i problemi del rally matematico transalpino nella

I problemi del
RALLY MATEMATICO TRANSALPINO
nella didattica quotidiana
Daniela Medici & Maria Gabriella Rinaldi
LUGO 4 SETTEMBRE 2015
Area e perimetro:
due concetti fondamentali per
la scuola primaria e oltre …
Un percorso con i problemi del
Rally MatematicoTransalpino
Scelta dell’argomento: PERCHE?
Come insegnante ho notato che gli allievi spesso confondono i
termini area e perimetro, soprattutto nella risoluzione di problemi
inerenti entrambi i concetti
Solo gli allievi particolarmente dotati o quelli che vivono
esperienze pratiche con genitori artigiani non hanno
difficoltà
Gli altri (e ogni anno sono sempre più numerosi)
imparano a memoria e senza riflettere le relative formule,
ma spesso applicano quelle per il calcolo dell’area
quando invece si tratta di calcolare il perimetro o
viceversa
Erica Zaccomer insegnante di scuola primaria
Confusione fra i due concetti
IL GIARDINO DEL SIGNOR TORQUATO (Cat. 3,4) (8°,I, 6)
Questo è il giardino del signor Torquato:
Nella parte grigia egli ha piantato fiori e ha
seminato a prato la parte bianca.
Il signor Torquato osserva il suo giardino e si
chiede:
«Sarà maggiore la parte con i fiori o quella con il
prato?»
E voi che cosa ne pensate?
Spiegate la vostra risposta.
Il giardino del signor Torquato
misura del perimetro
17,2% (cat.3)
27,1% (cat.4)
L’analisi dei risultati mette in evidenza
il cosiddetto
conflitto area-perimetro
Tale ostacolo si manifesta quando un allievo
“ … deve differenziare sullo stesso oggetto fisico o su una
rappresentazione geometrica le grandezze caratterizzate
da una sola dimensione da quelle bidimensionali ”
Jaquet, F.: 2000, Il conflitto area-perimetro
L’Educazione Matematica
Confusione fra le relative formule
Ecco alcune risposte ad un test d’ingresso alla
prima classe di scuola secondaria di primo
grado:
Il lato di un quadrato misura 6 cm. Calcola l’area del
quadrato.
6+6+6+6 = 24
6 x 4 = 24
6 x 6 = 36
Come mai gli allievi tendono a sommare, invece
di moltiplicare, le misure di larghezza e altezza?
Probabilmente:
• i relativi concetti non si sono formati
correttamente. Alle parole “area” e “perimetro”
associano un significato?
• il campo concettuale delle strutture additive (sul
quale spesso si insiste maggiormente) prevale
su quello delle strutture moltiplicative
(Vergnaud).
Confusione fra diversi concetti, ancora in cat.6
LA TORTA DI NONNA LUCIA (CAT.4,5,6) 22°, II, 6
Nonna Lucia ha preparato una torta rettangolare al cioccolato per la
merenda dei suoi nipoti Luca, Carlo, Sara e Maria.
Per darne una fetta ciascuno la divide in questo modo
Luca e Carlo non sono contenti perché pensano che Sara e Maria
abbiano i due pezzi più grandi.
Sara e Maria sostengono invece che ognuno ha ricevuto la stessa
quantità di torta.
Chi ha ragione?
Mostrate come avete trovato la vostra risposta
Le difficoltà perdurano nel tempo
2008 – III secondaria 1° grado - C 6
Risposta corretta 67%
2013- II SECONDARIA DI 2°GRADO – D5
percentuali
22,7- LS 29,2
18,8- LS 16,3
46,4 - LS 44,8
8,1 - LS 5,7
Dalle “Indicazioni nazionali per il curricolo della scuola d’infanzia e del
primo ciclo d’istruzione”
Obiettivi di apprendimento al termine della classe quinta della scuola primaria
• Determinare il perimetro di una figura utilizzando le più
comuni formule o altri procedimenti
• Determinare l’area di rettangoli e triangoli o di altre figure
per scomposizione o utilizzando le più comuni formule.
Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza
della scuola secondaria di primo grado
Determinare l’area di semplici figure scomponendole in figure elementari,
ad esempio triangoli od utilizzando le più comuni formule
Dalle “Indicazioni nazionali per il curricolo della scuola d’infanzia e del
primo ciclo d’istruzione”
La costruzione del pensiero matematico è un processo
lungo e progressivo nel quale concetti, abilità, competenze
ed atteggiamenti vengono ritrovati, intrecciati, consolidati e
sviluppati a più riprese, è un processo che comporta anche
difficoltà linguistiche e che richiede una acquisizione
graduale del processo matematico.
Programmi ministeriali del 1985
Suggeriscono la distinzione tra l’aspetto procedurale e l’aspetto
metrico rafforzata nelle Indicazioni metodologiche dalla proposta di
itinerari di lavoro distinti per la geometria e la misura.
Nella pratica scolastica, spesso per motivi di tempo e comodità di
strumenti, si tende a privilegiare la misura, ma, per non
pregiudicare la comprensione dei concetti e creare ostacoli, è
importante che il passaggio alla misurazione sia effettuato in una
fase successiva.
Programmi ministeriali del 1985
Si legge inoltre:
Le nozioni di perimetro, area e volume
andranno introdotte - a livello intuitivo –
anche per figure irregolari in modo da
svincolare questi concetti dalle formule …
BISCOTTI (Cat. 4, 5, 6) 14°, II,7
Ecco i biscotti che il pasticciere ha preparato per cinque bambini e che
ha disposto con molta precisione su un vassoio.
I biscotti sono tutti dello stesso spessore, ma alcuni dei bambini sono
insoddisfatti e dicono che il loro biscotto è più piccolo di quello degli
altri.
Jeff
Bob
Leo (< 7), Zoe (7),
Jeff e Bob (8), Anna (>8)
Leo
Zoe
Anna
Pensate che tutti i bambini avranno la stessa quantità di biscotto da
mangiare?
Se no, mettete i biscotti in ordine dal più piccolo al più grande.
Spiegate la vostra risposta.
E’ importante effettuare confronti
Il bambino è in grado molto presto di confrontare
aree di figure mediante ricoprimenti, per
sovrapposizione o mediante il peso (quando
possibile), così come è in grado di confrontare
lunghezze anche di linee curve (per esempio
utilizzando cordicelle) senza ricorrere alle
misure.
Tradizionalmente invece si lavora su una sola
figura inducendoli a misurare applicando le
relative formule.
OBIETTIVO PRIMARIO
RITARDARE IL PIU’ POSSIBILE L’INTRODUZIONE
DELLE FORMULE
ALMENO FINO A QUANDO NON SI SIA CERTI CHE I RELATIVI
CONCETTI SIANO STATI ASSIMILATI
IN POCHE PAROLE OCCORRE
FARE GEOMETRIA
PRIMA
DI FARE ARITMETICA APPLICATA ALLA GEOMETRIA
Applicazione delle formule per il calcolo
Quello che qui (nell’applicazione della formula dell’area)
è per l’adulto un atto di routine, è per il giovane
allievo un’operazione assolutamente nuova,
addirittura sconcertante: mentre egli sa
addizionare delle misure di lunghezze, la
somma delle quali è sempre una misura di
lunghezza, deve ora moltiplicare due misure
della stessa natura per ottenerne un’altra di
natura completamente differente.
(Jaquet, 2000)
OBIETTIVO PRIMARIO
In particolare area, perimetro e volume
devono essere
identificati come grandezza
prima di passare alla misura
Ma come iniziare la “Geometria”?
Senz’altro dagli oggetti che ci circondano!
E quindi dalla geometria in 3 dimensioni
che porta al concetto di
VOLUME
Perciò la sequenza più naturale è
Volume – area – perimetro
Occorre distinguere chiaramente
oggetti
grandezze
misure
«Si raccomanda di tenere distinta la fase della
considerazione della grandezza (come fatto geometrico o
fisico) da quella della misurazione (che significa
"nominare ogni grandezza con un certo numero")»
Speranza F. :1983, Matematica per gli insegnanti di matematica,
Gli oggetti sono le superfici, cioè le parti di piano, e le
linee, i segmenti o le poligonali
POLO «GEOMETRICO»
•
Le grandezze sono area e lunghezza: oggetti diversi
possono avere la stessa area o lo stesso “perimetro”
POLO «GRANDEZZA»
•
La misura è il numero razionale (o irrazionale) ottenuto
dal rapporto di due grandezze dello stesso tipo di cui
una è considerata unitaria
POLO «NUMERICO»
•
Un po’ di teoria
Tutti sappiamo cosa significa misurare
ma
che cosa si intende per “grandezza”?
