PROGETTO di SCALE in CEMENTO ARMATO

Transcript

2009/10
PROGETTO di SCALE in CEMENTO
ARMATO
Nino Spinella
[email protected]
Progetto di scale in cemento armato
Pianta
9 Geometria
•
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•
•
•
a = 4.00 m
b = 4.50 m
c = 5.00 m
d = 4.80 m
e = 6.00 m
f = 5.00 m
9 Materiali
• Calcestruzzo C 25/30
• Acciaio B450C
9 Normativa
• DM 14 gennaio 2008
“Approvazione delle Norme
Tecniche per le Costruzioni”
-2-
DiC
Sezione y-y
9 Geometria
• hp = 3.20 m
• ht = 2.70 m
-3-
DiC
Calcestruzzo
9 C 25/30 (NTC tab. 4.1.I)
Rck = 30.0 MPa
fck = 0.85 Rck = 0.85 x 30.0 = 25.0 MPa
fcd = αfck/γc = 0.83 x 25.0/1.5 = 14.2 MPa
εcu = 3.5 mm/m
fctm = 0.30fck 2/3 = 0.30 x 25.0 2/3 = 2.60 MPa
fctk = 0.70fctm = 0.70 x 2.60 = 1.80 MPa
fctd = fctk/γc = 1.80/1.5 = 1.20 MPa
fbd = 2.25fctd = 2.25 x 1.20 = 2.70MPa
Ec = 22((fck + 8)/10)0.3 = 22((25.0 + 8)/10) 0.3 = 31.0 GPa
γcls = 25.0 kN/m3 (calcestruzzo armato)
-4-
DiC
Acciaio
9 B450C
(NTC 11.3.2.1)
fyk = 450.0 MPa
fyd = fyk/γs = 450.0/1.15 = 391.3 MPa
Es = 200.0 GPa
εsu > 75 mm/m
-5-
DiC
9 Scala a soletta rampante
• soletta
9 Scala con travi a ginocchio e gradini a sbalzo
• Gradini
• Trave a ginocchio
• Pianerottoli
-6-
DiC
Scala a soletta rampante
9 Due nodi
spostabili
9 Schemi di calcolo
9 Geometria
• hp = 3.20 m
• f = 5.00 m
9 Un nodo
spostabile
9 Semplificato
-7-
DiC
Geometria
9 Predimensionamento
della soletta:
• 1/24 – 1/26 della luce nel
caso di appoggi semplici
• 1/30 – 1/33 della luce nel
caso di incastri perfetti
-8-
DiC
Analisi dei Carichi: rampa
9 G1k: carico permanente strutturale (peso proprio)
• Soletta: (0.20 x 0.34)/1.00 x 25.0 x (1.00/0.30) = 5.67 kN/m2
• g1k,BC = 5.67 kN/m2
9 G2k: peso permanente portato (peso permanente)
•
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•
•
Gradino: ((0.16 x 0.30)/2)/1.00 x 14.0 x (1.00/0.30) = 1.12 kN/m2
Marmo pedata: (0.02 x 0.32)/1.00 x 27.0 x (1.00/0.30) = 0.58 kN/m2
Marmo alzata: (0.02 x 0.16)/1.00 x 27.0 x (1.00/0.30) = 0.29 kN/m2
Malta pedata: (0.02 x 0.32)/1.00 x 14.0 x (1.00/0.30) = 0.30 kN/m2
Malta alzata: (0.02 x 0.16)/1.00 x 14.0 x (1.00/0.30) = 0.15 kN/m2
Intonaco intradosso: (0.02 x 0.34)/1.00 x 14.0 x (1.00/0.30) = 0.32 kN/m2
