1. Calcolo Combinatorio Esercizio 1.1. Il poker: supponiamo di

1. Calcolo Combinatorio
Esercizio 1.1. Il poker: supponiamo di giocare a poker con 52 carte (ovvero 4 semi
Quadri, Fiori, Cuori e Picche con 13 segni per seme: dall’1 al 10 e poi il Fante, la
Donna e il Re) determinare le diverse combinazioni di cinque carte che una persona
può avere in mano. Contare poi quante sono le diverse configurazioni di avere in
mano:
(1) Scala reale massima (ovvero le 5 carte 10, J(F ante), Q(Donna), K(Re), Asso
dello stesso seme.)
(2) Scala reale (ovvero una qualsiasi scala dello stesso seme. Ricordiamo che
la scala è una qualsiasi sequenza di 5 segni consecutivi e che l’ordine dei
segni è 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, 1 ovvero con l’1 possiamo fare la scala
1, 2, 3, 4, 5 ma anche 10, J, Q, K, 1.)
(3) Colore (ovvero cinque carte dello stesso seme. Attenzione il nome può
ingannare: non vanno bene combinazione in cui ci sono cinque carte rosse
ma magari due di cuori e due di quadri.)
(4) Scala.
(5) Poker (ovvero tra le cinque carte avere quattro carte con lo stesso segno:
per esempio 4 tre si dice poker di tre).
(6) Full (ovvero tre carte dello stesso segno e le altre due dello stesso segno
ovviamente diverso dal primo in quanto se avessimo 5 carte uguali staremmo
barando! Un esempio di full è avere 3 donne e 2 re: full di donne).
(7) Tris (tre carte dello stesso segno e le altre due diverse dalla prima e tra
loro.)
(8) Doppia coppia (due carte dello stesso segno, altre due dello stesso segno
ma diverso dal primo, altrimenti avremmo un poker, e l’ultima di segno
diverso dai primi due. Per esempio 2 Fanti, 2 dieci e un tre: doppia coppia
di fanti.)
(9) Una coppia (due carte dello stesso segno e le altre tre di segno diverso dalla
prima e tra loro.)
(10) Nessun punto (ovvero nessuna delle combinazioni precedenti.)
Devo contare in quanti modi diversi posso prendere 5 carte da 52. Ovvero devo
contare il numero di sottoinsiemi
diversi di 5 elementi di un insieme di 52 elementi
¡ ¢
che sappiamo essere: 52
5
(1) Per fare scala reale massima devo avere le cinque carte 10,J (Fante),Q
(Donna),K (Re), Asso dello stesso seme. Ovvero sono fissati i cinque segni
che devo avere, quindi ho una scala massima per seme. La risposta è dunque
che ci sono 4 scale reale massime.
(2) A differenza del caso precedente qui possiamo avere più scale reale per
seme. Per fissare una scala reale basta decidere da dove inizia: per esempio
se inizia con un 3 significa che la scala sarà 3, 4, 5, 6, 7. In quanti modi può
iniziare una scala? In dieci modi: da 1 o da 2 o da 3...fino a 10. Dopo il 10
non ce la facciamo a iniziare una scala perchè non ci sono 5 carte dopo il
J (o dopo la donna o dopo il re). Quindi esistono 10 scale reali per seme,
ovvero esistono in totale 4 · 10 = 40 configurazioni diverse per avere scale
reali.
1
(3) Dobbiamo avere cinque carte dello stesso seme. Una volta scelto il seme
(per esempio fiori) contiamo quante configurazioni diverse esistono di colore
a fiori (è evidente che il ragionamento sarà simmetrico per gli altri semi
e quindi alla fine basterà moltiplicare il numero trovato per quattro). Le
configurazioni diverse saranno date¡ dalle
¢ possibili scelte diverse delle
¡13¢5 carte
tra le 13 del seme stabilito ovvero 13
.
In
totale
ci
sono
quindi
4
·
5
5 modi
diversi di avere colore.
(4) Abbiamo già visto ai punti precedenti che ci sono 10 sequenze diverse di
ottenere scala. Una volta fissata una sequenza (per esempio 3, 4, 5, 6, 7)
quanti modi diversi ci sono di ottenerla? (nel caso della scala reale per
ogni sequenza c’erano quattro modi di ottenerla uno per ogni seme). In
questo caso invece possiamo scegliere il seme di ognuna della 5 carte ovvero
abbiamo 45 modi di fare scala 3, 4, 5, 6, 7. In totale esistono dunque 45 · 10
configurazioni diverse per ottenere scala. Per ottenere il numero delle scale
non reali basta togliere 40 dal numero trovato.
(5) Scelto di che segno abbiamo fatto poker (per esempio poker di assi) in quanti
modi diversi possiamo avere questo tipo di poker? In realtà quattro carte
sono fissate la quinta può essere una qualsiasi delle 48 carte rimaste. Quindi
abbiamo 48 configurazioni diverse per fare poker d’assi. Ovviamente ci sono
13 modi (uno per segno) di scegliere di quale carta fare poker e quindi ci
sono 13 · 48 modi diversi di avere poker.
