Rischio di longevità e longevity derivatives
Transcript
Rischio di longevità e longevity derivatives
Rischio di longevità e longevity derivatives Prof. Massimiliano Menzietti Università della Calabria Università Cattolica - Milano, 12 maggio 2011 Agenda Il longevity risk ● Definizione e caratteristiche ● I trend demografici e il rischio di longevità ● I modelli per rappresentarlo La gestione del longevity risk tramite i longevity derivatives: ● Gli strumenti di gestione del longevity risk ● La nascita del mercato delle longevity-linked securities ● Il panorama dei prodotti derivati sulla longevità ● Un focus sui survivor swap I modelli di pricing: ● La trasformata di Wang ● L’approccio risk-neutral Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 2 Agenda Il longevity risk ● Definizione e caratteristiche ● I trend demografici e il rischio di longevità ● I modelli per rappresentarlo La gestione del longevity risk tramite i longevity derivatives: ● Gli strumenti di gestione del longevity risk ● La nascita del mercato delle longevity-linked securities ● Il panorama dei prodotti derivati sulla longevità ● Un focus sui survivor swap I modelli di pricing: ● La trasformata di Wang ● L’approccio risk-neutral Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 3 Il longevity risk Il longevity risk è un rischio caratteristico di enti (compagnie di assicurazione / enti di previdenza) che erogano prestazioni in caso di vita (ed in particolare rendite) ad un soggetto assicurato / iscritto Può essere definito a livello individuale o aggregato (cf. Stallard 2006). ● In particolare a livello aggregato esso si sostanzia nel rischio che l’insieme dei percettori di rendita vivano in media di più di quanto assunto nelle basi tecniche Si manifesta laddove la mortalità osservata è sistematicamente inferiore a quella osservata E’ la conseguenza dell’incertezza insita nel fenomeno della mortalità e della sua rappresentazione tramite un modello di proiezione Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 4 Il longevity risk “Non pooling” risk (non diversificabile) opera nella stessa direzione per tutti gli assicurati E’ un rischio sistematico, non-hedgeable Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 5 I trend demografici e il longevity risk Trend demografici Invecchiamento della popolazione Longevity risk Menzietti • Cambiamento nella struttura per età della popolazione • Incremento del peso percentuale degli anziani • Incremento progressivo nell’aspettativa di vita e quindi potenziale incremento del longevity risk Vita più lunga Bassa fertilità Invecchia -mento Incertezza Incremento nel numero degli esposti al rischio di sopravvivenza Crescente longevity risk Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 6 I trend demografici e il longevity risk Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 7 L’impatto del longevity risk Le principali conseguenze per i fondi pensione e gli erogatori di rendite sono: ● Estensione del periodo di pagamento della rendita e quindi del valore attuale della stessa Elaborazione dell’autore su dati ISTAT Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 8 L’impatto del longevity risk Le principali conseguenze per i fondi pensione e gli erogatori di rendite sono: ● Incremento della passività attuariali Elaborazione dell’autore su dati ISTAT Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 9 Il processo di risk management • Individuazione e classificazione del rischio Identificazione • Misurazione tramite modelli deterministici o stocastici Valutazione Gestione Menzietti • Individuazione delle strategie di gestione del rischio: o tramite tecniche di controllo delle perdite o tramite tecniche di finanziamento delle stesse. Si può operare a livello di disegno del prodotto o con strategie di protezione del portafoglio Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 10 Il management del longevity risk Un management responsabile del longevity risk implica che le compagnie di assicurazione e gli enti previdenziali devono misuralo e gestirlo Per modellizzare e misurare il longevity risk è necessario sviluppare un modello stocastico di proiezione della mortalità In effetti i trend decrescenti della mortalità impongono l’adozione di tavole proiettate di mortalità per calcolare i valori attuariali delle