Tema d`anno Antonio Tricarico [20009708]

CORSO DI
“MECCANICA DEL VEICOLO”
A.A. 2013/2014
Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica
TEMA D’ANNO
“Sviluppo di una GUI in ambiente Matlab per la simulazione del
comportamento direzionale di un veicolo e per l’elaborazione di
dati da files *.txt”
Docente:
Prof. Ing. Giulio Reina
Studente:
Antonio Tricarico
n° matricola: 20009708
INDICE
1.1
Sistemi di coordinate e di forze dello pneumatico.
3
1.2
Sistemi di coordinate e di forze del veicolo.
4
1.3
Modello dinamico.
1.3.1 Risposta del veicolo ad un colpo di sterzo.
1.3.2 Risposta del veicolo ad un input di sterzo di tipo sine-sweep.
6
12
20
2.1
Stima dei parametri caratteristici di uno pneumatico da dati sperimentali.
2.1.1 Elaborazione di dati sperimentali.
29
32
3.1
Comparazione tra dati sperimentali e dati calcolati.
39
3.2
Calcolo dell’angolo di sterzo desiderato per differenti configurazioni.
Poli e zeri della funzione di trasferimento del sistema.
45
Modelli non lineari.
52
3.3
BIBLIOGRAFIA
66
2
1.1 Sistemi di coordinate e di forze dello pneumatico.
L’orientazione dello pneumatico1 è definita mediante gli angoli di camber ϒ e di deriva α
(Figura 1.1): l’angolo di camber (Figura 1.2) è l’angolo, misurato intorno all’asse x, compreso tra il
piano dello pneumatico ed il piano perpendicolare al terreno, mentre l’angolo che l’asse x forma
con il vettore velocità è detto angolo di deriva (Figura 1.3) ed è misurato intorno all’asse z.
Figura 1.1: Sistemi di coordinate e di forze dello pneumatico.
Figura 1.2: Angolo di camber.
1
Figura 1.3: Angolo di deriva.
“Vehicle Dynamics – Theory and Application”, R.N.JAZAR, Spring, (2008).
3
Il sistema di forze di uno pneumatico (Figura 1.4) è posizionato nel suo centro ed è scomposto
lungo i tre assi secondo la seguente modalità:
•
•
•
•
•
•
Forza longitudinale Fx, che agisce lungo l’asse x ed è positiva se il veicolo accelera e
negativa se il veicolo frena;
Forza normale Fz, normale alla superficie stradale;
Forza laterale Fy, tangente alla superficie stradale e perpendicolare sia a Fx che ad Fz;
Momento di rollio Mx, che rappresenta un momento longitudinale intorno all’asse x;
Momento di beccheggio My, che rappresenta un momento laterale intorno all’asse y;
Momento di imbardata Mz, il quale agisce intorno all’asse z.
Figura 1.4: Forze e momenti agenti su uno pneumatico.
1.2 Sistemi di coordinate e di forze del veicolo.
Il sistema di riferimento2 da cui prenderà le mosse la presente trattazione è quello mostrato in
Figura 1.5, nel quale l’asse longitudinale del veicolo è l’asse x, l’asse laterale è indicato con y e
l’asse verticale, indicato con z, è diretto ortogonalmente al terreno.
Tale sistema di coordinate definisce altresì la direzione delle velocità di rollio (p), di beccheggio (q)
e di imbardata (r), cui corrispondono i seguenti angoli:
•
•
•
2
angolo di rollio ϕ, intorno all’asse x;
angolo di beccheggio θ, intorno all’asse y;
angolo di imbardata ψ, intorno all’asse z.
“GNSS for Vehicle Control”, D.BEVLY, S.COBB, Artech House, (2010).
4
Il sistema di coordinate del veicolo definito in precedenza rappresenta un sistema di riferimento
locale, in cui la posizione e l’orientamento sono misurati a partire da un sistema di riferimento
fisso XYZ, così come mostrato in Figura 1.6.
Figura 1.5: Sistema di riferimento per il veicolo in esame
Figura 1.6: Sistema di riferimento globale.
L’angolo di imbardata (ψ) è l’angolo compreso tra una retta parallela all’asse Y e la componente
longitudinale della velocità Vx, mentre l’angolo compreso tra la velocità V e la relativa componente
longitudinale Vx è denominato angolo di assetto (angolo di sideslip) ed è indicato con β.
Inoltre, si definiscono le componenti del sistema di forze che caratterizza il veicolo (Figura 1.7):
•
•
forza di trazione Fx , diretta lungo l’asse x e positiva se il veicolo accelera e negativa nel
caso opposto;
forza laterale Fy , diretta ortogonalmente a Fx e a Fz : tale forza è molto spesso una
•
conseguenza diretta di una manovra di sterzata ed è la causa principale dell’originarsi del
momento di imbardata e della traiettoria curvilinea subita dal veicolo;
forza verticale Fz , perpendicolare al piano stradale.
•
momento di rollio M x , intorno all’asse x;
•
momento di beccheggio M y , intorno all’asse y;
5
•
momento di imbardata M z , intorno all’asse z.
Figura 1.7: Forze agenti su un veicolo.
1.3 Modello dinamico.
In questa trattazione si farà riferimento ad un modello dinamico che utilizza soltanto due gomme
in luogo di quattro, denominato modello a bicicletta o monotraccia (Figura 1.8), il quale si basa su
alcune ipotesi semplificative:
•
•
•
il veicolo ha struttura e sospensioni rigide, motivo per il quale si trascurano i moti verticali,
di beccheggio e di rollio, nonché i trasferimenti di carico associati;
il moto del veicolo avviene su un piano stradale orizzontale, caratterizzato da una
superficie liscia e con coefficiente d’attrito uniforme;
la distribuzione delle masse che costituiscono il veicolo è perfettamente simmetrica, di
conseguenza il baricentro giace sul suo asse longitudinale.
6
Figura 1.8: Modello a bicicletta o monotraccia.