(6) In questo caso dobbiamo scegliere un segno di cui avere il tris e un segno
¡ ¢di
cui avere la coppia. Per scegliere il segno del tris abbiamo 13 modi ( 13
1 ),
¡ ¢
per scegliere il segno della coppia 12 modi ( 12
,
possiamo
scegliere
tra
tutti
1
i segni tranne che quello già scelto ovviamente)1 A questo punto abbiamo
fissato il full (per esempio tre J e due 9) in quanti modi diversi possiamo
fare questo full? Bisogna
scegliere 3 semi su 4 per i J e 2 semi su 4 per i
¡¢
9: ovvero abbiamo 43 modi di scegliere i J e per ognuna di queste scelte
¡¢
¡¢¡¢
abbiamo 42 modi di scegliere i 9. In totale i full sono dunque 13·12· 43 · 42 .
¡13¢
(7) Tris: scelgo un valore su tredici 1 ; posso scegliere queste tre carte su
¡¢
quattro in 43 modi diversi. Per le restanti due carte, devo avere: nessuna
coppia, su le 48 carte rimanenti (48 e non 49 perchè voglio evitare di contare
anche i poker che potrebbero essere generati da un tris). Devo quindi
¡ ¢
¡4¢2
scegliere due valori su dodici 12
2 senza restrizioni sul seme 1 . Il totale
¡ ¢ ¡4¢ ¡12¢ ¡4¢2
è 13
1 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 .
¡ ¢
(8) Doppia coppia: scelgo il valore delle coppie 13
2 ; posso scegliere le due
¡ 4¢
carte in 2 modi diversi per la prima coppia e similarmente per la seconda.
¡ ¢
; posso scegliere questa carta in
Scelgo il valore della carta rimanente 11
¡4¢
¡13¢ 1 ¡4¢2 ¡11¢ ¡4¢
∗ 1 ∗ 1 .
1 modi diversi. Il totale è quindi ¡
2 ¢∗ 2
¡¢
(9) Coppia: Scelgo il valore della coppia 13
;
posso
scegliere le due carte in 42
1
¡ ¢
modi diversi. Per le restanti tre carte, scelgo tre valori distinti 12
. Non
¡4¢3 3
ho restrizioni sul seme di queste tre carte, quindi il fattore è 1 . Il totale
¡ ¢ ¡4¢ ¡12¢ ¡4¢3
è quindi 13
1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 1 .
1Ovviamente potremmo anche scegliere prima il segno per la coppia in 13 modi e quello del
tris in 12 modi e come conteggio non cambierebbe nulla in quanto 13 · 12 = 12 · 13.
2
(10) Per contare le configurazioni possibili che non fanno nessun punto possiamo togliere al numero totale delle possibili configurazioni la cardinalità
dell’insieme unione di tutte le configurazioni calcolate finora (ovvero stando
attenti a non togliere due volte la stessa configurazione). Oppure possiamo
dire che per non avere nessun punto, devo non avere nessun valore uguale e
devo poi sottrarre al numero ottenuto il numero delle scale reali, delle scale
¡ ¢ ¡4¢5
e dei colori. Il numero di mani senza un valore ripetuto è 13
5 ∗ 1 . Infatti
devo scegliere 5 valori su 13 e per ciascuno un seme su quattro.
Osservazione 1. Un altro modo di calcolare il numero di mani che mi dà un ¡tris¢
è: in un tris ci devono essere tre valori distinti, che posso quindi scegliere in 13
3
¡¢
modi diversi. Posso scegliere le carte del tris in 43 modi diversi, e le due carte
¡¢
rimanenti in 41 modi ciascuna. Devo ancora considerare che devo scegliere quale
dei tre valori scelti sia quello del tris, e questo posso farlo in 3 modi diversi. Il
¡ ¢ ¡4¢ ¡4¢2
numero totale sarebbe quindi 13
∗ 3.
3 ∗ 3 ∗ 1
2) Notiamo che le mani con un full sono 3744 mentre quelle con un colore sono 5108,
in concordanza col fatto che nel poker americano il full batte il colore. Cosa accade
nel poker “italiano”, per esempio se le carte a disposizione sono solo 7,8,9,10, jack,
donna, re e asso? In questo
¡ ¢ ¡ ¢caso i segni non sono più 13 ma 8 dunque le possibilità
¡¢
di fare full sono 8 · 7 · 43 · 42 = 1274 mentre quelle di fare colore sono 4 · 85 = 224
(a cui dovremmo togliere i modi di fare scala reale che sono 16).
Esercizio 1.2. In uno stato le targhe delle macchine sono composte da 13 caratteri.
Un carattere può essere una cifra o la lettera A.
