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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE
Sezione geotecnica
“L’ACQUA NEL TERRENO ”
Corso di aggiornamento in “Geotecnica”
28 aprile 2006 (Bologna)
Dott. Ing. Johann Facciorusso
[email protected]
DIREZIONE GENERALE AMBIENTE E DIFESA DEL SUOLO E DELLA COSTA
Servizio Gelogico, Sismico e dei Suoli
Sezione geotecnica
Indice
INDICE
Ô INTRODUZIONE (superficie piezometrica, tipi di falda e regimi di flusso, ..)
Ô PRINCIPI GENERALI (teorema di Bernoulli, legge di Darcy, gradiente idraulico,..)
Ô MISURA DELLA PERMEABILITÀ (formule empiriche, misure in sito e in laboratorio)
Ô EQUAZIONE GENERALE DEL FLUSSO (equazione di Laplace, soluzioni grafiche
e numeriche, software,..)
Ô ESEMPI (applicazioni)
Direzione Generale Ambiente e Difesa del SuoloSuolo-Servizio Geologico, Sismico e dei Suoli
Corso di aggiornamento – Geotecnica
L’acqua nel terreno
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Sezione geotecnica
1.Introduzione
Nell’affrontare la maggior parte dei problemi dell’Ingegneria Geotecnica
non si può prescindere dalla presenza dell’acqua nel terreno.
La presenza dell’acqua
modifica le proprietà fisiche (peso di volume) e le caratteristiche
meccaniche (principio delle tensioni efficaci) del terreno, sopra e
sotto falda (in condizioni di quiete)
incrementa le condizioni di instabilità in presenza di pendii ed opere di
sostegno (in condizioni di moto, filtrazione)
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Sezione geotecnica
1.Introduzione
Def. Si ha filtrazione quando l’acqua si muove all’interno del terreno da
punti a cui compete energia maggiore verso punti a cui corrisponde
energia inferiore.
La filtrazione dell’acqua nei terreni pone vari problemi di ordine
ingegneristico, che possono causare il collasso o compromettere la
funzionalità di manufatti per effetto di :
fenomeni di erosione d’alveo in prossimità delle spalle dei ponti
fenomeni di instabilità ed erosione in corrispondenza di dighe in terra
fenomeni di instabilità in corrispondenza di argini fluviali
fenomeni di sifonamento in prossimità di diaframmi e palancole
fenomeni di sollevamento del fondo scavo in corrispondenza di scavi
fenomeni di ribaltamento o sollevamento di opere di sostegno per
effetto della spinta e della sottospinta idraulica
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Sezione geotecnica
Filtrazione attraverso una diga in terra
Spinta idraulica agente su un muro a gravità
1.Introduzione
Erosione alle spalle di un ponte
Sifonamento
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Sezione geotecnica
2.Principi generali
In un deposito di terreno, si possono distinguere, al variare della
profondità, zone a differente grado di saturazione e in cui l’acqua presente
nei vuoti si trova in condizioni diverse.
Zona parzialmente satura
(Sr decrescente )
Zona di ritenzione
u<0
Acqua sospesa
Zona vadosa
Zona di evapotraspirazione
Zona completamente satura
(Sr = 100 % )
Falda
u>0
Acqua di falda
Zona di falda
Frangia capillare
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Sezione geotecnica
2.Principi generali
TIPI DI FALDA
Infiltrazione
Livello piezometrico
Falda sospesa
Falda freatica
Terreno con permeabilità
molto bassa
Acquifero confinato
(falda artesiana)
Roccia
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Sezione geotecnica
2.Principi generali
I moti di filtrazione di un fluido avvengono sempre tra un punto a cui
compete energia maggiore ad un punto ad energia minore.
In ciascun punto, l’energia, espressa in termini di carico, o altezza
(energia per unità di peso del liquido) è data dalla somma di tre termini:
CARICO EFFETTIVO o TOTALE
v2
+
H = z+
γ w 2g
carico totale per
fluido ideale
u1
γw
1
u
Ö altezza geometrica, z
Ö altezza di pressione, u/γw
Ö altezza di velocità, v2/2g
∆h
A
u2
γw
2
A’
z1
L
z2
Piano di riferimento (z = 0)
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Sezione geotecnica
h= z+
u
γw
2.Principi generali
CARICO
PIEZOMETRICO
v2
v2
+
= h+
H = z+
γ w 2g
2g
u
Nei terreni, v è bassa (al massimo 1-2 cm/s)
i=
∆h
L
H = hp + z
GRADIENTE
IDRAULICO
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Sezione geotecnica
2.Principi generali
LEGGE DI DARCY
∆h
Q
=v=k⋅
= k ⋅i
A
L
v = velocità apparente di filtrazione
k = coefficiente di permeabilità
∂h
v x = − k x ⋅ = − k x ⋅ ix
∂x
r
r
∂h
v y = −k y ⋅ = −k y ⋅ i y
v = − k ⋅ ∇h
∂y
N.B. La legge di Darcy vale solo
∂h
per moto laminare (non si può
v z = −k z ⋅ = −k z ⋅ iz
applicare a terreni con
∂z
grandissima permeabilità
(ghiaie e ciottoli) nei quali si
può avere moto turbolento
Caso bi-tridimensionale
Anisotropia
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Sezione geotecnica
2.Principi generali
LEGGE DI DARCY
Q = v ⋅ A = v r ⋅ Av
v Av
=
=n
vr
A
vr = velocità reale di filtrazione
A
Av
v = n⋅vr < vr*
L < Lr
L
Lr
* Specie per terreni a grana grossa (n = 20 ÷ 40%)
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Sezione geotecnica
2.Principi generali
COEFFICIENTE DI PERMEABILITÀ
Il coefficiente di permeabilità, k, ha le dimensioni di una velocità.