Si indicano con:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
m massa del veicolo;
V velocità del baricentro;
β angolo di assetto, compreso tra l’asse longitudinale della vettura e la tangente alla
traiettoria del baricentro;
l passo del veicolo;
a1, a2 semipasso anteriore e posteriore;
r velocità di imbardata;
Iz momento di inerzia;
αf, αr angoli di deriva pneumatici anteriore e posteriore;
Fyf, Fyr forze laterali pneumatici anteriore e posteriore;
δ angolo di sterzo.
L’angoli di assetto è dato da (1.1):
 vy
 vx
β = tan −1 



(1.1)
mentre i termini αf e αr si calcolano attraverso le espressioni (1.2), (1.3):
(1.2)
(1.3)
7
nell’ipotesi in base alla quale l’angolo di sterzo sia applicato esclusivamente sull’avantreno.
Nel caso in cui β sia molto piccolo è possibile scrivere (1.4), (1.5):
(1.4)
(1.5)
Per bassi valori degli angoli di deriva si assume che le forze laterali Fyf, Fyr che interessano gli
pneumatici anteriore e posteriore varino linearmente con i rispettivi angoli di deriva.
In particolare, la costante di proporzionalità è detta rigidezza di deriva Cα, definita per entrambi gli
pneumatici da Cαf e Cαr, che valgono (1.6), (1.7):
(1.6)
(1.7)
dove i pedici L e R indicano le ruote sinistra e destra.
Per quanto affermato in precedenza, risulta che (1.9), (1.10):
Fyf = −Cαf ⋅ α f
(1.9)
Fyr = −Cαr ⋅ α r
(1.10)
Le forze applicate al modello in oggetto, considerando un angolo di sterzo δ di piccola entità, sono
espresse da (1.11), (1.12), (1.13):
(1.11)
(1.12)
(1.13)
Fy e Mz possono essere approssimate dalle seguenti espressioni (1.14), (1.15):
8
(1.14)
(1.15)
La dipendenza di queste due grandezze dai parametri r, β e δ consente di scrivere:
I coefficienti C e D sono calcolati dalle relazioni (1.16), (1.17), (1.18), (1.19), (1.20), (1.21):
(1.16)
(1.17)
(1.18)
(1.19)
(1.20)
(1.21)
Per il modello in esame è possibile scrivere le equazioni (1.22), (1.23):
9
(1.22)
(1.23)
Il set di equazioni descritto in precedenza consente di descrivere adeguatamente il
comportamento di un veicolo caratterizzato da una velocità longitudinale vx costante, da cui
il che permette di concludere che la velocità laterale vy e la velocità di imbardata r varieranno in
base all’equazione matriciale suddetta.
Considerando l’angolo di sterzo δ come la grandezza in ingresso e vy e r come le grandezze in
uscita, è possibile fare riferimento ad una rappresentazione nello spazio di stato (1.24):
(1.24)
in cui (1.25), (1.26), (1.27):
10
(1.25)
(1.26)
(1.27)
Se si tiene conto che (1.28):
(1.28)
tale modello equivale a quello di seguito riportato (1.29):
(1.29)
Gli autovalori della matrice di stato (A) consentono di verificare se il sistema è stabile, ossia:
•
•
•
se tutti gli autovalori hanno parte reale negativa, il sistema è asintoticamente stabile;
se almeno un autovalore ha parte reale positiva, il sistema è instabile;
in presenza di autovalori aventi parte reale nulla, il sistema può essere instabile.
11
1.3.1 Risposta del veicolo ad un colpo di sterzo.
Si passa ora a studiare la stabilità direzionale di un’autovettura sportiva caratterizzata dai
parametri indicati in Tabella 1, per la quale si considera che il guidatore operi una manovra di
colpo di sterzo (δ’), mantenendo costante la velocità, ossia (1.30):
δ ' ⋅τ t > 0
δ (t ) = 
 0 t≤0
(1.30)
in cui τ è il rapporto di trasmissione dello sterzo.
PARAMETRO
SIMBOLO VALORE UNITÀ DI MISURA
Massa
m
9.919
kN
Momento d’inerzia (asse z)
Iz
570
kgm2
Interasse
l
2.26
m
Semipasso anteriore
a
1.22
m
Rigidezza di deriva anteriore
Cαf
117.24
kN/rad
Rigidezza di deriva posteriore
Cαr
142.72
kN/rad
Rapporto di trasmissione dello sterzo
τ
0.05
Velocità longitudinale
vx
80.5
km/h
Angolo di sterzo guidatore
θ
30
°
Tabella 1: Parametri della vettura.
A tale scopo è stata costruita un’interfaccia grafica in ambiente Matlab che, noti i parametri
caratteristici della vettura, provvede a tracciare gli andamenti dell’angolo di assetto e della
velocità di imbardata, nonché consente di valutare la traiettoria seguita dal veicolo ed il relativo
gradiente di sottosterzo.
L’interfaccia progettata permette inoltre di valutare gli andamenti di altri parametri, tra cui αf, αr,
Fyf, Fyr, ψ e vy e permette altresì di elaborare i dati contenuti in files di estensione *.txt.
L’architettura della GUI è mostrata in Figura 1.9.
Il parametro che definisce il comportamento del veicolo in curva è denominato gradiente di
sottosterzo K*, definito da (1.31)
K* =
mg  Cαr a2 − Cαf a1 
⋅

l  Cαr Cαf

(1.31)
il quale determina il comportamento sottosterzante (K*>0), sovrasterzante (K*<0) o neutro (K*=0)
di una vettura, ossia:
12
Maschera con menu a tendina per la
selezione del veicolo o l’inserimento manuale
dei parametri caratteristici del veicolo e per
il calcolo del gradiente di sottosterzo
Maschera per il calcolo della risposta
del veicolo a manovre di colpo di
sterzo e di sine-sweep e per il
calcolo dell’angolo di sterzo
desiderato
Maschera per l’applicazione di
modelli non lineari (Dugoff, Pacejka)
Push-buttons per l’elaborazione di file *.txt
Figura 1.9: Architettura della GUI.
