Sintesi - ENEA AFS Cell

Sintesi della tesi di laurea:
Analisi Dinamica di Sistemi Granulari Vibrati
Simone Giusepponi
La dinamica di una sfera che rimbalza in modo anelastico su un piano in movimento periodico, è
stata oggetto di numerosi studi teorici e sperimentali a partire da un famoso lavoro di Enrico Fermi
pubblicato nel 1949 in relazione all'origine dei raggi cosmici primari.
Successivamente, questo sistema meccanico apparentemente tanto semplice, si è imposto come
prototipo di sistema dinamico che evolve verso il caos mediante biforcazione con raddoppio del
periodo (period doubling). In questo contesto è poi invalso l'uso della denominazione inglese di
bouncing ball, che è adottato anche nel presente lavoro in assenza di un adeguato equivalente nella
nostra lingua. La bouncing ball è stata utilizzata in molteplici applicazioni ingegneristiche, quali, ad
esempio, la generazione ed il controllo di rumore in macchinari industriali (martelli pneumatici), il
trasporto e la separazione di materiali granulari (riso), il trasporto di componenti in dispositivi di
assemblaggio automatico.
In questa tesi di laurea, la dinamica della bouncing ball viene studiata in dettaglio sia
analiticamente, sia numericamente, per comprendere quali proprietà dei sistemi granulari in
vibrazione verticale siano riconducibili alla dinamica del singolo grano. La principale conclusione
del presente lavoro è che la bouncing ball costituisce il modello elementare per lo studio della
materia granulare nello stato fluido o, esemplificando, l'equivalente dell'oscillatore armonico nella
teoria dei mezzi elastici continui.
Il contenuto di questo studio è organizzato in cinque capitoli come segue:
●
Capitolo 1: Il modello della bouncing ball. Partendo dal meccanismo di accelerazione dei
raggi cosmici proposto da Fermi, esponiamo una breve rassegna della letteratura che ha
avuto come oggetto la bouncing ball, evidenziando come questa sia ancor oggi utilizzata per
interpretare le proprietà dinamiche di una grande varietà di sistemi meccanici di interesse sia
teorico, sia applicativo.
●
Capitolo 2: Bouncing ball. Dopo aver presentato i principali modelli introdotti per simulare
il comportamento di una sfera che rimbalza, introduciamo il nostro modello di bouncing
ball e le relative rappresentazioni che ne descrivono la dinamica. Scegliendo tra queste la
rappresentazione d'impatto, formuliamo le equazioni del moto del sistema attraverso una
mappa dinamica implicita, il che rende possibile classificare le traiettorie della bouncing
ball in regolari e caotiche.
●
Capitolo 3: Rappresentazione d'impatto. La mappa dinamica implicita viene integrata
numericamente rivelando una struttura a bande molto complessa nei parametri d'impatto.
Studiamo quindi l'evoluzione temporale di domini estesi dello spazio delle fasi per spiegare
l'origine delle varie componenti di tale struttura (bande estese e bande di chattering)
ignorate nella precedente letteratura. Infine analizziamo le traiettorie per le quali si ha
l'arresto della sfera sul piano, il che si traduce nella simulazione numerica nel cosiddetto
collasso anelastico. Questo effetto svanisce se aggiungiamo un piccolo rumore esterno al
sistema; le traiettorie che otteniamo riproducono così in maniera più realistica il moto di una
sfera materiale che rimbalza su un piano oscillante.
●
Capitolo 4: Analisi stroboscopica. Presentiamo la dinamica della bouncing ball mediante
una nuovarappresentazione, che proponiamo di chiamare stroboscopica. In questa
rappresentazione la bouncing ball mostra una struttura complessa che ricorda le “dita” di
una mano (struttura a finger). Sfruttando le analogie tra le due rappresentazioni colleghiamo
il numero dei finger a quello delle bande nella rappresentazione d'impatto.
●
Capitolo 5: Sistemi granulari. Esponiamo brevemente la ricca fenomenologia della materia
granulare con particolare attenzione al regime fluido e presentiamo in modo schematico il
programma di simulazione numerica utilizzato per studiare la dinamica di sistemi granulari
vibrati. Confrontiamo poi i risultati di queste simulazioni con quelli ottenuti per la dinamica
della bouncing ball. Concludiamo, come anticipato, che questa può essere impiegata
utilmente per interpretare le proprietà collettive dei gas granulari oscillanti.
In conclusione, in questo lavoro di tesi abbiamo studiato la dinamica di una sfera anelastica che
rimbalza (in presenza di accelerazione di gravità costante) su un piano posto in oscillazione con
legge oraria assegnata. La natura irregolare (caotica) delle traiettorie che descrivono il moto del più
semplice modello di sfera che rimbalza (bouncing ball) sono state caratterizzate mediante due
distinte rappresentazioni: la rappresentazione d'impatto. Nota in letteratura, in versione ridotta tale
rappresentazione dà luogo ad una struttura a bande, che siamo riusciti ad analizzare
dettagliatamente in funzione dei parametri d'oscillazione del piano. Questo risultato dovrebbe
rimpiazzare la stima di carattere qualitativo disponibile nella letteratura corrente;
la rappresentazione stroboscopica. Viene applicata per la prima volta allo studio della bouncing
ball e rivela una struttura a finger di sicuro interesse per la comunità che si dedica allo studio dei
sistemi dinamici. Numero e struttura dei finger sono stati posti in relazione con il numero delle
bande nella precedente rappresentazione e, quindi, con i parametri del modello in esame.
Lo scopo di questo lavoro va oltre quello di per sé ambizioso di una completa analisi teoricocomputazionale della bouncing ball (argomento con il quale si sono cimentati diversi autori). Forti
di un potente codice numerico per l'integrazione event driven della dinamica di un gas di sfere
anelastiche confinate in un volume chiuso con fondo vibrante, abbiamo indagato la relazione tra la
dinamica di una singola bouncing ball ed il moto collettivo di un siffatto gas granulare vibrato. La
rappresentazione stroboscopica è stata applicata per la prima volta ad un gas granulare fluido: le
relative strutture a finger per la bouncing ball ed un gas di sfere con gli stessi parametri della
bouncing ball, soggette alle medesime vibrazioni esterne, sono state confrontate. Abbiamo
raggiunto così la conclusione che lo studio della semplice bouncing ball permette una rapida ed
efficace caratterizzazione della dinamica globale di un gas granulare vibrato, rappresentandone il
costituente microscopico fondamentale.