suoi studi
sull'elettricità, nota che lo scudo carico di un
elettroforo perpetuo, appoggiato sulla superficie
di alcuni materiali scarsamente conduttori,
anziché dissipare la propria elettricità la
conserva meglio che isolato in aria. Si convinse
che l’afflusso di carica sulla superficie prossima
a quella dello scudo richiama carica sulla
superficie affacciata di quest’ultimo. Due dischi
metallici, delle stesse dimensioni, così che uno
può essere sovrapposto all’altro in modo da
combaciare perfettamente, compongono quello
che Volta stesso chiama "condensatore di
elettricità".
Un campo elettrico può essere generato
applicando una differenza di potenziale tra due
elettrodi metallici isolati tra loro.!
!
Definizione
Il condensatore è un componente elettrico
che immagazzina l'energia in un campo
elettrostatico.!
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Nella teoria dei circuiti il condensatore è un
componente ideale che può mantenere la
carica e l'energia accumulata all'infinito.!
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Leggi fisiche
Un condensatore è generalmente costituito da una coppia di conduttori (armature o piastre)
separati da un isolante (dielettrico). La carica è immagazzinata sulla superficie delle piastre, sul
bordo a contatto con il dielettrico. Quindi all'esterno si avrà un campo elettrico pari a zero a causa
dei due campi, uno positivo e uno negativo, che hanno per l'appunto stesso modulo ma segno
(verso) opposto, mentre all'interno del dispositivo due volte il campo elettrico perché entrambi i
campi, sia quello positivo che quello negativo, hanno stesso modulo e stesso verso. L'energia
elettrostatica che il condensatore accumula si localizza nel materiale dielettrico che è interposto fra
le armature.!
!
La capacità
Se si applica una tensione elettrica alle
armature, le cariche elettriche si separano e
si genera un campo elettrico all'interno del
dielettrico. L'armatura collegata al potenziale
più alto si carica positivamente, negativamente l'altra. Le cariche positive e negative
sono uguali ed il loro valore assoluto
costituisce la carica Q del condensatore. La
carica è proporzionale alla tensione
applicata e la costante di proporzionalità è
una caratteristica di quel particolare
condensatore che si chiama capacità
elettrica (C) e si misura in farad2, F:!
!
2
Farad: Il suo nome deriva da Michael Faraday (Southwark, 22 settembre 1791 – Hampton Court, 25 agosto 1867) che
è stato un fisico e chimico britannico.
5
Ricorda!
!
C=
Q
!
V
V=
Q
!
C
Q = C ⋅V !
!
La capacità di un condensatore piano (armature piane e parallele) è proporzionale al rapporto tra
la superficie S di una delle armature e la loro distanza d. La costante di proporzionalità è una
caratteristica dell'isolante interposto e si chiama permittività elettrica assoluta ε e si misura in F/m.
La capacità di un condensatore piano a facce parallele è quindi:!
!
Ricorda!
C =ε
S
!
d
!
dove:!
• S: superficie di una armatura, m2;!
• d: distanza tra le armature, m;!
• ε : costante dielettrica (o permittività), F/m.!
La costante dielettrica è un dato di caratteristico
di ciascun materiale. Quella del vuoto, che vale
anche per l’aria, è uguale a!
!
Ricorda!
ε 0 = 8,85810 −12
F/m!
!
Per gli altri materiali isolanti si preferisce esprimere la costante dielettrica relativa ε r che indica il
rapporto tra la costante dielettrica assoluta del materiale stesso e quella dell’aria ε 0 :!
!
Ricorda!
εr =
ε
!
ε0
!
All’interno dei materiali viene definita l’induzione elettrica (o spostamento elettrico).!
!
Definizione
L'induzione elettrica (D), anche detta spostamento elettrico, è un campo di forze utilizzato per
descrivere la polarizzazione elettrica di un materiale dielettrico in seguito all'applicazione di un
campo elettrico.!
!
6
L’induzione elettrica si misura in C/m2 ed è legata al campo elettrico dalla seguente relazione:!
!
Ricorda!
D = ε ⋅E !
!
E=
D
!
ε
ε=
D
!
E
!
Materiale
Costante dielettrica relativa
Rigidità dielettrica
5 — 7!
3 — 3,5!
2,5 — 3!
2,2!
4!
3!
8!
6!
3,3!
6 — 7!
5—6
10!
6!
40!
20!
20 — 40!
35 — 45!
20 — 35!
20!
150!
15 — 20!
15 — 20
circa 80!
2,5!
2,4
5!
10!
12
1!
1
3!
3
Solidi
Bachelite!
Carta secca!
Carta impregnata d’olio!
Carta aramide (Nomex)!
Gomma butile!
Gomma sintetica!
Polivinilcloruro!
Porcellana!
Resine poliestere (Mylar)!
Vetro!
Vetroresina
Liquidi
Acqua purissima!
Olio minerale per trasformatori!
Olio sintetico siliconico
Gas a pressione atmosferica
Aria secca!
Azoto
Tabella: Valori della costante dielettrica relativa e della rigidità dielettrica di materiali isolanti in
comune impiego.
!
All’interno di un condensatore è presente un campo elettrico E la cui intensità è in funzione della
tensione alla quale è sottoposto il condensatore V ed alla distanza d tra le armature, secondo la
seguente legge:!
!
Ricorda!
!
