Teorema di Pitagora

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Teorema di Pitagora

Teorema di Pitagora. Triangolo rettangolo. Livello INTERMEDIO. Eserciziario ragionato con soluzioni. - 1
Raccolta di problemi di geometra piana sul teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo,
completi di risoluzione guidata. Livello intermedio e avanzato.
Triangle Rectangle Problems involving Pythagoras Theorem. (Geometry)
1. In un triangolo rettangolo la somma dei cateti misura 42 cm e uno è i 3/4 dell’altro. Esegui il
disegno in proporzione e determina il perimetro e l’area della figura.
soluzione
2. Un muratore dispone di una pertica indeformabile di 100 cm e un metro. Sapresti descrivere
come potrebbe stabilire se il muro forma con il pavimento un angolo retto.
soluzione
3. La somma dei cateti di un triangolo rettangolo misura 28 cm e uno è i 4/3 dell’altro.
Determina il perimetro e l’area della figura.
soluzione
4. Un triangolo rettangolo ha i cateti lunghi rispettivamente cm 60 e cm 45. Calcola l’area del
triangolo, la misura del perimetro, la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa e il perimetro di
un rettangolo equivalente al triangolo, sapendo che le sue dimensioni sono una i 2/3 dell’altra.
soluzione
5. La somma dei cateti di un triangolo rettangolo misura cm 84 e uno è i 3/4 dell’altro.
soluzione
6. La differenza dei cateti di un triangolo rettangolo misura 4 cm e uno è i 3/4 dell’altro.
soluzione
7. La somma del cateto maggiore e dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo è pari a 36 cm e
l’ipotenusa è i 5/4 del cateto maggiore. Determina il perimetro e l’area della figura.
soluzione
8. La lunghezza di uno dei cateti di un triangolo rettangolo è data dal medio proporzionale tra 48
e 12. Sapendo che la superficie del triangolo dato misura 840 cm2, determina il perimetro della
figura.
soluzione
9. Un triangolo rettangolo ha l'area di 546 cm2 e un cateto misura 84 cm. Calcola la lunghezza
del perimetro del triangolo.
soluzione
10. Calcola l’area e il perimetro di un triangolo rettangolo i cui cateti misurano rispettivamente
15 cm e 36 cm. Dimezzando le misure dei lati qual è il rapporto tra i perimetri e le aree delle due
figure?
soluzione
11. Un triangolo rettangolo ha l'area di 96 cm2 e un cateto misura 16 cm. Calcola la lunghezza
del perimetro del triangolo.
soluzione
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12. Calcola la misura dell’ipotenusa, del perimetro e dell’area e di un triangolo ABC, rettangolo
in A, la cui altezza AH relativa all’ipotenusa misura 9,6 cm e la cui mediana AM, relativa
all’ipotenusa, misura 10 cm.
soluzione
13. Calcola la misura dell’ipotenusa, del perimetro e dell’area e di un triangolo ABC, rettangolo
in C, la cui altezza CH relativa all’ipotenusa misura 9,6 cm e la cui mediana CM, relativa
soluzione
14. Calcola la misura del perimetro e dell’area e di un triangolo ABC, rettangolo in C, la cui
ipotenusa AB misura 112 cm e l’altezza CH e la mediana CM relativa a esse relative misurano
rispettivamente 30 cm e 34 cm.
soluzione
15. L’area di un triangolo rettangolo è di 4374 cm2 e un suo cateto misura 108 cm. Calcola il
perimetro del triangolo e l’altezza relativa all’ipotenusa.
soluzione
16. L’altezza AH relativa alla base di un triangolo misura 40 cm. Le proiezioni BH e CH dei due
lati sulla base del triangolo misurano rispettivamente 35 cm e 75 cm. Esegui il disegno e calcola
la misura del perimetro e dell’area del triangolo.
soluzione
17. La somma dei due cateti di un triangolo rettangolo è di 46 cm e un cateto supera l’altro di 14
cm. Calcola l’area, la misura del perimetro e l’apotema del triangolo.
soluzione
18. L’ipotenusa e un cateto di un triangolo rettangolo misurano rispettivamente 75 cm e 72 cm.
Di quanto differisce l’area del triangolo dato e quella di un quadrato isoperimetrico a questo?
soluzione
19. L’area di un triangolo rettangolo è di 42,135 cm2 e un suo cateto misura 7,95 cm. Calcola il
perimetro del triangolo.
soluzione
20. Uno dei cateti di un triangolo rettangolo è i 4/5 dell’ipotenusa che misura 40 cm. Calcola il
perimetro e l’area del triangolo.
soluzione
21. La differenza dei cateti di un triangolo rettangolo misura 70 cm e uno è i 5/12 dell’altro.
soluzione
22. L’area di un triangolo rettangolo ABC è di 840 cm2 e il cateto maggiore AB misura 42 cm.
Calcola il perimetro e l’area del triangolo ABM, dove il segmento BM è la mediana relativa al
cateto minore AC.