(1) Quante sono le macchine che possono essere immatricolate? (ovvero quante
sono le possibili targhe diverse che si possono fare con i simboli utilizzabili?)
(2) Quante sono le targhe che contengono esattamente tre A?
(3) Quante sono le targhe che contengono esattamente tre A consecutive?
(4) Quante sono le targhe che contengono esattamente tre A e che sono palindrome, ossia sono uguali se lette da sinistra a destra o da destra a sinistra
(per esempio 45123AAA32154)?
(1) Di targhe diverse ne possiamo fare tante quanti i modi di riempire 13 caselle
(la lunghezza della targa) con a disposizione 11 caratteri (le 10 cifre più la
A). Per ogni casella della targa abbiamo perciò a disposizione 11 scelte e
quindi in tutto abbiamo 1113 scelte diverse.
(2) Fissiamo in quanti modi possiamo mettere le tre A. Si tratta di contare in
quanti modi diversi possiamo scegliere tre
sulle 13 disponibili per la
¡ caselle
¢
targa e sappiamo che questo numero è 13
.
Per
ognuna di queste scelte
3
in quanti modi diversi possiamo completare la targa? Abbiamo 10 caselle
rimaste che possono essere riempite con 10 caratteri (tutte le cifre ma non
la A perché vogliamo esattamente
A) e quindi abbiamo 1010 modi di
¡13¢ tre 10
farlo. In totale ci sono dunque 3 · 10 targhe con tre A consecutive.
(3) Dire che le tre A sono consecutive significa che una volta fissata la prima le
altre due sappiamo dove sono. Quindi rispetto al caso precedente è tutto
uguale tranne che non dobbiamo fissare tre posti per le A ma in realtà uno
solo quello della prima A. Questo lo possiamo fare in 11 modi (la prima
A può stare in una delle prime 11 caselle della targa). Ovvero abbiamo
11 · 1010 modi di formare targhe con tre A consecutive.
3
(4) Per prima cosa osserviamo che per essere palindrome ed avere tre A una
delle A deve stare nella casella di mezzo della targa, ovvero deve essere il
settimo carattere. L’altra osservazione è che se si stabiliscono i caratteri a
sinistra (o equivalentemente) a destra di questa A poi siamo vincolati per
quelli dall’altra parte dal fatto che vogliamo che la targa sia palindroma.
Allora osserviamo che la A che sta a sinistra della A centrale la possiamo
mettere in 6 caselle diverse. Una volta fissata questa A rimangono 5 caselle
a sinistra della A di mezzo da riempire con una qualsiasi cifra (ma non una
A) e abbiamo 105 modi per farlo. Ci sono dunque 6 · 105 targhe palindrome
con tre A.
Esercizio 1.3. Sia N30 l’insieme dei numeri interi positivi minori o uguali di 30
(1) Quanti sono i sottoinsiemi di N30 che contengono esattamente tre numeri
pari e quattro numeri dispari?
(2) Quanti sono i sottoinsiemi di N30 che contengono un numero pari (positivo,
non zero) di numeri pari?
¡ ¢
(1) Si tratta di scegliere 3 numeri pari sui 15 disponibili e ci sono 15
3 diversi
¡15¢
per farlo e per ognuna di queste scelte abbiamo 4 modi per scegliere
¡ ¢ ¡15¢
quattro numeri dispari. In totale dunque ci sono 15
3 · 4 .
(2) Per contare il numero di sottoinsiemi di N30 che contengono 2 numeri pari
bisogna contare in quanti
possiamo scegliere due numeri pari e sap¡ modi
¢
piamo che la risposta è 15
.
Una
volta scelti i due numeri pari possiamo
2
unirci un qualsiasi sottoinsieme di numeri dispari di N30 e ottenere sottoinsiemi diversi di N30 con esattamente quei due numeri pari. Ci sono
dunque
µ ¶
15
·
215
|{z}
2
| {z }
numero di sottoinsiemi di N30 di soli numeri dispari
scelta dei due numeri pari
Dobbiamo contare tutti i sottoinsiemi di N30 con un numero pari di numeri
pari, abbiamo contato solo quelli con 2 numeri pari, ma il ragionamento
è analogo se invece di 2 abbiamo 2i numeri pari con i che varia da 1 a 7
(al massimo possiamo avere 14 numeri pari ovvero
¡15¢ 2 · 7) infatti dovremo
scegliere 2i numeri pari e lo possiamo fare in 2i modi e per ognuno di
questi abbiamo 215 sottoinsiemi diversi (uno per ogni scelta di sottoinsieme
dei dispari da unire ai 2i pari scelti). Sommando tra loro tutti questi casi
(che sono disgiunti, infatti un insieme non può contenere esattamente 2i
pari e 2j pari con i 6= j) si ottiene il numero che cercavamo:
7 µ ¶
X
15 15
2
2i
1=1
(3) Tutti i sottoinsiemi di N30 sono 230 . Quelli senza numeri pari sono 21 5
4