rendite Qualsiasi modello di proiezione sia stato adottato, il trend futuro della mortalità trend è random possono verificarsi deviazioni sistematiche della mortalità Si richiedono proiezioni stocastiche per quantificare esplicitamente l’incertezza della mortalità proiettata Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 11 I modelli di proiezione della mortalità Fonte: Olivieri - Pitacco “Life annuities and longevity dynamics” WP n. 36, CERAP 2006 Metodi estrapolativi Modelli stocastici • Interpolazione dei trend di mortalità osservati in passato • Ipotesi: I trend osservati si ripeteranno in futuro estrapolazione dei trend • La natura stocastica della mortalità non viene considerata Menzietti • I tassi di mortalità osservati sono estrazioni di variabili casuali che rappresentano la mortalità passata • I tassi di mortalità proiettati sono stime di variabili casuali che rappresentano la mortalità futura • Si definiscono un insieme di ipotesi circa la mortalità e un legame tra osservazioni e proiezioni Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 12 I modelli stocastici di proiezione della mortalità In un modello stocastico i risultati delle proiezioni forniscono sia stime puntuali che intervalli di confidenza dei futuri tassi di mortalità Source: Olivieri - Pitacco “Life annuities and longevity dynamics” WP n. 36, CERAP 2006 Menzietti • Le principali caratteristiche di uno scenario di mortalità possono essere ben rappresentate • Esempi di leggi di mortalità: Gompertz, Makeham, Weibull, Heligman-Pollard • Modello Lee-Carter e sue estensioni E’ un esempio significativo di approccio stocastico nella proiezione della mortalità • Il tasso centrale di mortalità è modellizzato come un processo stocastico Modelli basati su leggi di mortalità Modelli distribution-free Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 13 Il modello Lee-Carter (log bilineare) I tassi centrali di mortalità sono rappresentati da: ln (m x (t )) = α x + β x k t + ε x ,t con errori kt ε x,t iid con distribuzione N (0 , σ ε ) processo stocastico proiettato con un modello ARIMA(0,1,0) k t = k t −1 + µ k + σ k et con errori Menzietti et iid con distribuzione N (0 ,1) Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 14 Il modello Poisson log bilineare Proposto da Brouhns et al. nel 2002 I tassi centrali di mortalità sono modellizzati tramite il modello Lee-Carter ln (m x (t )) = α x + β x k t I decessi sono distribuiti come una Poisson D x (t ) ~ Poisson ( N x (t ) ⋅ m x (t )) Impiegato bootstrap non parametrico Applicato ai dati italiani (Levantesi, Menzietti, Torri, 2010a) mostra un buon adattamento e consente di rappresentare differenti fonti di incertezza: ● La variabilità poissoniana dei decessi ● La variabilità dei parametri del modello LC e del modello ARIMA ● L’incertezza nella proiezione del fattore temporale kt Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 15 Una panoramica sui modelli di proiezione della mortalità I principali modelli proposti in letteratura sono di seguito rappresentati q(t , x ) , q(t , x ) ≈ 1 − e m (t , x ) con γ t − x fattore di coorte, logit q(t , x ) = log p(t , x ) Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 16 I criteri di scelta del modello Cairns et al. (2008) suggeriscono dei criteri per scegliere tra i vari modelli di proiezione della mortalità: ● I tassi di mortalità devono essere positivi. ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Menzietti Il modello deve essere coerente con i dati storici. Le dinamiche a lungo termine future del modello devono essere biologicamente ragionevoli. Le stime dei parametri devono essere robuste rispetto al periodo di dati e intervalli di età impiegati. Le previsioni del modello devono essere robuste rispetto al periodo di dati e classi di età impiegati I livelli di previsione dell’incertezza e le traiettorie centrali dovrebbero essere plausibili e coerenti con le tendenze storiche e la variabilità dei dati di mortalità. Il modello dovrebbe essere semplice da attuare mediante metodi analitici o veloci algoritmi numerici. Il modello dovrebbe essere relativamente parsimonioso. Dovrebbe essere possibile utilizzare il modello per generare percorsi campione e calcolare intervalli di previsione. La struttura del modello dovrebbe consentire di integrare l'incertezza del parametro nelle simulazioni. Almeno per alcuni Paesi, il modello dovrebbe incorporare un effetto stocastico di coorte. Il modello dovrebbe essere abbastanza completo per affrontare in modo appropriato il pricing corrente, la valutazione o un problema di copertura. Dovrebbe essere possibile valutare i più comuni derivati mortality-linked utilizzando metodi analitici o veloci metodi numerici. Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 17 Agenda Il longevity risk ● Definizione e caratteristiche ● I trend demografici e il rischio di longevità ● I modelli per rappresentarlo La gestione del longevity risk tramite i longevity derivatives: ● Gli strumenti di gestione del longevity risk ● La nascita del mercato delle longevity-linked securities ● Il panorama dei prodotti derivati sulla longevità ● Un focus sui survivor swap I modelli di pricing: ● La trasformata di Wang ● L’approccio risk-neutral Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 18 La gestione del longevity risk Il longevity risk può essere gestito da una compagnia di assicurazione o da un ente di previdenza trattenendolo o trasferendolo ad altre controparti Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 19 Uso e limiti del mercato delle longevity-linked securities Blake e Burrows (2001) sono stati i primi a sostenere l'uso di mortality /(longevity)linked securities per il trasferimento del rischio di longevità al mercato dei capitali Difficoltà di affermazione del nuovo mercato: ● squilibrio di scala tra le esposizioni esistenti e la volontà dei fornitori di copertura ● mortality-linked securities devono soddisfare le diverse esigenze degli hedgers e degli investitori (difficili da conciliare - i primi richiedono l’efficacia della copertura, mentre gli ultimi domandano liquidità) ● assenza di un prezzo di mercato per il rischio di longevità Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 20 La nascita del mercato delle longevity-linked securities Loeys et al. (2007) spiegano che per istituire un nuovo mercato del capitale di successo, esso deve: ● fornire un'esposizione o copertura efficace (minore il numero di contratti scambiati, maggiore la liquidità in ogni contratto, ma più bassa l’efficacia della copertura, indici nazionali e rischio base)… ● ad un rischio del mondo che è economicamente importante (buon equilibrio tra domanda e offerta di longevità: questo influenzerà la dimensione complessiva del mercato, nonché il prezzo del rischio di longevità - Il coinvolgimento dei mercati del capitale ridurrà i costi di gestione del rischio di longevità: aumento di capacità, insieme a una maggiore trasparenza dei prezzi (arbitraggisti) e maggiore liquidità (speculatori))… ● che non può essere coperto attraverso gli strumenti del mercato esistente … ● e deve utilizzare un contratto omogeneo e trasparente per consentire gli scambi tra gli agenti Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 21 Le soluzioni di prima generazione del mercato dei capitali : prodotti Bond-based Mortality bonds ● Breve scadenza, rappresentano titoli negoziabili a livello di mercato i cui pagamenti sono legati a un indice di mortalità. Sono simili ai catastrophe bond. Es. Swiss Re mortality bond Longevity bonds (o survivor bonds) ● Principal-at-risk longevity bonds o coupon based longevity bonds ● Scadenza fissa o scadenza stocastica ● Es EIB – BNP Paribas 2004 (se la mortalità fosse stata inferiore a quanto previsto, le cedole previste sul bond sarebbero diminuite e viceversa). Carenze di progettazione (Il rischio di base troppo grande). Premio per il rischio di longevità. Carenze istituzionali (dimensione dell'emissione troppo piccola per creare un mercato liquido) (favore per la copertura della longevità, sfavore per la copertura legata al bond). ● Lezioni: necessità di una buona serie di indici di mortalità (LifeMetrics) oggettivamente calcolati, trasparenti e rilevanti; modelli di previsione stocastici della mortalità più trasparenti. Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 22 Esempio di longevity bond Obblighi dell’erogatore della rendita: ● Rendita immediata ad una coorte di l x0 percettori di rendita di età x0 al tempo 0 ● R è l’importo annuo della rendita individuale ● in t the l’erogatore della rendita pagherà l’ammontare aleatorio Rl x0 +t ● esposizione al rischio di deviazioni sistematiche tra l x0 +t e lˆx0 +t Straight coupon bond: ● Flusso di cassa aggregato RCt ad ogni scadenza t ● Rimborso pari a RF alla scadenza finale T ● Lin and Cox (2005) ipotizzano cedole costanti di importo RC Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 23 Esempio di longevity bond Esempio di un coupon-based longevity bond con coupons a rischio e principal garantito Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 24 Esempio di longevity bond Tramite la SPC il flusso di cedole C è ripartito tra erogatore della rendita e investitori R ⋅ C = R ⋅ (Bt + Dt ) • Flussi ricevuti dall’erogatore della rendita C Bt = l x0 +t − lˆx0 +t 0 l x0 +t − lˆx0 +t > C 0 < l x0 +t − lˆx0 +t ≤ C l − lˆ ≤ 0 x0 + t x0 + t • Flussi ricevuti dagli investitori 0 Dt = C − l x0 +t − lˆx0 +t C ( Menzietti ) l x0 +t − lˆx0 +t > C 0 < l x0 +t − lˆx0 +t ≤ C l − lˆ ≤ 0 x0 + t Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 Dt = C − Bt x0 + t 25 Il pricing del longevity bond Prezzo valore atteso scontato dei payoff futuri sotto una misura di probabilità aggiustata per il rischio (Hp: rischio demografico e finanziario sono indipendenti) • W : Bond Price pagato dalla SPC per acquistare lo bond T W = RFd (0, T ) + RC ∑ d (0, t ) t =1 • P : Premium pagato dall’erogatore della rendita per gestire il suo LR T ~ P = R ∑ E [Bt ]d (0, t ) t =1 • V: Price pagato dagli investitori per acquistare il LB T ~ W = RFd (0, T ) + R ∑ E [Dt ]d (0, t ) d(0,t) : fattore di sconto risk-free Menzietti t =1 Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 26 Le soluzioni di seconda generazione del mercato dei capitali: prodotti derivatives-based I longevity derivatives sono strumenti del mercato dei capitali che hanno payoffs legati al livello di un indice di mortalità I soggetti interessati alla creazione di un mercato per i longevity derivatives sono hedgers, investitori istituzionali, speculatori, arbitraggisti, Governo, regolatori q-Forwards ● E’ il più semplice longevity derivative. Un q-forward è un accordo tra due parti per lo scambio a una data futura di un importo proporzionale al tasso di mortalità realizzato di una determinata popolazione contro un importo proporzionale a un tasso di mortalità fisso reciprocamente concordato all’ inizio. E’ un zero-coupon swap che scambia mortalità fissa e mortalità realizzata alla scadenza. Copertura value hedge vs cash flow hedge. Survivor swaps Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 27 I survivor swaps Survivor swap (basic): accordo tra due controparti per scambiare in futuro un flusso di cassa fisso in cambio di un singolo flusso di cassa casuale dipendente dalla mortalità (Dowd et al. 2006) ● I cash-flows sono collegati al numero di sopravviventi di una data coorte ● Confrontato con altre mortality-linked securities – p.e. longevity bonds – i survivor swaps : o Comportano costi di transazione più bassi o Sono più flessibili e tagliati su misura per venire incontro alle varie esigenze o Non richiedono l’esistenza di un mercato liquido Vanilla survivor swaps (insieme di basic survivor swaps): le controparti si accordano per scambiarsi una serie di pagamenti periodici (per ogni t = 1, 2, . . . , S ) fino alla scadenza dello swap S ● Fixed leg dipende dai sopravviventi attesi di una data coorte ● Floating leg dipende dai sopravviventi effettivi alle scadenze future Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 28 I survivor swaps emessi tra il 2008-2009 Date Hedger Term (years) Intermediary Jan-08 Lucida 10 JPMorgan Jul-08 Canada Life 40 JPMorgan Feb-09 Abbey Life Run-off Deutsche Bank Mar-09 Aviva 10 RBS Jun-09 Babcock 50 Credit Suisse Jul-09 Royal & Sun Alliance Run-off Goldman Sachs Source: Biffis & Blake (2009),“Mortality-Linked Securities and Derivatives” Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 29 La struttura di un vanilla survivor swap L’erogatore di rendita deve pagare rendite immediate ad una coorte di l x percettori di età x al tempo zero ● Rendita fissa di importo1€ ● lˆx + t : numero atteso di sopravviventi all’età x + t al tempo t ● l x + t : numero effettivo di sopravviventi all’età x + t al tempo t Esposizione al rischio sistematico di deviazioni tra l x + t e lˆx + t l x + t − lˆx + t : perdite subite dall’erogatore della rendita ad ogni scadenza t