Esso rappresenta la resistenza viscosa e frizionale alla filtrazione di un
fluido in un mezzo poroso.
Tale coefficiente dipende:
6 dalle proprietà del fluido (densità, ρ e viscosità, µ)
ρ ⋅g
k=
⋅ kp
6 dalle caratteristiche del mezzo poroso
µ
(permeabilità intrinseca, kp).
TIPO DI TERRENO
Ghiaia pulita
Sabbia pulita, sabbia e ghiaia
Sabbia molto fine
Limo e sabbia argillosa
Limo
Argilla omogenea sotto falda
Argilla sovraconsolidata fessurata
Roccia non fessurata
k (m/s)
-2
10 - 1
-5
-2
10 - 10
-6
-4
10 - 10
-9
-5
10 - 10
-8
-6
10 - 10
-9
< 10
-8
-4
10 - 10
-12
-10
10 - 10
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Sezione geotecnica
2.Principi generali
Per i terreni a grana grossa la permeabilità dipende dalla:
granulometria (contenuto di fine)
indice dei vuoti
stato di addensamento (densità relativa)
Per i terreni a grana fine la permeabilità
dipende dalla:
composizione mineralogica
struttura
La permeabilità cresce al crescere del grado
di saturazione
(sebbene non si possa stabilire una
relazione univoca tra le due grandezze)
A grande scala la permeabilità di un
terreno dipende anche dalle
caratteristiche macrostrutturali di un
terreno (discontinuità, fessurazioni)
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Sezione geotecnica
2.Principi generali
PERMEABILITÀ DI TERRENI STRATIFICATI
Per terreni stratificati, il valore medio del coefficiente di permeabilità è
fortemente condizionato dalla direzione del moto di filtrazione
FILTRAZIONE IN PARALLELO
q1
q2
kh1, H1
q
H
kh2, H2
Il gradiente idraulico i è lo stesso
per tutti gli strati. Applicando la
legge di Darcy:
vi = kHi i ∀i
qi = vi ⋅ Hi ∀i
H
qn La portata di filtrazione totale è:
kn, Hn
Q = Σ qi = v ⋅ H
a)
dove la velocità media è v = kH i
e kH è il coefficiente di permeabilità
medio orizzontale
q
v ∑ qi
=
kH = =
i
H ⋅i
∑v ⋅H
i
H ⋅i
i
k
∑
=
hi
H
⋅ Hi
(kH influenzato dallo strato
più permeabile)
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Sezione geotecnica
2.Principi generali
FILTRAZIONE IN SERIE
La portata ( e quindi la velocità) di filtrazione è la
stessa per tutti gli strati. Applicando la legge di
Darcy:
q
v = kv1 i1 = kv2 i2 = . . . . . = kvn in
kv1, kH1 , H
v1
1
kv2, kHv22 , H 2
v = kV im = kV · (h/H)
dove kV è il coefficiente di permeabilità medio
verticale, im il gradiente idraulico medio e h la
perdita di carico totale, che è pari a:.
H
H
kvn, kHn, H
v
n
q
kV =
H
Hi
∑k
vi
Hi
v
∑
= v⋅
h = ∑ h i = ∑ H i ⋅ ii = ∑ H i ⋅
k vi
k vi
(kv influenzato dallo strato meno permeabile)
OSS. A causa dell’orientamento dei grani nella fase di deposizione, kH,
risulta generalmente maggiore, anche di un ordine di grandezza, di kV.
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Sezione geotecnica
3.Misura della permeabilità
DETERMINAZIONE DELLA PERMEABILITÀ
Determinazione mediante correlazioni empiriche
Ö Valgono per terreni
a grana grossa.
FORMULA DI HAZEN
(sabbie sciolte uniformi)
k = C⋅ (D10)2
con k [cm/s], D10 [cm],
C = 100 ÷ 150
(sabbie sciolte uniformi)
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Sezione geotecnica
k
(m/s)
La misura sperimentale della
permeabilità di un terreno può
essere invece effettuata sia in
laboratorio che in sito.
