Parte 1 - Corsi a Distanza

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POLITECNICO DI TORINO
ESERCITAZIONI DI LOGISTICA
Laurea in Ingegneria Logistica e della Produzione
Corso di Logistica e di Distribuzione 2
Docente: Prof. Ing. Giulio Zotteri
Tutore: Ing.Giuliano Scapaccino
A.A. 2007/2008
VERSIONE 3.0
NOTA:
Le esercitazioni sono solo un riferimento. Per la trattazione completa ed esempi aggiuntivi:
Testo di riferimento:
LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE
Autori: Giulio Zotteri – Paolo Brandimarte
Editore: CLUT
SOMMARIO
MODELLO DI WILSON (LOTTO ECONOMICO) ......................................................................................................................................... 3
Sconto sulle quantità acquistate ........................................................................................................................................................................... 4
Caso di Sconti per lotti ..................................................................................................................................................................................... 4
MODELLI STOCASTICI ..................................................................................................................................................................................... 9
NEWSVENDOR PROBLEM – MONOPRODOTTO, MONOLIVELLO, MONOPERIODO.......................................................................... 9
PROBLEMI MULTIPERIOIDALI MONOPRODOTTO ................................................................................................................................. 11
Esercizio (gestione Q,R con costo stock out noto)............................................................................................................................................ 12
(DRIVER: DIMENSIONE DELLO STOCK OUT) ...................................................................................................................................... 12
Esercizio (gestione Q,R con vincolo su livello di servizio ) ............................................................................................................................. 16
(DRIVER: LIVELLO SERVIZIO TYPE 1: presenza dello stock out) ......................................................................................................... 16
(DRIVER: LIVELLO SERVIZIO TYPE II: dimensione dello stock out) .................................................................................................... 18
Esercizio (gestione S, up to order) .................................................................................................................................................................... 20
TAVOLE STATISTICHE................................................................................................................................................................................... 22
POLITECNICO DI TORINO - ESERCITAZIONI LOGISTICA DI DISTRIBUZIONE 2 – AUTORE: G. SCAPACCINO - VERSIONE 3.0
2
MODELLO DI WILSON (LOTTO ECONOMICO)
Esercizio
La domanda annua dell’azienda Alfa, uniformemente distribuita ed espressa in una opportuna unità di misura è di 720 (D) unità mentre il costo
di acquisto è di 20 €/pz (P).
Il costo fisso di ordinazione risulta di 15 €/ordine (CL)ed il costo di conservazione delle merci è il 30% (CS) del valore della scorta media.
Determinare :
Lotto economico di acquisto
Numero di ordini ed ampiezza dei cicli
Punto di riordino
Costo totale annuo
Nei seguenti casi di tempo di approvvigionamento :
- Nullo
- 15 giorni
- 60 giorni
Siamo nelle IPOTESI DI WILSON, quindi possiamo calcolare il Lotto ottimale (Q*) :
Q* =
2 Ad
2 ⋅15 ⋅ 720
=
= 60 pz
h
0,30 ⋅ 20
E’ importante ricordare che nel caso in cui il valore del Lotto ottimale non sia intero, conviene approssimarlo per eccesso in quanto la
pendenza della funzione Y(L) è minore nell’intorno destro del punto di minimo.
Possiamo calcolare il numero ottimale di ordini (n*) :
n* =
d 720
=
= 12cicli
Q* 60
3
E l’ampiezza dei cicli :
T* =
periodo 365
=
≈ 30 giorni
12
n*
Calcoliamo il Costo Totale Annuo (Y(L)) che sarà dato dal Costo dell’ordine, Costo di giacenza e dal Costo del materiale:
Y (Q) = A ⋅ n* +
Q
60
⋅ h + dP = 15 ⋅12 + ⋅ 20 ⋅ 0,3 + 20 ⋅ 720 = 14.760€
2
2
Tale importo e’ valido per tutti e tre i casi, in quanto il tempo di approvvigionamento non rientra, logicamente, in nessuna delle formule fino
ad ora utilizzate.