Ringhiera: 0.60/1.20 = 0.50 kN/m2
g2k,BC = 1.12 + 0.58 + 0.29 + 0.30 + 0.15 + 0.32 + 0.50 = 3.25 kN/m2
9 Q1k: sovraccarico variabile
• q1k,BC = 4.00 kN/m2
-9-
DiC
Analisi dei Carichi: pianerottolo
• Soletta: 0.20 x 25.0 = 5.00 kN/m2
• g1k,AB-CD = 5.00 kN/m2
•
•
•
•
Marmo: 0.02 x 27.0 = 0.54 kN/m2
Malta: 0.02 x 14.0 = 0.28 kN/m2
Intonaco intradosso: 0.02 x 14.0 = 0.28 kN/m2
g2k,AB-CD = 0.54 + 0.28 + 0.28 = 1.10 kN/m2
• q1k,AB-CD = 4.00 kN/m2
- 10 -
DiC
Azioni di calcolo
9 Azioni caratteristiche per metro lineare (moltiplico per la profondità)
• g1k
# g1k,BC = 5.97 x 1.20 = 7.16 kN/m
# g1k,AB-CD = 5.00 x (1.20 + 1.60/2) = 10.00 kN/m
• g2k
# g2k,BC = 3.25 x 1.20 = 3.90 kN/m
# g2k,AB-CD = 1.10 x (1.20 + 1.60/2) = 2.20 kN/m
• q1k
# q1k,BC = 4.00 x 1.20 = 4.80 kN/m
# q1k,AB-CD = 4.00 x (1.20 + 1.60/2) = 8.00 kN/m
9 Azioni di calcolo
• g1d
# g1d,BC = 1.3 x 7.16 = 9.31 kN/m
# g1d,AB-CD = 1.3 x 10.00 = 13.00 kN/m
• g2d
# g2d,BC = 1.5 x 3.25 = 4.88 kN/m
# g2d,AB-CD = 1.5 x 2.20 = 3.30 kN/m
• q1d
# q1d,BC = 1.5 x 4.80 = 7.20 kN/m
# q1d,AB-CD = 1.5 x 8.00 = 12.00 kN/m
- 11 -
DiC
Schema di calcolo
Azioni di calcolo
• qBC = 10.84 + 3.83 + 7.20 = 21.39 kN/m
• qAB-CD = 13.00 + 3.30 + 12.00 = 28.30 kN/m
- 12 -
DiC
Sistema risolvente
F = F − R = KU
U = ⎡⎣γ B #γ C # u y , B ⎤⎦
n
T
0
⎡ μ BA + μ BC ⎤
F = − R 0 = − ⎢⎢ μCB + μCD ⎥⎥
⎢⎣
⎥⎦
R
⎡ ρ BA + ρ BC
⎢
K =⎢
ρ 'BC
⎢⎣( ρ ' AB + ρ BA ) l AB
- 13 -
ρ 'CB
ρCB + ρCD
− ( ρCD + ρ 'DC ) lCD
( ρ AB + ρ 'BA ) l AB ⎤
⎥
− ( ρCD + ρ 'DC ) lCD ⎥
VBA + VCD
DiC
⎥⎦
Caratteristiche della Sollecitazione
- 14 -
DiC
Riepilogo delle Sollecitazioni (kN, m)
- 15 -
N
V
M
kN
kN
kNm
A
0.00
61.11
-49.47
AB
0.00
46.96
-22.45
B
0.00
32.81
-2.51
B
-15.42
28.95
-2.51
BC
0.02
0.00
22.10
C
15.46
-28.95
-2.50
C
0.00
-32.81
-2.51
CD
0.00
-46.96 -22.45
D
0.00
-61.11 -49.47
DiC
Criteri di progetto
9 Poiché si è in presenza di una soletta essa non dovrà essere armata a
taglio, mentre il calcolo dell’armatura a flessione segue i ben noti
canoni del calcolo a flessione di travi in c.a.
9 Occorre aggiungere dell’armatura trasversale per una più efficace
ripartizione dei carichi nella misura del 20% dell’armatura
longitudinale.