13
•
•
•
il veicolo è sottosterzante quando tende a percorrere una traiettoria con un raggio di
curvatura maggiore di quello che caratterizza la traiettoria desiderata dal conducente;
il veicolo è sovrasterzante quando tende a percorrere una traiettoria con un raggio di
curvatura minore di quello che caratterizza la traiettoria desiderata dal conducente;
il veicolo è neutro quando tende a percorrere una traiettoria con un raggio di curvatura
che corrisponde all’incirca a quello impostato dal conducente.
Nel caso in esame, risulta
K * ≈ 0.08
deg
g
Di conseguenza, il veicolo è sottosterzante, tendendo ad aumentare il raggio di curvatura.
Gli autovalori della matrice di stato hanno parte reale negativa e valgono:
λ1 ≈ −12.2
λ2 ≈ −25.1
per cui il sistema è asintoticamente stabile.
Gli andamenti dell’angolo di assetto e della velocità di imbardata sono mostrati in Figura 1.10 e in
Figura 1.11.
Figura 1.10: Andamento dell’angolo di assetto.
14
Figura 1.11: Andamento della velocità di imbardata.
Dalla Figura 1.12 si possono valutare i dati relativi al valore a regime della velocità di imbardata e
al suo tempo di salita.
Risulta:
rreg = 0.251
rad
deg
≈ 14.4
s
s
t s = 0.256 s
15
Figura 1.12: Velocità di imbardata a regime e tempo di salita.
La traiettoria seguita dal veicolo è riportata di seguito (Figura 1.13)
Figura 1.13: Traiettoria della vettura.
Nel seguito vengono altresì mostrati gli andamenti relativi a αf, αr, Fyf, Fyr, vy (Figure 1.14, 1.15,
1.16).
16
Figura 1.14: Andamento degli angoli di deriva degli pneumatici anteriore e posteriore.
Figura 1.15: Andamento delle forze laterali per gli pneumatici anteriore e posteriore.
17
Figura 1.16: Andamento della velocità laterale della vettura.
L’interfaccia consente inoltre di valutare gli andamenti suddetti per valori del semipasso anteriore
variabile: il relativo parametro a, in questa analisi, assume valori che vanno da 0.1·l a 0.8·l.
In particolare, le Figure 1.17, 1.18 e 1.19 mostrano come varino l’angolo di assetto, la velocità di
imbardata e la traiettoria seguita dal veicolo per differenti valori del semipasso anteriore.
Figura 1.17: Andamento dell’angolo di assetto al variare del baricentro.
18
Figura 1.18: Andamento della velocità di imbardata al variare del baricentro.
Figura 1.19: Traiettoria della vettura al variare del baricentro.
Dalla curve sopra riportate si evince come all’aumento del semipasso anteriore (i.e. allo
spostamento del baricentro del veicolo verso il retrotreno) corrisponda un aumento del
comportamento sovrasterzante del veicolo, come si può concludere osservando l’andamento del
gradiente di sottosterzo mostrato in Figura 1.20: il valore di K* diminuisce all’aumentare di a, sino
a diventare negativo (condizione di sovrasterzo).
Se K*>0, l’angolo di sterzo che deve essere impostato per percorrere una curva con un dato raggio
cresce all’aumentare della velocità, determinando un comportamento sottosterzante del veicolo,
mentre se K* assume valori negativi l’angolo di sterzo, a parità di raggio, diminuisce all’aumentare
della velocità ed il veicolo mostra un comportamento sovrasterzante (Figura 1.21).
19
Figura 1.20: Andamento del gradiente di sottosterzo al variare del baricentro.
Figura 1.21: Angolo di sterzo in funzione della velocità.
1.3.2 Risposta del veicolo ad un input di sterzo di tipo sine-sweep.
L’analisi della stabilità direzionale del veicolo in esame ha previsto lo studio della risposta ad un
input di sterzo di tipo sine-sweep, ossia di una sinusoide in grado di modificare linearmente nel
tempo la propria frequenza di oscillazione: la legge di movimentazione dello sterzo è uno sweep
sinusoidale variabile da +1.5° a -1.5° e intervallo di frequenza da 0.5 Hz a 5 Hz (Figura 1.22).
Dati i seguenti parametri
20
t start = 0
t end = 3s
f start = 0.5Hz
f end = 5Hz
si ha che l’espressione di f(t) sarà data dall’equazione (1.32):


 f
f (t ) =  f start  end
 f start


1
 tend







t
(1.32)
da cui si ottiene il segnale di input applicato allo sterzo (1.33):
δ = δ ' ⋅ τ ⋅ sin (2πf (t ) ⋅ t )
(1.33)
Figura 1.22: Segnale di input dello sterzo in una manovra di sine-sweep.
Sono stati presi in considerazione i veicoli con le caratteristiche presentate in Tabella 2.
21
PARAMETRO
SIMBOLO VEICOLO A VEICOLO B UNITÀ DI MISURA
Massa
m
1500
1365
kg
Momento d’inerzia (asse z)
Iz
2420
2400
kgm2
Interasse
l
2.54
2.58
m
Semipasso anteriore
a
1.14
0.912
m
Rigidezza di deriva anteriore
Cαf
88
73
kN/rad
Rigidezza di deriva posteriore
Cαr
94
90
kN/rad
Rapporto di trasmissione dello sterzo
τ
0.05
0.05
Velocità longitudinale
vx
90
119.9
km/h
Angolo di sterzo guidatore
θ
30
30
°
Tabella 2: Caratteristiche dei due veicoli soggetti ad una manovra di sine sweep.
La risposta in frequenza della velocità di imbardata è stata ottenuta, per entrambi i veicoli,
mediante il comando bode e i relativi diagrammi di ampiezza e fase sono mostrati in Figura 1.23.
Tale risposta è caratterizzata, come era lecito attendersi, dalla medesima frequenza dell’input di
sterzo sinusoidale considerato.
