Lezione N. 16

Diagrammi di Bode
Lezione 16
1
Funzione di trasferimento da
considerare
• Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di
ampiezza)
della funzione di trasferimento:
s ( s + 500)
H (s) =
( s + 1)( s + 100)( s + 200)
• Punti critici:
punti critici di zero: 0, ω4 = 500
punti critici di polo: ω1 = 1, ω2 = 100, ω3 = 200
Lezione 16
2
Punti critici
s ( s + 500)
H (s) =
( s + 1)( s + 100)( s + 200)
• Punti critici:
punti critici di zero: 0, ω4 = 500
punti critici di polo: ω1 = 1, ω2 = 100, ω3 = 200
• Per costruire la maschera totale si parte dalla
maschera relativa al punto critico 0 e si
aggiungono le maschere relative agli altri punti
critici man mano che essi si presentano
Lezione
3
al 16crescere della pulsazione
Maschera a sinistra del punto
critico 1
• La maschera a sinistra del primo punto critico
non nullo (punto 1) si ottiene approssimando la
funzione di trasferimento per valori di s tendenti
a zero
H ( s) s ≈0
Lezione 16
s ( s + 500)
s (500)
s
=
=
=
= H a (s)
( s + 1)( s + 100)( s + 200) s ≈0 (1)(100)(200) 40
4
Maschera a destra del punto
critico 1
• A sinistra del primo punto critico non nullo 1 la
pendenza della maschera è +20dB/dec
– A destra di 1, per la presenza di un punto critico di
polo, la pendenza della maschera deve diminuire di
20 dB/dec e pertanto essa è nulla
– Risulta:
Lezione 16
5
Maschera a destra del punto
critico 100
• A sinistra del secondo punto critico non nullo
100 la pendenza della maschera è 0 dB/dec
– A destra di 100, per la presenza di un punto critico di
polo, la pendenza della maschera deve diminuire di
20 dB/dec e pertanto risulta – 20 dB/dec
Lezione 16
6
Maschera a destra del punto
critico 200
• A sinistra del terzo punto critico 200 la
pendenza della maschera è -20 dB/dec
– A destra di 200, per la presenza di un punto critico di
polo, la pendenza della maschera deve diminuire di
20 dB/dec e pertanto risulta – 40 dB/dec
Lezione 16
7
Maschera a destra del punto
critico 500
• A sinistra del punto critico 500 la pendenza
della maschera è -40 dB/dec
– A destra di 500, per la presenza di un punto critico di
zero, la pendenza della maschera deve aumentare di
20 dB/dec e pertanto risulta – 20 dB/dec
Lezione 16
8
Quotatura della maschera 1/5
• Per pulsazioni a sinistra del primo punto critico
1 la maschera è espressa matematicamente
dalla funzione di trasferimento approssimata
per valori di s piccoli:
H m ( s) = H ( s) s ≈0
Lezione 16
s
=
40
9
Quotatura della maschera 2/5
• Nel punto critico 1 il valore in dB sulla
maschera vale:
j1
H m ( j1) =
⇒ (1/ 40) dB = −6 − 6 − 20 = −32dB
40
Lezione 16
10
Quotatura sulla maschera 3/5
• Dal punto critico 1 al punto critico 100 la
maschera ha la quota di -32 DB
Lezione 16
11
Quotatura sulla maschera 4/5
• Nel punto critico 200 tenendo conto della
pendenza di -20 dB/dec si ha una diminuzione
di : ∆1 = −20(u200 − u100 ) = −20(log10 200 − log10 100) = −6dB
| H m ( j 200) |= −32 − ∆1 = −38dB
Lezione 16
12
Quotatura sulla maschera 5/5
• Nel punto critico 500 tenendo conto della
pendenza di -40 dB/dec si ha ulteriore
diminuzione di : ∆ 2 = −40 log10 500 = 2(−14 + 6) = −16dB
200
| H m ( j 500) |= −38 − ∆ 2 = −54dB
Lezione 16
13
Spettro di ampiezza
• Il diagramma di Bode esatto dello spettro di
ampiezza della
funzione di trasferimento è riportato in nero
nella figura
Lezione 16
14
Stima errore massimo maschera
1/4
• Il punto critico 1 è relativo ad un polo.