9 La percentuale geometrica di armatura longitudinale deve rimanere
entro i seguenti limiti (NTC 7.4.6.2.1):
1.4
3.5
< ρ < ρ comp +
f yk
f yk
- 16 -
DiC
Formule di Progetto
9 (1)
9 (2)
N = bxcψ f cd − kAs f yd (1 − β )
M = bxcψ f cd ( d − λ xc ) + β kAs f yd ( d − δ )
9 Si tratta di un progetto condizionato a flessione semplice (N= 0) in campo 2b-3
(ψ= 0.809, λ= 0.416 e k= 1) per una sezione con armatura doppia (β= 0.25 –
0.50)
As f yd 1 − β
9 Dalla (1) è possibile ricavare la posizione dell’asse neutro: xc =
bψ f cd
9 E sostituendo nella (2):
(
λ f (1 − β )
− As f yd d ⎡(1 − β ) + β 1 − δ ⎤ + M = 0
A
⎣
⎦
ψ
bf cd
2
s
2
yd
2
(
)
9 Da quest’ultima è possibile calcolare l’armatura necessaria (As,cal) a
coprire il momento sollecitante
- 17 -
DiC
)
Calcolo all’incastro “A” - pianerottolo (1/2)
2
2
⎡
⎤
−
391.3
1
0.50
(
)
⎡
⎤
0.416
30 ⎞
⎛
2
As ⎢
+
−
+ 49470000 = 0
1
0.50
⎥ − As × 391.3 × 170 ⎢0.50 ⎜1 −
(
)
⎟
⎥
⎝ 170 ⎠
⎣
⎦
⎢⎣ 0.809 1200 × 14.1 ⎥⎦
9
9
9
9
9
As,cal = 843 mm2
As,min = (1.4/450)x1200x170 = 635 mm2
As,max = (3.5/450)x1200x170 + 0.50x843 = 2008 mm2
Si dispone un’armatura effettiva di 6φ14 = 924 mm2
Si calcola la posizione effettiva dell’asse neutro (mm):
xc ,eff
924 × 391.3 (1 − 0.50 )
=
= 13.3
1200 × 0.809 ×14.1
9 Il valore di xc che delimita il confine tra campo 2 e 3 si valuta come
segue: xc= d x εcu/(εcu + εsu)= 170 x 3.5/(3.5 + 75) = 7.6 mm. Ne segue
che la nostra sezione lavora in campo 3 (13.3 > 7.6)
- 18 -
DiC
Calcolo all’incastro “A” - pianerottolo (2/2)
9 Seguendo una via più semplice potevamo calcolare l’armatura
necessaria ponendo β = 0, per cui nel caso di sezione bilanciata si
ottiene:
M
49470000
As =
=
= 826.3
0.9df yd 0.9 × 170 × 391.3
9 Ottenendo un valore prossimo dell’armatura necessaria a quello
precedente calcolato.
9 Lunghezza di ancoraggio per φ14 (mm):
la =
- 19 -
φ f yd
4 fbd
14 391.3
=
= 507 40φ
4 2.70
DiC
Calcolo nella sezione di mezzeria della
rampa
9 Seguiamo il metodo più semplice per calcolare l’armatura necessaria
ponendo β = 0, per cui nel caso di sezione bilanciata si ottiene:
M
22101250
As =
=
= 369.2
0.9df yd 0.9 × 170 × 391.3
9 Utilizziamo l’armatura minima, disponendo 6φ12 = 679 mm2.
la =
- 20 -
φ f yd
4 fbd
12 391.3
=
= 435 40φ
4 2.70
DiC
Armatura di ripartizione
9 20% di 6φ14 = 0.20 x 924 = 185 mm2
9 20% di 6φ12 = 0.20 x 679 = 136 mm2
9 Si utilizzano 4φ8 al metro sia superiormente che inferiormente, collegati
da spilloni: 6φ6 al metro quadrato
- 21 -
DiC
Verifica a Taglio (1/2)
9 Resistenza al taglio di elementi privi di armatura trasversale (NTC
4.1.2.1.3.1):
{
}
VRd = 0.18k (100 ρl f ck ) / γ c + 0.15σ cp bw d ≥ (ν min + 0.15σ cp ) bw d
• Con
13
k = 1 + 200 / d ≤ 2
ν min = 0.035k 3 2 f ck
• dove
ρl = Ast / ( bw d ) ≤ 0.02
σ cp = N Ed / Ac ≤ 0.2 f cd
- 22 -
DiC
k = 1 + 200 /170 = 2.18 ⇒ k = 2.00
σ cp = 0
ρl = Ast / ( bw d ) = 923.6 / (1200 × 170 ) = 0.0045 ≤ 0.02
ν min = 100.4 ( bw d )
VRd = 164 > 61.1kN
- 23 -
DiC
Distinta delle armature
- 24 -
DiC
Armature nei pieghi della soletta
- 25 -
DiC
9 Scala con travi a ginocchio e gradini a sbalzo
- 26 -
DiC
Schema di calcolo del gradino
Bg = a 2 + p 2 = 1602 + 3002 = 340
α = Tan −1 ( a p ) = Tan −1 (160 300 ) = 28° 07
(
)