L’istruzione margin fornisce informazioni sul margine di guadagno e sul margine di fase: per il
veicolo A si ha che il margine di guadagno è pari ad infinito (la fase non raggiunge mai il valore di
-180°), mentre il margine di fase risulta essere uguale a circa 96°; per il veicolo B si ottiene un
margine di guadagno pari ad infinito ed un margine di fase pari a circa 94.4°.
In conclusione, il criterio di stabilità di Bode3 garantisce che, per i due veicoli in esame, la risposta
del sistema allo sweep sinusoidale imposto sia asintoticamente stabile.
3
Il criterio di stabilità di Bode afferma che un sistema è asintoticamente stabile se il margine di guadagno e il margine
di fase sono entrambi positivi. In particolare, un sistema è sufficientemente stabile se il margine di fase è superiore a
30° e il margine di guadagno è maggiore di 20 dB.
22
Figura 1.23 (a): Risposta in frequenza della velocità di imbardata (Veicolo A).
Figura 1.23 (b): Risposta in frequenza della velocità di imbardata (Veicolo B).
Mediante l’interfaccia grafica costruita è stato possibile tracciare gli andamenti per i parametri β,
r, αf, αr, Fyf, Fyr, vy così come mostrato nel seguito (Figure 1.24, 1.25, 1.26, 1.27, 1.28).
23
Figura 1.24 (a) Andamento dell’angolo di assetto (Veicolo A).
Figura 1.24 (b) Andamento dell’angolo di assetto (Veicolo B).
24
Figura 1.25 (a) Andamento della velocità di imbardata (Veicolo A).
Figura 1.25 (b) Andamento della velocità di imbardata (Veicolo B).
25
Figura 1.26 (a): Andamento degli angoli di deriva (Veicolo A).
Figura 1.26 (b): Andamento degli angoli di deriva (Veicolo B).
26
Figura 1.27 (a): Andamento delle forze laterali degli pneumatici anteriore e posteriore (Veicolo A).
Figura 1.27 (b): Andamento delle forze laterali degli pneumatici anteriore e posteriore (Veicolo B).
27
Figura 1.28 (a) Andamento della velocità laterale (Veicolo A).
Figura 1.28 (b) Andamento della velocità laterale (Veicolo B).
28
2.1 Stima dei parametri caratteristici di uno pneumatico da dati
sperimentali.
Le forze longitudinali che si sviluppano durante il moto di un veicolo derivano dai fenomeni di
deformazione e scorrimento che si sviluppano nella zona di contatto tra pneumatico e manto
stradale.
La generazione di tali forze può essere descritta in maniera molto accurata mediante lo
scorrimento dello pneumatico S, definito come (2.1):
S =−
(V − ωReff )
V
(2.1)
in cui:
•
•
V è la velocità di traslazione del centro dello pneumatico;
ω e Reff rappresentano, rispettivamente, la velocità angolare e il raggio effettivo dello
pneumatico, quest’ultimo definito come il rapporto tra V e ω.
Differenti modelli, sviluppati da dati empirici, sono stati utilizzati al fine di descrivere la relazione
che intercorre tra la forza longitudinale e lo scorrimento dello pneumatico, noti alcuni parametri
quali le caratteristiche degli pneumatici, le condizioni del manto stradale, l’entità della forza
normale ed altri fattori, tra i quali l’angolo di camber4.
La relazione suddetta è del tipo mostrato in Figura 2.1: per bassi valori di scorrimento, la forza
cresce linearmente secondo la relazione (2.2):
Fx = C x ⋅ S
(2.2)
in cui la grandezza Cx rappresenta la rigidezza longitudinale dello pneumatico.
All’aumentare dello scorrimento avviene che la forza aumenta meno rapidamente rispetto allo
scorrimento stesso sino al raggiungimento di un valore di picco, dopo il quale la forza decresce: il
valore di picco è tanto più elevato e spostato verso valori di scorrimento maggiori quanto più
elevato è il coefficiente di attrito massimo μ.
4
“ Tyre modelling for use in vehicle dynamics studies”, E.BAKKER, L.NYBORG, H.B.PACEJKA, Society of Automotive
Engineers, Warrendale, PA (1987).
29
Figura 2.1: Relazione tra forza longitudinale e scorrimento.
In questo contesto, la misura dello scorrimento dello pneumatico si configura come un processo di
fondamentale importanza per quanto concerne molti sistemi di controllo5, tra cui i sistemi antilock brake system (ABS) e electronic stability control (ESP) e, come sarà evidenziato nel prosieguo,
le informazioni sulla velocità ottenute mediante il ricorso ad un sistema GPS e ad appositi sensori
possono essere atte a questo scopo.
Indicate con Fxf e Fxr le forze longitudinali degli assi anteriore e posteriore e trascurando la
resistenza al rollio, la resistenza aerodinamica e l’angolo di inclinazione, è possibile scrivere (2.3):
Fxf + Fxr = m ⋅ a x
(2.3)
in cui m è la massa del veicolo e ax indica l’accelerazione longitudinale.
Se la relazione tra Fx e S è considerata lineare, si può affermare che (2.4):
Fxf + Fxr = Fx = C ⋅ x ⋅ S = −C x
(V − ωReff )
V
= m ⋅ ax
(2.4)
Denominata con i la i-esima rilevazione del sistema GPS e con t l’intervallo da due rilevazioni
successive, l’accelerazione longitudinale è calcolata mediante l’espressione (2.5):
5
“ Calculating Longitudinal Wheel Slip and Tire Parameters Using GPS Velocity”, S.L.MILLER, B.YOUNGBERG, A.MILLIE,
P.SCHWEIZER, J.C.GERDES, Proceedings of the American Control Conference, (2011).