L’errore si stima in -3dB:
H ( j ) ≈ H m ( j ) − 3dB = −32 − 3 = −35dB
( valore esatto -35.08 dB)
Lezione 16
15
Stima errore massimo maschera
2/4
• Il punto critico 100 è relativo ad uno polo.
L’errore si stima in -3dB:
H ( j100) ≈ H m ( j100) − 3dB = −32 − 3 = −35dB ( valore esatto -35.85 dB)
Lezione 16
16
Stima errore massimo maschera
3/4
• Il punto critico 200 è relativo ad uno polo.
L’errore si stima in -3dB:
H ( j 200) ≈ H m ( j 200) − 3dB = −38 − 3 = −41dB
( valore esatto -41.40 dB)
Lezione 16
17
Stima errore massimo maschera
4/4
• Il punto critico 500 è relativo ad uno zero.
L’errore si stima in +3dB:
H ( j 500) ≈ H m ( j 500) + 3dB = −54 + 3 = −51dB ( valore esatto -51.79 dB)
Lezione 16
18
Decibel di zeri o poli reali
multipli
• Le maschere in corrispondenza di punti critici
relativi a zeri o poli reali multipli di ordine m, si
ottengono da quelle relative a zeri o poli reali
semplici previa moltiplicazione per m
• L’errore massimo si ha nei punti critici e vale +
3 m dB o – 3 m dB a seconda se si tratta di
zero o polo
Lezione 16
19
Punti critici
• Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di
ampiezza) della funzione di trasferimento:
s2
H ( s ) = −20
( s + 104 )( s + 2 ×1010 )
• Punti critici: punti critici di zero: 0 (doppio)
punti critici di polo: ω1 = 104 ,
ω2 = 2 ×1010
• Per costruire la maschera totale si parte dalla
maschera relativa al punto critico 0 e si
aggiungono le maschere relative agli altri punti
critici man mano che essi si presentano al
Lezione 16
20
crescere della pulsazione
Maschera a sinistra del punto
critico 104
• La maschera a sinistra del primo punto critico
non nullo (punto 104) si ottiene approssimando
la funzione di trasferimento per valori di s
tendenti a zero
H a ( s ) = H ( s ) s ≈0
Lezione 16
s2
s2
s2
= −20
= −20 4
= − 13
4
10
10
( s + 10 )( s + 2 x10 ) s ≈0
10 x 2 x10
10
21
Maschera a destra del punto
critico 104
• A sinistra del primo punto critico non nullo 104
la pendenza della maschera è +40dB/dec
– A destra di 104, per la presenza di un punto critico di
polo, la pendenza della maschera deve diminuire di
20 dB/dec e pertanto è +20 dB/dec
Lezione 16
22
Maschera a destra del punto
critico 2x1010
• A sinistra del secondo punto critico 2x1010 la
pendenza della maschera è 20 dB/dec
– A destra di 2x1010, per la presenza di un punto critico
di polo, la pendenza della maschera deve diminuire
di 20 dB/dec e pertanto risulta orizzontale
Lezione 16
23
Quotatura della maschera 1/3
• Per pulsazioni a sinistra del primo punto critico
104 la maschera è espressa matematicamente
dalla funzione di trasferimento approssimata
per valori di s piccoli:
H m ( s) = H ( s) s ≈0
Lezione 16
s2
= − 13
10
24
Quotatura della maschera 2/3
• Nel punto critico 104 il valore in dB sulla
maschera vale:
4 2
( j10 )
−5
H m ( j10 ) = −
10
=
⇒ −100dB
13
10
4
Lezione 16
25
Quotatura della maschera 3/3
• Dal punto critico 104 al punto critico 2x1010 la
maschera è una retta con pendenza di
20dB/dec
• Nel punto critico 2x1010 tenendo conto della
pendenza di 20 dB/dec si ha:
∆ = 20(u2 x1010
Lezione 16
2 x1010
− u104 ) = 20 log10
= 6 + 120 = 126dB
4
10
26
Spettro di ampiezza
• Il diagramma di Bode esatto dello spettro di
ampiezza della funzione di trasferimento è
riportato in nero nella figura
Lezione 16
27
Stima errore massimo maschera
1/2
• Il punto critico 104 è relativo ad un polo.