H = aCos (α ) + s = 160Cos 28° 07 + 40 = 180
d g = H − c = 180 − 20 = 160
- 27 -
DiC
Analisi dei Carichi
• gradino: ((0.16 x 0.30)/2 + (0.34 x 0.04)) x 25.0 = 0.94 kN/m
•
•
•
•
•
•
•
Marmo pedata: (0.02 x 0.30) x 27.0 = 0.16 kN/m
Marmo alzata: (0.02 x 0.16) x 27.0 = 0.09 kN/m
Malta pedata: (0.02 x 0.30) x 14.0 = 0.08 kN/m
Malta alzata: (0.02 x 0.16) x 14.0 = 0.04 kN/m
Intonaco intradosso: (0.02 x 0.34) x 14.0 = 0.10 kN/m
Ringhiera: 0.60 kN/m
G2k = 0.16 + 0.09 + 0.08 + 0.04 + 0.10 + 0.60 = 1.07 kN/m
• Q1k = 0.30 x 4.00 = 1.20 kN/m
9 qd = 1.3 G1k + 1.5 G2k + 1.5 Q1k = 4.63 kN/m
9 q’d = qd x Cos(α) = 4.09 kN/m
- 28 -
DiC
Sollecitazioni e armature
9 Sollecitazioni
• MEd = q’d x l2/2 = 2.94 kNm
• VEd = q’d x l = 4.90 kN
9 Armature
• As,calc = MEd /(0.9dgfyd) = 2.94 x 106/(0.9 x 160 x 391.3) = 52 mm2
• Si dispone un’armatura effettiva di 2φ12 = 223 mm2
• Si dispone un’armatura di ripartizione: staffe φ8/20 cm
9 Si dispone un moncone ed un ferro a molla
- 29 -
DiC
Distinta delle armature
- 30 -
DiC
Schema di calcolo della trave a ginocchio
9 Schema semplificato di trave rettificata
9 Sollecitazioni di flessione e taglio dovute ai carichi verticali
• Trave appoggiata con momento ridotto in mezzeria
• Trave incastrata
• Si assume un carico medio q* uniformemente ripartito
9 Sollecitazione torsionale
• Trave rigida, pianerottolo flessibile
# Momento di incastro perfetto per i pianerottoli
# tp = ql2/12; tr = ql2/2
• Pianerottoli rigidi, trave flessibile
# tp = 0; tr = ql2/2
- 31 -
DiC
Flessione e taglio: Sollecitazioni
9 qp = 28.3 kN/m
9 qr = 21.4 kN/m
9 q* = (28.3 x (1.2 + 1.2) + 21.4
x 3.0)/5.0 = 24.2 kN/m
9 MA = MB = q*l2/12 = 50.3 kNm
9 MAB = q*l2/10 = 60.4 kNm
9 VA = VB = q*l/2 = 60.4 kN
- 32 -
DiC
Torsione: Sollecitazioni
9
9
9
9
qp = 18.6 kN/m2
qr = 14.2 kN/m2
tp = 18.6x(1.2+1.6+1.2)2/12 = 24.9 kNm
tR = 14.2 x 1.22/2 = 10.2 kNm
9
9
9
9
TA = 40.1 kNm
TB = 40.1 kNm
TC = 15.3 kNm
TD = 15.3 kNm
- 33 -
DiC
Flessione: calcolo armature
9 Sezione di mezzeria: MAB
As =
M
60400000
=
= 301
0.9df yd 0.9 × 570 × 391.3
9 Sezione di incastro: MA = MB
M
50300000
As =
=
= 251
0.9df yd 0.9 × 570 × 391.3
9 Si dispongono, inferiormente e superiormente 2φ16 = 402 mm2.
la =
- 34 -
φ f yd
4 fbd
16 391.3
=
= 580
4 2.70
DiC
Torsione e Taglio: verifica dell’altezza della sezione e
calcolo armature
9 Taglio
(
VRcd = ( 0.9d ) bwα c ( 0.5 f cd ) cot ϑ 1 + cot 2 ϑ
Ast
VRsd = ( 0.9d )
f yd cot ϑ
s
9 Torsione
(
TRcd = 2 Ak t ( 0.5 f cd ) cot ϑ 1 + cot 2 ϑ
TRsd = 2 Ak
TRsl =
9 Verifica
)
)
Asw
f yd cot ϑ
s
2 Ak Asl f yd
uk cot ϑ
• Per verificare il comportamento a traliccio (taglio e torsione), in
particolare la resistenza delle bielle compresse, si deve controllare
che:
⎛ VEd ⎞ ⎛ TEd ⎞
⎜
⎟+⎜
⎟ ≤1
⎝ VRcd ⎠ ⎝ TRcd ⎠
- 35 -
DiC
Caratteristiche della sezione
9 bw = 300 mm
9 H = 600 mm
9 c = 30 mm
9 Spessore della sezione efficace: t = 60 mm
• t = (bw – 2c)/6 se bw ≥ 14c
• t = 2c se bw < 14c
9 Perimetro della sezione efficace:
• uk = 2(bw – t + H – t) = 1560 mm
9 Area della sezione efficace:
• Ak = (bw – t)(H – t) = 129600 mm2
- 36 -
DiC
Torsione e Taglio: verifica dell’altezza della sezione
9 Verifica
• L’equazione d’interazione, nel caso di sezione rettangolare e trave
alta, può essere riarrangiata in funzione dell’altezza della sezione
(H):
⎞ ⎛
⎞⎤
VEd
TEd
cot ϑ ⎡⎛
f (H ) =
⎢⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ ⎥ ≤ 1
2
1 + cot ϑ ⎢⎣⎝ 0.9 ( H − c ) bwα c ( 0.5 f cd ) ⎠ ⎝ 2 ( bw − t )( H − t ) t ( 0.5 f cd ) ⎠ ⎥⎦
• Cot θ = 1.0 (H = 600 mm)
- 37 -
Cot θ = 2.5
DiC
Torsione e Taglio: calcolo delle armature (1/2)
9 L’equazione d’interazione adesso può essere riarrangiata in
funzione dell’altezza del rapporto Asw/s scegliendo un
appropriato valore della cot θ (= 1.0):
⎡⎛
VEd
1 ⎢⎜
⎛ Asw ⎞
=
f⎜
⎢⎜
⎟
ϑ
cot
s
⎝
⎠
⎢⎜⎜ ( 0.9d ) nb Asw f yd
⎢⎣⎝
s
⎞ ⎛
⎞⎤
⎟ ⎜
⎟⎥
TEd
⎥ ≤1
⎟+⎜
⎟
⎟⎟ ⎜⎜ 2 Ak Asw f yd ⎟⎟ ⎥
s
⎠ ⎝
⎠ ⎥⎦
f yd cot ϑ
Asw
≤
s
⎛ VEd
⎞ ⎛ TEd ⎞
⎜⎜
⎟⎟ + ⎜
⎟
0.90
2
n
f
A
b yd ⎠ ⎝
k ⎠
⎝
- 38 -
DiC
Torsione e Taglio: calcolo delle armature (2/2)
9 Le travi devono prevedere armatura trasversale costituita da staffe con
sezione complessiva non inferiore ad Asw = 1.5 bw mm2/m essendo bw lo
spessore minimo dell’anima in mm, con un minimo di tre staffe al
metro e comunque passo non superiore a 0.8 volte l’altezza utile della
sezione (NTC 4.1.6.1.1):
• smin = 111 mm
9 Riepilogo:
Sez.