Qualità di ciò che può essere più o meno grande
S. Baruk: Dizionario di matematica elementare
Ecco perché: aree, tempi, volumi, lunghezze, capacità, ampiezze angolari, velocità
…vengono chiamate grandezze
Che cosa è una grandezza ?
Ad esempio:
un segmento, un cerchio, un angolo sono figure mentre
la lunghezza del segmento, l’area del cerchio,
l’ampiezza dell’angolo sono grandezze.
Più precisamente non si misura il segmento ma la sua
lunghezza, non si misura il cerchio ma la sua area, non
si misura un angolo ma la sua ampiezza.
La lunghezza di un segmento è la stessa di tutti i
segmenti ad esso congruenti (o sovrapponibili)
quindi
quella particolare lunghezza è la caratteristica che
accomuna tutti i segmenti fra loro congruenti
Che cosa è una grandezza ?
Un insieme di segmenti, uno di angoli, uno di
superfici si possono ripartire in gruppi (classi
d’equivalenza) in base alle relazioni di
congruenza o di equiscomponibilità.
Ognuna delle classi così individuata è chiamata
lunghezza per i segmenti,
ampiezza per gli angoli,
area per le superfici.
E’ importante per un allievo rendersi conto che
figure equiestese
hanno tutte la stessa area
Abusi linguistici
Nel linguaggio comune spesso si confondono l’oggetto, la
grandezza e la misura:
Il segmento misura 2 centimetri
anziché
la lunghezza del segmento misura 2 centimetri
oppure
la misura della lunghezza del segmento è 2 centimetri
Anche la frase
“La lunghezza del segmento misura 2 centimetri”
non è corretta, sarebbe meglio dire
“La lunghezza del segmento è 2 centimetri”
“La lunghezza del segmento misura 2 in centimetri”
infatti la misura è un numero essendo il rapporto fra due lunghezze (di
cui una scelta come unità).
Al perimetro di una figura geometrica spesso si
attribuiscono significati diversi:
• contorno della figura
(la lunghezza del perimetro misura 10 in centimetri)
• lunghezza di tale contorno
(il perimetro misura 10 in centimetri)
• misura di tale lunghezza
(il perimetro è 10 in centimetri)
“Far scoprire agli allievi che la lunghezza (così
come l’area) è una proprietà degli oggetti
che può essere considerata al margine di
considerazioni numeriche
richiede un trattamento specifico.”
Chamorro, M.C.: 2001, Le difficoltà nell’insegnamentoapprendimento delle grandezze nella scuola di base, La
Matematica e la sua Didattica, n. 1 e n. 4, 2002,,
28
I problemi Il giardino del signor Torquato e La torta di
nonna Lucia, permettono di familiarizzare con il
concetto di area effettuando confronti di parti di piano
con varie modalità e non è necessario effettuare
misurazioni
Non è necessario quindi aver già introdotto la parola
“area” o alcuna formula
ma
tale concetto si formerà con gradualità negli allievi a
seguito delle varie e diverse situazioni problematiche
inerenti il concetto
I problemi quindi sono utili non
solo per consolidare o verificare
concetti già appresi,
ma, ancor prima, per “costruire”
i concetti in modo efficace
Alcuni problemi per sviluppare il polo «geometrico»
AREA
La sfida (cat. 3, 4, 5) (11°,F, 4)
Quadrato da ricoprire (Cat. 3, 4, 5) (12°, I, 5)
Rettangoli che passione! (Cat. 3, 4) (20°, F, 2)
Tagliamo i quadrati in quattro (Cat. 5, 6, 7) (20°, I, 9)
Il foglio di Francesco (Cat. 3, 4) (23, f, 1)
…
PERIMETRO
Fontanelle (cat.3) (11°, I, 1)
Il ragnetto (Cat. 4,5,6) (11°, I, 7)
…
RETTANGOLI CHE PASSIONE! (Cat. 3, 4) (20°, F, 2)
Ecco i cinque pezzi di un puzzle: due quadrati piccoli, un pezzo
composto da tre quadrati e altri due di quattro quadrati.