Sconto sulle quantità acquistate
Prendiamo ora in considerazione il caso in cui il fornitore sia disponibile ad effettuare degli sconti in funzione della merce acquistata. In
questo caso, si devono analizzare singolarmente le condizioni di acquisto, ad esempio:
Caso di Sconti per lotti
Dato un prodotto, per il quale siano valide tutte le ipotesi di Wilson, con le seguenti condizioni :
d: Domanda
A: Costo fisso per ordinazione
%h: Costo conservazione per unità di valore e di tempo
p: Prezzo unitario di Acquisto
: 3.000 q/mese
: 10 €/ordine
: 0,06 all’anno
: 2 €/q
Determinare la quantità da acquistare in ogni ordine nelle seguenti ipotesi alternative :
a. Non viene concesso alcun sconto quantità
4
b. Il fornitore concede uno sconto del 10% per acquisti superiori ai 2.000 q e del 25% per acquisti superiori ai 3.000 q.
c. Il fornitore concede gli sconti del 10% e del 25% solo sulle quantità eccedenti, per ogni acquisto, rispettivamente ai 2.000 e 3.000 q.
Caso a: Non si concedono sconti. Siamo nel caso precedentemente trattato :
Lotto ottimale L* (trasformiamo i 3.000q/mese in q/anno):
Q* =
2 Ad
2 ⋅10 ⋅ 3.000 ⋅12
=
= 2449, 49 → 2.450
h
0, 06 ⋅ 2
Possiamo calcolare il numero ottimale di ordini (n*) :
n* =
d 3000 ⋅12
=
= 14, 69cicli → 15cicli
Q*
2450
Ed l’ampiezza dei cicli :
T* =
periodo 365
=
≈ 24,33giorni → 24 giorni
15
n*
Calcoliamo il Costo Totale Annuo (Y(Q)) che sarà dato dal Costo dell’ordine, Costo di giacenza e dal Costo del materiale:
Y (Q) = An* +
Q
2.450
h + dP = 15 ⋅10 +
⋅ 2 ⋅ 0, 06 + 3.000 ⋅12 ⋅ 2 = 72.447€
2
2
5
Caso b: Si concedono sconti in funzione del lotto in acquisto.
Essendo hi = CsPi
⎧
Ad Cˆ S P0Q
=
+
(
)
Y
Q
⎪ 1
2
Q
⎪
⎪⎪
Ad Cˆ S PQ
1
+
Y (Q) ⎨Y2 (Q) =
Q
2
⎪
⎪
Ad Cˆ S P2Q
⎪Y3 (Q) =
+
2
Q
⎪⎩
Q ≤ 2.000
2.000 ≤ Q ≤ 3.000
Q > 3.000
Di conseguenza :
⎧ *
⎪Q1 =
⎪
⎪
*⎪ *
Q ⎨Q2 =
⎪
⎪
⎪Q * =
⎪ 3
⎩
2 Ad
2 ⋅10 ⋅ 3.000 ⋅12
=
≈ 2.450
0, 06 ⋅ 2
Cˆ s P0
2 Ad
2 ⋅10 ⋅ 3.000 ⋅12
=
≈ 2.582
0, 06 ⋅ 2 ⋅ 0,9
Cˆ s P1
2 Ad
2 ⋅10 ⋅ 3.000 ⋅12
=
≈ 2.828
0, 06 ⋅ 2 ⋅ 0, 75
Cˆ s P2
Abbiamo detto, però che P0 è valido solo fino a 2.000 quintali, quindi il Q1* = 2.000, stesso discorso per Q3* che verrà posto pari a 3.001
quintali. Per definire quale sia il lotto ottimale, si devono nuovamente calcolare le singole funzioni di costo.