9 per i terreni naturali le
misure in sito risultano
generalmente più significative e
quindi preferibili (essendo la
permeabilità fortemente
influenzata anche dai caratteri
macrostrutturali);
9 mentre per i terreni utilizzati
come materiale da costruzione
sono significative anche le prove
di laboratorio
GRADO DI
PERMEABILITÀ
DRENAGGIO
TIPO DI
TERRENO
1
10-1
10-2
10-3
alto
10-4
10-5
medio
basso
buono
ghiaia pulita
10-6 10-7
10-8
molto
basso
povero
sabbia pulita
e miscele di
sabbia e ghiaia
pulita
sabbia fine,
limi organici e
inorganici,
miscele
di sabbia, limo
e argilla,
depositi di
argilla
stratificati
terreni impermeabili
modificati dagli
effetti della
vegetazione e del
tempo
Prova in foro di sondaggio
10-9
10-10
10-11
impermeabile
praticamente
impermeabile
terreni impermeabili
argille omogenee
sotto la zona alterata
dagli agenti
atmosferici
(misura locale; delicata esecuzione)
MISURA DIRETTA
Prova di pompaggio
DI K
(delicata esecuzione; significativa)
Permeametro a carico costante
(facile esecuzione)
Permeametro a carico variabile
Facile
delicata
esecuzione
esecuzione:
significativa non significativa
STIMA INDIRETTA
DI K
delicata esecuzione:
molto poco significativa
Piezometro
Pressiometro
Piezocono
(misura locale; delicata esecuzione)
Determinazione
Determinazione
dai risultati
dalla curva granulometrica
della prova edometrica
(solo per sabbie e ghiaie pulite)
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Sezione geotecnica
Determinazione sperimentale in laboratorio
Per la misura del coefficiente di permeabilità in laboratorio vengono
generalmente usati tre metodi:
¾ il permeametro a carico costante, per k > 10-5 m/s
¾ il permeametro a carico variabile, per 10-8< k < 10-5 m/s
¾ i risultati della prova edometrica, per k < 10-8 m/s
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Sezione geotecnica
Permeametro a carico costante
h
C = k ⋅ i ⋅ A ⋅ ∆ t = k ⋅ ⋅ A ⋅ ∆t
L
(Legge di Darcy)
h
L
A
C⋅L
k=
h ⋅ A ⋅ ∆t
C
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Sezione geotecnica
Permeametro a carico variabile
h0
h
k ⋅ ⋅ A ⋅ dt = − a ⋅ dh (Legge di Darcy)
L
ho
∫
1
t1
∫
1
A
a⋅
dh = k ⋅ ⋅ dt
L
h
h1
h
(Integrando)
to
a
L
A
ho
A
a ⋅ ln
= k ⋅ (t1 − t o )
h1
L
k=
h
h
a⋅L
a⋅L
ln o = 2.3
log10 o
A ⋅ (t1 − t o ) h1
A ⋅ (t1 − t o )
h1
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Sezione geotecnica
Determinazione sperimentale in sito
Per la misura del coefficiente di permeabilità in sito si può ricorrere ai
seguenti tipi di prova:
¾ prove in pozzetto superficiale
¾ prove in foro di sondaggio
¾ prove di emungimento
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Sezione geotecnica
Prove in pozzetto superficiale
La prova si esegue in modalità:
− a carico costante (viene immessa una certa portata, q, per mantenere
costante il livello dell’acqua nel pozzetto)
− a carico variabile (viene registrato l’abbassamento (h1–h2) del livello
dell’acqua nel pozzetto in un certo intervallo di tempo (t2-t1) )
Pozzetto quadrato Pozzetto circolare
Carico costante
k=
1
q
⋅
d ⋅ hm π
Carico variabile
k=
Pozzetto a base quadrata (d) o circolare (b)
d h1 − h2 1
⋅
⋅
32 t2 − t1 hm
hm > d/4
hm
1
+
2
⋅
1
q
h1 − h2
b
k= 2⋅
k
=
⋅
b 27 ⋅ hm + 3
t2 − t1 27 ⋅ hm + 3
b
b
d > 10-15 diametro massimo dei granuli
H > 7 hm
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Sezione geotecnica
Vantaggi e svantaggi
prove speditive e di facile esecuzione
forniscono misure del coefficiente di permeabilità limitate agli strati più
superficiali
si eseguono in genere su terreni che costituiscono opere di terra
durante la loro costruzione
sono preferibili per terreni aventi permeabilità maggiori di 10-6 m/s, e
posti sopra falda
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Sezione geotecnica
Prove in foro di sondaggio
- Prove a carico costante
Prove di immissione
(sopra o sotto falda)
Prove di emungimento
(solo sotto falda)
- Prove a carico variabile
Prove di abbassamento
(sopra o sotto falda)
Prove di risalita
(solo sotto falda)
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Sezione geotecnica
b)
a)
a)
b)
h
Q
Rivestimento esterno
Q
a) SENZA FILTRO
b) CON FILTRO
Tubazione interna
h
h2 h1
h2
h1
Tubo di rivestimento
Caratteristiche del filtro:
F60/F10 ≤ 2
Tampone impermeabile
4D15 ≤ F15 ≤ 4D85
Filtro
L
L
Filtro
Terreno
D
D
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Sezione geotecnica
Prova a carico costante
Viene misurata, a regime, la portata, emunta o immessa, Q [m3/s],
necessaria a mantenere costante il livello dell’acqua nel foro, h [m],
misurato rispetto alla base del foro se la prova è eseguita sopra falda,
oppure rispetto al livello di falda se la prova è eseguita sotto falda .
Q
k=
F ⋅h
[m/s]
dove F [m] un fattore di forma, dipendente dalla forma e dalla geometria
della sezione filtrante
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Sezione geotecnica
Prova a carico variabile
Vengono effettuate prelevando acqua dal foro in modo da abbassarne il
livello di una quantità nota e misurando la velocità di risalita (prove di
risalita) oppure immettendo acqua nel foro in modo da alzarne il livello di
una quantità nota e misurando la velocità di abbassamento (prove di
abbassamento).
Il coefficiente di permeabilità viene ricavato mediante la seguente
relazione:
A
h1
k=
⋅ ln
F ⋅ (t 2 − t1 )
h2
[m/s]
dove F [m] un fattore di forma, dipendente dalla forma e dalla geometria
della sezione filtrante, A [m2], h1 e h2 [m], rappresentano il livello
dell’acqua nel foro agli istanti t1 e t2, misurati rispetto alla base del foro se
la prova è eseguita sopra falda, oppure rispetto al livello di falda se la
prova è eseguita sotto falda .
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Sezione geotecnica
Osservazioni
1.
2.
Il valore del coefficiente di permeabilità misurato durante le prove di
abbassamento è in genere inferiore al valore misurato, per lo stesso
terreno, durante le prove di risalita.
Una stima più attendibile del valore del coefficiente di permeabilità
può essere eseguita determinando la media geometrica dei valori
ricavati con prove di risalita (kr) e di abbassamento (ka), ovvero:
k = kr ⋅ ka
3.
