Cap.1 Misure ed unità di misura

Corso di Fisica AA 2013-14
Cap.1
Cap.1 Misure ed unità di misura
La misura
In Fisica, l'osservazione di un fenomeno non è completa se non sono quantificate le
grandezza fisiche coinvolte. Per quantificare una grandezza fisica (cioè associarvi un numero)
bisogna misurarla. La misura associa un numero ad una grandezza fisica per confronto con una
campione di riferimento, l'unità di misura. La misura consiste quindi nello scegliere una opportuna
unità di misura e nel contare con un appropriato strumento quante volte l’unità di misura è
contenuta nella grandezza da misurare.
Ad esempio, per misurare una distanza:
1) sceglieremo l'unità di misura della lunghezza (metro, centimetro, pollice ecc...);
2) sceglieremo uno strumento (righello, bindella, ecc...) ed infine
3) conteremo con lo strumento quante unità sono contenute nella lunghezza da misurare.
Similmente, per misurare un intervallo di tempo potremmo prendere come unità di misura il periodo
di oscillazione di un pendolo, e con uno strumento che conti il numero di oscillazioni del pendolo
(orologio a pendolo) misureremo la durata dell’intervallo.
Errori di misura
In pratica però tutte le misure sono affette da errori più o meno grandi. L'errore di misura
deve essere il più piccolo possibile per avere misure precise, ma non potrà mai essere
completamente eliminato. Si hanno due tipi di errori di misura: gli errori sistematici e gli errori
casuali.
Errore sistematico. E’ quel tipo di errore che si presente con le stesse caratteristiche quando
le misure sono effettuate nelle medesime condizioni. Consideriamo l'orologio a pendolo: la
lunghezza di un pendolo e quindi il periodo di oscillazione varia con la temperatura. Quindi avremo
misure diverse dello stesso intervallo di tempo a seconda della temperatura ambientale. Anche molti
componenti elettronici sono sensibili alla temperatura, e può capitare che uno strumento fornisca
misure differenti della stessa quantità se le misure sono effettuate a temperature differenti.
Vediamo con un esempio come si possono ridurre gli errori sistematici. Immaginiamo di
avere una bilancia elettronica sensibile alla temperatura. Se è possibile misurare la temperatura
durante l’esperimento e si conosce come la temperatura influenza la misura (questo dato potrebbe
essere fornito dai costruttori dell’apparecchio), allora è possibile eliminare questo tipo di errore
sistematico. Nell’esempio in fig.1, questo avviene ricavando dalla curva relativa alla temperatura
corrente T il peso reale dal peso misurato.
Corso di Fisica AA 2013-14
Cap.1
Fig.1 (dati fittizi) Curve ricavate misurando pesi noti a diverse temperature con una bilancia
elettronica. Con tali curve si può eliminare l'errore sistematico causato dalla sensibilità
dell'apparecchio alla temperatura T se durante la misura T è nota. Ad esempio, se a T= 60° si
misura un peso di 40 kg, si può ricavare dal grafico che il peso reale è in effetti di quasi 58 kg.
Se non si conosce la temperatura a cui avvengono le misure, o non sono disponibili i grafici
dell’errore in funzione delle temperatura, si può procedere calibrando lo strumento prima della
misura. Per calibrare bisogna effettuare almeno due misure di grandezze note. Nel caso della
bilancia queste possono essere due pesi campioni (calibri) forniti dal costruttore, dei quali è noto il
peso con grande precisione. Dalle due misure è quindi possibile ricavare una curva di calibrazione
con cui correggere le misure successive.
Fig.2 Calibrazione della bilancia prima della misura. Nell’esempio, si misurano due pesi noti
(calibri) di 20 e 80 kg nelle stesse condizioni in cui si effettueranno le successive misure. Se la
relazione tra peso reale e peso misurato è lineare, possiamo disegnare una retta con cui
correggere la misura, sempreché i pesi successivamente misurati siano compresi tra i due valori
di calibrazione.
Corso di Fisica AA 2013-14
Cap.1
Errore casuale. A differenza dell'errore sistematico, l'errore casuale si presenta con
caratteristiche sempre diverse anche ripetendo la misura esattamente nelle medesime condizioni.
Può essere causato dal rumore elettronico delle apparecchiature, da errori di osservazione dello
sperimentatore, ecc. La natura casuale di questo tipo di errore fa si che generalmente errori positivi
si alternino ad errori negativi in modo imprevedibile e che quindi su più misurazioni il valor medio
dell'errore sia nullo. In tal caso si può ridurre l’errore casuale ripetendo la misura più volte e
mediando tra loro le misure. La media degli errori tende a zero all'aumentare del numero di
osservazioni.