6
⎧
10 ⋅ 3.000 ⋅12 0, 06 ⋅ 2 ⋅ 2.000
Ad Cˆ S P0Q
+
+ d ⋅ P0 =
+
+ 3.000 ⋅12 ⋅ 2 = 72.300€
Y1 (Q)Q ≤ 2.000 =
⎪
2
2000
2
Q
⎪
⎪⎪
10 ⋅ 3.000 ⋅12 0, 06 ⋅ 2 ⋅ 2.450 ⋅ 0,9
Ad Cˆ S PQ
1
Y (Q) ⎨Y2 (Q) 2.000≤Q≤3.000 =
+
+ d ⋅ P1 =
+
+ 3.000 ⋅12 ⋅ 2 ⋅ 0,9 = 65.079€
2
2.450
2
Q
⎪
⎪
Ad Cˆ S P2Q
10 ⋅ 3.000 ⋅12 0, 06 ⋅ 2 ⋅ 3.001⋅ 0, 75
⎪ Y3 (Q)Q >3000 =
+
+ 3.000 ⋅12 ⋅ 2 ⋅ 0, 75 = 54.255€
+
+ d ⋅ P2 =
2
Q
3.001
2
⎪⎩
Funzioni costo mantenimento + ordine
450
400
350
Valore [Euro]
300
250
Y1(L)
Y2(L)
Y3(L)
200
150
100
50
4.
40
0
4.
20
0
4.
00
0
3.
80
0
3.
60
0
3.
40
0
3.
20
0
3.
00
0
2.
80
0
2.
60
0
2.
40
0
2.
20
0
2.
00
0
1.
80
0
1.
60
0
1.
40
0
1.
20
0
1.
00
0
0
Lotto [quintali]
7
Dai risultati sopra esposti risulta che la soluzione ottimale è quella che prevede l’ordine con un lotto di 3.001 quintali.
Caso c: Anche in questo caso, si concedono sconti in funzione del lotto in acquisto. In questo caso, però, dobbiamo analizzare le funzioni in
relazione ad un valore medio del prezzo che deve essere ponderato, ovvero:
P0 = 2000
P1 =
2000 ⋅ 2 + ( Q − 2000 ) ⋅ 2 ⋅ 0,9 400 + 1,8 ⋅ Q
=
2
Q
P2 =
4000 + (1,8 ⋅1000 ) + ( Q − 3000 ) ⋅ 2 ⋅ 0, 75 1.300 + 1,5 ⋅ Q
=
Q
Q
Ottenuti i valori ponderati dei prezzi ricalcolo i valori dei lotti ottimali introducento i prezzi che sono divenuti funzione continua del lotto di
acquisto Q nelle funzioni di costo e rieseguendo i passi dell’esempio precedente (completamento a cura delo studente).
8
MODELLI STOCASTICI
NEWSVENDOR PROBLEM – MONOPRODOTTO, MONOLIVELLO, MONOPERIODO
CARATTERISTICHE:
-
Monoprodotto, monolivello, monoperiodo
Domanda incerta ma nota in termini distributivi
OBIETTIVI:
-
Massimizzazione della soddisfazione della domanda con minimizzazione delle scorte
Il gestore prende la decisione su quanto acquistare ad inizio del periodo senza possibilità di variarla successivamente.
Definiti:
p: prezzo di vendita
u: costo di acquisto
v: valore residuo della merce
m=p-u= margine di guadagno
c=u-v= costo delle scorte
Q= lotto di acquisto
X= domanda nel periodo
Si dimostra che:
E ⎡⎣π ' ( Q ) ⎤⎦ = m ⋅ P { X ≥ Q} − c ⋅ P { X < Q}
Valore atteso del profitto marginale della Q-esima unità
da cui
9
⎛ m ⎞
Q* = F −1 ⎜
⎟
⎝m+c⎠
Quantità ottimale di acquisto.
NOTA: L e scelte dipendono dalla distribuzione di probabilità della VC domanda e dalla struttura dei costi in gioco.
Esempio
Il venditore Alfa commercializza un prodotto ad alta deperibilità che lo costringe quotidianamente all’acquisto delle partite fresche ed alla
restituzione dell’invenduto a fine serata.
Il prezzo di acquisto è u= 0,5 €/unità mentre il valore di vendita è p=1,1 €/unità.
A fine giornata ha la possibilità di restituire le quote invendute ai fornitori per un valore di c= 0,2 €/unità
La domanda osservata dal venditore è una VC stazionaria normale con media 100 e d.s. 20 nel periodo considerato.
Determinare la quantità ottimale di acquisto ad inizio giornata
⎛
⎞
1,1 − 0,5
⎛ m ⎞
−1
−1
Q* = F −1 ⎜
⎟⎟ = F ( 0, 66 ) = 108,58 unità.