In un deposito stratificato il coefficiente di permeabilità verticale, kV,
risulta in genere differente dal coefficiente di permeabilità orizzontale,
kH. Per il valore misurato durante una prova in foro di sondaggio,k, con
una sezione filtrante di lunghezza L e diametro D, si assume:
k = kV (per L/D tendente a 0, caso limite sezione piana L = 0)
k = kH (per L/D ≥ 1.2)
k=
k medio = k H ⋅ kV
(per 0 ≤ L/D ≤ 1.2)
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Sezione geotecnica
Possono essere eseguite a varie profondità durante la perforazione
Forniscono generalmente un valore puntuale della permeabilità
Le pareti del foro devono essere rivestite con una tubazione fino alla
profondità a cui si vuole effettuare la misura di permeabilità
Nei terreni che tendono a franare il tratto di prova viene riempito di
materiale filtrante e isolato mediante un tampone impermeabile
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Sezione geotecnica
Prove di pompaggio
Le prove di pompaggio vengono eseguite in terreni con permeabilità
medio-alta, al di sotto del livello di falda.
Consistono nell’abbassare il livello della falda all’interno di un pozzo,
opportunamente realizzato, e nell’osservare in corrispondenza di un certo
numero di verticali, strumentate con piezometri, l’abbassamento una volta
raggiunto un regime di flusso stazionario.
Le prove di emungimento vengono interpretate attraverso modelli
matematici come problemi di flusso transitorio, tenendo presente che:
¾ nel caso di acquifero confinato (falda artesiana) le linee di flusso sono
orizzontali e le superfici equipotenziali sono cilindri concentrici rispetto al
pozzo;
¾ nel caso di acquifero non confinato (falda freatica) le linee di flusso (e le
superfici equipotenziali) sono curve.
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Sezione geotecnica
Prove di pompaggio in acquiferi confinati
D = 200 ÷ 400 mm
Piezometri di controllo
Pozzo
Q
Cono di depressione
s
s
h
h
Livello piezometrico iniziale
2
1
h
r
1
Tubo finestrato
ln(
1
r
2
r2
)
r1
Q
⋅
k=
2π ⋅ b ( h2 − h1 )
2
b
Linee di flusso
Pompa sommersa
Acquifero confinato
Superfici equipotenziali
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Sezione geotecnica
Prove di pompaggio in acquiferi non confinati
k=
Q
⋅
Piezometri di controllo
Pozzo
Q
r
ln( 2 )
r1
s
s
h
h
Livello piezometrico iniziale
2
1
π ( h22 − h12 )
r
h
Linee di flusso
1
2
1
r
2
Pompa sommersa
Acquifero non confinato
Superfici equipotenziali
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Sezione geotecnica
Sono prove in genere lunghe e costose
La prova fornisce un valore medio del coefficiente di permeabilità
dell’acquifero
Per una corretta interpretazione della prova è necessario conoscere la
stratigrafia, l’estensione dell’acquifero e le condizioni iniziali della falda
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Sezione geotecnica
4.Equazione generale del flusso
In generale l’acqua nel terreno può trovarsi in condizioni di quiete (regime
idrostatico) o di moto (regime idrodinamico), sia allo stato naturale sia in
seguito a perturbazioni del suo stato di equilibrio.
In regime idrodinamico il flusso può essere stazionario (moto permanente)
o non stazionario (moto vario), a seconda che i parametri del moto siano
costanti o variabili nel tempo.
Nel moto stazionario la quantità di acqua che entra in un elemento di
terreno è pari alla quantità di acqua che esce dallo stesso elemento
(filtrazione in regime permanente). Nel moto vario la quantità di acqua
entrante in un elemento di terreno è diversa da quella uscente (filtrazione
in regime vario).
Il vettore che caratterizza il moto dell’acqua può essere scomposto in una
o più direzioni nello spazio, definendo condizioni di flusso mono-, bi-, o tridimensionali
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Sezione geotecnica
EQUAZIONE GENERALE DEL FLUSSO
IN UN MEZZO POROSO
Si consideri un elemento infinitesimo di terreno di dimensioni dx dy dz
z
attraversato da un flusso d’acqua.
dy
dx
dz
y
Ipotesi:
x
i.
Fluido e grani incomprimibili (γw=cost. nel tempo; γs=cost. nel tempo)
ii.
Validità della legge di Darcy
iii. Validità della equazione di continuità
iv. Terreno omogeneo (peso di volume,permeabilità costante nello spazio)
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Sezione geotecnica
r
v
= velocità apparente di filtrazione
Vx, Vy, Vz = componenti della velocità nella direzione degli assi x, y e z
