`definitiva` nello studio grafico del diagramma degli ascendenti?

Gnomonica Italiana
Una parola ‘definitiva’
nello studio grafico del diagramma
degli ascendenti?
Alessandro Gunella
Dopo aver raccontato la ‘storia’ del quadrante degli
ascendenti nel numero 18 di GI, l’autore spiega
brevemente come sia possibile individuare un adeguato
numero di punti di tali linee attraverso l’uso del diagramma
dell’astrolabio polare ridotto alle sole linee di Cancro, di
Capricorno, dell’eclittica e dell’orizzonte.
After the illustration of the ‘history’ of the Ascending Signs
quadrant, made in GI no. 18, the Author explains briefly
how it can be possible to find an adequate number of
points of such lines, through an abridged polar Astrolabe
diagram, with only the Cancer, Capricorn, ecliptic and
horizon lines.
Q
ueste note vogliono essere una continuazione all’articolo pubblicato nel N° 18 di
Gnomonica Italiana (Giugno 2009). Nel
precedente articolo avevo illustrato, prendendo come
spunto la nota del collega Anselmi sugli orologi solari di
Mondovì, le vicissitudini ‘storiche’ del ‘diagramma degli
Ascendenti’, di cui alcuni hanno scritto e che quasi nessuno ha costruito. L’argomento, indubbiamente legato a
ricerche di tipo astrologico, è stato studiato soprattutto
nei secoli 16° e 17°, per poi essere del tutto trascurato.
Ma neppure in questi secoli l’argomento è considerato
rilevante per molti trattatisti. Solo pochi (i migliori?) si
azzardano a introdurlo: spiegazione troppo complessa
per un libro di divulgazione o ritegno per argomenti non
sempre ammessi dai censori? Scarsa rilevanza? Prendiamo per buona quest’ultima ipotesi, pro bono pacis.
Come noto, il diagramma degli Ascendenti illustra il variare della posizione dell’Eclittica nel cielo in relazione
ai momenti in cui gli inizi (o punti convenzionalmente definiti) dei Segni Zodiacali ascendono all’orizzonte
locale. Le linee che rappresentano il diagramma sono
segmenti di retta, perché nella rappresentazione della
cosiddetta sfera celeste l’Eclittica è un cerchio massimo,
e le proiezioni dei cerchi massimi su pareti piane sono
segmenti di retta. Esse inoltre sono tangenti alle curve
estreme di declinazione, perché ovviamente i punti di
Cancro e Capricorno percorrono tali curve.
E i punti di Ariete e Libra appartengono alla
Equinoziale.
Nel precedente articolo ho citato ‘pezzi grossi’ del-
la gnomonica di epoca post-rinascimentale e barocca,
come Schöner, Clavius, Kircher, Maignan, e personaggi
un poco meno rilevanti, come S.te Marie Magdeleine e
Stengel.
Infine avevo citato Guarino Guarini e il suo libro (1683,
Coelestis mathematicae pars secunda, continens Geometricas Umbrarum Leges, Milano), proprio perché all’intero testo corrispondeva, come epoca di costruzione e
soprattutto come ‘linea guida’, il complesso gnomonico
sulla facciata del Palazzo di Giustizia di Mondovì, e di
conseguenza la forse unica rappresentazione parietale
in Italia di questo genere di diagramma.
La lettura del Guarini mi ha fornito l’occasione per rivedere daccapo e riordinare le mie conoscenze in merito a questo genere di diagramma, e ai problemi legati
alla sua costruzione: problemi che poi a ben vedere si
riducono ad un’unica ispirazione e due metodi grafici,
trattati dai vari autori con varianti di tipo operativo,
ma non sostanziali: un metodo collegato più o meno
strettamente alla figura dell’Analemma di Vitruvio,
con exploits grafici che utilizzano tutte le conoscenze
di prospettiva dell’epoca; ed un secondo, che potremmo definire ‘indiretto’, e non descritto espressamente
da nessuno, ma poi ampiamente applicato: attraverso
l’Astrolabio polare.
