Calcolo combinatorio

«l’arte di contare senza contare»
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Numero di oggetti disponibili
Numero di oggetti che costituiscono una sola
estrazione
Regole per costruire le estrazioni: se si possono
utilizzare tutti gli oggetti o solo una parte, se lo
stesso oggetto può essere utilizzato una sola
volta o più volte, se conta o meno l’ordine degli
oggetti nelle estrazioni.
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Se una scelta può essere fatta in r modi diversi,
per ciascuno dei quali una seconda scelta può
essere fatta in s modi diversi, e per ciascuno dei
modi in cui sono state effettuate le prime due
scelte una terza scelta può essere fatta in t modi
diversi, …la successione di tutte le scelte potrà
compiersi in r*s*t*… modi diversi.
Questo è quello che viene chiamato principio
di moltiplicazione.
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Sia n il numero di elementi «disponibili» e k il
numero di elementi contenuti in una certa
estrazione, cioè la numerosità dell’estrazione.
I due criteri principali che caratterizzano il
conteggio dei raggruppamenti che si possono
formare sono l’ordine e la possibilità di
ripetizioni. A seconda che l’ordine venga
considerato o meno si parla di disposizioni o di
combinazioni, a seconda che vi sia possibilità di
ripetizioni o meno, le disposizioni e le
combinazioni saranno semplici o con ripetizione.
Si tratta di scegliere un elemento tra n disponibili e
prenderlo come primo elemento della lista di k
elementi che vogliamo formare. Il successivo verrà
scelto tra n-1, e così via fino al k-esimo elemento
che verrà scelto tra n-(k-1) elementi.
 Il
numero
di
possibili
raggruppamenti
(allineamenti di oggetti distinti presi a gruppi di k
ciascuno) che si possono comporre è dunque:
𝐷𝑛,𝑘 = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ∗ ⋯ ∗ (𝑛 − (𝑘 − 1))
con 𝑘 ≤ 𝑛.
 Se 𝑘 > 𝑛, 𝐷𝑛,𝑘 = 0
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Il numero 𝐷𝑛,𝑘 si può anche esprimere in questa
forma:
𝐷𝑛,𝑘 =
𝑛!
𝑛−𝑘 !
dove il fattoriale di un numero naturale n è così
definito:
𝑛! = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ∗ 𝑛 − 2 ∗ ⋯ ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1,
dove per definizione si pone 0!=1 e vale:
𝑛 + 1 ! = 𝑛 + 1 ∗ 𝑛!
 Il fattoriale di n è il prodotto di tutti i naturali in
ordine decrescente compresi tra 1 e n.
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Il caso particolare delle disposizioni semplici in
cui i raggruppamenti contengono k=n elementi
è detto permutazioni semplici di n elementi,
che si indicano con la notazione 𝑃𝑛 .
Sostituendo n al posto di k nella formula delle
disposizioni si ottiene:
𝑃𝑛 = 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ∗ ⋯ 𝑛 − 𝑛 − 1
= 𝑛 ∗ 𝑛 − 1 ∗ ⋯ ∗ 1 = 𝑛!
Sono gli allineamenti che si ottengono
scambiando di posto gli n elementi.
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Una disposizione con ripetizione di n oggetti
distinti presi k alla volta è un possibile modo di
scegliere k oggetti, eventualmente ripetuti, tra
gli n e ordinarli:
𝐷𝑛,𝑘 𝑟 = 𝑛𝑘
Esempio: quanti numeri di 3 cifre si possono
scrivere con le cifre 1,4,5,6,7 eventualmente
ripetendo ciascuna cifra?
Sono 53 = 125 numeri.
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Una permutazione di n oggetti di cui h uguali fra
loro e diversi dai precedenti, k uguali fra loro e
diversi dai precedenti, …,p uguali fra loro e diversi
dai precedenti, con h+k+…+p=n è:
𝑛!
𝑃𝑛,ℎ,𝑘,…𝑝 r =
ℎ! ∗ 𝑘! ∗ ⋯ 𝑝!
Esempio: quanti numeri posso formare con le cifre
1,1,2,2,2,3?
Sono 6 elementi, di cui l’uno ripetuto due volte e il
due ripetuto tre volte.
Quindi:𝑃6,2,3,1 r =
6!
2!∗3!∗1!
= 60.
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Le combinazioni di n oggetti presi a gruppi di
k sono il numero di campioni non ordinati di
numerosità
k.
Non
conta
l’ordine,
diversamente dal caso delle disposizioni.
Si indicano con 𝐶𝑛,𝑘 e rappresentano il numero
di sottoinsiemi di k elementi che si possono
estrarre da un insieme di n elementi.
Rispondono alla domanda: dati n oggetti, in
quanti modi ne posso scegliere k?
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Il numero 𝐶𝑛,𝑘 si indica anche con il simbolo
𝑛
(si legge «n su k» o «n sopra k») , chiamato
𝑘
coefficiente binomiale in quanto essi sono i
coefficienti dello sviluppo delle potenze di un
binomio, ossia di (𝑎 + 𝑏)𝑛 .
Infatti:
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛−𝑘 𝑏 𝑘
 (𝑎 + 𝑏) =
𝑎
𝑘=0 𝑘
Vale:
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𝐶𝑛,𝑘 =
𝑛
𝑘
=
𝐷𝑛,𝑘
𝑘!
=
𝑛!
𝑘!∗ 𝑛−𝑘 !
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E’ una combinazione che può avere la ripetizione
di uno stesso elemento.
Sono tutti i possibili raggruppamenti che si
possono formare con n oggetti, presi k alla volta,
considerando diversi due raggruppamenti che
differiscono per qualche elemento o per il numero
di volte in cui un oggetto viene ripetuto.
In questo caso k può essere maggiore, minore o
uguale a n.
𝐶𝑛,𝑘 𝑟 =
𝑛+𝑘−1 !
𝑘!∗ 𝑛−1 !
=
𝑛+𝑘−1
𝑘