qex, qey, qez = portata in peso d’acqua entrante nell’elemento nella
direzione degli assi x, y e z
qux, quy, quz = portata in peso d’acqua uscente dall’elemento nella
direzione degli assi x, y e z
z
q ex = γ w ⋅ v x ⋅ dy ⋅ dz
∂v
⎛
⎞
q ux = γ w ⋅ ⎜ v x + x ⋅ dx ⎟ ⋅ dy ⋅ dz
∂x
⎝
⎠
dy
dx
qex
dz
qux
y
x
qe = qex+ qey+ qez = portata in peso d’acqua entrante nell’elemento
qu = qux+ quy+ quz = portata in peso d’acqua uscente dall’elemento
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Sezione geotecnica
Equazione di continuità
(q
ex + qey + qez ) − (qux + quy + quz ) =
Peso specifico
dell’acqua
∂Pw
∂t
la differenza tra la portata in peso
d’acqua entrante, qe, e quella
uscente, qu, nell’elemento di terreno
r
sarà pari alla variazione
del peso di
v
acqua, Pw, nell’unità di tempo
⎛ ∂v ∂v y ∂vz ⎞
∂P
⎟⎟ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz = w
− γ w ⋅ ⎜⎜ x +
+
∂t
⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
Legge di Darcy
Terreno omogeneo
∂h
∂h
∂h
; v y = −k y ⋅ ; vz = −k z ⋅
∂x
∂y
∂z
∂k y
∂k x
∂k
= 0;
= 0; z = 0
∂x
∂x
∂x
vx = −k x ⋅
⎛
∂ 2h
∂ 2h
∂ 2h ⎞
∂P
γ w ⋅ ⎜⎜ k x ⋅ 2 + k y ⋅ 2 + k z ⋅ 2 ⎟⎟ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz = w
∂x
∂y
∂z ⎠
∂t
⎝
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Sezione geotecnica
Pw =
Pw
V
V
⋅ Vw = γ w ⋅ Vw = γ w ⋅ w ⋅ Vv = γ w ⋅ Vv ⋅ S r = γ w ⋅ v ⋅ Vs ⋅ S r = γ w ⋅ Vs ⋅ e ⋅ S r
Vw
Vv
Vs
Grado di
saturazione
∂Pw ∂ (γ w ⋅ Vs ⋅ e ⋅ S r )
=
∂t
∂t
∂γ w ∂Vs
=
=0
∂t
∂t
Fluidi e grani incomprimibili
∂Pw
∂e ⎞
⎛ ∂S
= γ w ⋅ Vs ⋅ ⎜ e ⋅ r + S r ⋅ ⎟
∂t
∂t ⎠
⎝ ∂t
Indice dei
vuoti
e=
Vv V − Vs V
=
= −1
Vs
Vs
Vs
Vs =
V
dx ⋅ dy ⋅ dz
=
1+ e
1+ e
∂Pw
γ w ⎛ ∂S r
∂e ⎞
+ S r ⋅ ⎟ ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz
=
⋅⎜e ⋅
∂t ⎠
∂t
(1 + e) ⎝ ∂t
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Sezione geotecnica
Combinando le due equazioni ottenute precedentemente si ottiene
l’equazione generale del flusso di un fluido attraverso un mezzo poroso:
⎛
∂e ⎞
∂ 2h ⎞
∂ 2h
∂ 2h
1 ⎛ ∂S r
⎜⎜ k x ⋅ 2 + k y ⋅ 2 + k z ⋅ 2 ⎟⎟ =
+ Sr ⋅ ⎟
⋅⎜e ⋅
∂t ⎠
∂z ⎠ 1 + e ⎝ ∂t
∂y
∂x
⎝
Tale equazione si semplifica ulteriormente nei seguenti casi:
Filtrazione permanente
e = costante
Sr = costante
Consolidazione o rigonfiamento
e = variabile
Sr = costante
Drenaggio o imbibizione
e = costante
Sr = variabile
Deformabilità per non saturazione
e = variabile
Sr = variabile
e nei casi di:
¾
isotropia (kx=ky=kz=k)
¾
Flusso monodirezionale (
∂h ∂h
=
=0
∂y ∂z
) o bidirezionale (
∂h
=0
∂y
)
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Sezione geotecnica
In particolare nel caso di filtrazione permanente, isotropia del terreno e
moto bidirezionale (piano), l’equazione si può scrivere, rappresentando
l’energia potenziale con Φ(x,z):
∂ 2 Φ ( x, z ) ∂ 2 Φ ( x, z )
=0
+
2
2
∂x
∂z
rappresentando l’energia potenziale con Φ(x,z).
La stessa equazione può essere scritta oltre che in termini di funzione
potenziale Φ = Φ(x,z), anche per la funzione di corrente, Ψ = Ψ(x,z) , che è
costante lungo le linee di flusso:
∂ 2 Ψ ( x, z ) ∂ 2 Ψ ( x, z )
+
=0
2
2
∂x
∂z
Per risolvere tale equazione differenziale e quindi trovare come varia
l’energia potenziale o di corrente nello spazio, si può ricorrere a:
¾
soluzioni grafiche
¾
soluzioni numeriche con metodi degli elementi finiti
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Sezione geotecnica
SOLUZIONE GRAFICA
In tal caso si determina graficamente come varia il carico piezometrico sul
piano (x,z) per un limitato e finito numero di punti, una volta assegnate le
condizioni al contorno, disegnando il reticolo di filtrazione, costituito da
due famiglie di curve che si intersecano ad angolo retto:
- le linee di flusso, cioè i percorsi dei filetti fluidi nella sezione trasversale
considerata, tangenti in ogni punto alla velocità del fluido Ψ(x,z) = cost.
- le linee equipotenziali, cioè le linee di uguale energia potenziale e quindi
di uguale carico idraulico Φ(x,z) = cost.
OSS.
La soluzione grafica è approssimata
La costruzione grafica non è univocamente determinata, ma si effettua
soggettivamente, in accordo con alcuni principi fondamentali, per
tentativi
L’imprecisione nel calcolo della portata di filtrazione derivante
dall’approssimazione è comunque minore dell’incertezza sul valore del
coefficiente di permeabilità.
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Sezione geotecnica
Reticolo di filtrazione
Le linee di flusso ed equipotenziali sono infinite e nella soluzione grafica se
ne scelgono un numero limitato.
