22 Le applicazioni degli algoritmi di visita dei

Le applicazioni degli algoritmi
di visita dei grafi
Gianpiero Cabodi e Paolo Camurati
Dip. Automatica e Informatica
Politecnico di Torino
Rilevazione di cicli
Un grafo è aciclico se e solo se in una visita in
profondità non si incontrano archi etichettati
B.
A.A. 2004/2005
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Componenti connesse
In un grafo non orientato rappresentato come lista delle
adiacenze:
„ ogni albero della foresta della DFS è una componente
connessa
„ G->cc[v] è un array avente come indici i vertici che
memorizza un intero che identifica ciascuna componente
connessa.
componenti connesse
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Connettività
Dato un grafo non orientato e connesso,
determinare se perde la proprietà di
connessione a seguito della rimozione di:
„ un arco
„ un nodo.
Ponte (bridge): arco la cui rimozione
disconnette il grafo.
Punto di articolazione: vertice la cui
rimozione disconnette il grafo.
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Esempio
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Bridge
Un arco (v,w) Back non può essere un ponte
(i vertici v e w sono anche connessi da un
cammino nell’albero della visita DFS).
Un arco (v,w) Tree è un ponte se e solo se
non esistono archi Back che connettono un
discendente di w a un antenato di v
nell’albero della visita DFS.
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Grafo trasposto
Dato un grafo orientato G =(V, E), il suo grafo
trasposto GT = (V, ET) è tale per cui (u, v) ∈ E
(v,u) ∈ ET.
Implementazione con lista delle adiacenze:
Graph GRAPHreverse(Graph G)
{ int v; link t;
Graph R = GRAPHinit(G->V);
for (v=0; v < G->V; v++)
for (t= G->adj[v]; t != NULL; t = t->next)
GRAPHinsert(R, EDGE(t->v, v));
return R;
}
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Directed Acyclic Graph (DAG)
DAG: modelli impliciti per ordini parziali
utilizzati nei problemi di scheduling.
Scheduling:
„ dati compiti (tasks) e vincoli di precedenza
(constraints)
„ come programmare i compiti in modo che
siano tutti svolti rispettando le precedenze.
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Ordinamento topologico (inverso): riordino
dei vertici secondo una linea orizzontale, per
cui se esiste l’arco (u, v) il vertice u compare
a SX (DX) di v e gli archi vanno tutti da SX
(DX) a DX (SX).
I tempi di fine elaborazione post della visita
DFS danno un ordinamento topologico
inverso del DAG
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reverse topological sort
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Esempio
8 calzini
5 slip
7 scarpe
6 pantaloni
0 camicia
3 cintura
4 orologio
1 cravatta
2 giacca
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}
8 calzini
5 slip
7 scarpe
6 pantaloni
0 camicia
3 cintura
4 orologio
1 cravatta
2 giacca
2
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}
8 calzini
5 slip
7 scarpe
6 pantaloni
0 camicia
3 cintura
4 orologio
1 cravatta
2 giacca
2
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1
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}
8 calzini
5 slip
7 scarpe
6 pantaloni
0 camicia
3 cintura
4 orologio
1 cravatta
2 giacca
2
1
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3
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13
}
8 calzini
5 slip
7 scarpe
6 pantaloni
0 camicia
3 cintura
4 orologio
1 cravatta
2 giacca
2
1
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3
0
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14
}
8 calzini
5 slip
7 scarpe
6 pantaloni
0 camicia
4 orologio
3 cintura
1 cravatta
2 giacca
2
1
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3
0
4
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}
8 calzini
5 slip
7 scarpe
6 pantaloni
0 camicia
4 orologio
3 cintura
1 cravatta
2 giacca
2
1
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3
0
4
7
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}
8 calzini
5 slip
7 scarpe
6 pantaloni
0 camicia
4 orologio
3 cintura
1 cravatta
2 giacca
2
1
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3
0
4
7
6
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}
8 calzini
5 slip
7 scarpe
6 pantaloni
0 camicia
4 orologio
3 cintura
1 cravatta
2 giacca
2
1
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3
0
4
7
6
5
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18
}
8 calzini
5 slip
7 scarpe
6 pantaloni
0 camicia
4 orologio
3 cintura
1 cravatta
2 giacca
2
1
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3
0
4
7
6
5
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8
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ordine topologico inverso
2
1
3
0
4
7
6
5
8
7
4
0
3
1
2
ordine topologico
8
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5
6
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Componenti fortemente
connesse
Algoritmo di Kosaraju:
„ trasponi il grafo
„ esegui DFS sul grafo trasposto, calcolando
i tempi di scoperta e di fine elaborazione
„ esegui DFS sul grafo originale per tempi di
fine elaborazione descrescenti
„ gli
alberi dell’ultima DFS sono le
componenti fortemente connesse.
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scc
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Esempio
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
G
GT
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22
Visita DFS del grafo trasposto GT
0/5
6/9
7/8
0
1
2
3
4
5
6
7
1/4
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2/3
10/13
11/12
14/15
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Visita DFS del grafo secondo tempi decrescenti di fine
elaborazione del grafo trasposto GT
scc3
scc4
0
1
2
3
4
5
6
7
G
scc2
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scc1
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