15 osservatori misurano con un cronometro la durata di una oscillazione di un pendolo. Il valore
teorico è di 3.248 s. A causa di errori casuali non trascurabili, gli osservatori misurano un
periodo sensibilmente diverso da quello vero. Mediando tra loro le misurazioni gli errori tendono
a compensarsi e la misura media (3.285 sec) non si discosta molto dal valore vero.
Esempio: Misura di Potenziali Evocati, EP (Evoked Potential)
Una misura fisiologica affetta da un enorme errore casuale è il potenziale evocato, EP. Si tratta della risposta del
sistema nervoso centrale ad uno stimolo sensoriale (uditivo, visivo, o altro). Viene misurato come attività elettrica sullo
scalpo. Lo strumento di misura rileva anche l’attività elettroencefalografica EEG che si sovrappone al segnale EP
cancellandolo quasi completamente. Se però si misurano M risposte ad altrettanti stimoli, e si mediano le risposte, nel
segnale mediato l’attività EEG (casuale) tende ad azzerarsi, mentre la risposta EP rimane inalterata.
da: http://engr.smu.edu/~cd/EE5340/lect12.pdf
Corso di Fisica AA 2013-14
Cap.1
Perturbazioni indotte dalla misura sul sistema da misurare.
Un ulteriore problema legato alla misura è il rischio di perturbare il sistema da misurare1.
Se misuriamo la temperatura di un corpo con un normale termometro a mercurio, questo cederà o
acquisterà calore a contatto col corpo, modificandone la temperatura. Bisogna quindi prestare
attenzione a non perturbare la grandezza da misurare mentre si effettua la misura.
Questo tipo di problema diviene particolarmente importante quando si misurano grandezze
fisiologiche in pazienti. Infatti a volte la vista delle apparecchiature di misura, la loro applicazione
sul paziente, o semplicemente l’ambiente in cui si effettuata la misura, possono indurre reazioni di
allerta che attivano il sistema nervoso vegetativo e di conseguenza modificano la grandezza da
misurare. Un classico esempio è il cosiddetto white-coat effect (reazione da camice bianco). In
alcuni soggetti è sufficiente la vista del camice bianco del medico o dell’infermiera che viene a
misurare la pressione arteriosa per attivare una reazione “difensiva” che provoca tachicardia ed
aumento di pressione. A causa di ciò, a tali soggetti può essere erroneamente diagnosticata una
malattia ipertensiva.
Unità di misura.
In passato sono state definite molte unità di misura differenti per le stesse grandezze fisiche.
A volte la scelta era dovuta a motivi politici: ad esempio la Gran Bretagna si rifiutò di adottare il
sistema metrico decimale definito su basi razionali nella Francia rivoluzionaria. A volte sono state
scelte certe unità di misura perché più comode di altre quando si usano particolari strumenti (ad
esempio, il barometro di Torricelli ha fatto adottare il millimetro di mercurio, mmHg, come unità di
misura della pressione). Tutto ciò ha portato nel tempo ad una grande confusione: solo per la
pressione sono attualmente in uso 31 unità di misura diverse! I fisici si sono sforzati di unificare le
unità di misura trovando accordi durante varie conferenze internazionali.
Si è stabilito innanzitutto di utilizzare 4 grandezze fisiche per definire tutte le rimanenti
grandezze. Queste sono chiamate grandezze fondamentali e sono:
lunghezza
tempo
massa
carica elettrica.
Attenzione: non confondete la massa col peso di un corpo. La massa è una proprietà intrinseca del
corpo. Ovunque ci si trovi (sulla terra, sulla luna, nello spazio in assenza di gravità) la massa del
nostro corpo non cambia. Lo stesso non si può dire del peso, che è una forza.
Le unità di misura delle grandezze fondamentali sono:
Grandezza
Unità di misura
definizione storica
Fisica
metro [m]
decimilionesima parte di un quarto di meridiano terrestre
lunghezza
secondo [s]
1/(24x60x60) volte la durata media della rotazione terrestre
tempo
chilogrammo [kg] massa di 1 litro di acqua distillata a 4 C°
massa
coulomb [C]
carica elettrica di 6.2418x1018 elettroni
carica
elettrica
Queste unità definiscono il sistema MKS (metro-kilogrammo-secondo). In passato si sono definiti
altri sistemi come il sistema cgs (centimetro-grammo-secondo), il sistema Inglese, ed altri sistemi
1
E' in genere possibile effettuare misure su sistemi macroscopici perturbando in maniera irrilevante il sistema. Quando
invece si lavora con particelle elementari (atomi, elettroni, neutroni, ecc) diviene impossibile osservare il sistema senza
perturbarlo. In tal caso si ha bisogno di una particolare struttura teorica della fisica, detta fisica quantistica.
