Richiami sul sistema metrico decimale e sui sistemi non decimali

Richiami sul sistema metrico decimale e sui sistemi di misure non decimali
Misurare una grandezza significa, dopo aver prefissato una unità di misura, calcolare quante volte
tale unità è contenuta nella grandezza in esame. Il numero che esprime il rapporto fra una certa
grandezza e l’unità si dice misura.
Il nostro sistema di misura è il Sistema Metrico Decimale. Metrico perché ha come unità
fondamentale il metro. Decimale perché i multipli e i sottomultipli del metro si ottengono da questo
moltiplicando e dividendo per 10, 100, 1000,…
In tale sistema oltre all’unità di misura fondamentale, il metro, si considerano anche le unità di
superficie, di volume, di capacità e di peso che sono rispettivamente: il metro quadrato, il metro
cubo, il litro e il grammo.
Accanto alle unità fondamentali sono da considerare le unità secondarie, ovvero i multipli e i
sottomultipli di queste grandezze.
Misure di lunghezza
L’unità di misura delle lunghezze è il metro (m).
Decametro
Ettometro
Chilometro
Miriametro
(dam)
(hm)
(km)
(Mm)
Decimetro
Centimetro
Millimetro
(dm)
(cm)
(mm)
Multipli del metro
= 10 m
= 100 m = 10 dam
= 1000 m = 100 dam = 10 hm
= 10.000 m = 1000 dam = 100 hm = 10 km
Sottomultipli del metro
= 0,1 m
= 0,01 m = 0,1 dm
= 0,001 m = 0,01 dm = 0,1 cm
Il fattore di conversione è 10, cioè per passare da una misura, espressa mediante una certa unità,
alla stessa misura, espressa nell’unità immediatamente seguente, bisogna moltiplicare o dividere
per 10.
In generale:
date le unità di misura scritte in ordine decrescente, per passare dalla misura, espressa in una unità,
alla misura espressa in una unità maggiore o minore di quella, si sposta , a sinistra o a destra
rispettivamente, la virgola di tanti posti quanti sono gli spazi che separano le due unità nella serie
decrescente delle unità:
Mm
Km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Esempio
31,7 m = 317 dm = 3170 cm = 3,17 dam = 0,317 hm = 0,0317 km = 0,00317 Mm
PROF. GIUSEPPE FRASSANITO
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Misure di superficie
L’unità di misura delle superfici è il metro quadrato (m2).
(dam2)
Decametro quadrato
Ettometro quadrato (hm2)
Chilometro quadrato (km2)
Miriametro quadrato (Mm2)
Decimetro quadrato (dm2)
Centimetro quadrato (cm2)
Millimetro quadrato (mm2)
Multipli del metro quadrato
= 100 m2
= 10.000 m2 = 100 dam2
= 1.000.000 m2 = 10.000 dam2 = 100 hm2
= 100.000.000 m2 = 1.000.000 dam2
Sottomultipli del metro quadrato
= 0,01 m2
= 0,0001 m2 = 0,1 dm2
= 0,000001 m2 = 0,0001 dm2 = 0,01 cm2
Il fattore di conversione è 100, cioè per passare da una misura ad un’altra si applica la stessa regola
indicata per le misure di lunghezza. In questo caso bisogna spostare la virgola di un numero di posti
doppio.
In generale:
date le unità di misura scritte in ordine decrescente, per passare dalla misura, espressa in una unità,
alla misura espressa in una unità maggiore o minore di quella, si sposta, a sinistra o a destra
rispettivamente, la virgola il doppio di tanti posti quanti sono gli spazi che separano le due unità
nella serie decrescente delle unità:
Mm2
Km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
Esempio
31,7 m2 = 3170 dm2 = 317000 cm2 = 0,317 dam2
Misure agrarie
L’unità di misura agraria è l’ara (a), cioè un quadrato di lato un decametro.
Ettaro
(ha)
Centiara (ca)
Multipli dell’ara
= 100 a = 10.000 m2
Sottomultipli dell’ara
= 1 m2
Il fattore di conversione è 100.
Esempio
7234 a = 72,34 ha
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Misure di volume
L’unità di misura di volume è il metro cubo (m3), cioè il cubo avente lo spigolo di un metro.
Multipli del metro cubo
= 1000 m3
= 1.000.000 m3 = 1000 dam3
= 109 m3 = 106 dam3 = 103 hm3
= 1000 km3
Sottomultipli del metro cubo
= 0,001 m
= 0,000001 m3 = 0,001 dm3
= 0,000001 dm3 = 0,001 cm3
Decametro cubo (dam3)
Ettometro cubo (hm3)
Chilometro cubo (km3)
Miriametro cubo (Mm3)
Decimetro cubo (dm3)
Centimetro cubo (cm3)
Millimetro cubo (mm3)
Il fattore di conversione è 1000, cioè per passare da una misura ad un’altra si applica la stessa regola
indicata per le misure di lunghezza. In questo caso bisogna spostare la virgola di un numero di posti
triplo.