Lo spazio tra due linee di flusso consecutive si chiama canale di flusso,
attraverso cui scorre una portata costante ∆q
∆h
Linee di flusso
La distanza tra due linee di
∆q
equipotenziali consecutive
misura la perdita di energia ∆h
del fluido nell’attraversare lo
spazio tra esse compreso
L’area delimitata da due linee di
Campo
flusso successive e da due linee
equipotenziali successive si
chiama campo.
h
∆h
h-
us s
o
Ca
n al
ed
i fl
∆b
∆a
Linee equipotenziali
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Sezione geotecnica
Costruzione del reticolo di filtrazione
Per costruire la rete di filtrazione, e quindi scegliere quali e quante linee di
flusso ed equipotenziali rappresentare, occorre:
¾ i canali di flusso abbiano eguale portata ∆q
¾ la perdita di carico fra due linee equipotenziali successive ∆h sia costante
¾ i campi siano approssimativamente quadrati, ovvero che abbiano eguali
dimensioni medie (∆a ≅ ∆b)
Il procedimento consiste nei seguenti passi:
I.
individuazione delle condizioni al contorno
II.
tracciamento delle linee equipotenziali
III.
tracciamento delle linee di flusso, individuazione dei campi
43/146
Sezione geotecnica
Individuazione delle condizioni al contorno
Per definire le condizioni al contorno, cioè le linee di flusso ed
equipotenziali che delimitano il campo di moto del fluido, si osserva che:
¾ le superfici impermeabili sono linee di flusso (ad esempio la superficie di
uno strato di argilla, o la superficie verticale di un diaframma
impermeabile, etc..),
¾ le superfici a contatto con l’acqua libera sono linee equipotenziali, poiché
in tutti i loro punti vale la relazione: h = z + u/γw = cost
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Sezione geotecnica
MOTO CONFINATO: quando le condizioni al contorno sono tutte note (es.
diaframma infisso in un deposito di terreno permeabile saturo,
delimitato inferiormente da uno strato impermeabile, per sostenere uno
scavo o garantire assenza di acqua)
A
B
SUPERFICI EQUIPOTENZIALI
C
D
SUPERFICIE DI FLUSSO
E
F
G
MOTO NON CONFINATO: Se tutte le
condizioni al contorno non sono note
a priori (es. moti di filtrazione
all’interno di argini fluviali o dei corpi
di dighe in terra, ove la superficie
che delimita superiormente l’acqua
in moto di filtrazione, a pressione
atmosferica, non è nota
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Sezione geotecnica
Costruzione delle linee equipotenziali
1.
Noto il carico idraulico totale dissipato, h, tra le due linee
equipotenziali che delimitano il moto del fluido, si sceglie il numero N
dei dislivelli di carico ∆h che si vogliono tra due linee equipotenziali
consecutive:
h
∆h = = cos t.
N
2.
Si traccia una serie di N+1 linee
equipotenziali di tentativo in modo
che siano perpendicolari alle linee di
flusso al contorno
F
G
46/146
Sezione geotecnica
Costruzione delle linee di flusso
3.
Si tracciano le linee di flusso in modo che siano ortogonali alle linee
equipotenziali e in modo che delimitino dei campi quadrati (cioè con
lati curvilinei dentro il quale si possa iscrivere un cerchio tangente ai
lati). Detto N1 il numero dei canali di flusso che così si ottiene e ∆a la
distanza media tra due linee di flusso consecutive e ∆b la distanza
media tra due linee equipotenziali successive, risulta che:
il gradiente idraulico per un singolo campo:
i=
∆h
h
=
∆b N ⋅ ∆b
la velocità di filtrazione in un singolo campo:
v = k ⋅i =
k ⋅h
N ⋅ ∆b
la portata di filtrazione per ogni canale di flusso:
k ⋅ h ⋅ ∆a k ⋅ h
∆ q = v ⋅ ∆a =
≅
N ⋅ ∆b
N
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Sezione geotecnica
OSS.
Naturalmente la procedura è iterativa, in quanto una volta disegnate le
linee equipotenziali di tentativo, nel disegnare le linee di flusso in modo
che siano rispettate le condizioni precedenti, occorrerà modificare più
volte la disposizione delle linee equipotenziali.
Altri risultati ottenibili
Una volta costruito il reticolo, si può determinare:
9 la portata totale (per unità di larghezza) :
N1
Q = N 1 ⋅ ∆q ≅ k ⋅ h
N
9 la pressione interstiziale ad ogni nodo del reticolo
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Sezione geotecnica
Casi più complessi
Esistono casi più complessi di quello appena analizzato dove una o più
delle ipotesi precedentemente specificate vengono rimosse e che si
possono risolvere, con opportuni accorgimenti, sempre per via grafica:
9 terreno non omogeneo (filtrazione attraverso terreni a differente
permeabilità)
9 terreno anisotropo (permeabilità dipendente dalla direzione)
9 moto non confinato
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Sezione geotecnica
Terreno non omogeneo
Quando il flusso d’acqua attraversa la superficie di separazione tra
terreni a differente permeabilità (ad es. nelle dighe in terra) :
- le linee di flusso deflettono
- la larghezza dei tubi di flusso e la distanza fra le linee equipotenziali
variano
- i campi, inizialmente quadrati, divengono rettangolari
Infatti la portata di ogni
tubo di flusso
∆q =
k ⋅ h ⋅ ∆a
N ⋅ ∆b
∆a
∆a
k1
∆b
α
deve restare costante.
k2<k1
∆c
k1
∆b
α
∆d
β
β
∆d
k2>k1
∆c
∆a/∆b = 1
∆c/∆d = tanα /tanβ = k2/k1
50/146
Sezione geotecnica
Terreno anisotropo
Spesso i terreni naturali ed anche i terreni messi in opera con
costipamento sono anisotropi, ovvero hanno coefficiente di permeabilità
diverso in direzione orizzontale, kh, e in direzione verticale, kv.
In tal caso occorre disegnare la sezione della struttura interessata dal
moto di filtrazione in una scala orizzontale alterata, moltiplicando le
distanze orizzontali per la quantità:
kv
kh
(in genere è kh > kv per cui tale trasformazione produce
una riduzione delle dimensioni orizzontali)
Una volta disegnata la rete idrodinamica, per calcolare la distribuzione
delle pressioni interstiziali occorre riportare il disegno in scala naturale,
ottenendo dei campi non più quadrati.