soluzione
23. In un triangolo rettangolo le misure dei due cateti sommate tra di loro misurano 5,6 m e uno
è i 3/4 dell’altro. Calcola il perimetro e l’area del triangolo rettangolo.
soluzione
24. Una composizione è formata da una struttura a triangolo rettangolo la cui ipotenusa misura 5
m, il cateto che si alza dal terreno, in corrispondenza dell’angolo retto, è di 4 m. A questa
struttura su terreno è appoggiata un triangolo ottusangolo che ha un lato in comune con
l’ipotenusa del triangolo rettangolo e che un l’altro lato come prolungamento del cateto del
triangolo rettangolo appoggiato al terreno. Il triangolo ottusangolo forma con il terreno un
angolo di 45°. Calcola la superficie di materiale necessario a costruire quest’ultimo triangolo e il
suo perimetro.
soluzione
25. In un triangolo ABC, rettangolo in A, la somma del cateto 𝐴𝐵 con l’ipotenusa 𝐵𝐶 misura 81
cm. Sapendo che 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 + 1 𝑐𝑚, calcola il perimetro e l’area del triangolo.
soluzione
raccolta dedicata a Giacomo – febbraio 2004
Soluzioni
In un triangolo rettangolo la somma dei cateti è cm 42 e uno è i 3/4
dell’altro. Esegui il disegno in proporzione e determina il perimetro e
l’area della figura.
Dati e relazioni
c1 + c2 = 42 cm
3
c2 = c1
4
Richieste
1. 2p;
2. Area
3 4 7
+ =
4 4 4
7
4
𝑐1 = 42: = 42 ∙ = 6 ∙ 4 = 24 𝑐𝑚
4
7
𝑐2 = (𝑐1 + 𝑐2 ) − 𝑐1 = 42 − 24 = 18 𝑐𝑚
𝑖 = √𝑐12 + 𝑐22 = √242 + 182 = √576 + 324 = √900 = 30 𝑐𝑚
2𝑝 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑖 = 42 + 30 = 72 𝑐𝑚
𝐴=
𝑏 ∙ ℎ 𝑐1 ∙ 𝑐2 24 ∙ 18
=
=
= 24 ∙ 9 = 216 𝑐𝑚2
2
2
2
Equazione
𝑥 + 𝑦 = 42
𝑦=
3
𝑥
4
3
𝑥 + 𝑥 = 42
4
4𝑥 + 3𝑥 = 4 ∙ 42
7𝑥 = 4 ∙ 42
4 ∙ 42
= 24
7
3
𝑦 = ∙ 24 = 18
4
𝑥=
Un muratore dispone di una pertica indeformabile di 100 cm e un metro.
Sapresti descrivere come potrebbe stabilire se il muro forma con il
pavimento un angolo retto.
Dati e relazioni
i = 100 cm
Richiesta
condizione ∟
𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑖 = 100 𝑐𝑚
𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 è 60, 80, 100 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 3, 4, 5
602 + 802 = 1002
3600 + 6400 = 10000
Disegna sul muro una tacca a 60 cm e una a 100 cm e controlla se la
pertica si dispone in corrispondenza dei segni sul muro.
La somma dei cateti di un triangolo rettangolo misura 28 cm e uno è i 4/3
dell’altro. Determina il perimetro e l’area della figura.
Dati e relazioni
c1 + c2 = 28 cm
4
c1 = c2
3
Richieste
1. 2p;
2. Area
3 4 7
+ =
4 4 4
7
4
𝑐1 = 28: = 28 ∙ = 4 ∙ 4 = 16 𝑐𝑚
4
7
𝑐2 = (𝑐1 + 𝑐2 ) − 𝑐1 = 28 − 16 = 12 𝑐𝑚
𝑖 = √𝑐12 + 𝑐22 = √162 + 122 = √256 + 144 = √400 = 20 𝑐𝑚
2𝑝 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑖 = 28 + 20 = 48 𝑐𝑚
𝐴=
𝑏 ∙ ℎ 𝑐1 ∙ 𝑐2 16 ∙ 12
=
=
= 16 ∙ 6 = 96 𝑐𝑚2
2
2
2
Equazione
𝑥 + 𝑦 = 28
𝑦=
3
𝑥
4
3
𝑥 + 𝑥 = 28
4
4𝑥 + 3𝑥 = 4 ∙ 28
7𝑥 = 4 ∙ 28
4 ∙ 28
= 16
7
3
𝑦 = ∙ 16 = 12
4
𝑥=
Un triangolo rettangolo ha i cateti lunghi rispettivamente cm 60 e cm 45.
