Relazioni di equivalenza
Transcript
Relazioni di equivalenza
Relazioni di equivalenza Definizione A. Sia E un insieme non vuoto e sia R una relazione binaria su E, cioè un sottoinsieme del prodotto cartesiano E E ={(a,b) tali che a,b E} l’insieme delle coppie ordinate di elementi di E. R si dice relazione di equivalenza su E se è riflessiva, simmetrica e transitiva, cioè se valgono le seguenti proprietà: 1) proprietà riflessiva: ogni elemento di E è in relazione con se stesso, cioè x E (x, x ) R , (ovvero x R x ); 2) proprietà simmetrica: l’ordine in cui si considerano elementi in relazione è irrilevante, cioè x, y E (x, y ) R (y, x ) R , (ovvero x R y y R x ); 3) proprietà transitiva: se un elemento è in relazione con un secondo elemento e quest’ultimo lo è con un terzo, allora il primo è in relazione con il terzo, cioè x, y, z E (x, y ) R (y, z ) R (x, z ) R, ovvero (x R y y R z ) x R z . Esempio 1 Consideriamo nell’insieme dei numeri interi (anche detti relativi) Z la seguente relazione R Z Z: (p, q ) Z Z (p, q ) R 2 divide (p q ) (cioè “p q è pari”). R è riflessiva: per ogni p Z, si ha p – p 0, quindi 2 divide p p, cioè p R p. R è simmetrica: infatti, per ogni (p, q ) Z Z, si ha p R q 2|(p q ) 2|(q p ) q R p. R è transitiva: infatti, per ogni (p, q, w) Z Z Z, si ha p R q q R w 2|(p q ) 2|(q w ) 2|(p w ) p R w. Esempio 2 Sia f : E E una applicazione. Si consideri la relazione Rf E E definita da: (x, y ) E E x Rf y f (x ) f (y ). Si lascia allo studente il compito di verificare che Rf è una relazione di equivalenza perché espressa in termini di uguaglianza, che è chiaramente riflessiva, simmetrica e transitiva. Rf prende il nome di relazione di equivalenza determinata dalla applicazione f. Definizione B. Sia R una relazione di equivalenza su un insieme E non vuoto. Sia x un elemento di E. Si dice classe di R-equivalenza di x l’insieme clR (x ) [x ]R { y E | y R x }. Abitualmente si omette l’indice R, se non vi è possibilità di equivoco. Ovviamente, per ogni x E, si ha [x ] E. Le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva garantiscono che due classi di equivalenza o coincidono o sono disgiunte. Più precisamente: Proposizione. y R x [y ] [x ] Altrimenti [y ][x ] è l’insieme vuoto, ossia l’insieme che non contiene alcun elemento. In altre parole le classi di equivalenza determinano una partizione di E, una famiglia di sottoinsiemi a due a due disgiunti la cui unione è tutto E. Dimostrazione della Proposizione: Se y R x è vero (non importa se y x oppure y x), allora z [y ] z R y, e dalla transitività di R segue che z R x, ovvero z [x ]: quindi [y ] [x ]. Analogamente si ottiene [x ] [y ] e dunque [y ] [x ]. Altrimenti, cioé se invece y R x non è vero, se ci fosse un elemento z appartenente tanto a [x ] quanto a [y ], allora sarebbero vere tanto z R x quanto z R y (e quindi per la proprietà simmetrica y R z) e infine per la proprietà transitiva y R x. Assurdo. Quindi questo z non può esistere : in altre parole [y ][x ] è l’insieme vuoto. cvd La seconda parte della dimostrazione è un esempio di dimostrazione per assurdo, assumiamo che la nostra tesi non sia vera, e troviamo attraverso ragionamenti corretti un assurdo. Visto che i ragionamenti sono corretti, ad essere sbagliata deve essere l’assunzione di falsità della tesi, e quindi la tesi deve essere vera. Definizione C Data una relazione di equivalenza R su un insieme E si dice insieme quoziente E/R l’insieme delle classi di equivalenza [x ]R Esempio 1 bis Nel caso dell’ Esempio 1, si ottengono solo due classi di equivalenza [0] e [1], costituite rispettivamente dall’insieme dei numeri pari e da quello dei numeri dispari. Quindi l’insieme quoziente è un insieme con soli due elementi. Esempio 2 bis Nel caso dell’Esempio 2, la classe determinata da un elemento x E è costituita da tutti gli y E tali che f(x ) f(y ) cioè [x ] f -1(f(x )). Esercizio. Sia f : R R l’applicazione definita da f(x ) x2. Si determini, per ogni x R, la classe [x ], per la relazione di equivalenza Rf. Esercizio. Sia R R R la relazione definita da (x, y ) R R x R y k Z tale che y x 2k . R si chiama congruenza modulo 2, si scrive anche x y (mod 2) in luogo di x R y, e si legge “x è congruo y modulo 2”. a) Provare che si tratta di una relazione di equivalenza; b) determinare le classi di equivalenza [0], [] e [2]; c) costruire una funzione f da R/ in S1, la circonferenza di raggio 1 nel piano euclideo E2 R2 e una funzione g da S1 in R/ , con le proprietà - f(g(a))=a per ogni a in S1 - g(f(b))=b per ogni b in R/ Possiamo dedurne che R/ assomiglia a S1? In che senso?