Successione di Fibonacci

Formula per la determinazione della
Successione generalizzata di Fibonacci.
A cura di Eugenio Amitrano
Contenuto dell’articolo:
1.
Introduzione
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2
2.
Successione di Fibonacci .
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2
3.
Formula di Binet per la successione di Fibonacci
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2
4.
Successione generalizzata di Fibonacci .
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3
5.
Formula per la Successione generalizzata di Fibonacci
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3
6.
Dimostrazione della Formula
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4
7.
Conclusioni .
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6
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Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci.
1. Introduzione
La formula proposta vuole essere una generalizzazione della formula di Binet che a
differenza di quest’ultima determina gli elementi, non solo della successione di
Fibonacci, ma di tutte le sue successioni derivate variando i due termini iniziali oltre
che definendo il peso d’incidenza dei due addendi che precedono ogni termine della
successione (da qui la definizione di Successione generalizzata di Fibonacci).
In precedenza alla formula anzidetta, sono illustrati la Successione di Fibonacci e la
Formula di Binet.
2. Successione di Fibonacci
La successione di Fibonacci, che indichiamo con (Fn )∀n∈N , è definita nel seguente
modo:
0
 Fn = Fn − 2 + Fn −1

F0 = 0


F1 = 1

∀n ≥ 2
È facile verificare che lo sviluppo di tale successione corrisponde alla seguente:
(Fn ) = {0,
1, 1, 2, 3, 5, 8, ...}
Da sempre, la Successione di Fibonacci ha attirato l’attenzione delle persone, in
quanto, oltre ad essere dotata di particolari proprietà matematiche, si trovano molto
spesso corrispondenze in natura, tanto da essere soprannominata “Successione
Divina”.
3. Formula di Binet per la Successione di Fibonacci
Per determinare un qualsiasi termine della Successione di Fibonacci, la Formula di
Binet si serve del famosissimo Rapporto Aureo.
Infatti, calcolando il limite del rapporto tra un termine della Successione con il suo
precedente lim
n
Fn
, otteniamo due soluzioni:
Fn −1
1. Il Numero Aureo
2. Il suo reciproco
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1+ 5
= 1,6180339...
2
1− 5
φ=
= 0,6180339...
2
Φ=
2
Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci.
Ogni elemento della successione di Fibonacci è determinata dalla seguente formula:
Fn =
Φn −φ n
5
∀n ∈ N 0
È straordinario verificare come una formula costituita da elementi irrazionali possa
fornire numeri interi come risultato.
4. Successione generalizzata di Fibonacci
La successione di Fibonacci, che indichiamo con (S n )∀n∈N , è definita nel seguente
modo:
0
S n = α ⋅ S n − 2 + β ⋅ S n −1 ∀n ≥ 2 ∀α , β ∈ R

∀S 0 ∈ R


∀S1 ∈ R

La generalizzazione consiste globalmente in due sotto-generalizzazioni:
a.
b.
I due termini iniziali S 0 e S1 possono assumere qualsiasi valore reale.
I due termini consecutivi, utilizzati per la determinazione del successivo,
sono moltiplicate per i rispettivi pesi α e β .
Nota: Applicando le seguenti posizioni S 0 = 0 , S1 = 1 , α = 1 , β = 1 , la Successione
generalizzata corrisponde alla Successione di Fibonacci.
5. Formula per la Successione generalizzata di Fibonacci
Come per la formula di Binet, calcoliamo il limite del rapporto tra un termine della
successione e il suo precedente χ = lim
n
relazione ∀t ∈ N 0 χ = lim
n
χ = lim
n
Sn
da cui è facile verificare la validità della
S n −1
S n −t
.
S n −t −1
α ⋅ S n − 2 − β ⋅ S n −1
Sn
S
α
= lim
= α ⋅ lim n − 2 + β = + β
n S
n
χ
S n −1
S n −1
n −1
quindi risulta χ =
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α
+ β portata a forma l’equazione di 2° grado χ 2 − βχ − α = 0 .
χ
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Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci.
Le soluzioni dell’equazione sono:
χ=
β ± β 2 + 4α
2
=
+ λ
-
µ
Ogni elemento della Successione generalizzata di Fibonacci è determinata dalla
seguente formula:
Sn =
α ⋅ S 0 ⋅ (λn−1 − µ n−1 ) + S1 ⋅ (λn − µ n )
(λ − µ )
∀n ∈ N
0
6. Dimostrazione della Formula
Dimostriamo la formula utilizzando il Principio di Induzione Matematica.
• Verifica delle basi
1
λ−µ
 α ⋅ S 0 ⋅ 

