IL GRATING REALE

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IL GRATING REALE
Il grating reale è uno strumento che può essere a riflessione o a trasmissione.
Il caso a riflessione è quello più diffuso.
Invece di considerare il numero totale di tratti, si considera la densità lineare di tratti
ρ=
1
d
(in unità di n. tratti/mm)
In questo modo le equazioni fondamentali del reticolo diventano:
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sin isin θ = ρ m λ
Δλ cos θ
=
Δθ ρ m
Δλ cos θ
=
Δx ρ m f cam
R*≡
λ
=ρ m W
Δλ
dove R* è il potere risolutivo teorico per una slit infinitamente sottile.
In realtà il potere risolutivo effettivo dipende non solo dalle caratteristiche del grating, ma anche da altri
fattori, tra cui la larghezza della slit.
Sia s la larghezza lineare della slit e s' la larghezza lineare della sua immagine sul rivelatore.
Usiamo l’invarianza dei sistemi ottici:
n  A=cost
dove  è l’angolo solido della radiazione che incide sull’area A in un mezzo che ha indice di rifrazione n.
Nell’aria n=1 e per il caso bidimensionale possiamo scrivere:
s ϕ=s ' ϕ'
D coll
'
s
=s
f coll
D coll
'
s =s
f coll
F
s' = s cam
F coll
Dcam
f cam
f cam
D cam
ossia l’immagine della slit è determinata dal rapporto di apertura camera/collimatore.
A questo punto la risoluzione spettrale vale:
Δλ=
Δλ ' cos θ
s=
Δx
ρm f
s
cam
F cam
Dcoll s cos θ
=
F coll ρ m Dcam f coll
Ma la dimensione W del grating può essere espressa come:
W=
per cui si ha:
Dcam
cos θ
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Δλ=
R=
D coll
ρmW f
s=
coll
1
s
ρ m W F coll
F
λ
F
λ
λ
= ρ m W coll =R * coll
Δλ
s
s
Si nota che R è indipendente dalle caratteristiche della camera.
Poiché l’apertura della slit è usualmente espressa in termini di unità angolari, anziché lineari, possiamo
porre:
s=α f tel
f tel
f
= F tel = coll = F coll
D tel
D coll
R= R *
F coll λ
F coll λ
λ
= R*
= R*
s
α F coll D tel
α Dtel
Da cui segue che:
R≤ R *
λ≤α D tel ≡λ *
Per l ≥ l* siamo nel caso diffraction limited, cioè nel caso teorico in cui R risulta indipendente dall’apertura
della slit.
Inoltre si vede che R è inversamente proporzionale a Dtel, quindi per mantenere R costante al variare di Dtel, è
necessario variare la dimensione W del reticolo.
Esempio:
m=1
 = 1200 /mm
 = 0.5″
Dtel = 8 m
Dcoll = 100 mm
l = 5000 Å
Se i = 20° →  = 15° (dall’equazione del reticolo)
W = Dcoll / cos  ~ 104 mm
Da cui :
R* = 124800
R = 3120
l* = 19 
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La quantità s′ / s si chiama INGRANDIMENTO dello spettrografo nella direzione della dispersione.
In generale nella direzione della slit l’ingrandimento sarà diverso.
Per questa ragione si genera il cosiddetto ingrandimento anamorfico.
D cam=W cos θ
D coll= W cos i
A=
D cam cos θ
=
D coll cos i
'
D
s f
M λ = = cam coll
s f coll Dcam
M x=
f cam
f coll
M x Dcam
=
=A
M λ Dcoll
Esistono due configurazioni possibili:
1) normale al grating → camera
<i A>1
2) normale al grating → collimatore
>i A<1
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In questo esempio:
 = 600 /mm
i = 45°
Dall’equazione del reticolo si ha:
m=0 ⇒ sin θ=−sin i ⇒ θ=−45o
600
m=1 ⇒ sin θ = 7 ×1× λ−sin  45o 
10
 
λ=4000 A ⇒ θ ≃−28o
λ=7000 A ⇒ θ ≃−17o
Se allo stesso range angolare vogliamo far corrispondere l’intervallo 5000-8000 Å, dobbiamo portare
l’inclinazione del grating a circa 50°.
La dispersione angolare vale:
Δλ cos  −28° 
π
=
×
≃257 A/°
−7
Δθ  600×10  ×1 180 °
Δλ cos  −17 ° 
π
λ=7000 A ⇒
=
×
≃278 A/°
Δθ  600×10−7  ×1 180 °
λ=4000 A ⇒
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La dispersione lineare dipenderà dalla lunghezza focale della camera.
Se ipotizziamo che fcam= 15 cm, a 5000 Å e per una CCD con pixel-size = 24 si ottiene:

2
1−  600×10−7 ×1×5000−sin  45°  
Δλ
1
=
×
×0 .024≃2 . 4 A/px
−7
Δx
150
600×10 ×1
Se R = 1000, la risoluzione a 5000 Å vale 5 Å, ossia circa 2 px.
2 px è noto come limite di Nyquist.
La focale della camera dovrà essere tale che la risoluzione spettrale copra al minimo due o tre elementi di
risoluzione del rivelatore.
Che relazione c’è fra la dispersione e la risoluzione?
D

