Appunti sui conduttori in equilibrio elettrostatico

Appunti sui conduttori in equilibrio
elettrostatico
di Fabio Maria Antoniali
– versione del 30 maggio 2016 –
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Conduttori elettrici
I conduttori sono materiali in cui alcune cariche elementari sono libere di muoversi sia
all’interno sia sulla loro superficie.
Le principali classi di conduttori sono: metalli, semiconduttori, elettroliti e gas. In
tutti questi materiali alcune cariche, che possono essere a seconda dei casi positive o negative, sono libere di muoversi e prendono il nome di portatori di carica. Ad esempio,
nei corpi metallici accade che uno o due elettroni per atomo, invece di essere vincolati al
nucleo, risultano completamente liberi di muoversi su distanze macroscopiche sia all’interno del corpo, sia sulla sua superficie, che in condizioni ordinarie non possano lasciare
a causa delle intense forze attrattive esercitate dagli ioni positivi. In un metallo vi sono
in genere dai 1029 ai 1030 elettroni liberi per metro cubo di materiale, corrispondente ad
un totale di oltre 1010 C per millimetro cubo di materia; una quantità di carica enorme,
pur confrontata con quella che si scarica in un fulmine, che è dell’ordine delle decine di
Coulomb. In paratica, nei fenomeni elettrostatici che usualmente si considerano nei corpi
metallici, solo una piccolissima parte degli elettroni di conduzione entra in gioco.
I meccanismi che presiedono alla formazione dei portatori di carica in semiconduttori,
elettroliti e gas verranno studiati in un altro momento.
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Conduttori in equilibrio
Questa sezione è dedicata alle proprietà dei conduttori in equilibrio, cioè in condizioni
elettrostatiche. Per fissare le idee considereremo un corpo conduttore metallico, ma tutto
ciò che viene dimostrato può essere esteso alle altre classi di conduttori. Va precisato
che la condizione di equilibrio elettrostatico non implica che i portatori di carica siano
in quiete, dato che essi si muovono in ogni possibile direzione per effetto dell’inevitabile
moto di agitazione termica, ma l’assenza di un moto ordinato lungo direzioni privilegiate,
come quello indotto da un campo elettrico.
1. All’interno di un conduttore in equilibrio il campo elettrico è nullo.
Se per assurdo assumessimo che in un punto P interno al conduttore il campo
elettrico fosse non nullo, gli elettroni liberi presenti in (un intorno di) P verrebbero
accelerati in direzione opposta al campo in contraddizione con la condizione di
equilibrio. In partica quando un metallo viene posto in un campo elettrico una
parte degli elettroni liberi si sposta in direzione contraria al campo ridistribuendosi
sulla sua superficie in modo tale che il campo totale, dovuto alla sovrapposizione di
quello esterno e di quello della distribuzione predetta, all’interno del conduttore sia
nullo. E’ importante notare che la quantità di cariche che viene redistribuita è una
infinitesima frazione della totalità degli elettroni liberi, per cui è del tutto legittima
l’assunzione che in ogni (intorno di un) punto interno al conduttore vi sia qualche
elettrone libero che non ha partecipato alla redistribuzione.
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2. Un conduttore in equilibrio è un volume equipotenziale.
Poiché il campo elettrico interno al conduttore in equilibrio è nullo, una carica di
prova che si muove da un qualunque punto A ad un qualunque altro punto B del
conduttore lungo un cammino interno al conduttore stesso non risente di alcuna forza
elettrostatica. Dunque il lavoro delle forze elettrostatiche sul cammino prescelto è
nullo, e quindi è nulla la differenza di potenziale tra i punti A e B.
3. All’interno di un conduttore in equilibrio la densità di carica è nulla.
Se in qualche punto interno P la densità di carica ρ fosse non nulla, supponiamo ad
esempio ρ > 0, si potrebbe trovare attorno a P una superficie chiusa Σ, completamente interna al conduttore, che racchiude un volumetto ∆V in cui la carica netta
interna risulta Qi nt > 0.
Per il teorema di Gauss ne dedurremo che il flusso del campo elettrico attraverso Σ
è strettamente positivo, in contraddizione col fatto che essendo il campo elettrico
nullo internamente al conduttore, il predetto flusso deve essere anch’esso nullo.
Da questa proprietà consegue che in condizioni di equilibrio gli accumuli di carica
possono realizzarsi solo sulle superfici del conduttore.
4. Il campo elettrico immediatamente fuori dalla superficie di un conduttore in equilibrio è perpendicolare alla superficie e vale σ/0 , ove σ è la densità di carica
superficiale.
La dimostrazione di questa importante proprietà, nota anche come teorema di Coulomb, deriva dal fatto che nell’attraversare una superficie carica il campo elettrico,
altrimenti continuo, presenta una discontinuità nella sua componenete perpendicolare alla superficie, mentre si amntiene continua la componenete tangenziale.
Se il campo elettrico in prossimità della superficie avesse una componenete tangenziale non nulla, per continuità vi dovrebbe essere un campo elettrico tangenziale
sulla superficie del conduttore, e ciò provocherebbe un movimento di cariche sulla
superficie in contrasto con la condizione di equilibrio.