Corso di Fisica AA 2013-14
Cap.1
che verranno col tempo abbandonati. Spesso però bisogna ancora convertire unità di misura da
sistemi diversi. Si vedano gli esempi seguenti.
Esempio 1. Dal sito NBA risulta che l'altezza del
giocatore Yao Ming è 7 piedi [ft] e 5 pollici [in].
Esprimere altezza del cestista nel sistema MKS.
Indichiamo le unità di misura tra parentesi quadre.
L'altezza h è:
h=7 [ft]+ 5[in]
Le tabelle di conversione indicano che:
a)
1 [ft] = 0.3048 [m]
b)
1 [in]= 2.54 [cm]
conversione da [cm] a [m] è:
Dobbiamo però esprimere i pollici in metri. La
c)
1[cm]=10-2 [m]
Sostituendo l'espressione per [cm] della uguaglianza c) nella b) otteniamo:
b')
1 [in]= 2.54 x 10 -2 [m] =0.0254
h =7x 0.3048 [m]+ 5x 0.0254[m]
=2.1336[m]+0.127[m]
=2.26 [m]
Esempio 2.
Per il collegamento satellitare ad Internet intendete dotarvi di un’antenna parabolica. La
legislazione italiana impone che la potenza emessa per unità di superficie non superi 0.10 [W][m]-2
se l'antenna è installata in un ambiente chiuso. La vostra antenna parabolica ha un diametro D di
10 cm ed emette una potenza P pari a 10 mW. La potete tenere in casa o la dovete installare sul
tetto?
Calcoliamo la potenza emessa per unità di superficie. L'area A della "parabola" è π(D/2)2 cioè 78.5
cm2. La potenza P per unità di superficie è quindi
P/A=10/78.5=0.1274 [mW][cm]-2.
Esprimiamo questa potenza in unità MKS
1 [mW]= 10 -3 [W]
1 [cm]= 10-2 [m]. Elevando al quadrato entrambi i membri dell'equazione:
12 [cm]2=(10-2)2 [m]2 cioè
1 [cm]2=10-4 [m]2
Se due termini sono uguali, lo saranno anche i loro inversi, e quindi:
1/(1[cm] 2)=1/(10 -4 [m]2) cioè
1[cm]-2=104 [m]-2
Sostituendo 1 [mW] ed 1[cm]-2 nella espressione di P/A abbiamo:
P/A=0.1274 [mW][cm]-2=
=0.1274x10-3 [W] x10 4 [m]-2=
= 1.274 [W][m]-2.
L'antenna dovrà quindi essere montata sul tetto.
Corso di Fisica AA 2013-14
Cap.1
Calcolo dimensionale
Le unità di misura delle 4 grandezze fondamentali nel sistema MKS sono: [m], [kg], [s], [C]. Le
altre grandezze fisiche sono derivabili da queste 4 e le unità di misura sono espresse da una
combinazione del tipo:
[m]a[kg]b[s]c[C]d
dove gli esponenti a,b,c, e d sono numeri razionali, positivi o negativi. Vediamo alcuni esempi
anticipando definizioni che vedremo in dettaglio più avanti nel corso.
Velocità. E' definita dal rapporto distanza percorsa/ tempo impiegato. Le unità di misura di
distanza e tempo sono [m] e [s]. Quindi l'unità di misura della velocità è [m] / [s] cioè: [m][s]-1.
Accelerazione. E' definita come variazione di velocità/ tempo impiegato. Poiché la velocità si
misura in [m][s]-1, l'accelerazione si misura in [m][s]-2.
Superficie e Volume. Si misurano rispettivamente in metri quadri e metri cubi: [m]2 e [m]3.
Densità. E' definita come massa/volume. Poiché l'unità di volume è [m]3, la densità si misura in
[kg][m]-3.
Forza. E' definita come massa x accelerazione. Quindi: [kg][m][s]-2. Questa unità è detta Newton
[N].
