Successioni e loro limiti - Dipartimento di Matematica

Corso di Analisi Matematica
Successioni e loro limiti
Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale
A.A. 2013/2014
Università di Bari
ICD (Bari)
Analisi Matematica
1 / 30
1
Definizione di successione e di limite di una successione
2
Successioni monotone
3
Il calcolo dei limiti
4
Confronti e stime asintotiche
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Successioni
Funzioni di particolare importanza:
Definizione
Una successione è una legge che associa ad ogni elemento di N un numero
reale cioè una funzione reale definita su N:
f : N → R f (n) = an
n 7→ an .
Si denota con
{an }n∈N
{an }
an
n 7→ an .
Spesso le successioni sono definite da un certo intero n0 in poi, cioè il
loro dominio è del tipo {n ∈ N | n ≥ n0 }. In tal caso si scrive
{an }n≥n0 .
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Grafici di successioni:
an = 1/n
an = (−1)n
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Successioni limitate
Definizione
Una successione {an } si dice
limitata inferiormente se esiste m ∈ R tale che, per ogni n, an ≥ m;
limitata superiormente se esiste M ∈ R tale che, per ogni n, an ≤ M ;
limitata se esistono m, M ∈ R tale che, per ogni n, m ≤ an ≤ M .
L’operazione di limite consente di studiare il comportamento dei numeri an
quando n diventa sempre più grande.
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Limiti di successioni
Definizione
Una successione {an } possiede definitivamente un proprietà se esiste
N ∈ N tale che an soddisfa quella proprietà per ogni n ≥ N .
Esempi
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Successioni convergenti
Definizione
Una successione {an } si dice convergente se esiste un numero l ∈ R con
questa proprietà: qualunque sia ε > 0 risulta definitivamente
|an − l| < ε.
In altre parole: per ogni ε > 0 esiste N ∈ N tale che
|an − l| < ε ∀n ≥ N.
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Limite di una successione
Quindi, se una successione è convergente ad essa è associato un numero l.
Si prova che
l è unico.
Definizione
Sia {an } una successione convergente. Il numero reale l che compare nella
definizione precedente si chiama limite della successione {an }. Si scrive
lim an = l
n→+∞
oppure
an → l per n → +∞.
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Si noti che, dalle proprietà del valore assoluto, la disuguaglianza
|an − l| < ε equivale a
l − ε < an < l + ε.
Dunque la condizione di convergenza significa che, fissata una striscia
orizzontale [l − ε, l + ε] “comunque stretta”, da un certo indice in poi i
punti della successione non escono più da questa striscia.
Da questa osservazione risulta che:
Ogni successione convergente è limitata.
Esempi
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Successioni divergenti
Definizione
Sia {an } una successione.
Si dice che {an } diverge a +∞ se per ogni M > 0 si ha an > M
definitivamente e si scrive
lim an = +∞;
n→+∞
si dice che {an } diverge a −∞ se per ogni M > 0 si ha an < −M
definitivamente e si scrive
lim an = −∞.
n→+∞
Esempi
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I simboli +∞ e −∞ non sono numeri.
L’insieme dei numeri reali R con l’aggiunta dei due elementi +∞ e
−∞ si indica con R∗ :
R∗ = R ∪ {−∞} ∪ {+∞}.
L’operazione di limite ha completamente significato se ambientata in
R∗ : il limite di una successione, se esiste, è un elemento di R∗ .
Esistono successioni che non sono né convergenti né divergenti (per
esempio {(−1)n }). Tali successioni si dicono irregolari o
indeterminate. Per esse l’operazione di limite non è definita.
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Insiemi non limitati
È comodo adottare la convenzione usata per i limiti anche per il sup e
l’inf di insiemi.
Definizione
Sia E ⊆ R.
Se E non è limitato superiormente si dice che
sup E = +∞;
se E non è limitato inferiormente si dice che
inf E = −∞.
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Infinitesimi e infiniti
Definizione
Una successione {an } si dice infinitesima se
lim an = 0.
n→+∞
Una successione {an } si dice infinita se
lim an = ±∞.
n→+∞
Gli infinitesimi (infiniti) non sono numeri ma quantità variabili che tendono
a diventare indefinitamente piccole (grandi).
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Successioni monotone
Definizione
Una successione {an } si dice
monotona crescente se per ogni n an ≤ an+1 ;
strettamente crescente se per ogni n an < an+1 ;
monotona decrescente se per ogni n an ≥ an+1 ;
strettamente decrescente se per ogni n an > an+1 .
Esempi
Le successioni monotone non sono mai irregolari.
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Limiti di successioni monotone
Teorema
Sia {an } una successione monotona.
Se {an } è monotona crescente e superiormente limitata allora {an } è
convergente e
lim an = sup{an | n ∈ N}.
n→+∞
Se {an } è monotona decrescente e inferiormente limitata, allora {an }
è convergente e
lim an = inf{an | n ∈ N}.
n→+∞
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Limiti di successioni monotone
Corollario
Sia {an } una successione monotona.
Se {an } è monotona crescente allora
lim an = sup{an | n ∈ N}.
n→+∞
Se {an } è monotona decrescente, allora
lim an = inf{an | n ∈ N}.
n→+∞
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Il numero di Nepero
Teorema
La successione definita da
1 n
an = 1 +
n
n≥1
è convergente.
Si prova che {an } è strettamente crescente e limitata (2 ≤ an ≤ 4).
Si scrive
1 n
lim
1+
= e.
n→+∞
n
Il numero di Nepero e è irrazionale e la sua rappresentazione decimale
inizia cosı̀:
2.7182818284 . . .
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Successione geometrica (di ragione q)
È la successione {q n }, per un fissato q ∈ R.
Si ha