Mm3
Km3
hm3
dam3
m3
dm3 cm3
mm3
Esempio
31,7 m3 = 31700 dm3 = 0,0317 dam3
Misure di capacità
L’unità di misura di capacità è il litro (l), che è la capacità di un dm3, cioè un cubo avente lo spigolo
di un dm.
Decalitro (dal)
Ettolitro (hl)
Decilitro (dl)
Centilitro (cl)
Multipli del litro
= 10 l
= 100 l = 10 dal
Sottomultipli del litro
= 0,1 l
= 0,01 l = 0,1 dl
Il fattore di conversione è 10, cioè per passare da una misura ad un’altra si ripete esattamente
quanto detto per le misure di lunghezza.
hl
dal
l
dl
cl
Esempio
31,7 l = 3,17 dal = 0,317 hl
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Misure di peso
L’unità principale di misura dei pesi è il grammo (g), che è il peso di un cm3 di acqua distillata a 4°
C, cioè il peso dell’acqua distillata contenuta in un cubo avente lo spigolo di un cm.
Decagrammo
Ettogrammo
Chilogrammo
Miriagrammo
Quintale
Tonnellata
(dag)
(hg)
(kg)
(Mg)
(q)
(t)
Decigrammo
Centigrammo
Milligrammo
(dg)
(cg)
(mg)
Multipli del grammo
= 10 g
= 100 g = 10 dag
= 10 hg = 100 dag = 1000 g
= 10 kg = 100 hg = 1000 dag
= 10 Mg = 100 kg = 1000 hg
= 10 q = 100 Mg = 1000 kg
Sottomultipli del grammo
= 0,1 g
= 0,01 g = 0,1 dg
= 0,001 g = 0,01 dg = 0,1 cg
Il fattore di conversione è 10, cioè per passare da una misura ad un’altra si procede come visto per
le misure di lunghezza.
t
q
Mg
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
Peso specifico
Il peso specifico di un corpo è il peso dell’unità di volume di una sostanza. Esprime quindi quanti
grammi pesa un cm3 della sostanza di cui è fatto il corpo, o quanti chilogrammi pesa un dm3 oppure
quante tonnellate pesa un m3.
Ad esempio il peso specifico dell’argento è 10,5. Si intende dire che:
1 cm3 di argento ha un peso di 10,5 g
1 dm3 di argento ha un peso di 10,5 kg
1 m3 di argento ha un peso di 10,5 t
Il peso specifico ps di un corpo si ottiene dividendo il suo peso P espresso in g per il suo volume V
espresso in cm3 o il suo peso in kg per il suo volume in dm3 oppure il suo peso in t per il suo volume
in m3.
𝒑𝒔 =
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𝑷
𝑽
→
𝑃 = 𝑝𝑠 ∙ 𝑉
4
→
𝑉=
𝑃
𝑝𝑠
Tavola dei pesi specifici di alcuni corpi
Esempio
Calcolare il peso P di 22,5 mm3 di oro.
L’oro ha peso specifico ps = 19,3. Trasformiamo i mm3 in cm3.
22,5 𝑚𝑚3 = 0,0225𝑐𝑚3
𝑃 = 𝑝𝑠 ∙ 𝑉 → 𝑃 = 19,3 ∙ 0,0225 = 0,4275 𝑔
PROF. GIUSEPPE FRASSANITO
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Sistemi di misura non decimali
I sistemi non decimali sono caratterizzati dal fatto che il rapporto fra l’unità di misura e i suoi
sottomultipli o i suoi multipli non è 10 o un multiplo di 10, come nei sistemi decimali, ma un numero
diverso da dieci, e neppure costante, che si chiama modulo del numero non decimale.
In molti paesi di lingua inglese si fa uso di sistemi non decimali. In Italia l’uso di essi è rimasto solo
per le misure del tempo e degli angoli.
Misura del tempo
L’unità fondamentale per la misura del tempo è il giorno solare, definito come il tempo impiegato,
dalla terra per compiere una rotazione completa intorno al proprio asse.
Non tutti i mesi sono composti dallo stesso numero di giorni. Per ragioni commerciali si è convenuto
di considerare tutti i mesi di 30 giorni; di conseguenza l’anno commerciale è di 360 giorni anche se
l’anno si compone di 365 giorni, 5 ore, 48 minuti e 46 secondi.