Pietro ha costruito un rettangolo la cui lunghezza è il doppio della
larghezza, utilizzando più di due pezzi.
Nadia ha costruito un rettangolo (non quadrato) utilizzando quattro
pezzi.
Giuseppe vuole costruire un rettangolo con tutti i pezzi disponibili.
Disegnate i rettangoli di Pietro e Nadia.
Riuscirà Giuseppe a costruire un rettangolo con i cinque pezzi?
Se sì, disegnatelo, se no, spiegate perché.
Pietro
Nadia
E’ impossibile formare un rettangolo che utilizza
tutti i pezzi, poiché con 13 quadrati unitari il solo
rettangolo possibile è il rettangolo 13 x 1.
FONTANELLE (Cat. 3) 11°, I, 1
Il signor Bevilacqua ogni mattina passa a bere un po’
d’acqua da ciascuna delle cinque fontane del paese di
Fontanelle.
C
A
B
D
E
Egli segue le strade del disegno. Parte sempre dalla
fontana A senza mai ritornare ad una fontana già visitata.
Quanti percorsi diversi il signor Bevilacqua può fare
per visitare tutte le fontane di Fontanelle?
Descriveteli in modo chiaro e preciso.
Alcuni problemi per sviluppare il polo «grandezza»
AREA
Il giardino del signor Torquato (cat. 3, 4, 5) (11°,F, 6)
Taglia e ritaglia (cat. 5, 6) (15°, I, 10)
La rosa di Giulia I (cat.3, 4) (15°, II, 4)
Biscotti (Cat.4, 5, 6) (14°, II, 7)
RMT 2005 (Cat. 3, 4) (13°, I, 2)
Scenario (Cat. 3, 4, 5) (20°, II, 4)
La torta di nonna Lucia (cat. 4, 5, 6) (22, ii, 6)
PERIMETRO
Romeo e Giulietta (cat. 4, 5) (16°, I, 6)
Attraverso la quadrettatura (cat. 3, 4) (8°, II, 8)
I cinque quadrati (cat. 3, 4) (14°, II, 2)
ATTRAVERSO LA QUADRETTATURA (8°, II, 8)
Andrea, Berta, Carlo, Denise, Emilio, Francesco e Giorgia hanno
scelto ognuno un percorso per attraversare la quadrettatura.
Andrea è partito da A per arrivare ad A', Berta da B a B', ecc.
A B
A'
C
D
B' C' D'
E
F
G
E' F' G'
Elencate questi percorsi dal più corto al più lungo.
Indicate come avete stabilito l’ordine dei percorsi e
spiegate il vostro ragionamento.
RMT 2005 (Cat. 3, 4) (13°, I, 2)
Sul muro della scuola è stata pitturata la parte interna delle lettere
R, M e T, preparate per la prossima finale del Rally Matematico
Transalpino. Rimane da dipingere la parte interna delle quattro
cifre del 2005.
Sofia dipinge il «2» e il primo «0». Mauro dipingerà l’altro «0» e
il «5».
Chi userà più pittura?
Sono stati esaminati 394 elaborati ( 176 cat.3 e 218
cat.4) di Belgio, Cagliari, Genova, Lussemburgo,
Parma, Perugia, Riva del Garda, Siena, Svizzera
Romanda
Emerge:
• Difficoltà nella scelta di una unità di misura:
conteggio dei pezzi (52% in cat.3 e 39% in cat.4)
• Confusione tra area e perimetro
Poiché i 2 zeri sono uguali non li
abbiamo contati . Poi abbiamo
calcolato il perimetro del 2 e del 5.
( cat.4)
Abbiamo provato a scrivere il 2 e
lo o e ci sembrava più lungo da
scrivere. Poi abbiamo provato a
scrivere l’altro 0 e il 5 e ci
sembrava più corto da scrivere,
Sofia ha usato più pittura che
Mauro. (cat.3)
Il conflitto area-perimetro viene superato in una
attività di laboratorio in cui si forniscono agli allievi
trapezi, rettangoli, quadrati e triangoli perfettamente
sovrapponibili alle figure che compongono i numeri.