Calcola:
 l’area del triangolo;
 la misura del perimetro;
 la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa;
 il perimetro di un rettangolo equivalente al triangolo, sapendo che le
sue dimensioni sono una i 2/3 dell’altra.
Dati e relazioni
c1 = 60 cm
c2 = 45 cm
Arettangolo = Atriangolo
2
hr = 𝑏𝑟
3
Richieste
1. A(triangolo);
2. 2p(triangolo)
3. altezza rel. ipotenusa;
4. 2p (rettangolo)
𝑏 ∙ ℎ 𝑐1 ∙ 𝑐2
=
2
2
60 ∙ 45
=
= 30 ∙ 45 = 1350 𝑐𝑚2
2
𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 = 𝐴𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 =
𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 = 𝐴𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜
𝑖 = √𝑐12 + 𝑐22
𝑖 = √602 + 452 = √3600 + 2025 = √5625 = 75 𝑐𝑚
2𝑝 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑖 = 60 + 45 + 75 = 180 𝑐𝑚
ℎ𝑖 =
𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 1350 270 90
=
=
=
= 18 𝑐𝑚
𝑖
75
15
5
𝐴
1350
450
𝑏𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 = 3 ∙ √
= 3∙√
=3∙√
= 3 ∙ √225 = 3 ∙ 15
2∙3
6
2
= 45 𝑐𝑚
ℎ𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 =
𝐴
ℎ𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜
=
1350 150
=
= 30 𝑐𝑚
45
5
2𝑝𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 = 2 ∙ (𝑏 + ℎ) = 2 ∙ (45 + 30) = 2 ∙ 75 = 150 𝑐𝑚
La somma dei cateti di un triangolo rettangolo misura 84 cm e uno è i 3/4
Dati e relazioni
𝑐1 + 𝑐2 = 84 𝑐𝑚
3
𝑐2 = 𝑐1
4
Richieste
1. 2p;
2. Area
𝑐1 + 𝑐2
84
= 4∙
= 4 ∙ 12 = 48 𝑐𝑚
3+4
7
𝑐2 = (𝑐1 + 𝑐2 ) − 𝑐1 = 84 − 48 =∙ 36 𝑐𝑚
𝑐1 = 4 ∙
𝑖 = √𝑐2 2 + 𝑐1 2 = √362 + 482 = √1296 + 2304 = √3600 = 60 𝑐𝑚
2𝑝 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑖 = 48 + 36 + 60 =∙ 144 𝑐𝑚
𝐴=
𝑐1 ∙ 𝑐2 48 ∙ 36
=
= 48 ∙ 18 = 864 𝑐𝑚2
2
2
Equazione
𝑥 + 𝑦 = 84
𝑦=
3
𝑥
4
3
𝑥 + 𝑥 = 84
4
4𝑥 + 3𝑥 = 4 ∙ 84
7𝑥 = 4 ∙ 84
4 ∙ 84
= 48
7
3
𝑦 = ∙ 48 = 36
4
𝑥=
La differenza dei cateti di un triangolo rettangolo misura 4 cm e uno è i 3/4
Dati e relazioni
𝑐1 − 𝑐2 = 4 𝑐𝑚
3
𝑐2 = 𝑐1
4
Richieste
1. 2p;
2. Area
𝑐1 + 𝑐2
4
= 4 ∙ = 16 𝑐𝑚
4−3
1
𝑐2 = 𝑐1 − (𝑐1 − 𝑐2 ) = 16 − 4 = 12 𝑐𝑚
c1 |-x-|-x-|-x-|-x-|
c2 |-x-|-x-|-x-|4 cm
𝑐1 = 4 ∙
𝑖 = √𝑐1 2 + 𝑐2 2 = √162 + 122 = √256 + 144 = √400 = 20 𝑐𝑚
2𝑝 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑖 = 16 + 12 + 20 = 48 𝑐𝑚
𝐴=
𝑐1 ∙ 𝑐2 16 ∙ 12
=
= 8 ∙ 12 = 96 𝑐𝑚2
2
2
Equazione
𝑥−𝑦 =4
𝑦=
3
𝑥
4
3
𝑥− 𝑥=4
4
4𝑥 − 3𝑥 = 4 ∙ 4
𝑥 = 16
𝑦=
3
∙ 16 = 12
4
La somma del cateto maggiore e dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo
è pari a 36 cm e l’ipotenusa è i 5/4 del cateto maggiore. Determina il
perimetro e l’area della figura.
