PROGETTO a FLESSIONE e TAGLIO di una TRAVATA in

2011/12
PROGETTO a FLESSIONE e TAGLIO di una
TRAVATA in CEMENTO ARMATO
Ni Spinella
Nino
S i ll
[email protected]
Progetto di una travata in cemento armato
Pianta
9 Geometria
G
i
•
•
•
•
•
•
a = 4.00 m
b = 4.50 m
c = 5.00 m
d = 4.80 m
e=6
6.00
00 m
f = 5.00 m
9 Materiali
• Calcestruzzo C 25/30
• Acciaio B450C
9 Normativa
• DM 14 gennaio 2008
“Approvazione delle Norme
T
Tecniche
i h per le
l C
Costruzioni”
t i i”
-2-
DiC
Progetto di una travata in cemento armato
Calcestruzzo
9 C 25/30
(NTC tab. 4.1.I)
Rckk = 30.0
30 0 MPa
fck = 0.85 Rck = 0.85 x 30.0 = 25.0 MPa
fcd = αfck/γc = 0.83
0 83 x 25
25.0/1.5
0/1 5 = 14
14.2
2 MPa
εcu = 3.5 mm/m
fctm = 0.30fck 2/3 = 0.30 x 25.0 2/3 = 2.60 MPa
fctk = 0.70fctm = 0.70 x 2.60 = 1.80 MPa
fctd = fctk/γc = 1.80/1.5 = 1.20 MPa
fbd = 2.25fctd = 2.25 x 1.20 = 2.70MPa
Ec = 22((fck + 8)/10)0.3 = 22((25.0 + 8)/10) 0.3 = 31.0 GPa
-3-
DiC
Progetto di una travata in cemento armato
Acciaio
9 B450C
(NTC 11.3.2.1)
fyk = 450.0 MPa
fyd = fyk/γs = 450.0/1.15 = 391.3 MPa
Es = 200.0 GPa
εsu > 75 mm/m
-4-
DiC
Progetto di una travata in cemento armato
Geometria
9 Ht = lmax/10 = 500/10 = 50 cm ((spessore ttotale
t l di
tentativo)
9 H = 50 cm (spessore totale scelto)
9 c = 3 cm (copriferro1)
9 d = H – c = 50 – 3 = 47 cm (altezza utile)
1
-5-
NTC tab. C.4.1.IV suggerisce 25 mm
per elementi monodimensionali con
vita nominale di 50 anni, condizioni
ambientali ordinarie e calcestruzzo C
25/30
DiC
Progetto di una travata in cemento armato
Analisi dei Carichi e Aerea di
Influenza
9 G1k: carico permanente strutturale (peso proprio)
•
•
•
•
0.30 x 0.50 x 25.0 = 3.75 kN/m (trave)
3.32 kN/m2 (solaio)
g1k,AB = 3.75 + 3.32 x 2.40 = 11.75 kN/m
g1k,BC-CD = 3.75 + 3.32 x (2.40 + 3.00) = 21.65 kN/m
9 G2k: peso permanente portato (peso permanente + partizioni mobili)
• 3.74 kN/m2 (solaio)
• g2k,AB = 3.74 x 2.40 = 9.00 kN/m
• g2k,BC-CD = 3.74
3 74 x (2
(2.40
40 + 3
3.00)
00) = 20
20.2
2 kN/m
kN/
9 Q1k: sovraccarico variabile
• 2.00 kN/m2 (solaio)
(
)
• q1k,AB = 2.00 x 2.40 = 4.80 kN/m
• q1k,BC-CD = 2.00 x (2.40 + 3.00) = 10.8 kN/m
-6-
DiC
Progetto di una travata in cemento armato
Azioni di calcolo
9 Riepilogo azioni caratteristiche
• g1k
# g1k,AB = 11.75 kN/m
# g1k,BC-CD = 21.65 kN/m
• g2k
# g2k,AB = 9.00 kN/m
# g2k,BC-CD = 20.2 kN/m
• q1k
# q1k,AB
1k AB = 4.80 kN/m
# q1k,BC-CD = 10.8 kN/m
9 Azioni di calcolo
• g1d
# g1k,AB = 1
1.3
3 x 11.75
11 75 = 15.3
15 3 kN/m
# g1k,BC-CD = 1.3 x 21.65 = 28.2 kN/m
• g2d
# g2k,AB
= 1.5 x 9.00 = 13.5 kN/m
,
# g2k,BC-CD = 1.5 x 20
20.2
2 = 30.3
30 3 kN/m
k
• q1d
# q1k,AB = 1.5 x 4.80 = 7.2 kN/m
# q1k,BC
1k BC-CD
CD = 1.5 x 10.8 = 16.2 kN/m
-7-
DiC
Progetto di una travata in cemento armato
Casi di carico e Condizioni di vincolo
9 L'effettiva condizione di vincolo è quella di semi-incastro, per cui si
risolve la trave continua in figura, soggetta ai carichi appena calcolati,
considerando sia il vincolo di incastro (travi torsionalmente rigide) che
quello di appoggio (travi torsionalmente deformabili) alle estremità.