In questo modo agli allievi non viene in mente di
misurare i perimetri
Materiale
80 «mattoni»: 20 rettangoli, 20 quadrati, 20
triangoli e 20 trapezi rettangoli
Soluzione
È Marco che userà più pittura perché dovrà
dipingere un mattone in più di Sofia (18 nel «5»
contro 17 nel «2»)
Livello
dal terzo anno della scuola primaria
L’attività di laboratorio permette
di prendere contatto con l'oggetto fisico
(polo geometrico)
di identificare la grandezza fra tutte quelle che entrano
«in gioco»: le facce visibili dei mattoni hanno un
perimetro, un colore, altre caratteristiche,… ma ciò
che interessa è l'area
(polo grandezza)
Sviluppi matematici
Attribuire una misura:
scegliere un’unità di misura opportuna
ed esprimere con un numero (naturale o
razionale a seconda dell’unità scelta) le aree.
(polo numerico)
Alcuni problemi per sviluppare il polo «numerico»
del concetto AREA
Quadrati colorati (Cat.3) (20°,F, 1)
I cuscini della principessa (Cat. 3,4) (7°, F, 5)
Il quadrato di Tommaso (Cat. 5, 6) (15°, I, 8)
…
I cuscini della principessa (Cat. 3,4) (7°, F, 5)
La principessa Zubeida è costretta a letto. Ci sono sette cuscini
quadrati identici sul suo letto. Zubeida ha male qui e male là.
Per trovare sollievo cambia di posto i suoi cuscini.
Quando questi sono uno accanto all’altro ne occorrono cinque per
occupare tutta la lunghezza del letto. Ma sono sufficienti quattro
cuscini per la larghezza.
La principessa vorrebbe ricoprire tutta la superficie del letto con dei
cuscini, li chiede perciò alla sua cameriera.
Quanti altri cuscini, delle stesse dimensioni, dovrà portare la
cameriera perché la principessa possa ricoprire tutta la
superficie del letto?
Spiegate come avete trovato la vostra soluzione.
Alcuni problemi per sviluppare il polo «numerico»
del concetto PERIMETRO
IL robot Arturo (Cat. 3, 4) (20, II, 2)
Campi da gioco (Cat. 3, 4) (19°, II, 4)
La cordicella (I) (Cat. 3, 4) (21°, F, 1)
La cordicella (II) (cat. 5, 6, 7) (21, f, 8)
CAMPI DA GIOCO (Cat. 3, 4) (19°, II, 4)
Sul prato davanti a casa, Luca ha formato un campo da gioco quadrato con un nastro
rosso di 20 metri di lunghezza teso tra quattro paletti (indicati con le lettere L, U, C,
A, nella figura).
Lina, invece, ha formato un campo rettangolare, accanto a quello di Luca, con un
nastro blu di 40 metri di lunghezza teso tra due dei paletti di Luca (quelli indicati
con le lettere L ed A) e altri due paletti (indicati nella figura con le lettere N ed I).
(Attenzione, la figura non è precisa, ma potete colorare: di rosso il nastro di Luca e di blu
quello di Lina)
Ora i due bambini decidono di tendere un nastro verde tra i quattro paletti N, I, U,
C. Così essi formano un grande campo da gioco rettangolare che unisce i due
campi più piccoli.
Qual è la lunghezza del nastro verde?
Spiegate come avete trovato la vostra risposta.
2013- I - D18
Il rettangolo AFED è formato da due quadrati congruenti ABCD e BFEC con
un lato in comune.
D
C
E
A
B
F
Il perimetro di ciascuno dei quadrati misura 24 cm. Quanto misura il
perimetro del rettangolo AFED?
Scrivi i calcoli che fai per trovare la risposta e poi riporta sotto il risultato.
………………………………………………………………………………………………
Risultato: ………… cm
errata
corretta
mancata
68,5
18,8
12,7
V – 2013 - D7. Osserva la figura
1 cm2
Quanto misura, in centimetri quadrati, la superficie
del quadrato bianco?
Risposta: ………………… cm2
errata
corretta
mancata
55,7
41,1
3,2
2013- I - D11.