Dati e relazioni
c1 + i = 36 cm
5
i = c1
4
Richieste
1. 2p;
2. Area
5
9
+1=
4
4
9
4
𝑐1 = 36: = 36 ∙ = 4 ∙ 4 = 16 𝑐𝑚
4
9
𝑖 = (𝑐1 + 𝑖) − 𝑐1 = 36 − 16 = 20 𝑐𝑚
𝑐2 = √𝑖 2 − 𝑐22 = √202 − 162 = √400 − 256 = √144 = 12 𝑐𝑚
2𝑝 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑖 = 36 + 12 = 48 𝑐𝑚
Equazione
𝑥 + 𝑦 = 36
𝑦=
5
𝑥
4
5
𝑥 + 𝑥 = 36
4
4𝑥 + 5𝑥 = 4 ∙ 36
9𝑥 = 4 ∙ 36
4 ∙ 36
= 16
9
5
𝑦 = ∙ 16 = 20
4
𝑥=
La lunghezza di uno dei cateti di un triangolo rettangolo è data dal medio
proporzionale tra 48 e 12. Sapendo che la superficie del triangolo dato
misura 840 cm2, determina il perimetro della figura.
Dati e relazioni
48: c1 = c1 : 12
A = 840 cm2
Richiesta
2p
48: c1 = c1 : 12
c1 = √12 ∙ 48 = √22 ∙ 3 ∙ 24 ∙ 3 = 8 ∙ 3 = 24 𝑐𝑚
In un triangolo rettangolo i cateti sono base e altezza del triangolo. Abbiamo:
b ∙ h 𝑐1 ∙ 𝑐2
=
2
2
Da cui
𝐴=
𝑐1 ∙ 𝑐2
𝑐1 ∙ 𝑐2 2
2
2∙𝐴
=𝐴→
∙ = 𝐴 ∙ →= 𝑐2 =
2
2
𝑐1
𝑐1
𝑐1
𝑐2 =
2 ∙ 𝐴 2 ∙ 840 840 420 210
=
=
=
=
= 70 𝑐𝑚
𝑐1
24
12
6
3
𝑖 = √𝑐12 + 𝑐22 = √242 + 702 = √576 + 4900 = √5476 = 74 𝑚
2𝑝 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑖 = 24 + 70 + 74 = 168 𝑐𝑚
Un triangolo rettangolo ha l'area di 546 cm2 e un cateto misura 84 cm.
Calcola la lunghezza del perimetro del triangolo.
Dati e relazioni
A = 546 cm2
c1 = 84 cm
Richiesta
2p
In un triangolo rettangolo i cateti sono base e altezza del triangolo. Abbiamo:
b ∙ h 𝑐1 ∙ 𝑐2
=
2
2
Da cui
𝐴=
𝑐1 ∙ 𝑐2
𝑐1 ∙ 𝑐2 2
2
2∙𝐴
=𝐴→
∙ = 𝐴 ∙ →= 𝑐1 =
2
2
𝑐2
𝑐2
𝑐2
𝑐2 =
2 ∙ 𝐴 2 ∙ 546 546 273 91
=
=
=
=
= 13 𝑐𝑚
𝑐1
84
42
21
7
𝑖 = √𝑐12 + 𝑐22 = √842 + 132 = √7056 + 169 = √7225 = 85 𝑚
2𝑝 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑖 = 84 + 13 + 85 = 182 𝑐𝑚
Calcola l’area e il perimetro di un triangolo rettangolo i cui cateti misurano
rispettivamente 15 cm e 36 cm. Dimezzando le misure dei lati qual è il
rapporto tra i perimetri e le aree delle due figure?
Dati e relazioni
c1 = 15 cm
c2 = 36 cm
Misure dimezzate...
Richieste
1. 2p;
2. Area
𝑖 = √𝑐12 + 𝑐22 = √152 + 362 = √225 + 1296 = √1521 = 39 𝑐𝑚
2𝑝 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑖 = 15 + 36 + 39 = 90 𝑐𝑚
𝐴=
𝑏 ∙ ℎ 𝑐1 ∙ 𝑐2 15 ∙ 36
=
=
= 15 ∙ 18 = 270 𝑐𝑚2
2
2
2
𝑖′ = √𝑐12 + 𝑐22 = √7,52 + 182 = √56,25 + 324 = √380,25 = 19,5 𝑐𝑚
2𝑝′ = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑖 = 7,5 + 18 + 19,5 = 45 𝑐𝑚
𝐴′ =
𝑏 ∙ ℎ 𝑐1 ∙ 𝑐2 7,5 ∙ 18
=
=
= 7,5 ∙ 9 = 67,5 𝑐𝑚2
2
2
2
2𝑝 90 1
=
=
2𝑝′ 45 2
𝐴
270 1
=
=
′
𝐴
67,5 4
Un triangolo rettangolo ha l'area di 96 cm2 e un cateto misura 16 cm.
Calcola la lunghezza del perimetro del triangolo.
