Logica di Gödel

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Logica di Gödel
LOGICA FUZZY, I
LOGICA DI GÖDEL
SINTASSI, SEMANTICA POLIVALENTE, COMPLETEZZA
VINCENZO MARRA
1. Sintassi
Si consideri nuovamente l’alfabeto A = {(, ), X, |, $, →, ∧, ∨, ¬ ⊥, >} impiegato
per la logica proposizionale classica, e sia A ∗ l’insieme delle stringhe su A .
L’insieme delle formule (ben formate) della logica di Gödel è definito esattamente
come nel caso classico, e parimenti denotato Form. Come nel caso classico, si scrive
(α ↔ β)
come abbreviazione di
((α → β) ∧ (β → α)) .
Inoltre, si omettono spesso dalle formule le parentesi non necessarie: ad esempio,
in luogo di (α ∧ β) si scrive α ∧ β. A rigore, ciò richiede che si fissino appropriate
convenzioni sulle priorità dei connettivi logici, che non enunceremo esplicitamente.
Si ricordi che le stringhe che compaiono nella condizione (1) della definizione di
Form, cioè quelle della forma
X || · · · | $ ∈ Form
| {z }
n volte
per n ∈ N, sono dette variabili proposizionali, o formule atomiche, o semplicemente
variabili. L’insieme delle variabili è denotato da Var. Come si è visto, si usa
abbreviare
X || · · · | $
| {z }
n volte
con Xn , per n ∈ N. Evidentemente continua a valere la leggibilità univoca delle
formule. Si continuerà a indicare con Var (α) l’insieme delle variabili di una formula
α ∈ Form, e con α(X1 , . . . , Xn ), per n ∈ N, una formula α le cui variabili siano un
sottoinsieme di {X1 , . . . , Xn }.
2. Semantica polivalente
Nella logica proposizionale classica, l’insieme dei valori di verità è {0, 1}. La
semantica della logica di Gödel, invece, si fonda sull’insieme di valori di verità
[0, 1] ⊆ R, cioè sull’intervallo dei numeri reali compresi fra 0 (detto il falso, o il
falso assoluto) e 1 (detto il vero, o il vero assoluto)
Date: 13 novembre 2007.
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Definizione (Assegnamento). Un assegnamento atomico nella logica di Gödel è
una qualunque funzione
µ0 : Var → [0, 1] .
Un assegnamento (o una interpretazione) nella logica di Gödel è una funzione
µ : Form → [0, 1]
che estende un assegnamento atomico µ0 : Form → {0, 1}, e soddisfa le condizioni
seguenti per ogni α, β ∈ Form.
(1) µ(⊥) = 0 e µ(>) = 1.
½
1,
0,
se µ(α) = 0;
se µ(α) > 0.
(2) µ(¬α)
=
(3) µ(α ∧ β)
=
min (µ(α), µ(β)).
(4) µ(α ∨ β)
=
max (µ(α), µ(β)).
(5) µ(α → β)
=
½
1,
se µ(α) ≤ µ(β);
µ(β) , altrimenti.
In questa definizione, min : [0, 1]2 → [0, 1] e max : [0, 1]2 → [0, 1] sono gli operatori di massimo e minimo, rispettivamente.
Come nel caso classico, continua a valere la estendibilità di un qualunque assegnamento atomico a esattamente un assegnamento µ : Form → [0, 1]. Anche
la logica di Gödel, dunque, soddisfa il principio di vero-funzionalità: il valore di
µ(α(X1 , . . . , Xn )) dipende solo da µ(Xi ), i ∈ {1, . . . , n}. Più in generale, µ(α)
dipende solo dal valore che µ assegna alle sottoformule di α.
Esercizio. Sia µ un assegnamento che attribuisce solo i valori 0 e 1 (cioè, valori
booleani o classici o crisp) alle formule α e β. Si dimostri che la semantica della
logica di Gödel data dalla definizione precedente coincide con la semantica classica
per le formule ⊥, >, ¬α, α ∧ β, α ∨ β, α → β.
Esercizio. Siano α e β due formule. (i) Si dimostri che
µ(¬α) = µ(α → ⊥)
per qualunque assegnamento µ. Ne segue che nella logica di Gödel (e, usando
l’esercizio precedente, anche nella logica classica) la negazione è (semanticamente)
definibile dalla negazione e dal falsum. (ii) Si dimostri anche che
µ(α ↔ β) = 1 se e solo se µ(α) = µ(β) .
Se invece µ(α ↔ β) < 1, vale necessariamente µ(α ↔ β) = 0 ?