La parte del testo di Guarini dedicata agli ascendenti
è molto ampia, circa un quinto dell’intero trattato di
gnomonica: il discorso si snoda al fine di soddisfare una
esigenza, ovvia, ma a cui i predecessori (non cito successori, perché non ne ho trovati) non hanno mai fatto
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Anno VII - n° 20 - Marzo 2010
cenno: premesso che tali linee vanno trasferite su quadranti piani che per la loro declinazione, o inclinazione,
possono essere assai parziali rispetto all’arco diurno, è
bene trovare più punti per ogni linea da costruirsi, cosicché, se non è possibile utilizzare una coppia di dati
perché i punti non sono compresi nel piano utile, sia
sempre possibile fare ricorso ad un’altra.
(Per la verità anche Maignan, circa 35 anni prima, deve
necessariamente avere trovato più punti per ogni linea,
per costruire i suoi quadranti catottrici nelle volte. Ma
nel suo libro non dice quasi nulla, sorvolando a piè pari
qualsiasi descrizione del metodo di cui si è servito).
Non mi dilungo a spiegare i metodi del Guarini,
che sono sulla scia di chi, come Kircher, si è servito
dell’analemma, ma hanno una impostazione originale,
e richiedono una elaborazione non indifferente, apparentemente divagante e slegata rispetto agli obiettivi da
raggiungere, salvo congiungersi, alla fine del capitolo,
nella soluzione del problema.
L’aspetto rilevante è stato per me l’obiettivo che si era
posto Guarini: la ricerca di più riferimenti per ogni linea da costruirsi, nel suo caso almeno cinque: punto
di orizzonte in cui un segno sorge (elongazione) e il
suo opposto tramonta; punti di tangenza alle curve di
declinazione di Cancro e Capricorno; attraversamento
dell’Equinoziale; declinazioni dei punti in cui l’eclittica attraversa le linee orarie delle 6 antimeridiane e del
mezzodì.
fig. 1 - proiezione dei tropici
Confrontando le varie impostazioni, sono giunto alla
conclusione che un diagramma semplificato dell’astrolabio, oggi fortunatamente con l’aiuto di un CAD, offra
le soluzioni più semplici, immediate e di elevata qualità,
che corrispondono alle premesse del Guarini, e volendo
possono andare addirittura oltre. Naturalmente l’uso di
metodi elettronici per la grafica supera i difetti tipici di
questo strumento (ad es. eccentricità e parallassi, che
all’epoca non erano considerate rilevanti), e le imprecisioni ovvie in una esecuzione puramente manuale dei
disegni.
Illustro brevemente come si deve fare, perché mi pare
che sia il modo più adeguato per superare tutte le difficoltà connesse con la costruzione del diagramma degli
ascendenti.
Le figure 1, 2, 3 illustrano la sequenza con cui si può
costruire il quadrante base dell’astrolabio, utile per questo studio: le tratto brevemente, senza dilungarmi in
dimostrazioni (dovrei rimandare il lettore a testi come
quelli del Morrison, o del D’Hollander, per riferirmi ai
più recenti, ma è probabile che sarei mandato a quel
paese…).
Nella figura 1 (Ho usato la declinazione massima di
23,5°, come negli anni in cui l’astrolabio si costruiva;
occorrerebbe oggi usare 23° 26’) si illustra la costruzione delle curve di Cancro e di Capricorno partendo
dal cerchio equinoziale AB: si tracciano gli angoli XCT
e TCY, corrispondenti al due paralleli XX’ di Cancro
fig. 2 - costruzione della Eclittica
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fig. 3 - costruzione dell-Orizzonte
Gnomonica Italiana
fig. 4 - (esempio) ascende Toro
momento in cui ascende l’inizio di Toro: con riferimento allo schema a destra di chi guarda, si è ruotata l’eclittica in modo che i punti F e L si trovino
sull’orizzonte obliquo, individuando l’ora antimeridiana (arco DF = 100,556°) in cui avviene l’attraversamento dell’orizzonte locale. Si hanno di conseguenza
le distanze dei punti di Capricorno e Ariete dal vertice
di mezzodì (rispettivamente 17,344° pm e 72.656° am),
mentre Libra e Cancro sono nella parte notturna. Successivamente, con una costruzione grafica analoga, ma
opposta a quella usata per la figura 1, si individuano le
declinazioni dei punti X e M di attraversamento delle
linee delle ore 6 e 12 mediante le linee di proiezione DX
e AM. Si trovano così sulla Equinoziale rispettivamente
i punti Y e P, che generano gli archi YB e DP (7,385°
estivi e 22,541 invernali), corrispondenti alle declinazioni di X ed M rispetto alla Equinoziale.