30
a (i ) =
V (i + 1) − V (i )
t
(2.5)
da cui risulta che (2.6):
a (i ) =
1  Reff ω (i ) − V (i ) 

Cx 
m 
V (i )

(2.6)
Definendo P come (2.7):
P=
ω (i )
(2.7)
V (i )
si può scrivere che (2.8):
a(i) =
1
C x (Reff P(i ) − 1)
m
(2.8)
Tale espressione rappresenta una retta di equazione y=px+q, come si può evincere osservando
l’equazione (2.9):
a (i ) =
C x Reff
m
P (i ) −
Cx
m
(2.9)
I coefficienti p e q sono espressi di conseguenza da (2.10), (2.11):
p=
C x Reff
q=−
m
Cx
m
(2.10)
(2.11)
31
Mediante tali coefficienti è dunque possibile ricavare la rigidezza longitudinale Cx e il raggio
effettivo di rotolamento Reff (2.12), (2.13):
C x = −q ⋅ m
(2.12)
p⋅m
Cx
(2.13)
Reff =
Il sistema GPS e appositi sensori provvedono a fornire i dati relativi ad a(i) e a P(i), il che consente
di ricavare i parametri della retta (i.e. il coefficiente angolare p e l’intercetta q) tramite un
algoritmo ai minimi quadrati, ottenendo in tal modo le grandezze di interesse.
2.1.1 Elaborazione di dati sperimentali.
Le considerazioni espresse nel paragrafo precedente sono state applicate ad un set di dati, nel
quale sono riportate le misurazioni di velocità, effettuate da un sistema GPS, e di velocità angolare
degli pneumatici, ottenute mediante appositi sensori.
Si hanno a disposizione tre files *.txt, per ciascuno dei quali sono riportati dati relativi a:
•
•
•
data_hw1: tempo (s), velocità (m/s), velocità di imbardata (deg/s), accelerazione
longitudinale (m/s2);
data_hw2a: tempo (s), velocità rilevata (m/s), velocità angolare pneumatico (rad/s);
data_hw2b: tempo (s), velocità rilevata (m/s), velocità angolare pneumatico (rad/s).
In allegato alla presente relazione è riportato il codice elaborato in ambiente Matlab che ha
permesso di tracciare l’andamento delle grandezze caratteristiche sopra menzionate.
In particolare, per il primo set di dati, relativo ad una vettura che ha eseguito una manovra di
slalom, sono stati ricavati i grafici mostrati nelle Figure 2.2 (velocità del veicolo), 2.3 (velocità di
imbardata), 2.4 (accelerazione del veicolo), 2.5 (angolo di imbardata), 2.6 (accelerazione
longitudinale).
32
Figura 2.2: Andamento della velocità del veicolo per il primo set di dati.
Figura 2.3: Andamento della velocità di imbardata per il primo set di dati.
33
Figura 2.4: Andamento dell’accelerazione del veicolo per il primo set di dati.
Figura 2.5: Andamento dell’angolo di imbardata per il primo set di dati.
34
Figura 2.6: Andamento dell’accelerazione longitudinale per il primo set di dati.
Per il secondo set di dati, si hanno a disposizione le rilevazioni di velocità e di velocità angolare,
nonché il raggio effettivo di rotolamento (Reff = 0.35 m).
In Figura 2.7 sono riportati gli andamenti della velocità rilevata (VGPS) in funzione del tempo e di
quella calcolata (V) a partire dalla velocità angolare dello pneumatico e da Reff .
Lo scorrimento longitudinale S è stato calcolato mediante la relazione (2.14) ed il suo andamento
nel tempo è rappresentato nelle Figure 2.8 e 2.9 per il secondo ed il terzo dataset.
S =−
VGPS − V
VGPS
(2.14)
Una maggiore accuratezza nella stima dello scorrimento longitudinale dello pneumatico rende
tuttavia propedeutica la compensazione degli effetti dovuti al beccheggio ed al rollio.
In questo contesto, si può assumere che il beccheggio sia principalmente causato dalla pendenza
della superficie stradale e le componenti di accelerazione derivanti dal beccheggio e dal rollio
possano essere compensate mediante il ricorso ad un sistema di rilevamento basato su un
ricevitore GPS appropriato6.
In particolare, tale compensazione si riflette sullo scorrimento longitudinale dello pneumatico e, di
conseguenza, sul differente andamento della velocità rilevata dello pneumatico in relazione alla
velocità calcolata, dovuto allo scorrimento longitudinale dello pneumatico stesso.
6
“Using GPS for Model Based Estimation of Critical Vehicle States and Parameters”, R.A.ANDERSON, (2004).
35
Figura 2.7: Confronto tra la velocità rilevata da GPS e velocità calcolata a partire da ω e Reff.
Figura 2.8: Andamento dello scorrimento per il secondo set di dati.
36
Figura 2.9: Andamento dello scorrimento per il terzo set di dati.
Per il terzo set di dati è stato applicato il modello descritto nel paragrafo precedente, che ha
permesso di calcolare i valori di accelerazione longitudinale, forza longitudinale Fx, rigidezza
longitudinale Cx e rapporto di velocità P, nonché di verificare il valore assegnato di Reff.
La massa m del veicolo in esame è pari a 1500 kg.
Le immagini mostrate in Figura 2.10 e 2.11 dimostrano quanto enunciato in precedenza.
In particolare, il grafico in Figura 2.11 mostra la retta che meglio approssima i dati relativi
all’accelerazione longitudinale ax, calcolata in funzione del rapporto di velocità P.
Mediante il codice Matlab elaborato, la GUI permette di ottenere
p = 24.2186
q = −69.198
da cui
a = 24.2186 ⋅ P − 69.198
Calcolati questi valori, è possibile calcolare Cx e Reff (per quest’ultimo parametro si verifica il valore
assegnato), che risultano essere pari a
C x = 103800
N
rad
R eff = 0 .35 m
37
Figura 2.10: Andamento della forza longitudinale in relazione all’angolo di deriva.
Figura 2.11: Retta che meglio approssima i dati relativi a ax e P.