 α  = S ; VERA.
λ µ =
0
(λ − µ )
(λ − µ )
−
α ⋅ S 0 ⋅ (λ − µ ) + S1 ⋅ (λ − µ
(λ − µ )
Per n = 1 ;
α ⋅ S 0 ⋅ (λ0 − µ 0 ) + S1 ⋅ (λ1 − µ 1 ) S1 ⋅ (λ − µ )
= S1 ; VERA.
=
(λ − µ )
(λ − µ )
−1
0
0
)=
1
α ⋅ S 0 ⋅ 
Per n = 0 ;
−1
• Ipotesi induttiva
Sn =
S n −1
α ⋅ S 0 ⋅ (λn −1 − µ n −1 ) + S1 ⋅ (λn − µ n )
; VERA
(λ − µ )
α ⋅ S 0 ⋅ (λn − 2 − µ n −2 ) + S1 ⋅ (λn −1 − µ n −1 )
=
; VERA
(λ − µ )
• Tesi
S n +1
α ⋅ S 0 ⋅ (λn − µ n ) + S1 ⋅ (λn +1 − µ n +1 )
=
(λ − µ )
• Dimostrazione
Per definizione S n +1 = α ⋅ S n −1 + β ⋅ S n , e sostituendo l’ipotesi induttiva otteniamo:
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Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci.
S n +1
α ⋅ S 0 ⋅ (λn − 2 − µ n − 2 ) + S1 ⋅ (λn −1 − µ n −1 )
α ⋅ S 0 ⋅ (λn −1 − µ n −1 ) + S1 ⋅ (λn − µ n )
=α ⋅
+β⋅
(λ − µ )
(λ − µ )
Si procede, svolgendo alcuni passaggi algebrici:
S n +1
α 2 ⋅ S 0 ⋅ (λn − 2 − µ n − 2 ) + α ⋅ S1 ⋅ (λn −1 − µ n −1 ) + α ⋅ β ⋅ S 0 ⋅ (λn −1 − µ n −1 ) + β ⋅ S1 ⋅ (λn − µ n )
=
(λ − µ )
S n +1 =
α ⋅ S 0 ⋅ [α ⋅ (λn −2 − µ n − 2 ) + β ⋅ (λn −1 − µ n −1 )] + S1 ⋅ [α ⋅ (λn −1 − µ n −1 ) + β ⋅ (λn − µ n )]
(λ − µ )
Semplifichiamo l’espressione α ⋅ (λn −2 − µ n − 2 ) + β ⋅ (λn −1 − µ n −1 )
Sapendo che λ ⋅ µ = α e che λ + µ = β per definizione, risulta
α ⋅ (λn −2 − µ n − 2 ) + β ⋅ (λn −1 − µ n −1 ) =
(
)
(
)
= λ ⋅ µ ⋅ λn − 2 − µ n − 2 + (λ + µ ) ⋅ λn −1 − µ n −1 =
= λn −1 ⋅ µ − λ ⋅ µ n −1 + λn + λ ⋅ µ n −1 − λn −1 ⋅ µ − µ n =
= λn − µ n
Quindi α ⋅ (λn −2 − µ n − 2 ) + β ⋅ (λn −1 − µ n −1 ) = λn − µ n .
Per lo stesso procedimento, possiamo semplificare anche la seguente espressione:
α ⋅ (λn −1 − µ n −1 ) + β ⋅ (λn − µ n ) = λn +1 − µ n +1 .
Ora possiamo sostituire le due espressioni, ottenendo proprio la Tesi.
S n +1 =
α ⋅ S 0 ⋅ (λn − µ n ) + S1 ⋅ (λn +1 − µ n +1 )
(λ − µ )
Come Volevasi Dimostrare.
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Formula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci.
7. Conclusioni
Questa formula è applicabile in numerosi contesti.
Per citarne alcuni:
- In Matematica, per il calcolo delle Successioni Fibonacci-Simili (Es. Lucas);
- In Biologia, per la verifica delle corrispondenze naturali;
- In Economia, per le previsioni della borsa azionistica di Milano;
- Nella crittografia a chiave pubblica;
- In Informatica come Algoritmo di calcolo.
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