+∞


 1
lim q n =
n→+∞

0



non esiste
Se
Se
Se
Se
se
se
se
se
q > 1;
q = 1;
|q| < 1;
q ≤ −1.
q > 1, {q n } è monotona crescente, illimitata superiormente.
q = 1, {q n } è costante.
0 < q < 1, {q n } è monotona decrescente.
q < 0, {q n } non è monotona.
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Limiti e operazioni
Teorema (Algebra dei limiti)
Se an → a, bn → b, con a, b ∈ R allora
an ± bn → a ± b
Kan → Ka
an · bn → a · b
an
a
→
bn
b
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per ogni K ∈ R
(bn , b 6= 0).
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Limiti e ordinamento
Teorema (Permanenza del segno, prima forma)
Se an → a e a > 0 allora
an > 0 definitivamente.
Se an → a e a < 0 allora
an < 0 definitivamente.
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Limiti e ordinamento
Teorema (Permanenza del segno, seconda forma)
Se an → a e an ≥ 0 definitivamente allora risulta a ≥ 0.
Se an → a, bn → b e an ≥ bn definitivamente allora risulta a ≥ b.
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Limiti e ordinamento
Teorema (del confronto)
Se an ≤ bn ≤ cn definitivamente ed esiste l ∈ R tale che
an → l, cn → l
allora anche
bn → l.
Corollario
Se |bn | ≤ cn definitivamente e cn → 0 allora anche bn → 0.
Se cn → 0 e bn è limitata bn · cn → 0.
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Esempi
Si dimostra che:


 +∞ se α > 0;
α
lim n =
1
se α = 0;
n→+∞

 0
se α < 0.
Applicazione: limiti di successioni che sono scritte come rapporto tra due
successioni, ciascuna costituita da somme di potenze di n.
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Estensione delle operazioni con i limiti
Casi in cui i limiti sono +∞ o −∞.
a + ∞ = +∞
+∞ + ∞ = +∞
a − ∞ = −∞
−∞ − ∞ = −∞
Se a 6= 0,
a
=∞
0
(ove il segno di ∞ va determinato con la usuale regola dei segni)
a
=0
∞
Si noti che mancano le regole relative alle espressioni
a·∞=∞
+∞ − ∞
0·∞
∞
∞
0
0
che, per tale motivo, prendono il nome di forme di indecisione.
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Confronti e stime asintotiche
È utile saper confrontare due successioni entrambe infinite o entrambe
infinitesime per capire quale delle due tenda “più rapidamente” all’infinito
o a 0.
Siano {an } e {bn } due successioni. Consideriamo il limite del loro
rapporto. Si hanno le seguenti possibilità:


0



an
l ∈ R \ {0}
lim
=
n→+∞ bn

±∞



non esiste
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Confronto tra infiniti
Se {an } e {bn } sono due infiniti, si dice che
{an } è un infinito di ordine inferiore a {bn } se
an
= 0;
n→+∞ bn
lim
{an } e {bn } sono infiniti dello stesso ordine se
an
= l ∈ R \ {0};
n→+∞ bn
lim
{an } è un infinito di ordine superiore a {bn } se
lim
n→+∞
an
= ±∞;
bn
{an } e {bn } non sono confrontabili se il limite del loro rapporto non
esiste.
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Confronto tra infinitesimi
Se {an } e {bn } sono due infinitesimi, si dice che
{an } è un infinitesimo di ordine superiore a {bn } se
an
= 0;
n→+∞ bn
lim
{an } e {bn } sono infinitesimi dello stesso ordine se
an
= l ∈ R \ {0};
n→+∞ bn
lim
{an } è un infinitesimo di ordine inferiore a {bn } se
lim
n→+∞
an
= ±∞;
bn
{an } e {bn } non sono confrontabili se il limite del loro rapporto non
esiste.
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Successioni asintotiche
Definizione
Siano {an } e {bn } due successioni. Se
lim
n→+∞
an
=1
bn
si dice che {an } e {bn } sono asintotiche e si scrive
an ∼ bn .
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Proprietà delle successioni asintotiche
Proposizione
Se an ∼ bn allora {an } e {bn } hanno lo stesso comportamento: o
convergono allo stesso limite o divergono o entrambe non hanno
limite.
Se an ∼ bn ∼ . . . ∼ cn allora an ∼ cn .
Se an ∼ a0n , bn ∼ b0n , cn ∼ c0n allora
an bn
a0 b0
∼ n0 n .
cn
cn
Osserviamo inoltre che
an ∼ bn ⇔ an = bn · cn con cn → 1
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Esempio di successioni che non sono asintotiche a {nα } per nessun α > 0:
Proposizione
Per ogni a > 1, α > 0 si ha
loga n
=0
n→+∞ nα
lim
nα
= 0.
n→+∞ an
lim
Questi limiti descrivono la “velocità” con cui i logaritmi (con base > 1), le
potenze, gli esponenziali (con base > 1) vanno all’∞:
i logaritmi più lentamente di qualsiasi potenza;
le potenze più lentamente di qualsiasi esponenziale.
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