𝑐2 =
Dati e relazioni
A = 96 cm2
c1 = 16 cm
Richiesta
2p
2 ∙ 𝐴 2 ∙ 96 96
=
=
= 12 𝑐𝑚
𝑐1
16
8
2𝑝 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑖 = 16 + 12 + 20 = 48 𝑐𝑚
Calcola la misura dell’ipotenusa, del perimetro e dell’area e di un triangolo ABC, rettangolo in
A, la cui altezza AH relativa all’ipotenusa misura 9,6 cm e la cui mediana AM, relativa
In un triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è la metà dell’ipotenusa stessa. Il
triangolo rettangolo è, infatti, sempre inscrivibile in una semicirconferenza il cui diametro è
l’ipotenusa mentre la mediana coincide con un raggio (teorema di Dante).
Per il teorema di Dante
𝐴𝑀 ≅ 𝐵𝑀 ≅ 𝑀𝐶
𝐴𝑀 = 10 𝑐𝑚
𝐵𝐶 = 2 ∙ 10 = 20 𝑐𝑚
𝐻𝑀 = √𝑚2 − ℎ2 = √102 − 9,62 = 2,8 𝑐𝑚
𝐴𝐵 = √(10 − 2,8)2 + 9,62 = √144 = 12 𝑐𝑚
𝐴𝐶 = √(10 + 2,8)2 + 9,62 = √144 = 16 𝑐𝑚
2𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 20 + 12 + 16 = 48 𝑐𝑚
𝐴=
𝑏 ∙ ℎ 12 ∙ 16
=
= 12 ∙ 8 = 96 𝑐𝑚2
2
2
Calcola la misura dell’ipotenusa, del perimetro e dell’area di un triangolo Dati e relazioni
ABC, rettangolo in C, la cui altezza CH relativa all’ipotenusa misura 9,6 triangolo rettangolo ABC
cm e la cui mediana CM, relativa all’ipotenusa, misura 10 cm.
C = 90°
CH = hi = 9,6 cm
M punto medio ipot.
CM = 10 cm
Richieste
1. ipotenusa;
2. 2p;
3. Area
𝑖 = 𝐴𝐵 = 2 ∙ 𝐶𝑀 = 2 ∙ 10 = 20 𝑐𝑚
𝐴=
𝑏 ∙ ℎ 𝐴𝐵 ∙ 𝐶𝐻 20 ∙ 9,6
=
=
= 10 ∙ 9,6 = 96 𝑐𝑚2
2
2
2
𝐻𝑀 = √𝐶𝑀2 − 𝐶𝐻 2 = √102 − 9,62 = √100 − 92,16 = √7,84
= 2,8 𝑐𝑚
𝐴𝐻 = 𝐴𝑀 − 𝐻𝑀 = 10 − 2,8 = 7,2 𝑐𝑚
𝐴𝐶 = √𝐶𝐻 2 + 𝐴𝐻 2 = √9,62 + 7,22 = √92,16 + 51,84 = √144
= 12 𝑐𝑚
𝐵𝐻 = 𝐵𝑀 + 𝐻𝑀 = 10 + 2,8 = 12,8 𝑐𝑚
𝐵𝐶 = √𝐶𝐻 2 + 𝐵𝐻 2 = √9,62 + 12,82 = √92,16 + 163,84 = √256
= 16 𝑐𝑚
Un triangolo rettangolo si
può sempre inscrivere in
una semicirconferenza; di
conseguenza la mediana
relativa all'ipotenusa è la
metà dell'ipotenusa ed è il
raggio del cerchio
circoscritto.
2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 20 + 16 + 12 = 48 𝑐𝑚
Calcola la misura del perimetro e dell’area e di un triangolo ABC,
rettangolo in C, la cui ipotenusa AB misura 112 cm e l’altezza CH e la
mediana CM relativa a esse relative misurano rispettivamente 30 cm e 34
cm.
Dati e relazioni
triangolo rettangolo ABC
C = 90°
AB = 𝑖 = 112 cm
CH = 30 cm
M punto medio ipot.
CM = 34 cm
Richieste
1. 2p;
2. Area
𝐴𝐵 112
=
= 56 𝑐𝑚
2
2
𝑏 ∙ ℎ 𝐴𝐵 ∙ 𝐶𝐻 112 ∙ 30
𝐴=
=
=
= 112 ∙ 15 = 1680 𝑐𝑚2
2
2
2
𝐴𝑀 = 𝑀𝑁 =
𝐻𝑀 = √𝐶𝑀2 − 𝐶𝐻 2 = √342 − 302 = √1156 − 900 = √256
= 16 𝑐𝑚
𝐴𝐻 = 𝐴𝑀 − 𝐻𝑀 = 56 − 16 = 40 𝑐𝑚
𝐴𝐶 = √𝐶𝐻 2 + 𝐴𝐻 2 = √302 + 402 = √900 + 1600 = √2500
= 50 𝑐𝑚
𝐵𝐻 = 𝐵𝑀 + 𝐻𝑀 = 56 + 16 = 72 𝑐𝑚
Un triangolo rettangolo si
può sempre inscrivere in
una semicirconferenza; di
conseguenza la mediana
relativa all'ipotenusa è la
metà dell'ipotenusa ed è il
raggio del cerchio
circoscritto.