Qui non ci si dilunga, ma con lo stesso metodo è possibile individuare, sempre su questi grafici schematici, la
declinazione dei punti in cui l’eclittica attraversa qualsiasi linea oraria (ore vere).
Se poi ci rifacciamo alla parte sinistra della figura 4, vediamo che, dei 5 dati raccolti, solo tre sono utilizzabili
per un orologio verticale non declinante: gli attraversamenti di equinoziale e meridiana (risp. Z e W), e la
tangenza K alla curva di Capricorno. Per quest’ultima
la costruzione è la seguente: si trova la linea oraria CH
corrispondente a 17,344° pm, e il punto di tangenza alla
curva di declinazione è K, estremo della linea oraria.
Quanto ai punti di intersezione con le linee orarie (nel
nostro caso W), all’epoca era in uso, per costruire le
curve di declinazione direttamente sui muri, il cosiddet-
e YY’ di Capricorno, e si proiettano da A i punti X e
Y, trovando i punti S e T, che permettono di costruire i due cerchi. La figura che si ottiene va interpretata
come segue: Il punto A è usato temporaneamente come
ribaltamento del polo di proiezione (che convenzionalmente è il polo Sud). Dopo le operazioni di proiezione,
il segmento CT è la linea di mezzodì, e ACB la linea
delle 6. Il cerchio esterno è quello di Capricorno, quello
intermedio l’Equinoziale, e quello interno è il cerchio
di Cancro.
La figura 2 illustra la costruzione della proiezione polare dell’eclittica: essa è un cerchio tangente ai due cerchi
di declinazione massima, e nella figura passa anche dai
punti A e B, perché è un cerchio massimo, ed ha sempre
un diametro in comune con l’altro cerchio massimo che
è la Equinoziale. Per individuare i punti di inizio dei
segni si operi come segue: si individui l’angolo di declinazione BCR = 23,5° e si proietti R da A trovando S,
proiezione del polo dell’eclittica sul piano dell’equatore. Si divida poi il cerchio equinoziale in 12 parti uguali
(punti Q) che vengono proiettati da S sulla eclittica. Le
proiezioni sono gli estremi dei segni zodiacali.
Nella figura 3 si introduce l’elemento che caratterizza
la connessione con il luogo in cui si opera, l’orizzonte
locale: qui si è scelto l’angolo di 42° (latitudine di Roma,
all’incirca). Dato l’angolo di latitudine BCT, si proietta T da A, trovando O e O’: il cerchio dell’orizzonte è
AOBO’, che è utile solo nel tratto compreso all’interno
del cerchio di Capricorno. Anche questo è un cerchio
massimo ed ha un diametro AB in comune con l’Equinoziale.
La figura 4 illustra ad esempio l’assetto del Cielo nel
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Anno VII - n° 20 - Marzo 2010
fig. 5/a
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Gnomonica Italiana
fig. 5/b
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Anno VII - n° 20 - Marzo 2010
Tab. a ASCENDENTI PER LA LATITUDINE 42° NORD
Discend.
Ascend.
Attraversa
l’orizz.