⎟ = F ⎜⎜
⎝m+c⎠
⎝ (1,1 − 0,5 ) + 0,3 ⎠
10
PROBLEMI MULTIPERIOIDALI MONOPRODOTTO
CASISTICA
Driver rilevante: Dimensione
stock out
Costo stock
out noto
Driver rilevante: Evento stock out
Imposto: livello servizio Type I
Costo stock
NON noto
Imposto: livello servizio Type II
11
Esercizio (gestione Q,R con costo stock out noto)
(DRIVER: DIMENSIONE DELLO STOCK OUT)
Il magazzino prodotti finiti in analisi presenta una domanda media annuale pari a 200 q con s.d. 35.35 q ed ha i seguenti costi di gestione:
costo mantenimento per unità di valore e di tempo: 10% annuo
costo di assicurazione sulla giacenza media in unità di valore e di tempo: 5%
costo di emissione e gestione di ordine : 2000 € ordine
I costi di stock out valutati sulla precedente esperienza risultano essere pari a 2500 € ogni quintale di domanda non soddisfatta ed il tempo di
riordino del materiale presso gli stabilimenti produttivi asiatici è di circa sei mesi. Il costo di acquisto al quintale è di 1100 € imballagio incluso.
Grazie ad una politica accurata di trasporto, il lead time di riordino è da ritenersi sufficientemente costante ed invariato per ogni emissione di ordine.
Sapendo che la politica di gestione che si intende adottare è di tipo (Q,R) determinare:
1.
2.
3.
4.
fattori di gestione ottimali e scorta di sicurezza
costi totale di gestione per il mantenimento delle scorte ed i costi previsti di stock out.
percentuale attesa di cicli in cui non si verificherà stock out.
quintali di domanda non soddisfatta in un anno di esercizio.
Si è in presenza di costi legati alla dimensione dello stock out con un costo unitario del mancato servizio immediato di una unità di domanda di
2500 € per ogni quintale.
Funzione di costo totale:
Cso = pu ⋅
d
d
Q
d
⋅ n( R) = A ⋅ + h( R + − d ⋅LT ) + pu ⋅ ⋅ n( R)
2
Q
Q
Q
Processo di ottimizzazione
2d ⋅ ( A + pu ⋅ n( R* ))
Q =
h
*
Fd LT ( R* ) = 1 −
h ⋅ Q*
pu ⋅ d
12
Si determina valore iniziale del processo calcolando Q*start=EOQ mediante
Q* =
2d A
=
h
Fd LT ( R* ) = 1 −
2 ⋅ 200 ⋅ 2000
= 69, 63
0,15 ⋅1100
h ⋅ Q* (0,15 ⋅1100) ⋅ 69, 63
=
= 0,977 (livello di servizi tipo 1 = probabilità di non avere stock out nel ciclo)
2500 ⋅ 200
pu ⋅ d
primo ciclo
Per procedere con le formule interattive necessita di determinare il valore di R ., quindi sarà necessario conoscere la distribuzione di probabilità di
domanda nel Lead Time. Considerando una distribuzione normale si determina z dalle tavole della normale standardizzata che garantisce un valore
di probabilità uguale o maggiore a 0,977.
⎛ R − d LT
n( R ) = σ LT ⋅ L ⎜
⎝ σ LT
⎞
⎟ = σ LT ⋅ L( z )
⎠
Fd LT ( z ) = 0,977 Î z=2
(valore atteso della domanda non servita) (vedi nota 1.1)
(dalle tavole della normale standardizzata)
R = d LT + z ⋅ σ LT Î R0 = 100 + 2 ⋅ 25 = 150
L( z = 2) = 0, 0085
(dalle tavole della loss function)
n( R0 ) = 25 ⋅ 0, 0085 = 0, 212
Q0* =
2d ⋅ ( A + pu ⋅ n( R0* ))
2 ⋅ 200 ⋅ (2000 + 2500 ⋅ 0, 212)
=
= 78,33 quintali
0,15 ⋅1100
h
13
Iterare il processo fino a quando si giunge ad una convergenza valutata ad esempio considerando una tolleranza per Q ed R tra i valori al
passo i-esimo e quello precedente < o uguale ad una unità.