𝐵𝐶 = √𝐶𝐻 2 + 𝐵𝐻 2 = √722 + 302 = √5184 + 900 = √6084
= 78 𝑐𝑚
2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 112 + 78 + 50 = 240 𝑐𝑚
L’area di un triangolo rettangolo è di 4374 cm2 e un suo cateto misura 108
cm. Calcola il perimetro del triangolo e l’altezza relativa all’ipotenusa.
𝑐2 =
Dati e relazioni
A = 4374 cm2
c1 = 18 cm
RichiestE
1. 2p;
2. altezza relativa ipot.
2 ∙ 𝐴 2 ∙ 4374 4374 2187 729
=
=
=
=
= 81 𝑐𝑚
𝑐1
108
54
27
9
𝑖 = √𝑐12 + 𝑐22 = √1082 + 812 = √11664 + 6561 = √18225 = 135 𝑚
2𝑝 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑖 = 108 + 81 + 135 = 324 𝑐𝑚
L’altezza AH relativa alla base di un triangolo misura 40 cm. Le
proiezioni BH e CH dei due lati sulla base del triangolo misurano
rispettivamente 42 cm e 75 cm. Esegui il disegno e calcola la misura del
perimetro e dell’area del triangolo.
Dati e relazioni
BC base
CH altezza relativa a BC
AH = 40 cm
BH = 42 cm
CH = 75 cm
Richieste
1. 2p;
2. Area
𝐴𝐵 = √𝐴𝐻 2 + 𝐵𝐻 2 = √402 + 422 = √1600 + 1764 = √3364
= 58 𝑐𝑚
𝐴𝐶 = √𝐴𝐻 2 + 𝐶𝐻 2 = √402 + 752 = √1600 + 5625 = √7225
= 85 𝑐𝑚
𝐵𝐶 = 𝐵𝐻 + 𝐶𝐻 = 42 + 75 = 117 𝑐𝑚
2𝑝 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑖 = 58 + 85 + 117 = 260 𝑐𝑚
𝐴=
𝑐1 ∙ 𝑐2 117 ∙ 40
=
= 117 ∙ 20 = 2340 𝑐𝑚2
2
2
La somma dei due cateti di un triangolo rettangolo è di 46 cm e un cateto
supera l’altro di 14 cm. Calcola l’area e la misura del perimetro del
triangolo.
Dati e relazioni
c1 + c2 = 46 cm
c1 − c2 = 14 cm
Richieste
1. 2p;
2. Area;
3. apotema;
(𝑐1 + 𝑐2 ) + (𝑐1 − 𝑐2 ) 46 + 14 60
=
=
= 30 𝑐𝑚
2
2
2
(𝑐1 + 𝑐2 ) − (𝑐1 − 𝑐2 ) 46 − 14 32
𝑐1 =
=
=
= 16 𝑐𝑚
2
2
2
𝑐1 =
𝑖 = √𝑐12 + 𝑐22 = √162 + 302 = √256 + 900 = √1156 = 34 𝑐𝑚
2𝑝 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑖 = 16 + 30 + 30 = 80 𝑐𝑚
𝐴=
𝑐1 ∙ 𝑐2 16 ∙ 30
=
= 8 ∙ 30 = 240 𝑐𝑚2
2
2
L’ipotenusa e un cateto di un triangolo rettangolo misurano rispettivamente Dati e relazioni
75 cm e 72 cm. Di quanto differisce l’area del triangolo dato e quella di un i = 75 cm
quadrato isoperimetrico a questo?
c1 = 72 cm
2prettangolo
= 2pquadrato
Richiesta
differenza delle aree
delle due figure
𝑐2 = √𝑖 2 − 𝑐22 = √752 − 722 = √5625 − 5184 = √441 = 21 𝑐𝑚
2𝑝𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 = 2𝑝𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑖 = 21 + 72 + 75 = 168 𝑐𝑚
𝑏 ∙ ℎ 𝑐1 ∙ 𝑐2 21 ∙ 72
=
=
= 21 ∙ 36 = 756 𝑐𝑚2
2
2
2
2𝑃 168 84
𝑙𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜 =
=
=
= 42 𝑐𝑚
4
4
2
𝐴𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜 = 𝑙 2 = 422 = 1764 𝑐𝑚2
𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 =
𝐴𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜 − 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 = 1764 − 756 = 1008 𝑐𝑚2
L’area di un triangolo rettangolo è di 42,135 cm2 e un suo cateto misura
7,95 cm. Calcola il perimetro del triangolo.