38
3.1 Comparazione tra dati sperimentali e dati calcolati.
Si passa ora ad analizzare i dati relativi a velocità, angolo di sterzo, velocità di imbardata e angolo
di assetto, ottenuti mediante rilevazioni che hanno interessato il modello di vettura “Infiniti G35
sedan” (Figura 3.1).
Figura 3.1: Infiniti G35 sedan.
I set di dati a disposizione sono contenuti in due file *.txt, mediante i quali ci si propone di valutare
se vi siano differenze sostanziali tra la velocità di imbardata, l’angolo di assetto e gli angoli di
deriva rilevati sperimentalmente e quelli ottenuti utilizzando il modello monotraccia in condizioni
stazionarie.
La vettura in esame ha le caratteristiche elencate in Tabella 3.
PARAMETRO
VALORE
m
1573 kg
Iz
3200 kgm2
a1
1.311 m
a2
1.539 m
Cαf
90000 N/rad
Cαr
140000 N/rad
Tabella 3: Caratteristiche della vettura in esame.
Il gradiente di sottosterzo K* è stato calcolato mediante l’equazione (1.31), da cui
K * ≈ 2.4
deg
g
39
Il gradiente di sottosterzo determina il comportamento sottosterzante o sovrasterzante del
veicolo: se K* è positivo, l’angolo di sterzo che deve essere impostato dal guidatore per percorrere
una curva di raggio R cresce all’aumentare della velocità, causando un comportamento di tipo
sottosterzante del veicolo, mentre se si ha che K* è negativo l’angolo di sterzo diminuisce (a parità
di R) all’aumentare della velocità e il veicolo presenta un comportamento sovrasterzante.
I prodotti Cαf ·a1 e Cαr ·a2 sono chiamati capacità direttive anteriore e posteriore ed esprimono la
capacità di un asse di generare un momento imbardante rispetto al baricentro: tali prodotti
consentono di concludere che:
•
•
se Cαr ·a2 > Cαf ·a1 il comportamento del veicolo è sottosterzante (K*>0);
se Cαr ·a2 < Cαf ·a1 il comportamento del veicolo è sovrasterzante (K*<0).
Nel caso in esame, il veicolo è caratterizzato da un comportamento sottosterzante, difatti
kN
m
rad
kN
Cαf ⋅ a1 = 117.99
m
rad
Cαr ⋅ a 2 > Cαf ⋅ a1 ⇒ K * > 0
Cαr ⋅ a 2 = 215.46
Poiché, per le ipotesi adottate, si ha
è possibile scrivere la seguente equazione matriciale (3.1):
(3.1)
In Figura 3.2 sono riportati gli andamenti delle grandezze rilevate in funzione del tempo per i due
set di dati.
40
Figura 3.2 (a): Grandezze rilevate per il veicolo in oggetto (Dataset 1).
Figura 3.2 (b): Grandezze rilevate per il veicolo in oggetto (Dataset 2).
Inoltre, vengono riportati gli andamenti degli angoli di deriva degli pneumatici per entrambi i
datasets a disposizione (Figura 3.3).
41
Figura 3.3 (a): Angoli di deriva per il veicolo in oggetto (Dataset 1).
Figura 3.3 (b): Angoli di deriva per il veicolo in oggetto (Dataset 2).
Nelle immagini qui di seguito (Figure 3.4) riportate viene effettuato un confronto tra la velocità di
imbardata, l’angolo di assetto e gli angoli di deriva calcolati a partire dai dati sperimentali e i
rispettivi valori calcolati.
42
Figura 3.4 (a): Velocità di imbardata e angoli di assetto sperimentali e simulati per il veicolo in oggetto (Dataset 1).
Figura 3.4 (b): Velocità di imbardata e angoli di assetto sperimentali e simulati per il veicolo in oggetto (Dataset 2).
43
Figura 3.4 (c): Angoli di deriva sperimentali e simulati per gli pneumatici anteriore e posteriore (Dataset 1).
Figura 3.4 (d): Angoli di deriva sperimentali e simulati per gli pneumatici anteriore e posteriore (Dataset 2).
44
3.2 Calcolo dell’angolo di sterzo desiderato per differenti configurazioni.
Poli e zeri della funzione di trasferimento del sistema.
Per quanto concerne la velocità di imbardata, la risposta del veicolo nello stato stazionario è data
dall’equazione (3.2):
(3.2)
che è esprimibile anche come (3.3):
(3.3)
dove K è il fattore di stabilità definito da (3.4):
(3.4)
Detto ciò, per una data velocità ci si propone di calcolare l’angolo di sterzo desiderato tale da
garantire un valore finale di r pari a 50 deg/s.
L’interfaccia grafica costruita provvede a calcolare l’angolo di sterzo desiderato (Figura 3.5)
A titolo di esempio, utilizzando i dati a disposizione e per una velocità di 20 m/s, risulta
δ des ≈ 11.4°
45
Figura 3.5: Calcolo dell’angolo di sterzo desiderato.
Il grafico in Figura 3.6 mostra l’andamento della velocità di imbardata per il caso in oggetto.
Figura 3.6: Andamento della velocità di imbardata per il caso in oggetto.
Prove analoghe sono state svolte per il medesimo veicolo per differenti configurazioni, riassunte
nella Tabella 4, per le quali sono mostrati gli andamenti dell’angolo di assetto e della velocità di
imbardata (Figure 3.7, 3.9, 3.11, 3.13), nonché la posizione dei poli e degli zeri della funzione di
trasferimento del sistema relativo alla velocità di imbardata (Figure 3.8, 3.10, 3.12, 3.14).
Indicato con sys il modello in spazio di stato del sistema dinamico, la sua funzione di trasferimento
è ottenuta attraverso l’istruzione tf(sys), mentre il comando ss2zp permette di calcolarne il valore
dei poli e degli zeri.