Si giunge alla determinazione dei valori:
1. fattori ottimali di gestione e scorta di sicurezza
Q* = 79, 49
R* = 148
quintali
Ss = R* − d LT = 148 − 100 = 48
2. costi previsti di stock out ed i costi totali di gestione ed i costi di acquisto per scorte.
Cstockout = pu ⋅
Cso = A ⋅
d
⋅ n( R ) = 1525 €
Q
d
Q
d
+ h( R + − d ⋅LT ) + pu ⋅ ⋅ n( R ) = 5032 + 14556 + 1525 = 21114 €
2
Q
Q
Cacquisto = p ⋅ d = 1100 ⋅ 200 = 220000 €
3. percentuale attesa di cicli in cui non si verificherà stock out.
Sotto particolari ipotesi statistiche tra cui indipendenza della domanda nei cicli, essa corrisponde al livello di servizio Type 1 ossia 97,7 %
4. quintali di domanda non soddisfatta in un anno di esercizio.
n( R* ) ⋅
d
= 0, 61 quintali
Q*
14
Nota 1.1
I valori di media e varianza della domanda devono essere riportati al periodo considerato.
Pertanto:
µTo= media della domanda nel periodo T0
σT0= deviazione standard in T0
µT1= media della domanda nel nuovo periodo di riferimento T1
σT1= deviazione standard della domanda nel nuovo periodo di riferimento T1
Sotto opportune ipotesi statistiche si ha che:
µT 1 = µT 0 ⋅
σT1 = σ T 0 ⋅
T1
T0
T1
T0
Esempio
Domanda annuale prodotto gamma distribuita normalmente con media 1000 unità e deviazione standard 250.
Lead time del prodotto 4 mesi.
Determinare media e deviazione standar della domanda in Lead –time.
µ4 = µ12 ⋅
4
1
= 1000 ⋅ = 333,33
12
3
4
1
σ 4 = σ 12 ⋅
= 250 ⋅
= 144,3
12
3
quintali
15
Esercizio (gestione Q,R con vincolo su livello di servizio )
Talvolta non conoscendo i parametri di costo viene imposto il livello di servizio che può essere:
Livello servizio Type 1: Rappresenta la probabilità di non avere stock out in nel periodo di riferimento.
Livello servizio Type 2: Rappresenta la percentuale di domanda soddisfatta nel periodo di riferimento
(DRIVER: LIVELLO SERVIZIO TYPE 1: presenza dello stock out)
Esempio
Il magazzino prodotti finiti in analisi presenta una domanda media annuale pari a 200 q con s.d. 35.35 q ed ha i seguenti costi di gestione:
costo di assicurazione sulla giacenza media in unità di valore e di tempo: 5%
Tempo di riordino del materiale presso gli stabilimenti produttivi asiatici è di circa sei mesi.
Il costo di acquisto al quintale è di 1100 € imballagio incluso.
Sapendo che la direzione vendite impone che la probabilità di non avere stock out (indipendentemente dalla sua dimensione) in ciascun ciclo sia del
95 % determinare:
•
•
fattori di gestione ottimali e scorta di sicurezza
Metodologia 1:
Si deriva il costo dello stock out implicito nel livello di servizio e si riapplicano i modelli di ottimizzazione visti in precedenza. (lasciata al lettore)
Metodologia 2:
16
Si separa la funzione di costo in due parti, la prima riconducibile ad EOQ la seconda minimizzandola in modo da garantire il livello di
servizio richiesto.
Ctotale=Cordinazione + Cgiacenza delle scorte+ Cstock out
Costo vincolato dal livello di servizio
Si determina valore Q*=EOQ mediante
Q* =
2d A
=
h
2 ⋅ 200 ⋅ 2000
= 69, 63
0,5 ⋅1100
Si impone il livello di servizio Type 1 per la determinazione di R:
Livelli di servizio Type 1: Fd LT ( z ) = 0,95 Î z=1,64
R = d LT + z ⋅ σ LT Î R* = 100 + 1, 64 ⋅ 25 = 141
fattori ottimali di gestione e scorta di sicurezza
Q* = 69, 63
R* = 141
quintali
Ss = R − d LT = 141 − 100 = 41
*
17
Sotto particolari ipotesi statistiche tra cui indipendenza della domanda nei cicli, essa corrisponde al livello di servizio Type 1 ossia 95 %
(DRIVER: LIVELLO SERVIZIO TYPE II: dimensione dello stock out)
Viene richiesto un livello di servizio di tipo II minimo del 95%
Metodologia 1:
Si deriva il costo dello stock out implicito nel livello di servizio e si riapplicano i modelli di ottimizzazione visti in precedenza. (lasciata al lettore)
Metodologia 2:
Si separa la funzione di costo in due parti, la prima riconducibile ad EOQ la seconda minimizzandola in modo da garantire il livello di servizio
richiesto.