L’errore si stima in -3dB:
H ( j104 )
dB
≈ H m ( j104 )
dB
− 3dB = −100 − 3 = −103dB
( valore esatto -103.01 dB)
Lezione 16
28
Stima errore massimo
maschera 2/2
• Il punto critico 2x1010 è relativo ad uno polo.
L’errore si stima in -3dB:
H ( j 2 ×1010 )
dB
≈ H m ( j 2 ×1010 )
dB
− 3dB = 26 − 3 = 23dB (valore esatto 23.01 dB)
≈ 26dB
≈ −100dB
Lezione 16
29
Diagrammi di Bode
Lezione 16
30
Decibel di coppia di zeri
complessi coniugati
• Una coppia di zeri complessi coniugati implica
la presenza al numeratore della funzione di
trasferimento del trinomio:
s 2 + 2ξ ωo s + ωo2
ξ smorzamento
0 < ξ ≤1
ωo pulsazione
• Una coppia di zeri complessi coniugati
introduce un punto critico definito dalla
ωo
Lezione
16
pulsazione
31
Maschera coppia zeri complessi
coniugati
2
• Per valori di s piccoli:
 s 
s
2
ξ
+
+1 ≈ 1
 
ωo
 ωo 
• Per valori di s grandi:
 s 
 s 
s
+
+
≈
2
ξ
1
 
 
ω
ω
o
 o
 ωo 
2
2
2
 s 
s
  + 2ξ
+1
ω
ω
o
 o
dB
Lezione 16
32
Spettro ampiezza coppia zeri
complessi coniugati
• Lo spettro di ampiezza dipende dallo
smorzamento ξ
Lezione 16
33
Errore massimo
• L’errore massimo si ha nel punto critico ωo e
vale: − 1
2ξ
Lezione 16
dB
34
Esempio
• Per smorzamenti piccoli, l’errore massimo
rispetto la maschera può assumere valori elevati
•
se lo smorzamento vale 0.1 si ha:
−
Lezione 16
1
2ξ
=−
dB
1
= − | 5 |dB ≈ −14dB
2 × 0.1 dB
35
Decibel di coppia di poli
complessi coniugati
• Una coppia di poli complessi coniugati implica
la presenza al denominatore della funzione di
trasferimento del trinomio:
s 2 + 2ξ ωo s + ωo2
ξ smorzamento
ωo pulsazione
0 < ξ ≤1
• Una coppia di poli complessi couniugati
introduce un punto critico definito dalla
ωo
Lezione
16
pulsazione
36
Maschera coppia poli complessi
coniugati
2
• Per valori di s piccoli:
 s 
s
2
ξ
+
+1 ≈ 1
 
ωo
 ωo 
2
• Per valori di s grandi:
 s 
 s 
s
+
+
≈
2
ξ
1
 
 
ω
ω
o
 o
 ωo 
2
2
 s 
s
−   + 2ξ
+1
ωo
 ωo 
dB
Lezione 16
37
Spettro ampiezza coppia poli
complessi coniugati
• Lo spettro di ampiezza dipende dallo smorzamento
ξ
Lezione 16
38
Errore massimo
• L’errore massimo si ha nel punto critico ωo e vale:
1
2ξ
Lezione 16
dB
39
Esempio
• Per smorzamenti piccoli, l’errore massimo rispetto
la maschera può assumere valori elevati
– se lo smorzamento vale 0.1 si ha:
1
2ξ
Lezione 16
=
dB
1
=| 5 |dB ≈ 14dB
2 × 0.1 dB
40
Decibel di zeri o poli c.c multipli
• Le maschere in corrispondenza di punti critici
relativi a zeri o poli complessi coniugati multipli di
ordine m, si ottengono da quelle relative a zeri