46
PARAMETRO CONFIGURAZIONE
1
m
1573 kg
Iz
3200 kgm2
a1
1.311 m
a2
1.539 m
Cαf
90000 N/rad
Cαr
140000 N/rad
vx
15 m/s
CONFIGURAZIONE
2
1573 kg
3200 kgm2
1.311 m
1.539 m
90000 N/rad
140000 N/rad
30 m/s
CONFIGURAZIONE
3
1573 kg
3200 kgm2
1.331 m
1.519 m
140000 N/rad
90000 N/rad
15 m/s
CONFIGURAZIONE
4
1573 kg
3200 kgm2
1.331 m
1.519 m
140000 N/rad
90000 N/rad
30 m/s
Tabella 4: Configurazioni analizzate per la vettura G35 Infiniti Sedan.
I valori di δdes trovati sono riassunti in Tabella 5:
PARAMETRO CONFIGURAZIONE
1
δdes
12.7°
CONFIGURAZIONE
2
11.2°
CONFIGURAZIONE
3
7.9°
CONFIGURAZIONE
4
1.5°
Tabella 5: Angoli di sterzo desiderati per le quattro configurazioni.
Il valore aggiornato del gradiente di sottosterzo per le configurazioni 3 e 4 è
K * = −1.22
deg
g
Difatti, si ha che
kN
m
rad
kN
Cα f ⋅ a1 = 186 .34
m
rad
Cα r ⋅ a 2 < Cαf ⋅ a1 ⇒ K * < 0
Cα r ⋅ a 2 = 138 .51
47
Figura 3.7: Andamenti dell’angolo di assetto e della velocità di imbardata (Configurazione 1).
ωn
θ
- δ ωn
ωn=10.99 rad/s
δ=cosθ=0.904
θ=25.8°
Figura 3.8: Risposta della velocità di imbardata: localizzazione di poli e zeri (Configurazione 1).
48
Figura 3.9: Andamenti dell’angolo di assetto e della velocità di imbardata (Configurazione 2).
ωn
θ
- δ ωn
ωn=7.28 rad/s
δ=cosθ=0.683
θ=46.9°
Figura 3.10: Risposta della velocità di imbardata: localizzazione di poli e zeri (Configurazione 2).
49
Figura 3.11: Andamenti dell’angolo di assetto e della velocità di imbardata (Configurazione 3).
ωn=8.65 rad/s
δ=1.12
Figura 3.12: Risposta della velocità di imbardata: localizzazione di poli e zeri (Configurazione 3).
50
Figura 3.13: Andamenti dell’angolo di assetto e della velocità di imbardata (Configurazione 4).
ωn=2.66 rad/s
δ=1.808
Figura 3.14: Risposta della velocità di imbardata: localizzazione di poli e zeri (Configurazione 4).
Il veicolo si trova di conseguenza in condizioni di sovrasterzo, per l’effetto combinato dell’aumento
del semipasso anteriore e dell’aumento della rigidezza longitudinale dello pneumatico anteriore a
discapito dello pneumatico posteriore: il retrotreno è soggetto ad uno scorrimento maggiore
dell’avantreno ed è richiesto un angolo di sterzo minore per percorrere la curva.
La presenza di poli complessi coniugati dimostra come la risposta della velocità di imbardata
presenti, per il veicolo in esame nella configurazione originaria (configurazioni 1 e 2), uno
smorzamento minore di 1 e, come è lecito attendersi, un andamento caratterizzato dal
raggiungimento di un valore di picco che decresce sino al valore di regime, differentemente da
quanto visto nel veicolo analizzato nella nuova configurazione, in cui lo smorzamento è maggiore
di 1 (i.e. è presente una coppia di poli reali negativi e distinti) e il valore massimo della risposta
coincide con il valore a regime.
Analoghe considerazioni possono essere effettuate per il veicolo analizzato nel Paragrafo 1.4
(Figura 3.15).
51
ωn=17.46 rad/s
δ=1.068
Figura 3.15: Risposta della velocità di imbardata: localizzazione di poli e zeri per il veicolo analizzato nel Paragrafo 1.4.
3.3 Modelli non lineari.
Nel Paragrafo 2.1 è stato affrontato lo studio inerente la stima delle forze longitudinali agenti sugli
pneumatici.
In questa sezione verranno analizzate le forze laterali: in particolare si è visto che tali forze
crescono linearmente in funzione degli angoli di deriva degli pneumatici, purché tali angoli
possano essere considerati di bassa entità.
Inoltre, è stato evidenziato che il coefficiente di proporzionalità che lega le forze laterali con gli
angoli di deriva è la rigidezza di deriva Cα.
Lo studio delle forze laterali può avvenire, oltre che con un modello di tipo lineare, anche con
modelli che si configurano come non lineari, quali i modelli di Pacejka (“magic formula”) e di
Dugoff.
Il modello elaborato da Dugoff richiede un minor numero di parametri per stimare le forze laterali
e l’espressione di Fy è la seguente (3.5):
(3.5)
f(λ) è espressa da (3.6):
(3.6)
dove λ è calcolata mediante l’espressione (3.7):
52
(3.7)
Nelle formule suddette sono indicati i seguenti parametri:
•
•
•
•
μ coefficiente di attrito massimo;
Cα rigidezza di deriva dello pneumatico;
Fz carico normale agente sullo pneumatico;
α angolo di deriva dello pneumatico, calcolato utilizzando le (1.2), (1.3).
Il carico normale agente sugli pneumatici anteriore e posteriore è calcolato mediante le equazioni
(3.8), (3.9):
a2
mg
l
a
Fzr = 1 mg
l
Fzf =
(3.8)
(3.9)
Nel modello di Dugoff si registra l’andamento riportato in Figura 3.16, per differenti valori di carico
normale.
Il modello elaborato da Pacejka richiede numerosi parametri e, per la stima della forza laterale, ha
la seguente forma (3.10):
(3.10)
in cui
•
•
•
•
B è il fattore di rigidezza;
C è il fattore di forma;
D è il fattore di picco;
E è il fattore di curvatura.
I coefficienti B, C, D ed E vengono calcolati secondo quanto riportato nelle seguenti espressioni
(3.11), (3.12), (3.13), (3.14), a partire da un set di dati a (3.15):
53
Figura 3.16: Modello di Dugoff.
