Properties of the edge of the Laughlin liquid - ETH E

18S5
6. N nv. 1995
Diss. ETH No.
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Low-temperature phase diagrams of quantum lattice systems
and
Properties
of the
edge
of the
Laughlin liquid
A dissertation submitted to the
SWISS FEDERAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY ZURICH
for the
degree
of
Doctor of Natural Sciences
presented by
Nilanjana Datta
M.Sc. in Physics, from Jadavpur University, Calcutta, India
born
on
21.12.'62
citizen of India.
accepted
the recommendation of
Jurg Frohlich, examiner
Rudolf Morf, coexaminer
Prof.
Dr.
on
1995.
ABSTRACT
PART I: This part of the thesis
concerns
the
study
temperature phases of quantum lattice systems in
of
ground states
statistical mechanics,
and lowin d > 2
dimensions. The Hamiltonians of such systems have the form
H(X)
where H0 is
a
=
Ho + V(\),
classical Hamiltonian and
the
V(A)
quantum perturbation, A being
that if the classical Hamiltonian, Ho, has
is
a
perturbation parameter. We prove
regular zero-temperature phase diagram, involving a finite number of periodic
ground states, then the addition of a small quantum perturbation and increasing the
temperature produce only smooth deformations of its phase diagram. The quantum
perturbation can involve bosons or fermions and can be of infinite range as long
as it decays exponentially. For fermions, the perturbation must be given by sums
of monomials of even degree in creation and annihilation operators. Our analysis
is based on an extension of Pirogov-Sinai theory to contour expansions in d + 1
a
dimensions obtained
by
iteration of the Duhamel formula.
When the classical Hamiltonian Ho has
infinitely many ground states, the above
theory cannot be applied. To circumvent this problem we construct a unitary con¬
jugation bringing H(X) into a form that enables us to find its low-energy spectrum
(to some finite order > 1 in A) and to understand how the perturbation XV lifts
the degeneracy of the ground state energy of Ho. Our main tool is a generalization
of a form of Rayleigh-Ritz analytic perturbation theory analogous to Nekhoroshev's
form of classical perturbation theory.
filling
v
approximated by
1/m (where m is an
integer)
the Laughlin wave function. In Part II of the thesis the properties of the Laughlin
state corresponding to the filling factor v
1/3 are analyzed. The single particle
distribution and the energy per particle in this state are evaluated. For systems
with a small number (N < 8) of particles, exact numerical calculations are done.
For larger systems (N < 196) Monte Carlo calculations are employed. Both these
studies indicate a significant non-uniformity in the single particle density, which
manifests itself as a distinct peak near the edge of the Laughlin droplet. This
observed non-uniformity at the edge of the electron distribution is found to be a
PART II: The
factor
ground
state of
a
quantum Hall system corresponding
to
a
is known to be well
odd
=
=
result of electron-electron correlations in the quantum Hall system. The model
considered consists of a hole of arbitrary size in an infinitely extended quantum Hall
fluid. The
hole
properties
of the two-dimensional electron system
similar to that
near
the
edge
of the
edge of a Laughlin droplet. This is verified
analyses
using
Laughlin state in an annulus. The correlation
functions of the electrons in the above model are obtained by numerically solving
the generalized hypernetted chain equations and the surface energy per unit length
of the edge is evaluated.
are
Monte Carlo
near
the outer
of the
RIASSUNTO
PARTE I: La prima parte di questa tesi di dottorato
stato fondamentale
e
delle fasi
a
nell'ambito della mecchanica statistica. H sistema
H(\)
dove Ho rappresenta
tistica.
A
e
un
=
l'Hamiltoniano classico ha
quantistici
rappresentato da
e
reticolari
H0 + V(X),
Hamiltoniano classico
il parametro di
consacrata alio studio dello
e
bassa temperatura di sistemi
perturbazione.
diagramma di
V(X)
e
una
perturbazione
quan-
In questo lavoro dimostriamo che
fase
se
regolare temperatura zero,
prendente un numero finito di stati fondamentali periodici, allora l'aggiunta di una
piccola perturbazione quantistica e un aumento della temperatura producono una
deformazione lieve del diagramma di fase. La perturbazione quantistica puo coinvolgere fermioni o bosoni e puo essere di estensione infinita se smorzata esponenziaknente. Per i fermioni questa perturbazione deve essere una somma di monomi
di grado pari in operatori di creazione e distruzione. La nostra analisi si basa su
un'estensione a. d + 1 dimensioni della teoria di Pirogov-Sinai ottenuta iterando la
formula di Duhamel. Quando 1'Hamiltoniano classico possiede infiniti stati fonda¬
mentali, la teoria mensionata sopra non puo essere applicata. Per evitare questo
problema abbiamo costruito una coniugazione unitaria capace di trasformare H(X)
in una forma che permette lo studio dello spettro a bassa energia e l'effetto di XV
sulla degenerazione dello stato fondamentale di Ho. U nostro strumento di lavoro
principale e una generalizzazione della teoria delle perturbazioni di Rayleigh-Ritz in
analogia con la teoria classica delle perturbazioni di Nekhoroshev.
un
PARTE II: Lo stato fondamentale di
un
a
com-
quantistico di Hall corrisponde
sistema
un numero dispari) ed e ap1/m (dove
prossimato da una funzione d'onda di Laughlin. Nella seconda parte di questa tesi
di dottorato vengono studiate le proprieta degli stati di Laughlin corrispondenti
al fattore di riempimento v
1/3. La distribuzione di una particella e l'energia
per particella in questo stato sono valutate. Per sistemi con un numero piccolo di
particelle (N < 8) analisi numeriche esatte sono ottenute. Per sistemi phi ampi
(N < 196) metodi di Monte Carlo sono impiegati. Entrambe queste analisi indicano
chiaramente un'inomogeneita, della densita di particella, che si manifesta con un
picco vicino all'angolo della goccia di Laughlin. Quaesta inomogeneita e il risultato
a
un
fattore di
riempimento
u
m
=
e
=
della correlazione elettrone-elettrone nel sistema
consideriamo consiste in
mente esteso. Le
dell'angolo del
Questo fatto e
in
un
un
buco di
proprieta del
buco
sono
simili
grandezza
quantistico
arbitraria in
sistema elettronico
a
verificato tramite
quelle nell'angolo
una
a
di Hall. II modello che
un
fluido di Hall infinita-
due dimensioni nella vicinanza
esterno della
goccia di Laughlin.
Laughlin
analisi di Monte Carlo dello stato di
anello. La funzione di correlazione dell'elettrone in questo modello
numericamente.
e
ottenuta