Si determina valore Q*=EOQ mediante
Q* =
2d A
=
h
2 ⋅ 200 ⋅ 2000
= 69, 63
0,5 ⋅1100
Si impone il livello di servizio Type II per la determinazione di R:
Essendo:
18
n( R )
Q
n( R ) = (1 − β ) ⋅ Q = (1 − 0,95) ⋅ 69, 63 = 3, 48
1− β =
percentuale di domada insoddisfatta in un ciclo => n. unità insoddisfatte per ciclo
essendo
n( R ) = σ ⋅ L ( z )
n( R ) 3, 48
=
≅ 0,14 ⇒ z = 0, 71
L( z ) =
25
σ
R = d LT + z ⋅ σ LT = 100 + 0, 71 ⋅ 25 ≅ 118 unità
19
Esercizio (gestione S, up to order)
Caatteristiche: Il periodo di revisione è fissato e costante. Nel generico istante t0 in cui viene emesso un ordine le scorte disponibili vengono
immediatamente riportate al livello S.
Esempio
La filale che avete in gestione emette ordini nei confronti dei fornitori di Milano che garantiscono un tempo di consegna di circa 3 mesi.
La domanda mensile rilevata è assimilabile ad una normale con media 54,17 unità e deviazione standar di 14,43 e dai test effettuati non risulta
autocorrelata nel tempo.
Non essendo disponibile una stima diretta dei costi di stock out vi viene richiesto che la percentuale di cicli in cui non avvenga la mancanza di
materiale sia del 98%.
I principali costi di gestione sono così riassumibili:
valore economico bene acquistato: 160 € unità.
La politica adottata è quella di revisione periodica (order-up-to).
Determinare:
• parametri ottimali di gestione del magazzino (quantità da ordinare, tempo di revisione, S, costi ordinazione e mantenimento).
• Valore atteso livelli massimi e minimi attesi della scorta fisica.
• Valore atteso livello della scorta di sicurezza.
Svolgimento
Quantità e frequenza ottimale di riordino:
Q* =
2 Ad
2 ⋅ 37 ⋅ 650
=
= 54,83 pz
h
0,1⋅160
20
τ=
2A
2 ⋅ 37
=
= 0, 084 frequenza ottimale di revisione
0,1⋅160 ⋅ 650
hd
essendo il periodo in mesi si ha : Tempo revisione = 0,084 *12 = 1 mese circa si determina il tempo di fuori controllo:
τ + Lt = 1 + 3 = 4 mesi
percentuale di cicli in cui non si ha mancanza di materiale = livello servizio type 1 = 98%
S = Fd−Lt1+τ (γ ) = Fd−Lt1+τ (0,98)
FdLT +τ ( z ) = 0,98 Î z=2,05
S = d LT +τ + z ⋅ σ LT +τ Î S = 217,33 + 2, 05 ⋅ 28,91 = 276, 71 unità
essendo
d LT +τ = 54,17 ⋅ 4 = 216, 68
σ LT +τ = 14, 43 ⋅ 4 = 28,91
unità
Costi ordinazione e mantenimento
Ad
37 ⋅ 650
+ h ⋅ ( S − ( LT + τ / 2) ⋅ d ) =
+ 0,1⋅ (276, 71 − (3 + 1/ 2) ⋅ 54,17) = 1827 €
Q
54,83
Valori attesi livelli max e min scorte fisiche
valoreatteso max livello = S − LT ⋅ d = 114, 21
valoreatteso min livello = S − ( LT + τ ) ⋅ d = 59,38
unità
valore atteso scora di sicurezza = valore atteso minimo livello =59,38 unità
21
TAVOLE STATISTICHE
22
23
24
25

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