Esercizio Facoltativo (Residuazione). Si dimostri che l’identità
µ(α → β) = max {z ∈ [0, 1] | min (z, µ(α)) ≤ µ(β)}
vale per tutte le formule α, β. Nelle logiche fuzzy basate sull’insieme di valori
di verità [0, 1], quando la semantica della congiunzione e quella della implicazione
soddisfano questa identità si dice che l’implicazione è ottenuta dalla congiunzione
per residuazione. (Nota bene: ciò non significa però che → sia definibile da ∧ nello
stesso senso in cui, nella logica di Gödel, ¬ è definibile da → e ⊥.) In questo corso
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non tratteremo la residuazione nella sua generalità. Per una trattazione completa
si veda il libro di testo di Hájek.
È istruttivo confrontare la definizione seguente con la sua controparte classica.
Definizione (Verità, Non verità e Falsità). Sia α ∈ Form, e sia µ : Form → [0, 1]
un assegnamento. La terminologia che segue si riferisce alla logica di Gödel. Si dice
che α è vera secondo µ, o anche vera nell’interpretazione µ, o che µ è un modello
di α, se µ(α) = 1; altrimenti, si dice che α è non vera secondo µ, o anche non vera
nell’interpretazione µ. In particolare, si dice che α è falsa secondo µ, o anche falsa
nell’interpretazione µ, se µ(α) = 0. Si dice che α è una tautologia se α è vera secondo
tutti i possibili assegnamenti µ : Form → [0, 1]. Si dice che α è una contraddizione
se α è falsa secondo tutti i possibili assegnamenti µ : Form → [0, 1]. Si dice che α è
soddisfacibile se α è vera secondo almeno un assegnamento µ : Form → [0, 1], ossia
se ha un modello. Infine, si dice che α è refutabile, o che ha un contromodello, se è
non vera secondo almeno un assegnamento µ : Form → [0, 1] (nel qual caso µ è il
contromodello di α).
Notazione. Si usa la notazione seguente.
µ |= α
G
µ 6|= α
G
|= α
G
6|= α
µ è un modello di α
µ è un contromodello di α
α è una tautologia
α è refutabile
G
In questa tabella, la lettera G indica che la logica coinvolta è la logica di Gödel. Si
noti che non introduciamo una terminologia o una notazione specifica per indicare
che una certa formula è falsa in qualche modello, o in tutti i modelli.
Le prime differenze fra la semantica della logica classica e quella della logica di
Gödel si possono apprezzare riesaminando le tradizionali leggi logiche viste nella
prima dispensa alla luce della definizione precedente.
Esercizio. Stabilire quali delle formule seguenti sono tautologie della logica di
Gödel per ogni scelta di α, β ∈ Form.
(1) α ∨ ¬α (Terzo Escluso)
(2) ¬(α ∧ ¬α) (Non Contraddizione)
(3) ¬¬α ↔ α (Legge della Doppia Negazione)
(4) ¬(α ∧ β) ↔ ¬α ∨ ¬β (Leggi di De Morgan, I )
(5) ¬(α ∨ β) ↔ ¬α ∧ ¬β (Leggi di De Morgan, II )
(6) α ∧ ¬α → β (Ex Falso Quodlibet)
(7) (α → β) ∨ (β → α) (Prelinearità)
Suggerimento. Il Principio del Terzo Escluso e la Legge della Doppia Negazione
non sono tautologie, le altre formule sı̀ (per ogni α e β). Si noti che la Legge della
Doppia Negazione è la congiunzione di α → ¬¬α con ¬¬α → α: la prima formula
è una tautologia della logica di Gödel (per ogni α), la seconda no.
Si è visto poc’anzi che la semantica della logica di Gödel si riduce a quella classica
per valori booleani delle variabili. L’esercizio precedente, d’altronde, mostra che vi
sono alcune tautologie della logica classica che non sono tautologie della logica di
Gödel. Riassumendo:
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Proposizione. Se α è una tautologia della logica di Gödel, allora α è una tautologia
della logica classica, ma il viceversa non vale.
3. Assiomi e regole d’inferenza
Come nel caso classico, siamo interessati a un meccanismo puramente sintattico
che permetta di isolare le tautologie della logica di Gödel dalle altre formule ben
formate. A tale scopo, diamo alcune definizioni.
Definizione (Assiomi della logica di Gödel). Date formule arbitrarie α, β, γ ∈
Form, si considerino le formule seguenti.