Giulio dice che l’ottagono rappresentato in figura ha il perimetro di 8 cm.
Giulio ha ragione? Scegli una delle due risposte e completa la frase.
□ Giulio ha ragione perché
………………………………………………………………………………………..
□ Giulio non ha ragione perché
…………………………………………………………………………………………
errata
corretta
mancata
79,7
14,3
6,0
PROBLEMI per
il consolidamento e
il superamento
del conflitto area- perimetro
•
La cordicella (Cat. 4, 5) (15°, F, 7)
• La mucca di nonna papera (Cat. 3,4) (15°,I, 4)
• Il pavimento decorato (Cat. 4, 5, 6) (16°,II, 8)
• Il campo ingrandito (Cat. 5, 6, 7) (15°,II, 11)
• Da un recinto all’altro (Cat. 7, 8, 9, 10) (14°, F, 14)
• Tre amici e i loro disegni (Cat. 4, 5, 6) (20°, II, 6)
• Pavimento di legno (Cat. 7, 8, 9, 10) (23, I, 4)
…
LA MUCCA DI NONNA PAPERA (Cat. 3, 4) (15, I, 4)
Gli alberi del frutteto di Nonna Papera sono allineati molto bene.
Essi sono rappresentati dai punti neri nella figura qui sotto.
Lunedì mattina, Nonna Papera ha fatto un recinto per consentire
alla sua mucca Ortensia di brucare l’erba che cresce sotto gli
alberi. Ha utilizzato 8 pali di legno, 4 più lunghi e 4 più corti,
che ha sistemato tra 8 tronchi di alberi, in modo da collegare
un tronco ad un altro.
Lunedì sera, Ortensia ha mangiato tutta l’erba del recinto, ma ha
ancora fame.
Martedì mattina, Nonna Papera fa un nuovo recinto, più grande di
quello di lunedì, utilizzando gli stessi 8 pali. Ortensia avrà così
più erba da mangiare.
Martedì sera, Ortensia ha mangiato di nuovo tutta l’erba del
recinto, ma ha ancora fame.
lunedi
martedi
Piantina del frutteto di Nonna Papera
con la posizione dei recinti di lunedì e martedì
lunedi
martedi
Aiutate Nonna Papera e disegnate un recinto per mercoledì ed un altro per
giovedì, via via più grandi, per dare ogni giorno più erba ad Ortensia.
Ma attenzione, dovete ogni volta collegare tra loro 8 alberi, utilizzando
sempre gli stessi 8 pali.
Spiegate perché il vostro recinto di mercoledì è più grande di quello di
martedì e il vostro recinto di giovedì è più grande di quello di mercoledì.
Risultati della sezione di Parma
Punt.
0
1
2
3
4
Cat. 3
35 classi
12
34%
14
40%
2
6%
1
3%
6
17%
Cat. 4
53 classi
11
20%
10
20%
8
15%
5
10%
19
35%
TRE AMICI E I LORO DISEGNI (Cat. 4, 5, 6) (20°, II, 6)
Tre amici, Anna, Bea e Carlo, hanno disegnato queste tre figure su
un foglio di “carta punteggiata”.
La figura di Anna ha la stessa area di quella di Bea e lo stesso
perimetro di quella di Carlo.
Qual è la figura di Anna? Spiegate la vostra risposta.
Ora disegnate, accanto alle figure dei tre amici, un’altra
figura che abbia la stessa area e lo stesso perimetro di quella
di Anna.
… dall’analisi a priori:
Occorre cercare una disposizione di due segmenti di tipo d e otto
segmenti di tipo l che dia un’area di 7 q.
Ci sono varie figure possibili, come ad esempio, le seguenti:
Tre amici e i loro disegni / Trois amis et leurs dessins
Punt.
Cat. 4
Cat 5
Cat. 6
tot
0
126
111
207
444
1
115
142
207
464
2
92
125
210
427
3
69
84
187
340
4
25
31
65
121
in %
Cat. 4 30%
27%
22%
16%
6%
Cat 5 23%
29%
25%
17%
6%
Cat. 6 24%
24%
24%
21%
7%
26%
24%
19%
7%
tot
25%
Totale
427
493
876
1796
m
1,4
1,6
1,7
1,6