Gradi
ore
Distanza
Distanza di
di
N da h 12
H da h 12
Gradi
ore
Distanza di Distanza di
E da h 12 K da h 12
L’eclittica attraversa la linea
delle
Ore 6 alla
declinazione
Ore 12 alla
declinazione
Gradi
ore
Gradi
ore
Gradi
ore
gradi
gradi
+ 90, 000
0.000
+ - 23,5
ARIETE
E
K
90,00
6,00
0,000
-90,000
6,000
TORO
F
L
100,556°
5,296 AM
+ 17,344
1,156 PM
- 72,656
7,156 AM
+ 7,385
- 22,541
GEMELLI
G
M
109,349
4,710 AM
+ 38,458
2,564 PM
- 51,542°
8,564 AM
+ 15,132
- 18,803
CANCRO
H
N
113,048
4,463 AM
-113,048
4,463 AM
+ 66.952
4,463 PM
- 23,048
10,463AM
+ 21,807
- 9,661
LEONE
I
O
109,349
4,710
-77,155
6,856 AM
+ 12,845
0,856 PM
+ 22,974
+ 5.521
VERGINE
J
P
100,556
5,296 AM
-38,456
9,436 AM
+ 51,544
3,436 PM
+15,132
+18,804
LIBRA
K
E
90,00
6.00
0.00
+ 90,000
6,000
- 90.000
6,000
0.00
+- 23,5
SCORPIONE
L
F
79,444
6,70 4AM
+ 38,456
2,564 PM
- 51,544
8,564 AM
- 15,132
+ 18,804
SAGITTARIO
M
G
70,651
7,290 AM
+ 77,155
5,144 PM
- 12,845
11,144 AM
- 22,974
+ 5,521
CAPRICORNO N
H
66,952
7,537 AM
113,048
7,537 PM
- 66,952
7,537 AM
+ 23,048
1,537 PM
- 21,807
- 9,661
ACQUARIO
O
I
70,651
7,290 AM
- 38,458
9,436 AM
+ 51,542
3,436 PM
-15,132
- 18,803
PESCI
P
J
79,444
6,704 AM
- 17,344
10,844 AM
+ 72,656
4,844 PM
-7,385
- 22,541
to manaeus (si veda Vitruvio) che era chiamato sciaterre
in Francia, per cui l’individuazione della declinazione
era considerata una semplificazione ai fini del trasferimento dei dati sul grafico.
Si osserva che il dato relativo a L discendente differisce di 12 ore dall’ascendente, e che fra E e N lo scarto
è sempre di 6 ore.
Nella figura 5 sono illustrate le varie posizioni dell’eclittica al sorgere di ciascuno dei Segni, con i dati numerici
che se ne possono trarre.
Tali dati sono stati raccolti nella tabella A, valida ovviamente solo per la latitudine per cui sono stati ‘calcolati’.
Esempio.
L’inizio di Toro attraversa l’orizzonte alle ore 5,296
AM, e il suo discendente, inizio di Scorpione, attraversa
l’orizzonte alle 5,296 PM. In quel momento l’inizio di
Capricorno si trova sulla sua curva di declinazione sulla
linea oraria delle 1,156 PM, mentre quello di Cancro
è notturno (scarto di 12 ore). L’inizio di Ariete è sulla
Equinoziale nel punto delle ore 7,156 AM ( scarto di
6 ore dai punti di Cancro e di Capricorno); l’inizio di
Libra è ovviamene alle 7,156 PM. La linea dell’ascendente Toro attraversa la linea oraria delle ore 6 AM nel
punto di declinazione +7,385° e la linea delle ore 12
alla declinazione verso Capricorno –22,541° (positiva la
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Gnomonica Italiana
declinazione verso Cancro).
Come ho scritto sopra, esistono ovviamente altri metodi grafici per individuare i punti di riferimento atti
alla costruzione di queste linee: assai interessante la sequenza proposta da Kircher, che in parte fa riferimento
all’orologio equinoziale, e si presenta particolarmente
semplice e suggestiva. Tuttavia gli elementi trovati sono
di solito solo due, e nessun metodo individua con altrettanta immediatezza di quello qui proposto la serie di
ben 5 elementi illustrata nella tabella A.
Sicuramente qualche collega, patito di Analisi mentre io
sono patito di Geometria, si cimenterà nella soluzione
analitica del problema. Aspetto un bel file.