π ( π <≥ 0 ) : aliquota di premio fisso dello swap fissat in modo che il valore dello swap in sia zero all’emissione valore di mercato del fixed leg = valore di mercato del floating leg (1 + π ) lˆ x+t Flussi di cassa del survivor swap Menzietti lx +t Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 30 Il pricing del vanilla survivor swap Il valore del vanilla survivor swap al tempo zero per il fixed-rate payer è: [ valore dello swap = V [ l x + t ] − V (1 + π )lˆx + t Prezzo di mercato del floating leg in t=0 ] Prezzo di mercato del fixed leg in t=0 Ipotizzando l’indipendenza tra tassi d’interesse e mortalità: [ T ] V (1 + π )lˆx + t = (1 + π ) ∑ lˆx + t d ( 0, t ) t =1 T V [ l x + t ] = ∑ E ∗ (l x + t ) d ( 0, t ) t =1 Valore attuale atteso del fixed leg sotto la misura di probabilità del mondo reale Valore attuale atteso del floating leg sotto la misura di probabilità risk-adjusted T d (0, t ) : fattore di sconto risk-free Premio del vanilla survivor Swap ∑ E ∗ (l x + t ) d (0, t ) π = t =1 T −1 ∑ lˆx + t d (0, t ) t =1 Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 31 Rappresentazione del flusso di pagamenti di un vanilla survivor swap Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 32 Le soluzioni di seconda generazione del mercato dei capitali: prodotti derivatives-based Longevity options. Ad oggi non ci sono mercati di opzioni su strumenti longevitylinked. Le longevity options producono dei payoff che non sono funzioni lineari di variabili sottostanti. Nel caso di longevity (o survivor) caps e floors, il sottostante è un indice di sopravvivenza S(t,x). Sia sc(t) un cap rate per la data d’esercizio t e sf(t) il corrispondente floor rate. Un caplet pagherà max{S(t,x) - sc(t), 0} al tempo t mentre un floorlet pagherà max{sf(t) - S(t,x), 0}. I survivor caplets e floorlets possono essere inglobati in longevity caps e floors. Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 33 Survivor caps and floors Survivor caps e floor = serie di survivor caplets and floorlets Payoff di un survivor caplet : { } ( ) ( ) con cap rate per la scadenza t: ktc = 1 + π tc lˆx + t xtc = max l x +t − ktc ; 0 Payoff del Survivor floorlet: { } f f con floor rate per la scadenza t: kt = 1 + π t lˆx + t xtf = max kt f − l x +t ; 0 Ipotizzando l’indipendenza tra tassi d’interesse e mortalità : Prezzo del survivor cap PTc T =∑E * [ xtc ] d (0, t ) t =1 d ( 0, t ) : fattore di sconto risk-free Menzietti Prezzo del survivor floor T PT = ∑ E *[ xtf ] d (0, t ) f t =1 Valore attuale atteso dei payoff dei caplets/floorlets payoff sotto la misura di rischio risk-adjusted Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 34 Le soluzioni di seconda generazione del mercato dei capitali: prodotti derivatives-based Longevity futures. Ad oggi non ci sono mercati di futures su strumenti longevity-linked. Fattori chiave per il successo di contratti futures sono : ● Esistenza di un mercato spot del sottostante grande, liquido e attivo, con una buona trasparenza dei prezzi. ● i prezzi spot devono essere sufficientemente volatili per rendere attraenti sia le attività di copertura che la speculazione. ● il sottostante deve essere omogeneo. ● il mercato del sottostante e dei contratti futures non deve essere fortemente concentrato né sul lato dell’acquisto né su quello della vendita, per non incorrere nella manipolazione dei prezzi. ● deve esserci attiva partecipazione di hedgers e speculatori. ● In Blake e al. (2006) si suggerisce l’uso dei prezzi dei longevity bonds, o di indici di sopravvivenza come sottostante. Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 35 Coperture Standardizzate vs Personalizzate Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 36 Agenda Il longevity risk ● Definizione e caratteristiche ● I trend demografici e il rischio di longevità ● I modelli per rappresentarlo La gestione del longevity risk tramite i longevity derivatives: ● Gli strumenti di gestione del longevity risk ● La nascita del mercato delle longevity-linked securities ● Il panorama dei prodotti derivati sulla longevità ● Un focus sui survivor swap I modelli di pricing: ● La trasformata di Wang ● L’approccio risk-neutral Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 37 Il pricing delle longevity-linked securities Esistono principalmente tre approcci di