Nello specchietto che segue vengono riportate le unità di misura, i multipli e i sottomultipli con i
relativi fattori di conversione
Anno commerciale
Mese commerciale
giorno (g)
ora (h)
Minuto primo (m)
Minuto secondo (s)
= 360 giorni
= 30 giorni
= 1/24 di giorno
= 1/60 di ora
= 1/60 di minuto primo
Misura degli angoli
L’unità di misura degli angoli è il grado, definito come la novantesima parte dell’angolo retto o la
trecentosessantesima parte dell’angolo giro.
Il fattore di conversione che ricorre in tale sistema è 60, da cui il nome sistema sessagesimale.
Del grado si considerano solo i sottomultipli: il primo sessagesimale, pari a 1/60 di grado, e il
secondo sessagesimale, pari a 1/60 di primo.
Grado (°)
Primo (‘)
Secondo (“)
PROF. GIUSEPPE FRASSANITO
= 1/90 di angolo retto
= 1/60 di grado
= 1/60 di primo
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Misure inglesi
In Inghilterra sono ancora in uso sistemi di misura non decimali. Presentiamo i più importanti di essi
perché si possono incontrare in taluni settori del mondo della tecnica e del commercio.
Misure di lunghezza
miglio terrestre
yard (yd)
piede (ft)
Pollice (inch)
= 1760 yarde = 1609,344 m
unità fondamentale = 0,9144 m
= 1/3 yarda = 30,48 cm
= 1/36 di yarda = 2,54 cm
Misure di superficie
unità fondamentale = 0,8361 m2
= 1/9 di sq. yd = 929,03 cm2
= 1/1296 di sq. yd = 6,4516 cm2
yard quadrata (sq. yd)
piede quadrato (sq. ft)
Pollice quadrato (sq. in)
Misure di volume
unità fondamentale = 0,7645 m3
= 1/27 di cu. yd = 28,32 cm3
= 1/46656 di cu. yd = 16,387 cm3
yard cubica (cu. yd)
piede cubica (cu. ft)
Pollice cubico (cu. in)
Misure di capacità
gallone
quarto
pinta
gill
unità fondamentale = 4,55 l
= ¼ di gallone = 1,1375 l
= 1/8 di gallone = 0,569 l
= 1/32 di gallone = 0,142 l
Misure di peso
ton.
cwt.
libbra
oncia
= 20 cwt. = 10,17 q
= 112 libbre = 50,848 kg
unità fondamentale = 0,454 kg
= 1/16 di libbra = 28,35 g
Sistema monetario
Sterlina (Lst)
Scellino (sc)
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unità fondamentale
= 1/20 di sterlina
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Pence (p)
Farthing (far)
= 1/12 di scellino
= 1/4 di pence
Trasformazioni e operazioni con le misure non decimali
Si dice che una misura non decimale è in forma normale, quando i numeri delle singole unità non
superano i fattori di conversione fra le stesse e quelle immediatamente superiori.
Ad esempio la misura non decimale 5h 27m 18s è in forma normale perché 18 è minore di 60, che è
il fattore di conversione tra minuto secondo e minuto primo; 27 non supera 60, fattore di
conversione tra primo e ora; 5 è minore di 24, fattore di conversione tra ora e giorno.
La misura non decimale 29h 85m 94s non è invece in forma normale.
Riduzione a forma normale
Esempio
Ridurre a forma normale la misura non decimale 1g 23h 137m 78s.
Ragionamento: dividendo 78s per 60 otteniamo 1m con resto 18s. Sommando il minuto ottenuto ai
137m si ottengono 138m. Dividendo 138m per 60 otteniamo 2h con resto 18m. Sommiamo le 2h alle
23h ottenendo 25h che sono un giorno con il resto di un’ora. Il numero dei giorni così diventa 2.
Otteniamo, così, la misura in forma normale di 2g1h18m18s.
Procedimento numerico:
1𝑔 23ℎ 137𝑚 78𝑠
1𝑔 23ℎ 137𝑚 (1𝑚 + 18𝑠 )
1𝑔 23ℎ (137𝑚 + 1𝑚 )18𝑠
1𝑔 23ℎ 138𝑚 18𝑠
1𝑔 23ℎ (2ℎ + 18𝑚 )18𝑠
1𝑔 (23ℎ + 2ℎ )18𝑚 18𝑠
1𝑔 25ℎ 18𝑚 18𝑠
1𝑔 (1𝑔 + 1ℎ )18𝑚 18𝑠
(1𝑔 + 1𝑔 )1ℎ 137𝑚 78𝑠
2𝑔 1ℎ 18𝑚 18𝑠
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Riduzione di una misura non decimale all’unità di ordine inferiore e superiore
Esempio
Ridurre la misura non decimale 2h 20m 13s in minuti secondi e in ore.