(A1)
(A2)
(A3)
(A4)
(A5)
(A6)
(A7)
(A8)
(A9)
(A10)
(A12)
α → (β → α)
(α → β) → ((α → (β → γ)) → (α → γ))
α → (β → (α ∧ β))
(α ∧ β) → α
(α ∧ β) → β
α → (α ∨ β)
β → (α ∨ β)
(α → γ) → ((β → γ) → ((α ∨ β) → γ))
(α → β) → ((α → ¬β) → ¬α)
α → (¬α → β)
α → ¬¬α.
L’insieme AxiomG ⊆ Form costituito dalle formule (A1)–(A10) e (A12) al variare
di α, β, γ ∈ Form è detto insieme degli assiomi della logica di Gödel.
Il sistema di assiomi AxiomG è ottenuto dal sistema di assiomi Axiom per la
logica classica eliminando l’assioma (A11):
¬¬α → α .
Si è visto poc’anzi in un esercizio che (A11) non è una tautologia della logica di
Gödel, e quindi non può certo essere incluso fra gli assiomi di questa logica: per
ottenere il Teorema di Completezza, è infatti necessario (seppur non sufficiente) che
tutti gli assiomi siano tautologie.
L’unica regola d’inferenza della logica di Gödel coincide con la regola d’inferenza
usata per la logica classica:
Definizione (Modus Ponens). Siano α, β ∈ Form. Si dice che la formula γ ∈
Form è deducibile da α e β (tramite modus ponens) se α = (β → γ).
Anche la definizione di formula dimostrabile ricalca il caso classico:
Definizione (Dimostrabilità). Una formula α ∈ Form è dimostrabile nella logica
di Gödel, o è deducibile nella logica di Gödel, o è conseguenza sintattica degli assiomi
della logica di Gödel, se esiste una successione finita di formule α1 , . . . , αn , per un
n ∈ N, tale che αn = α, e per ogni i ∈ {1, . . . , n} valga una delle condizioni seguenti.
• αi ∈ AxiomG .
• Esistono indici j, k ∈ {1, . . . , n} con j, k ≤ i tali che αi sia deducibile da αj
e αk per modus ponens.
Una tale successione di formule è una dimostrazione (formale) di α.
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Notazione. Si usa la notazione seguente.
`α
α è dimostrabile
6` α
α non è dimostrabile
G
G
Come sopra: la lettera G indica che la logica coinvolta è la logica di Gödel.
Proposizione. Ogni formula dimostrabile nella logica di Gödel è anche dimostrabile nella logica proposizionale classica.
Dimostrazione. Basta notare che AxiomG ⊆ Axiom, e applicare la definizione di
formula deducibile.
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Commento. In analogia con la proposizione enunciata alla fine della sezione precedente, verrebbe da aggiungere all’enunciato qui sopra che “il viceversa non vale”.
Sebbene, in effetti, il viceversa non valga — esiste una formula α tale che ` α ma
6` α — dimostrarlo non è semplicissimo. Si noti che questo fatto è comunque una
G
conseguenza immediata del Teorema di Completezza, che adesso enunceremo.
Come nel caso classico, il fatto di massima importanza logica intorno alle nozioni
introdotte sopra è il seguente.
Teorema (Teorema di Completezza della logica di Gödel). Per ogni α ∈ Form si
ha che
` α se e solo se |= α .
G
G
Detto in parole, nella logica di Gödel le formule deducibili coincidono con le tautologie.
Il Teorema di Completezza asserisce l’equivalenza fra una nozione sintattica (la
deducibilità) e una nozione semantica (la tautologicità). Non ne daremo la dimostrazione, che per risultare agevole richiede tecniche di algebra universale non
trattate in questo corso.
Esercizio. Dimostrare che tutti gli assiomi della logica di Gödel sono tautologie.
Dimostrare inoltre che se una formula γ è dedotta per modus ponens dalle formule
α e β, e se sia α che β sono tautologie della logica di Gödel, allora anche γ è una
tautologia della logica di Gödel. Concludere che, per ogni α ∈ Form,
` α implica |= α .
G
G
Questa parte del Teorema di Completezza, che delle due è la più facile, è spesso
enunciata come un risultato a sè, il Teorema di Correttezza (o di Validità). Esso
ammonta semplicemente a dire che (i) Gli assiomi sono tautologie, e (ii) le regole
di inferenza (nel nostro caso, il modus ponens) preservano la tautologicità delle
formule.
Riferimenti bibliografici
[1] P. Hájek, The metamathematics of fuzzy logic, Kluwer, 1999.
(V. Marra) Dipartimento di Informatica e Comunicazione, Università degli Studi di
Milano, via Comelico, 39-41, I-20135 Milan, Italy
E-mail address: [email protected]

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