𝑐2 =
Dati e relazioni
A = 42,135 cm2
c1 = 7,95 cm
Richiesta
2p
2 ∙ 𝐴 2 ∙ 42,135 84,27 8427
=
=
=
= 10,6 𝑐𝑚
𝑐1
7,95
7,95
795
𝑖 = √𝑐12 + 𝑐22
𝑖 = √7,952 + 10,62 = √63,2025 + 112,36 = √175,5625 = 13,25 𝑐𝑚
2𝑝 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑖 = 7,95 + 10,6 + 13,25 = 31,8 𝑐𝑚
Uno dei cateti di un triangolo rettangolo è i 4/5 dell’ipotenusa che misura
40 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.
𝑐1 =
Dati e relazioni
i = 40 cm
4
c1 = ∙ i
5
Richieste
1. 2p;
2. Area
4
4
∙ 𝑖 = ∙ 40 = 4 ∙ 8 = 32 𝑐𝑚
5
5
𝑐2 = √𝑐12 − ℎ2 = √402 − 322 = √1600 − 1024 = √576 = 24 𝑐𝑚
2𝑝 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑖 = 32 + 24 + 40 = 96 𝑐𝑚
𝐴=
𝑐1 ∙ 𝑐2 32 ∙ 24
=
= 32 ∙ 12 = 384 𝑐𝑚2
2
2
La differenza dei cateti di un triangolo rettangolo misura 70 cm e uno è i
5/12 dell’altro. Determina il perimetro e l’area della figura.
Dati e relazioni
c1 − c2 = 70 cm
5
c2 =
∙c
12 1
Richieste
1. 2p;
2. Area
𝑐1 + 𝑐2
70
= 12 ∙
= 120 𝑐𝑚
12 − 5
7
𝑐2 = 𝑐1 − (𝑐1 − 𝑐2 ) = 120 − 70 = 50 𝑐𝑚
𝑐1 = 12 ∙
𝑖 = √𝑐1 2 + 𝑐2 2 = √1202 + 502 = √14400 + 2500 = √16900
= 130 𝑐𝑚
2𝑝 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑖 = 120 + 50 + 130 = 300 𝑐𝑚
𝐴=
𝑐1 ∙ 𝑐2 120 ∙ 50
=
= 60 ∙ 50 = 3000 𝑐𝑚2
2
2
L’area di un triangolo rettangolo ABC è di 840 cm2 e il cateto
maggiore AB misura 42 cm. Calcola il perimetro e l’area del
triangolo ABM, dove il segmento BM è la mediana relativa al cateto
minore AC.
Dati e relazioni
A = 840 cm2
AB = i = 42 cm
BM mediana di AC
Richieste
1. 2p(ABM);
2. Area(ABM)
2 ∙ 𝐴 2 ∙ 840
=
= 2 ∙ 20 = 40 𝑐𝑚
𝐴𝐶
42
𝐴𝐶 40
𝐴𝑀 =
=
= 20 𝑐𝑚
2
2
𝐴𝐶 =
𝐵𝑀 = √𝐴𝑀2 + 𝐴𝐵 2
𝐵𝑀 = √202 + 422 = √400 + 1764 = √2164 = 46,51 𝑐𝑚
2𝑝𝐴𝐵𝑀 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝑀 + 𝐴𝑀 = 42 + 46,51 + 20 = 100,51 𝑐𝑚
𝐴𝐴𝐵𝑀 =
𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝑀 42 ∙ 20
=
= 42 ∙ 10 = 420 𝑐𝑚2
2
2
In un triangolo rettangolo le misure dei due cateti sommate tra di
loro misurano 5,6 m e uno è i 3/4 dell’altro. Calcola il perimetro e
l’area del triangolo rettangolo.
Dati e relazioni
c1 + c2 = 5,6 m
3
c2 = ∙ 𝑐1
4
Richieste
1. 2p;
2. Area
4 3 7
+ =
4 4 4
c1|x|x|x|x|
c2|x|x|x|
Frazione corrispondente alla differenza delle due misure
7
4
𝑐1 = 5,6: = 5,6 ∙ = 0,8 ∙ 4 = 3,2 𝑐𝑚
4
7
𝑐2 = (𝑐1 + 𝑐2 ) − 𝑐1 = 5,6 − 3,2 = 2,4 𝑐𝑚
𝐴=
𝑏 ∙ ℎ 𝑐1 ∙ 𝑐2 3,2 ∙ 2,4
=
=
= 3,2 ∙ 1,2 = 3,84 𝑐𝑚2
2
2
2
𝑐 = √𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶 2 = √3,22 + 2,42 = √10,24 + 5,76 = √16
= 4 𝑐𝑚
2𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 4,2 + 2,4 + 4 = 10,6 𝑐𝑚
Una composizione è formata da una struttura a triangolo rettangolo la cui
ipotenusa misura 5 m, il cateto che si alza dal terreno, in corrispondenza
dell’angolo retto, è di 4 m. A questa struttura su terreno è appoggiata un
triangolo ottusangolo che ha un lato in comune con l’ipotenusa del
triangolo rettangolo e che un l’altro lato come prolungamento del cateto
del triangolo rettangolo appoggiato al terreno. Il triangolo ottusangolo
forma con il terreno un angolo di 45°. Calcola la superficie di materiale
necessario a costruire quest’ultimo triangolo e il suo perimetro.