Peso. E’ una forza, data dal prodotto della massa del corpo per l’accelerazione gravitazionale a cui
il corpo è sottoposto. Nel sistema MKS l’unità di misura del peso è quindi quella di una forza: il
Newton o [kg][m][s]-2.
Sulla Terra l’accelerazione gravitazionale è di 9.8 [m][s]-2. Pertanto un corpo di massa pari a 70
[kg] sulla Terra pesa 70x9.8= 686 [N]. Bisogna stare attenti al fatto che NELLA PRATICA
QUOTIDIANA si usa un’unità di misura differente che si chiama CHILOGRAMMO, o più
propriamente CHILOGRAMMO-PESO, [Kgp]. Questo non è da confondere con l'unità di misura
della massa nel sistema MKS che si chiama anch'essa chilogrammo, [kg]! Infatti massa e peso sono
grandezze differenti. Il chilogrammo-peso è definito come il peso che ha sulla Terra un corpo di
massa pari a 1 [kg]. Poiché nel sistema MKS un corpo di massa 1 [kg] pesa 9.8 N, abbiamo che 1
[kgp]= 9.8 [N]. Quindi sulla Terra un corpo di massa 70 [kg] pesa 70 [kgp] o 686 [N].
Pressione. E’ definita come forza/superficie, quindi [N][m]-2, o [kg][m]-1[s]-2. Questa unità è detta
Pascal [Pa].
Lavoro. E’ il prodotto forza x spostamento. Le unità sono [N][m] o [kg][m]2[s]-2. Questa unità è
detta Joule [J].
Potenza. E’ il lavoro svolto nell’unità di tempo. Quindi le unità sono [J][s]-1 o [kg][m]2[s]-3. Questa
unità è detta Watt [W].
Quiz.
In base solo a considerazioni di calcolo dimensionale, quale delle due espressioni seguenti non può
esprimere una relazione fisica?
a) mv2-2mgh=0
b) mv2-2gh=0
dove m=massa; v=velocità; g=accelerazione di gravità; h=altezza
Corso di Fisica AA 2013-14
Cap.1
Prefissi usati per definire i multipli delle unità MKS (in grassetto sono indicati i più usati)
yotta
zetta
exa
peta
tera
giga
mega
kilo
hecto
deca
deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
[Y] 1 000
[Z] 1 000
[E] 1 000
[P] 1 000
[T] 1 000
[G] 1 000
[M] 1 000
[k] 1 000
[h] 100
[da]10
1
[d] 0.1
[c] 0.01
[m] 0.001
[µ] 0.000
[n] 0.000
[p] 0.000
[f] 0.000
[a] 0.000
[z] 0.000
[y] 0.000
000
000
000
000
000
000
000
001
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
001
000
000
000
000
000
000
000
000
000
000
001
000
000
000
000
000 000 000 000
000 000 000
000 000
000
001
000
000
000
= 1024
= 1021
= 1018
= 1015
= 1012
(miliardo)
(milione)
(migliaio)
(millesimo)
(milionesimo)
(miliardesimo)
= 10-12
= 10-15
001
= 10-18
000 001
= 10-21
000 000 001
= 10-24
Esercizi
1) Un'auto viaggia a 70 km all'ora. Qual è la sua velocità nel sistema MKS?
2) La bilancia indica che una persona pesa 64 chilogrammi (si tratta di chilogrammi-peso [kgp]).
Qual è il peso della persona in Newton?
3) La persona di prima si appoggia con tutto il proprio peso su di una superficie di 20 cm2. Quindi
la pressione che essa esercita sulla superficie è Peso/Superficie= 64/20 [kgp][cm]-2. Indicare la
pressione in Pascal.
Nota sul sistema Sistema di Unità Internazionale (SI).
Il “Sistema Internazionale”, o SI, riunisce un insieme di regole e trattati internazionali per unificare i sistemi di misura.
Nasce dal trattato Convention du Mètre, firmato a Parigi nel 1875. Viene aggiornato periodicamente durante le riunioni
della Conférence Générale des Poids et Mesures : la XXIII conferenza è stata tenuta nel 2007.
Le conferenze del sistema SI hanno nel tempo esteso ed aggiornato il sistema MKS. Attualmente sono riconosciute 7
unità fondamentali:
metro;
chilogrammo;
secondo;
ampere (è l’unità di misura della corrente elettrica, e sostituisce il Coulomb come unità fondamentale);
Kelvin (per la temperatura);
mole (per la quantità di una sostanza);
candela (per la luminosità);
Per ulteriori dettagli si veda: http://www.unc.edu/~rowlett/units