R= m cam
cos   D tel
 cos 
=
  m
R=
⇒
 
Dcam
Dtel
=




 
 
Dtel


Dcam 
In caso di alta dispersione si può avere alta risoluzione, ma anche bassa risoluzione.
In caso di bassa dispersione non si avrà mai alta risoluzione.
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Abbiamo visto che il massimo di intensità si ha a  = 0, cioè a m = 0, dove però la dispersione cromatica è
nulla. Andando a ordini più alti si guadagna risoluzione spettrale ma la quantità di luce trasmessa diminuisce.
Quindi è conveniente spostare il massimo di blaze ad ordini più alti, almeno all’ordine m = 1.
Questo si può ottenere lavorando i tratti del grating in modo che formino un angolo d con il piano del
grating. Questo angolo è noto come angolo di blaze.
Lo spazio fra ogni tratto sarà
b=d cos δ
Per grating usati a ordini bassi, d in genere è piccolo (< 20o), ma per grating in configurazione echelle può
raggiungere anche valori di 60°-70°.
L’intensità del reticolo è data dall’espressione:
I = A 20
2
sin 2 β sin  N γ 
β 2 sin 2  γ 
dove il termine sin2  / 2 è chiamato anche funzione di blaze, e modula l’intensità della figura di
interferenza ad una data lunghezza d’onda, e dove 2 è la differenza di fase fra i centri di due tratti adiacenti,
mentre  è la differenza di fase fra centro e bordo di ogni tratto.
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Possiamo derivare la distribuzione della luce prodotta da un grating blazed.
sin 2 
I= 2


= b  sin sin ' 

Si deve porre
=i−
' =−
Da cui:
π
β= b [ sin  i−δ sin  θ −δ  ]
λ
Ma, dall’equazione del reticolo sappiamo che:
ρ m λ=sin isin θ ⇔
1
ρm
=
λ sin isin θ
Sostituendo:
β=π bρ m
Utilizzando la relazione:
sin x + sin y = 2 sin
x+y
x−y
cos
2
2
sin  i−δ sin  θ −δ 
sin i sin θ
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si ottiene:

  
   
 
 
 
 
 
iθ −2δ
i−θ
cos
2
2
β=π b ρ m
=
iθ
i−θ
2 sin
cos
2
2
iθ
sin
−δ
2
=π b ρ m
=
iθ
sin
2
iθ
iθ
sin
cos δ−sin δ cos
2
2
=π b ρ m
=
iθ
sin
2
sin δ
=π b ρ m cos δ−
iθ
tan
2
2 sin

 

Plottiamo questa nuova funzione di .
Si ha un massimo per  = 0:
cos δ−
sin δ
tan
 
iθ
2
=0 ⇒ tan
 
iθ
=tan δ ⇒ iθ=2δ
2
e i primi due minimi per  = ± p


sin δ
=±π
iθ
tan
2
sin δ
1
cos δ−
=±
ρm b
iθ
tan
2
iθ sin δ
tan
=
2
1
cos δ±
ρm b
π bρ m cos δ−
 
 
 
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La condizione per il massimo di blaze si ha quando:
β=0 ⇒ η=− ' ⇒ iθ b=2δ
Da cui segue che:
sin isin θ b = ρ m λb
iθ b
i−θ b
2sin
cos
= ρ m λb
2
2
Ψ
ρ m λ b =2 sin δ cos
2
   
dove  è l’angolo camera-collimatore fissato dallo spettrografo e lB è la lunghezza d’onda di blaze del
grating.
Quando = 0 lo spettrografo è in configurazione Littrow.
m ρ λ LB=2 sin δ ⇒ λ B = λ LB cos
R L=
2 D coll
tan δ
α D tel
Ψ
2
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Qual è la migliore configurazione con un reticolo blazed?
1) normale al grating → camera
m=1
risoluzione spettrale più alta
range l più ampio
2) normale al grating → collimatore
m = -1
risoluzione spettrale più bassa
range l più piccolo
(Il secondo caso, con m = -1, si ottiene invertendo il senso del reticolo)
Il secondo caso provoca perdita di luce, specialmente per angoli di diffrazione larghi. Questo fenomeno è
noto come shadowing.
Lo shadowing è maggiore per quelle orientazioni del grating per cui i < . La frazione di luce persa è data da:
f =tan δ sin  θ−δ 
e discende dall’equazione del grating.
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Imperfezioni nei grating producono righe spettrali spurie.
Una classe di queste righe sono i cosiddetti ghost, prodotti da errori periodici nel posizionamento dei tratti.
Se la spaziatura di questi errori è D (>> d) la separazione angolare fra l’n-esimo ghost e la sua riga
progenitrice si otterrà differenziando l’equazione del grating:
Δϕ g =n
λg
D
Δϕ g = Δ  sin isin θ g  = cos θ g Δθ g ⇒ Δθ g =
n λg
D cos θ g
e dalla definizione di dispersione angolare si ha:
Δλ d cos θ
Δλ
nd
=
Δλ g =
Δθ g ⇒ Δλ g =λ g
Δθ
m
Δθ
mD
Esempio:
d = 1/600 mm
m=1
l = 6000 Å
D = 1 mm
→
l = ±10 Å, ±20 Å, ...
Da notare: i ghost hanno lo stesso colore della riga progenitrice perché sono differenti ordini della stessa l.