(3.11)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
Mentre l’andamento di Fy nel modello di Dugoff è di tipo monotono, nel modello di Pacejka si
registra il raggiungimento di un valore di picco, al di là del quale la forza laterale diminuisce
(Figura 3.17).
54
Figura 3.17: Modello di Pacejka.
Entrambi i modelli sono stati applicati al veicolo in oggetto mediante il sistema di equazioni di
riferimento7 (3.16):
m ⋅ a y = 2 Fyf ⋅ cos δ + 2 Fyr
(3.16)
.
I z ⋅ r = 2 Fyf ⋅ a1 cos δ − 2 Fyr ⋅ a2
Tale sistema si basa sull’ipotesi di considerare trascurabili i contributi dovuti alle forze
longitudinali.
I dati relativi al veicolo in oggetto consentono di ricavare l’accelerazione laterale (3.17):
.
.
a y⋅ = v x β + v x r = β ⋅ v cos( β ) + r ⋅ v cos( β )
(3.17)
Inoltre, noti i valori della velocità di imbardata, è possibile valutare l’entità delle forze laterali Fyf e
Fyr per gli pneumatici anteriore e posteriore relativi ai due datasets (Figure 3.18, 3.19, 3.20, 3.21).
7
“Nonlinear Tire Lateral Force versus Slip Angle Curve Identification”, (S.LUNG KOO, H.TAN, M.TOMIZUKA),
Proceedings of the 2004 American Control Conference, (2004).
55
In particolare, l’applicazione del modello di Dugoff ai due set di dati a disposizione ha permesso di
stabilire che, per il primo set, il coefficiente di attrito è verosimilmente alto (strada asciutta e
fondo ruvido), mentre per il secondo set esso si attesta su valori bassi (strada bagnata).
Figura 3.18: Forza laterale per lo pneumatico anteriore (Dataset 1).
Figura 3.19: Forza laterale per lo pneumatico posteriore (Dataset 1).
56
Figura 3.20: Forza laterale per lo pneumatico anteriore (Dataset 2).
Figura 3.21: Forza laterale per lo pneumatico posteriore (Dataset 2).
In questo contesto, è stata elaborata una function per l’applicazione del modello di Dugoff alle
configurazioni presentate nel Paragrafo 3.2, sfruttando il risolutore ode45.
57
L’applicazione di tale modello ha permesso ottenere i seguenti andamenti relativi all’angolo di
assetto (Figura 3.22) e alla velocità di imbardata (Figura 3.23).
Figura 3.22: Andamento dell’angolo di assetto nel modello di Dugoff (Configurazione 1).
Figura 3.23: Andamento della velocità di imbardata nel modello di Dugoff (Configurazione 1).
Gli andamenti delle forze laterali e degli angoli di deriva sono mostrati, rispettivamente, nelle
Figure 3.24 e 3.25.
58
Figura 3.24: Andamento delle forze laterali nel modello di Dugoff (Configurazione 1).
Figura 3.25: Andamento degli angoli di deriva nel modello di Dugoff (Configurazione 1).
Nelle immagini successive si mostrano gli andamenti suddetti per le configurazioni 2
(Figure 3.26-3.29), 3 (Figure 3.30-3.33) e 4 (Figure 3.34-3.37).
59
Figura 3.26: Andamento dell’angolo di assetto nel modello di Dugoff (Configurazione 2).
Figura 3.27: Andamento della velocità di imbardata nel modello di Dugoff (Configurazione 2).
60
Figura 3.28: Andamento della forze laterali nel modello di Dugoff (Configurazione 2).
Figura 3.29: Andamento degli angoli di deriva nel modello di Dugoff (Configurazione 2).
61
Figura 3.30: Andamento dell’angolo di assetto nel modello di Dugoff (Configurazione 3).
Figura 3.31: Andamento della velocità di imbardata nel modello di Dugoff (Configurazione 3).
62
Figura 3.32: Andamento della forze laterali nel modello di Dugoff (Configurazione 3).
Figura 3.33: Andamento degli angoli di deriva nel modello di Dugoff (Configurazione 3).
63
Figura 3.34: Andamento dell’angolo di assetto nel modello di Dugoff (Configurazione 4).
Figura 3.35: Andamento della velocità di imbardata nel modello di Dugoff (Configurazione 4).
64
Figura 3.36: Andamento della forze laterali nel modello di Dugoff (Configurazione 4).
Figura 3.37: Andamento degli angoli di deriva nel modello di Dugoff (Configurazione 4).
Si noti come, pur assestandosi intorno a valori di regime diversi da quelli ricavati dall’applicazione
del modello lineare, il ricorso ad un modello non lineare, quale quello elaborato da Dugoff,
consente tuttavia di ottenere andamenti che non differiscono qualitativamente da quelli che
caratterizzano il modello monotraccia.
Un analogo modo di procedere è stato utilizzato per l’applicazione del modello di Pacejka, del
quale, per brevità, non si riportano i risultati ottenuti ed a cui si rimanda nella documentazione in
allegato alla presente relazione.
65
BIBLIOGRAFIA
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[2] “GNSS for Vehicle Control”, D.BEVLY, S.COBB, Artech House, (2010).
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Society of Automotive Engineers, Warrendale, PA (1987).
[5] “Calculating Longitudinal Wheel Slip and Tire Parameters Using GPS Velocity”, S.L.MILLER,
B.YOUNGBERG, A.MILLIE, P.SCHWEIZER, J.C.GERDES, Proceedings of the American Control
Conference, (2011).
[6] “Using GPS for Model Based Estimation of Critical Vehicle States and Parameters”,
R.A.ANDERSON, (2004).
[7] “Nonlinear Tire Lateral Force versus Slip Angle Curve Identification”, (S.LUNG KOO, H.TAN,
M.TOMIZUKA), Proceedings of the 2004 American Control Conference, (2004).
66