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Sezione geotecnica
Moto non confinato
In tal caso le condizioni al contorno in cui avviene il moto di filtrazione
non sono note a priori (ad es. all’interno di argini fluviali o dei corpi di
dighe in terra).
Il problema è molto più complesso in quanto è necessario procedere
contemporaneamente alla determinazione delle condizioni al contorno
mancanti e alla risoluzione dell’equazione di Laplace; in questi casi la
superficie che delimita superiormente l’acqua in moto di filtrazione è a
pressione atmosferica (coincide con la superficie freatica), la sua
localizzazione non è nota e può essere determinata con costruzioni
grafiche.
52/146
Sezione geotecnica
SOLUZIONE NUMERICA
Il problema della filtrazione nel terreno può essere affrontato oltre che
per via grafica per via numerica, specie per studiare situazioni complesse
(moti non confinati, attraverso terreni anisotropi o eterogenei)
Il primo passo per l’applicazione dei metodi numerici consiste nella
discretizzazione del continuo mediante una griglia a maglia quadrilatera
o triangolare.
A seconda del procedimento risolutivo adottato per le equazioni
differenziali che governano il problema e del dominio di esistenza delle
variabili di campo (definite sui nodi della maglia o all’interno di ciascun
elemento) si possono adottare due differenti metodi:
- metodi agli elementi finiti
- metodi alle differenze finite
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Sezione geotecnica
Esistono in commercio numerosi software che implementano tali metodi
specifici per lo studio del moto di filtrazione di acqua o sostanze
inquinanti nel terreno:
MODFLOW 2000 (3-D, ad elementi finiti)
FLOWNET/TRANS (2-D, elementi finiti, trasporto di inquinanti)
SEEP-W (3-D, 2-D, ad elementi finiti, terreni non saturi e saturi)
etc.
generali per l’analisi di stabilità di pendii o opere di sostegno che
consentono di modellare anche la filtrazione:
FLAC
DEEP EXCAVATION LLC
etc.
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Sezione geotecnica
MODFLOW
Il codice di calcolo MODFLOW 2000* (ora disponibile anche nella
versione 2005) è parte di un pacchetto software più ampio, noto come
GMS 4.0 (Groundwater Modelling System), utilizzato per lo studio e la
modellazione dei processi che avvengono nei sistemi sotterranei
(compreso il fenomeno della diffusione degli inquinanti).
MODFLOW (Modular 3-D Finite-difference Ground-water Model) è un
codice alle differente finite, che consente di simulare il flusso dell’acqua
nel terreno (o il trasporto di una sostanza contaminante solubile
nell’acqua se accoppiato al modulo MT3DMS):
in condizioni stazionarie e non stazionarie
in acquiferi confinati e non confinati
in presenza di sorgenti esterne (pozzi, evapotraspirazioni, corsi d’acqua
per terreni anisotropi
per terreni anisotropi
(*USGS, United States Geological survey: http://water.usgs.gov/nrp/gwsoftware/modflow.html)
55/146
Sezione geotecnica
Dati di input
Ö geometria dell’acquifero (numero degli strati, spessore,inclinazione)
per costruire la griglia 3-D (modulo 3D GRID, modulo SOLID)
Ö proprietà idrauliche (kx, ky e kz) e carico piezometrico iniziale per
ogni cella
Ö posizione e caratteristiche idrauliche degli elementi fisici che possono
influenzare il flusso (sorgenti, pozzi, dreni, fiumi, leghi, etc.)
Ö posizione e caratteristiche idrauliche di eventuali elementi di ricarico
superficiale dovuti a evapotraspirazione, precipitazioni)
Ö nel caso di analisi non stazionarie si definiscono gli istanti in cui
calcolare il carico ai nodi della griglia, che delimitano intervalli di
tempo in cui le condizioni al contorno si considerano costanti
56/146
Sezione geotecnica
Dati di output
Õ valori del carico piezometrico in ciascun punto della griglia per
ciascun istante
Õ valori dell’abbassamento piezometrico in ciascun punto della griglia
per ciascun istante
Õ la somma delle masse entranti ed uscenti dall’acquifero per ciascun
istante
Õ la somma delle portete entranti ed uscenti dall’acquifero per ciascun
istante
Õ le componenti del vettore velocità in corrispondenza di ciascun nodo
della griglia per ciascun istante
57/146
Sezione geotecnica
FLAC
Il codice di calcolo FLAC (Fast Lagrangian Analysis of Continua) è un
programma per la soluzione di problemi di ingegneria geotecnica, che
consenti
di
modellare
e
risolvere,
contemporaneamente
o
indipendentemente:
problemi meccanici
problemi idraulici
Consente di costruire modelli bidimensionali (mediante una griglia a
maglie di dimensione variabile e di forma triangolare o quadrilatera) che
risolve con il metodo alle differenze finite.
58/146
Sezione geotecnica
Il codice di calcolo FLAC Il programma consente di:
simulare il comportamento di strutture in terra, roccia e altri materiali
che manifestano deformazioni plastiche, implementando modelli
costitutivi per i materiali sia di tipo elastico (modello elastico lineare
isotropo e trasversalmente anisotropo) che di tipo elasto-plastico
(modello di Mohr-Coulomb, modello Cam-Clay, modelli con curve
incrudenti o rammollenti, ecc.).
di modellare anche l’interazione fra strutture in materiali diversi
avere informazioni locali sullo stato tensionale e sugli spostamenti dei
nodi
effettuare verifiche di stabilità su pendii, argini, etc.
di determinare il reticolo di flusso per moti confinati e non confinati, in
terreni omogenei o non omogenei
59/146
Sezione geotecnica
5.Esempi
Calcolo del reticolo di filtrazione per una traversa
in c.a. con diaframma a monte
A
Traversa in c.a.