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Considerato un punto P sulla superficie in cui la densità di carica è σ, è possibile
costruire attorno a P un minuscolo cilindretto con le basi di area A parallele alla
superficie, una interna al conduttore e l’altra esterna, posta in prossimità della sua
superficie. Poiché il campo elettrico internamente al conduttore è nullo ed esternamente risulta avere modulo E e direzione perpendicolare alla base del cilindretto,
il suo flusso attraverso la superficie del cilindretto risulta Φ = EA, dunque per il
teroema di Gauss si ha AE = Qint /0 , ma la carica Qint racchiusa dal cilindretto è
Qint = Aσ, da cui si ottiene infine E = σ/0 .
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Potenziale di una sfera conduttrice
Consideriamo una sfera conduttrice di raggio R su cui è depositata una carica Q. Se la
sfera è isolata, la carica si distribuirà uniformemente su tutta la superficie. Dal teorema
di Gauss si deduce che in un punto P distante r ≥ R dal centro della sfera il modulo del
campo elettrico varrà
1 Q
.
E=
4π0 r2
Il campo elettrico esternamente alla sfera è quello di una carica puntiforme Q concentrata
al centro della sfera, pertanto, se poniamo a zero il potenziale elettrostatico nei punti
infinitamente distanti dalla sfera, il potenziale in P varrà
V =
1 Q
.
4π0 r
Questa relazione vale in particolare per i punti sulla superficie del conduttrore che, come
è noto, è un volume equipotenziale. Pertanto il potenziale in ogni punto interno e sulla
superficie del conduttore sferico risulta
V =
1 Q
.
4π0 R
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Proprietà delle punte
E’ noto sperimentalmente che il campo elettrico in prossimità di un conduttore dalla forma
appuntita può essere particolarmente intenso. Una conseguenza di questo fatto è che i
fulmini si scaricano preferenzialmente sugli alberi, i campanili, le antenen delle case,o gli
appuntiti parafulmini, che presentano superfici dalla grande curvatura.
Questa proprietà dipende dal fatto che la distribuzione dei portatori di carica in un
conduttore è fortemente influenzata dalla curvatura della sua superficie, e dove si ha
curvatura maggiore (punte) si ha maggiore densità di carica superficiale, e quindi, per la
nota proprietà dei conduttori in equilibrio, un più intenso campo elettrico.
Per comprendere quantitativamente questo fenomeno si può considerare un conduttore
dalla struttura molto semplice, formato da due sfere di raggio r1 e r2 connesse da un sottile
filo rettilineo.
Il conduttore è carico e diciamo Q1 e Q2 le quantità di carica distribuite sulla sfere. Se
le sfere sono sufficientemente lontane è possibile pensare che il campo e il potenziale che
ciascuna produce in prossimità della propria superficie non siano influenzati dall’altra, e
corrispondano quindi a quelli di una distribuzione superficiale uniforme di carica. D’altra
parte le sfere sono collegate dunque devono avere lo stesso potenziale, pertanto
Q2
Q1
=
,
4π0 r1
4π0 r2
cioè
Q1
Q2
=
.
r1
r2
Dette σ1 e σ2 le densità di carica superficiali delle due sfere, la precedente può riscriversi
come
σ1 4πr12
σ2 4πr22
=
,
r1
r2
cioè
σ1
r2
= .
σ2
r1
In altre parole la densità di carica superficiale, e quindi l’intensità del campo elettrico,
è inversamente proporzionale al raggio di curvatura delle rispettiva superficie, ovvero
direttamente proporzionale alla curvatura.
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Proprietà di schermo elettrostatico dei conduttori
cavi
All’interno di una gabbia di Faraday, come è noto, sono nulli gli effetti di un qualunque
campo elettrostatico esterno. Come si suol dire, la gabbia di Faraday costituisce uno
schermo elettrostatico per ciò che essa contiene. Tale proprietà può essere ricondotta al
fatto che in un conduttore cavo in equilibrio, come tra poco verrà dimostrato, il campo
elettrico all’interno della cavità risulta necessariamente nullo.
Consideriamo dunque un conduttore cavo come quello in figura, e supponiamo per
assurdo che in un punto P interno alla cavità il campo elettrico sia non nullo.
Detta γ la linea di campo per P , questa necessariamente dovrà originare da un punto
A sulla superficie interna dove sono accumulate cariche positive e terminare su un punto
B, sempre della superficie interna, in cui sono accumulate delle cariche negative. Se un
carica di prova q > 0 si muove da A a B lungo γ necessariamente le forze elettrostatiche
compiranno un lavoro W el positivo, e di conseguenza dovrà essere VB −VA = −W el /q < 0,
da cui VA > VB , in contraddizione con la proprietà (2) di un conduttore di essere un volume
equipotenziale.
Per mezzo del teorema di Gauss si prova inoltre che sulla superficie interna non può
esservi alcun accumulo di cariche né positive, né negative.
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