pricing ● Trasformata di Wang (Wang (2002)) o Le probabilità risk adjusted sono ottenute tramite un operatore di distorsione ● Approccio risk-neutral o Si applicano alle longevity-linked securities gli stessi principi di pricing usati per il pricing dei derivati finanziari, ● Sharpe ratio o Si ipotizza che gli investitori chiedano per assumere il rischio di longevità un premio per il rischio (Sharpe ratio) pari a quello richiesto per il rischio non diversificabile di altri strumenti finanziari Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 38 La trasformata di Wang Wang definisce il seguente operatore di distorsione g λ (u ) = Φ [Φ −1 (u ) − λ ] dove 0<u<1 e λ è un parametro che riflette il rischio insito nei data (il prezzo di mercato del rischio) La distribuzione di probabilità del mondo reale è distorta per produrre valori attesi risk-adjusted che possono essere scontati con fattori di sconto risk-free . Approccio usato da: ● Lin and Cox (2005), Cox-Lin-Wang (2006), Denuit-Devolder-Goderniaux (2007) ● Su dati italiani applicato da Levantesi-Menzietti-Torri (2010a, 2010c) Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 39 Il “prezzo di mercato” del rischio Possiamo usare il prezzo di mercato delle rendite per stimare λ: ● Mancanza di un mercato secondario delle rendite in Italia ● HP: il valore di mercato delle rendite supposto uguale al valore di mercato calcolato impiegando le basi tecniche di maggiore diffusione (IPS55) Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 40 L’approccio risk neutral Scarsità di longevity-linked securities trattate sul mercato ● Impossibilità di stimare un’unica misura di probabilità risk adjusted. ● Se il mercato globale è arbitrage-free, esiste almeno una misura di tipo neutrale verso il rischio Q utilizzabile per calcolare il prezzo equo Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 41 L’approccio risk neutral Incompletezza del mercato delle longevity-linked securities i pagamenti connessi con la mortalità non possono essere replicati Scarsità di longevity-linked securities trattate sul mercato ● Problemi ad impiegare metodi arbitrage-free ● Impossibilità di stimare un’unica misura di probabilità risk adjusted. ● Se il mercato globale è arbitrage-free, esiste almeno una misura di tipo neutrale verso il rischio Q utilizzabile per calcolare il prezzo equo Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 42 L’approccio risk neutral: il modello CBD Hp su le probabilità di decesso: Con Menzietti random walk bivariata con drift Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 43 L’approccio risk neutral: il modello CBD Se specifichiamo le dinamiche della mortalità sotto una misura Q di probabilità risk-adjusted equivalente, alla misura fisica P ● dove , è una variabile aleatoria normale standard bivariata sotto Q rappresenta il prezzo di mercato del longevity risk associato rispettivamente ai ● processi Z A questo punto il valore di una LLS con singola scadenza all’emissione (in zero) in ipotesi di indipendenza tra rischio finanziario e rischio demografico è dato da: Vλ (0 ) = P (0, T )EQ (λ ) [S [T ] F0 ] Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 44 Alcuni approfondimenti LEVANTESI S., MENZIETTI M., TORRI T. (2010a). Longevity Bond Pricing Models: an Application to the Italian Annuity Market and Pension Schemes. XVIII International AFIR Colloquium. Rome, September 30th - October 3rd 2008. p. 1-17 In stampa sul Giornale dell’Istituto Italiano degli Attuari vol. 72 n. 1 (2009); p. 119141. ISSN: 0390-5780. LEVANTESI S., MENZIETTI M., TORRI T. (2010b). The securitization of longevity risk in pension schemes: the case of Italy. In: GREGORIOU G. et al. “Pension Fund Risk Management: Financial and Actuarial Modeling”. P. 331-362. Chapman & Hall, CRC Finance Series, New York. ISBN/ISSN: 978-14-398-1752-0. LEVANTESI S., MENZIETTI M., TORRI T. (2010c). On longevity risk securitization and solvency requirements in life annuities. International Conference MAF 2010, Ravello (SA), April 7-9 2010. Menzietti Seminario IIA, Milano 12 maggio 2011 45 Contatti Massimiliano Menzietti Dipartimento di Scienze aziendali, Università della Calabria [email protected] Dipartimento di Statistica, Sapienza - Università di Roma [email protected] Cell.: +39-3288829068 Seminario IIA Milano 12 maggio 2011