Dati e relazioni
triangolo ABC
̂ = 90°
A
𝐴𝐶 = 4 𝑚
𝐵𝐶 = 5 𝑚
𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝐵𝐶𝐷 𝑜𝑡𝑡𝑢𝑠𝑎𝑛𝑔.
̂ = 45°
D
Richieste
Area(BCD)
𝐴𝐵 = √𝐵𝐶 2 − 𝐴𝐶 2 = √25 − 16 = √9 = 3 𝑐𝑚
𝑏 ∙ ℎ 𝑐1 ∙ 𝑐2 3 ∙ 4
=
=
= 6 𝑐𝑚2
2
2
2
𝐸𝑠𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 ∠𝐷 = 45° 𝑖𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 𝐴𝐷𝐶 è 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 (𝐴𝐷 ≅ 𝐴𝐶)
𝐴𝐴𝐵𝐶 =
𝑏 ∙ ℎ 𝑐1 ∙ 𝑐2 4 ∙ 4
=
=
= 8 𝑐𝑚2
2
2
2
= 𝐴𝐴𝐷𝐶 − 𝐴𝐴𝐵𝐶 = 8 − 6 = 2 𝑐𝑚2
𝐴𝐴𝐷𝐶 =
𝐴𝐵𝐷𝐶
𝐵𝐷 = 𝐴𝐷 − 𝐴𝐵 = 4 − 3 = 1 𝑐𝑚
𝐶𝐷 = √𝐴𝐷2 + 𝐴𝐶 2 = √16 + 16 = √2 ∙ 16 = 4√2 𝑐𝑚
2𝑝𝐵𝐶𝐷 = 𝐵𝐶 + 𝐵𝐷 + 𝐶𝐷 = 5 + 1 + 4√2 = (6 + 4√2)𝑐𝑚 = 11,66 𝑐𝑚
In un triangolo ABC, rettangolo in A, la somma del cateto 𝐴𝐵 con
l’ipotenusa 𝐵𝐶 misura 81 cm. Sapendo che 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 + 1 𝑐𝑚, calcola il
perimetro e l’area del triangolo.
Dati e relazioni
triangolo ABC
AC ipotenusa
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 81 𝑐𝑚
𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 + 1 𝑐𝑚
Richieste
Perimetro e area
𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 − 1 81 − 1
40
=
=
= 20 𝑐𝑚
2
2
2
𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 + 1 𝑐𝑚 = 20 + 1 = 21 𝑐𝑚
𝐴𝐵 =
𝐴𝐶 = √𝐵𝐶 2 + 𝐴𝐵 2 = √412 − 402 = √1681 − 1600 = √81 = 9 𝑐𝑚
2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 20 + 21 + 9 = 50 𝑐𝑚
Keywords
Geometria, Geometria piana, teorema di Pitagora, Pitagora, Equivalenza, Misura delle aree, Area,
Superficie, Triangolo, Triangolo isoscele, Triangolo rettangolo, Triangoli, Problemi di geometria con
soluzioni
Geometry, Pythagoras, Pythagoras’s theorem, Area, Area Measurement, Triangle, Triangles,
triangle equilateral, triangle isosceles, triangle scalene, Geometry Problems with Solutions
Geometría, Área, Superficie, Perímetro y áreas de figures planes, triángulos, triángulo, equilátero,
isósceles, escaleno, Área figures planes
Géométrie, Pythagore, Théorème de Pythagore, Aire, Triangle, Isocèle, équilatéral, scalène,
Superficie, Aires et périmètres
Geometrie, Umfang, Fläche, Triangel, Dreieck, spitzwinkliges Dreieck, rechtwinkliges Dreieck,
stumpfwinkliges Dreieck, Satz des Pythagoras, Pythagoras, Dreiecksgeometrie, Satz, Mathematik
Teorema de Pitàgores
Stelling van Pythagoras
Pisagor teoremi
Πυθαγόρειο θεώρημα
Den pythagoræiske læresætning
Teorema de Pitágoras
Pythagoras’ læresetning
Pythagoras sats
Pythagoraan lause
Теорема Піфагора
Pythagorova věta
Twierdzenie Pitagorasa
Teorema lui Pitagora
‫مبرهنة فيثاغورس‬
勾股定理
ピタゴラスの定理

Teorema di Pitagora

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