E=
V
!
d
d=
!
!
7
V
!
E
V = E ⋅d !
1.4 Raggruppamento dei condensatori
Per realizzare capacità di valore ben determinato, si considera più conveniente effettuare dei
raggruppamenti di singoli condensatori, anziché costruire condensatori particolari. I
raggruppamenti principali sono sostanzialmente due, cioè il collegamento in serie e il collegamento
in parallelo.!
!
Collegamento in serie
Ricordiamo che nella teoria dei circuiti, due elementi si definiscono collegati in serie quando
hanno in comune un solo morsetto terminale.!
!
Dalla legge di Kirchhoff delle tensioni (LKV)
sappiamo che!
VAB =V1 +V2 + ... +VN !
e dalla capacità elettrica sappiamo che!
V=
Q
!
C
sostituendo la seconda equazione nella prima
otteniamo!
Q
Q Q
Q
=
+
+ ... +
Ctotale C1 C 2
CN
(sotto l’ipotesi
che tutti i condensatori abbiamo la stessa Q)!
elidendo il termine Q e facendo il reciproco di ambo i membri si ottiene!
!
Ricorda!
Ctotale =
1
!
1
1
1
+
+ ... +
C1 C 2
CN
!
Nel caso in cui i condensatori fossero solo due, la formula può essere semplificata ottenendo!
!
Ricorda!
Ctotale =
C1 ⋅C 2
!
C1 + C 2
!
!
!
8
Collegamento in parallelo
Ricordiamo che nella teoria dei circuiti, due elementi si definiscono collegati in parallelo quando
hanno in comune entrambi i morsetti terminali.!
La carica totale Qtotale di un gruppo di condensatori collegati in parallelo è data dalla somma
delle singole cariche!
Qtotale = Q1 + Q 2 + ... + QN !
Dalla capacità elettrica sappiamo che!
Q = C ⋅V !
sostituendo la seconda equazione nella prima otteniamo!
Ctotale ⋅VAB = C1 ⋅VAB + C 2 ⋅VAB + ... + CN ⋅VAB
(essendo la tensione in parallelo la medesima)!
elidendo il termine VAB si ottiene!
!
Ricorda!
Ctotale = C1 + C 2 + ... + CN !
!
!
1.5 Carica e scarica di un condensatore
Sia dato il circuito della seguente figura. Supponiamo di trovarci nel caso (a) in cui il circuito è
aperto: in esso non scorre corrente e la carica Q sulle armature del condensatore è nulla.!
Carica di un condensatore
Supponiamo ora di spostare il tasto k in posizione 1, caso (b): anche in questo caso la corrente
che scorre all’interno del circuito sarà nulla perché l’isolante tra le armature del condensatore non
permette il suo passaggio.!
Attenzione però al seguente fenomeno: appena si sposta il tasto k in posizione 1!
essendo Q = 0 e Q = C ⋅V , dato che C ≠ 0 allora VC1 = 0 .!
9
Da LKV sappiamo che la tensione VG del generatore dovrà essere compensata su qualche
utilizzatore, quindi R1 in quanto è l'unico presente e per la legge di Ohm avremo che esiste una!
I=
VG
≠0!
R1
Ma se I non può scorrere nel circuito per la presenza dell’isolante tra le armature del
condensatore, dove andrà? Servirà per caricare il condensatore.!
!
Ricorda!
Il periodo di tempo necessario per caricare il condensatore è chiamato transitorio.!
!
Durante questo periodo di tempo la carica e la tensione tra le armature del condensatore
aumentano, mentre la corrente diminuisce, tutto con legge esponenziale come illustrato nei due
grafici sotto riportati.!
Come si può notare dai grafici il tempo necessario per annullare al corrente e caricare
completamente il condensatore sarebbe infinito.!
VG
R1
VG
τ = R ⋅C
τ = R ⋅C
!
Ricorda!
Per questo è convenzione ritenere il transitorio esaurito dopo un periodo di 5 τ , dove!
!
τ = R ⋅C !
R=
τ
!
C
C=
τ
!
R
!
Scarica di un condensatore
Ora, a condensatore carico, supponiamo ora di spostare il tasto k in posizione 2, caso (c): a
regime, non essendoci generatori collegati al circuito, la corrente all’interno del circuito sarà nulla.!
Attenzione però al seguente fenomeno: appena si sposta il tasto k in posizione 2 sul condensatore
è presente una tensione!
VC1 =VG .!
10
Da LKV sappiamo che la tensione VC1 del condensatore dovrà essere compensata su qualche
utilizzatore, quindi R1 in quanto è l'unico presente e per la legge di Ohm avremo che esiste una!
I=
VC1
R1
≠0!
Questa I andrà ad esaurirsi non essendo generata da nessun generatore. La sua erogazione nel
circuito servirà a scaricare il condensatore.!
Durante questo periodo di tempo la carica e la tensione tra le armature del condensatore e la
corrente diminuiranno, tutto con legge esponenziale come illustrato nei due grafici sotto riportati.!
!
VC1
VC1
R1
τ = R ⋅C
τ = R ⋅C
!
Ricorda!
La tensione sulle armature del condensatore avrà segno opposto rispetto alla tensione presente
sul generatore; questo significa che la corrente durante il periodo di carica del condensatore
circolerà in senso contrario alla corrente durante il periodo di scarica del condensatore.!
!
11