F
Diaframma
Sebbene la filtrazione sia un fenomeno spiccatamente tridimensionale, in
presenza di stratigrafie ed opere prismatiche, si può fare riferimento ad
una sezione trasversale rappresentativa (problema 2-D)
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Sezione geotecnica
5.Esempi
Si instaurano condizioni di moto permanente
∆H=cost.
vX
Z
vZ
v
X
La quantità di acqua che
entra in un volume di
terreno è uguale a quella
che ne esce
61/146
Sezione geotecnica
5.Esempi
Individuazione delle condizioni limite
Si instaurano condizioni di moto confinato
Le superfici del terreno a monte ed a
valle sono linee equipotenziali
Le superfici impermeabili sono
linee di flusso
62/146
Sezione geotecnica
5.Esempi
Tracciamento delle linee equipotenziali
14
0
1
2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13
Si traccia una serie ipotetica di linee
H
∆
=
= cost.
H
equipotenziali, ricercando la seguente
ND
condizione tra due linee successive:
In questo caso, ND=14 (numero di dislivelli piezometrici)
63/146
Sezione geotecnica
5.Esempi
Tracciamento delle linee di flusso e dei campi
Si tracciano NF linee di flusso, ricercando le seguenti condizioni:
9 Le linee di flusso e le linee equipotenziali sono tra loro ortogonali
9 I campi generati sono dei quadrati curvilinei (in essi sono inscrivibili cerchi)
64/146
Sezione geotecnica
5.Esempi
Calcolo della portata di filtrazione
Linee di flusso
Ψ(x,z)=cost.
Linee equipotenziali
Φ(x,z)=cost.
a
∆q = v ⋅ b
b
∆q
∆Η
Portata nel campo
∆H
H
v = k ⋅i = k
=k
a
a ⋅ ND
kH b
∆q =
ND a
65/146
Sezione geotecnica
5.Esempi
Calcolo della portata di filtrazione
kH b
∆q =
ND a
Portata (per unità di larghezza) di ogni canale
di flusso (si suppone ∆q uguale per tutti i
canali di flusso)
Nel caso in esame:
k=2x10-6 m/s (coefficiente di permeabilità medio)
H=10 m
b/a=1 (campi assimilabili a quadrati curvilinei)
ND=14 (14 dislivelli piezometrici ipotizzati)
NF=4
(4 canali di flusso risultanti dal tracciamento della rete)
kH
Q = ∑ ∆q = N F
=0.057 cm3/s
ND
Portata (per unità di
larghezza) complessiva
66/146
Sezione geotecnica
5.Esempi
Calcolo della distribuzione delle pressioni interstiziali alla base della
traversa
•Si sceglie EF come quota di
riferimento (arbitraria)
F
A
•Si suddivide la base in 10 intervalli
uguali, di dimensione ∆x=3.06 m
Per ogni nodo di misurano:
∆H =
x=21.42 m
ND=9.40
hz=-2.40 m
distanza dall’origine
cadute di potenziale
quota geodetica
e si calcolano:
altezza rappr. della pressione (m)
H
ND
13
h p = H − N D ∆H − hz
pressione neutra (kPa)
12
5
6
7
8
9
10 11
u = hp ⋅ γ W
67/146
Sezione geotecnica
5.Esempi
Si ottiene la seguente tabella:
x (m)
0.00
3.06
6.12
9.18
12.24
15.30
18.36
21.42
24.48
27.54
30.60
ND
5.60
5.80
6.20
6.90
7.40
8.00
8.80
9.40
10.30
11.10
12.50
ND∆H
4.00
4.14
4.43
4.93
5.28
5.71
6.28
6.71
7.35
7.93
8.93
hz (m)
-2.40
-2.40
-2.40
-2.40
-2.40
-2.40
-2.40
-2.40
-2.40
-2.40
-2.40
hp (m)
8.40
8.26
7.97
7.47
7.12
6.69
6.12
5.69
5.05
4.47
3.48
u(kPa)
82.3
80.9
78.1
73.2
69.7
65.5
59.9
55.7
49.4
43.9
34.1
F
A
68/146
Sezione geotecnica
5.Esempi
m
Calcolo del reticolo di filtrazione per un argine fluviale
m
r
69/146
Sezione geotecnica
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
Pubblicazioni:
Crespellani, T., Facciorusso, J. 2000. “Elementi di dinamica dei terreni e
ingegneria geotecnica delle aree sismiche”. Voll. 1 e 2. Centro 2P. Firenze
. Kramer, S.L. 1996. “Geotechnical Earthquake engineering”. New Jersey, Prentice
Hall, 654 p.
Richart, F.E., Jr., Hall, J.R., Woods, R.D. 1970. Vibration of soils and foundation.
Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice Hall, 414 p.
Siti internet:
http://earthquake.usgs.gov/
70/146
Sezione geotecnica
Dati di input
Ö geometria dell’acquifero (numero degli strati, spessore,inclinazione)
per costruire la griglia 2-D
Ö caratteristiche fisiche del fluido (densità, modulo di deformazione
cubica)
Ö caratteristiche fisiche del terreno (porosità, permeabilità, peso di
volume)
Ö condizioni al contorno: pressione intersiziale (all’interno delle maglie
ed ai nodi), la portata e il grado di saturazione ai nodi
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Sezione geotecnica
Dati di output
Õ valori del carico piezometrico in ciascun punto della griglia per
ciascun istante
Õ valori dell’abbassamento piezometrico in ciascun punto della griglia
per ciascun istante
Õ la somma delle masse entranti ed uscenti dall’acquifero per ciascun
istante
Õ la somma delle portete entranti ed uscenti dall’acquifero per ciascun
istante
Õ le componenti del vettore velocità in corrispondenza di ciascun nodo
della griglia per ciascun istante
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