o poli semplici previa moltiplicazione per m
• L’errore massimo si ha nei punti critici ed a
seconda se si tratta di zero o polo vale:
1
∓m
2ξ
Lezione 16
dB
41
Diagrammi di Bode
Lezione 16
42
Spettro di ampiezza di risuonatore
parallelo 1/2
• Si voglia tracciare lo spettro di ampiezza del
risuonatore parallelo
C,L,R con funzione di trasferimento:
1
s
s
H ( s) =
=
=
2
2
1 1
1
1
C
(
s
2
s
+
+
ξω
ω
2
o
o)
sC + +
C (s +
s+
)
sL R
RC
LC
– dove:
Lezione 16
ωo =
1
LC
ξ=
1
1
=
2ωo RC 2Q
43
Spettro di ampiezza di risuonatore
parallelo 2/2
• Per semplicià sarà tracciata la funzione di
trasferimento normalizzata definita da:
( s / ωo )
H (s)
=
h( s ) =
2ξ R ( s / ωo ) 2 + 2ξ ( s / ωo ) + 1
Lezione 16
44
Punti critici
• Punti critici:
h( s ) =
( s / ωo )
( s / ωo ) 2 + 2ξ ( s / ωo ) + 1
punto critico di zero: 0 ( semplice)
punto critico di poli c.c.: ωo ( semplice)
• Per costruire la maschera totale si parte dalla
maschera relativa al punto critico 0 e si
aggiungono le maschere relative agli altri
punti critici man mano che essi si presentano al
crescere della pulsazione
Lezione 16
45
Maschera a sinistra del punto
critico
•
La maschera a sinistra del punto critico ω si
o
ottiene approssimando la funzione di
trasferimento per valori di s tendenti a zero
h( s ) =
Lezione 16
( s / ωo )
= ha ( s ) = s / ωo
2
( s / ωo ) + 2ξ ( s / ωo ) + 1 s ≈0
46
Maschera a destra del punto
critico
• A sinistra del punto critico ωo la pendenza della
maschera è +20dB/dec
– A destra di ωo , per la presenza di un punto critico di
coppia di poli complessi coniugati, la pendenza
della maschera deve diminuire di 40 dB/dec e
pertanto diventa di -20 dB/dec
Lezione 16
47
Quotatura della maschera 1/2
• Per pulsazioni a sinistra del punto critico la
maschera è espressa matematicamente dalla
funzione di trasferimento approssimata
per valori di s piccoli:
hm ( s ) = ha ( s ) = s / ωo
Lezione 16
48
Quotatura della maschera 2/2
• Nel punto critico il valore in dB sulla maschera
vale 0 dB
hm ( jωo ) =
Lezione 16
jωo
ωo
= 1 ⇒ 0 dB
49
Spettro di ampiezza
• Il diagramma di Bode esatto dello spettro di
ampiezza della funzione di trasferimento è
riportato in nero (per diversi valori
dello smorzamento)
Lezione 16
50
Stima errore massimo
maschera
• Il punto critico ωo è relativo ad una coppia di poli
complessi coniugati (semplici). L’errore si stima in
1
2ξ
= QdB
dB
– se lo smorzamento vale 0.1 si ha:
Q = 5 ≈ 14dB
valore esatto h( jωo ) = 13.98dB
Lezione 16
51