2ℎ 20𝑚 13𝑠 = 2 ∙ 3600 + 20 ∙ 60 + 13 = 8413𝑠
2ℎ 20𝑚 13𝑠 = 2 +
20
13
7200 + 1200 + 13
8413 ℎ
+
=
=(
)
60 3600
3600
3600
Riduzione a misura non decimale di una misura di unità di un dato ordine
Ridurre in misura non decimale, la misura di un angolo di 215.138 secondi.
Dividendo 215.138 per 60 si ottiene 3585 come quoziente e 38 come resto. Il resto rappresenta i
secondi del numero non decimale. Dividendo ulteriormente 3585 per 60 si ottiene 59 come
quoziente, che sono i gradi, e 45 come resto che sono i primi. Pertanto si ha:
215.138" = 59° 45′ 38"
Riduzione di una misura non decimale in misura decimale
Qualche volta, soprattutto in problemi di meccanica, si ha la necessità di esprimere una misura non
decimale con una decimale. Ad esempio vogliamo calcolare la velocità media di un corpo che compie
180 km in 2h37m16s. Sappiamo che la velocità di un corpo è data dallo spazio diviso il tempo.
Pertanto per fare tale rapporto è necessario trasformare la misura non decimale del tempo in una
decimale
2ℎ 37𝑚 16𝑠 = 2 +
37
16
+
= 2,621
60 3600
La velocità del corpo sarà:
𝑣=
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180 𝑘𝑚
= 68,676𝑘𝑚/ℎ
2,621ℎ
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Operazioni elementari con le misure non decimali
a) Addizione
Date due o più misure non decimali, per addizionarle, si incolonnano e si addizionano le unità
dello stesso ordine. Il numero non decimale ottenuto si trasforma in forma normale se non lo
è.
Esempio
3g 21h 35m 44s +
7g 16h 51m 18s =
_________________
10g 37h 86m 62s
forma non normale
g
h
m
s
11 14 27 2
forma normale
b) Sottrazione
Date due misure non decimali, per trovare la loro differenza, si incolonna il sottraendo sotto il
minuendo e si sottrae da ogni numero delle unità del minuendo il numero corrispondente del
sottraendo eventualmente prendendo a prestito una unità immediatamente superiore.
Esempio
97° 73’ 88” 41° 33’ 49” =
____________
56° 40’ 39”
c) Moltiplicazione di un numero non decimale per un numero intero
Si moltiplica il numero intero per i numeri delle singole unità della misura non decimale. Il
numero non decimale ottenuto si trasforma in forma normale se non lo è.
Esempio
5g 13h 37m 12s x
7 =
_________________
35g 91h 259m 84s
38g 23h 20m 24s
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10
forma non normale
forma normale
Per moltiplicare due misure non decimali bisogna convertire le due misure all’unità inferiore,
moltiplicare i due numeri ottenuti e riconvertire il prodotto nella forma normale della misura non
decimale.
d) Moltiplicazione di un numero non decimale per un numero intero
Si dividono i numeri delle unità della misura non decimale per il numero intero, cominciando
dall’unità maggiore, tenendo presente che i resti della divisione, moltiplicati per i relativi fattori
di conversione, vanno sommati ai numeri delle unità inferiori.
Esempio
7g
____6g___
13h
47m
56s : ________6___________
1g 6h 17m 59s
1X24 = 24h__
37h
__36h___
1X60 =
_60m__
107m
__102m__
5X60 =
_300s_
356s
___354s___
2s
Talvolta occorre conoscere il rapporto tra due angoli o fra due intervalli di tempo espresso in forma
non decimale. Per fare ciò è opportuno convertire i numeri all’unità inferiore ed eseguire la divisione
con l’approssimazione desiderata ottenendo un numero razionale.
Esempio
Determinare il rapporto tra gli angoli 67° 17’ 58” e 12° 24’ 35” .
Convertiamo all’unità inferiore:
67° 17’ 58” = (67x3600 + 17x60 + 58)” = 242278”
12° 24’ 35” = (12x3600 + 24x60 + 35)” = 44675”.
PROF. GIUSEPPE FRASSANITO
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Facciamo quindi la divisione fra i numeri trovati:
242278 : 44675 = 5,423…
Bibliografia: C. Bettella – A. Marri Corso di Matematica vol. 1
PROF. GIUSEPPE FRASSANITO
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