TEd
Asw/s
s,calc
s,eff
Asl,calc
Aslb,calc
Aslh,calc
Aslb,eff
Aslh,eff
kN
kNm
mm2/
mm
mm
mm
mm2
mm2
mm2
mm2
mm2
A
60.4
40.1
0.55
92
90
617
95
214
113
339
B
60.4
40.1
0.55
92
90
617
95
214
113
339
C
24.2
15.3
0.21
237
110
235
36
81
113
339
D
24.2
15.3
0.21
237
110
235
36
81
113
339
- 39 -
VEd
DiC
Distinta delle armature – trave a
ginocchio
- 40 -
DiC
Schema di calcolo del pianerottolo
9 Coerentemente con le ipotesi fatte per il
calcolo della trave a ginocchio, si ipotizza il:
9 Pianerottolo flessibile
• Le travi a ginocchio sono incastri
9 Pianerottolo rigido
• Assorbe il momento torcente indotto dai
gradini della scala sulla trave a ginocchio, che
diventa flettente per il pianerottolo
9 Geometria e Carichi
•
•
•
•
•
Sezione rettangolare 1000 x 160 mm
Altezza utile dp = Hp – c = 160 – 30 = 130 mm
lp = 4.00 m
qp = 28.3 kN/m
TC = 15.3 kNm
9 Sollecitazioni
- 41 -
• MA = MB = qpl2/12 = 37.7 kNm
• MAB = qpl2/8 + TC = 56.6 + 15.3 = 71.9 kNm
DiC
Calcolo delle armature
9 Sezione di mezzeria: MAB
M
71900000
As =
=
= 1570
0.9df yd 0.9 × 130 × 391.3
9 Sezione di incastro: MA = MB
M
37300000
As =
=
= 824
0.9df yd 0.9 × 130 × 391.3
9
9
9
9
Si dispongono superiormente 2φ16 + 4φ12 = 855 mm2.
Si dispongono inferiormente 4φ16 + 8φ12 = 1709 mm2.
Rete di ripartizione φ8/300 x 300 mm
Lunghezza di ancoraggio (mm):
la =
- 42 -
φ f yd
4 fbd
16 391.3
=
= 580
4 2.70
la =
φ f yd
4 fbd
12 391.3
=
= 435
4 2.70
DiC
9 Resistenza al taglio di elementi privi di armatura trasversale (NTC
4.1.2.1.3.1):
{
}
VRd = 0.18k (100 ρl f ck ) / γ c + 0.15σ cp bw d ≥ (ν min + 0.15σ cp ) bw d
• Con
13
k = 1 + 200 / d ≤ 2
ν min = 0.035k 3 2 f ck
• dove
ρl = Ast / ( bw d ) ≤ 0.02
σ cp = N Ed / Ac ≤ 0.2 f cd
- 43 -
DiC
k = 1 + 200 /130 = 2.20 ⇒ k = 2.00
σ cp = 0
ρl = Ast / ( bw d ) = 855 / (1000 × 130 ) = 0.0066 ≤ 0.02
ν min = 64.2 ( bw d )
VRd = 156.5 > 56.6kN
- 44 -
DiC
Distinta delle armature – pianerottolo
- 45 -
DiC

PROGETTO di SCALE in CEMENTO ARMATO

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