Bibliografia
CLAVIUS C. (1581), Gnomonices libri Octo, Roma.
D’HOLLANDER (1999), L’astrolabe – histoire, théorie et pratique, Toulouse.
GUARINI (1683), Coelestis Mathematicae Pars Secunda,
Continens Geometricas Umbrarum Leges, Milano.
KIRCHER (1642), Ars Magna Lucis et Umbrae, Roma.
MAIGNAN (1648), Perspectiva Horaria sive de Horologiographia, Roma.
MORRISON (2007), The Astrolabe, Tallemadge OH (USA)
S.TE MARIE MAGDELEINE (1663) – Traité d’Horologiographie
(varie), Lyon.
STENGEL (1702), Gnomonica Universalis sive Praxis Amplissima …, Ulm (varie in tedesco e in latino)
LA LUNGHEZZA DELL’OMBRA DI UNA PERSONA ERA ANTICAMENTE MISURATA CON I
‘PIEDI’ DELL’OSSERVATORE STESSO. ALESSANDRO GUNELLA PORTA ALL’ATTENZIONE
DEI LETTORI LA PRESENZA DI UNA SCALA INCISA SUL RETRO DI ANTICHI ASTROLABI
ARABI, APPOSITAMENTE TRACCIATA PER IL MEDESIMO SCOPO.
Antiche
soluzioni
UNA
re, il diagramma sulla destra di chi guarda
offre la valutazione diretta della lunghezAlessandro Gunella
za dell’ombra: nella figura, per esempio,
alla posizione dell’alidada corrisponde da
Nel verso di alcuni astrolabi, fra i più anti- una parte un angolo d’altezza del Sole di
chi di provenienza da paesi musulmani, si circa 42°, e dall’altra un valore di circa 13
trovano sovente delle suddivisioni piutto- dita.
sto criptiche degli archi di 90° costituenti
la metà inferiore della corona circolare Nella figura ho segnato il
che fa da cornice, mentre nei quadranti punto A, che corrisponde
della parte superiore della stressa cornice a 12 unità e ad un angolo
si trovano le normali suddivisioni gonio- d’altezza di 45° (lo spigolo
metriche, utili per trovare ad esempio gli del vicino diagramma delle
angoli d’altezza con l’alidada.
cosiddette ‘ombre’); di conSi tratta di suddivisioni connesse con le seguenza la base del calcolo
disposizioni circa le preghiere, da farsi per la costruzione della sudin periodi orari ben definiti dalle norme divisione del quadrante è il
contenute nel Corano. Queste ultime valore convenzionale assundanno ai credenti dei riferimenti con- to da A nella graduazione:
nessi con la lunghezza delle ombre, con- che è appunto 12.
frontate con l’ortostilo di un orologio solare orizzontale. Esse erano misurate in La costruzione della graduadodicesimi dell’altezza dello gnomone, zione è piuttosto semplice:
secondo l’antico uso, comune a tutti i po- supponiamo di volere indicapoli indoeuropei, di suddividere qualsiasi re il punto cui corrispondono
unità di misura in dodicesimi.
15 dita: è sufficiente calcolare
In luogo della misura sull’orologio sola- l’angolo x nella relazione:
PARTICOLARITÀ GNOMONICA DEGLI
ASTROLABI ARABI
16
cotg x = 15/12 = 1,25
e tracciare la linea dopo aver posizionato
l’alidada sull’angolo x= 38° 40’.
La suddivisione del quadrante a sinistra di
chi guarda è ancora una indicazione della
lunghezza dell’ombra, operata con criteri
del tutto analoghi, ma su base 7 (si veda la
posizione del punto B), in quanto sovente
l’ombra veniva valutata direttamente misurandone con i piedi lo sviluppo sul piano orizzontale. La lunghezza del piede è
circa la 7a parte dell’altezza della persona,
secondo un’antica consuetudine.
Quindi l’alidada, posizionata in modo da
misurare l’altezza del Sole, dà direttamente, oltre all’angolo d’altezza (almicantarat), la lunghezza dell’ombra rapportata
all’unità di riferimento.