Così facendo si ottengono due diagrammi del momento flettente e del
taglio.
taglio
-8-
DiC
Progetto di una travata in cemento armato
Sollecitazioni
-9-
DiC
Progetto di una travata in cemento armato
Riepilogo delle Sollecitazioni (kN, m)
- 10 -
Incastro
Appoggio
pp gg
XEd
Vab
57.1
51.3
Ma
-28.2
0.0
-28.2
Mab
17.2
36.5
36.5
Vba
-87.7
-92.7
Vbc
154 2
154.2
142 7
142.7
Mb
-87.7
-83.0
-87.7
Mbc
71.7
53.4
71.7
Vcb
-181.9
-192.5
Vcd
185.1
225.3
M
Mc
-150.0
150 0
-192.8
192 8
-192.8
192 8
Mcd
79.4
147.2
147.2
Vdc
-188.4
188.4
-148.2
148.2
Md
-158.5
0.0
-158.5
DiC
Progetto di una travata in cemento armato
Criteri di Progetto
9 L
La llunghezza
h
massima
i
d
delle
ll barre
b
è di 12.0
12 0 m
9 E’ opportuno impiegare non più di due diametri di armatura
9 La percentuale geometrica di armatura longitudinale deve rimanere
entro i seguenti limiti (NTC 7.4.6.2.1):
1.4
3.5
< ρ < ρ comp +
f yyk
f yk
y
9 Almeno due barre di diametro minimo di 14 mm devono essere
presenti superiormente ed inferiormente per tutta la lunghezza della
trave.
- 11 -
DiC
Progetto di una travata in cemento armato
Formule di Progetto
9 ((1))
9 (2)
N = bxcψ f cdd − kAs f ydd (1 − β )
M = bxcψ f cd ( d − λ xc ) + β kAs f yd ( d − δ )
9 Si tratta di un progetto condizionato a flessione semplice (N= 0) in campo 2b-3
2b 3
(ψ= 0.809, λ= 0.416 e k= 1) per una sezione con armatura doppia (β= 0.25 –
0.50)
As f yd
y 1− β
9 Dalla (1) è possibile ricavare la posizione dell’asse neutro: xc =
bψ f cd
9 E sostituendo nella (2):
(
λ f (1 − β )
A
− As f yd d ⎡(1 − β ) + β 1 − δ ⎤ + M = 0
⎣
⎦
ψ
bf cd
2
s
2
ydd
2
(
)
9 Da quest’ultima
quest ultima è possibile calcolare ll’armatura
armatura necessaria (As,ca
s cal) a
coprire il momento sollecitante
- 12 -
DiC
)
Progetto di una travata in cemento armato
Calcolo all’appoggio “C” (1/2)
2
2
⎡
⎤
391
391.3
3
1
−
0.50
0
50
(
)
0
0.416
416
⎡
30 ⎞
⎤
⎛
2
As ⎢
+
1
−
0.50
+ 192800000 = 0
⎥ − As × 391.3 × 470 ⎢ 0.50 ⎜1 −
(
)
⎟
⎥
300 × 14.1
⎝ 470 ⎠
⎣
⎦
⎢⎣ 0.809
⎥⎦
9
9
9
9
9
As,cal = 1115 mm2
As,min = (1.4/450)x300x470 = 479 mm2
As,max = (3.5/450)x300x470
(3 5/450)x300x470 + 0
0.50x1043
50x1043 = 1618 mm2
Si dispone un’armatura effettiva di 2φ20 + 2φ18 = 1137 mm2
Si calcola la posizione effettiva dell’asse neutro (mm):
xc ,eff
1137 × 391.3 (1 − 0.50 )
=
= 65
300 × 0.809 ×14.1
9 Il valore di xc che delimita il confine tra campo 2 e 3 si valuta come
segue: xc= d x εcu/(εcu + εsu)= 470 x 3.5/(3.5 + 75) = 21 mm. Ne segue
che la nostra sezione lavora in campo 3 (65 > 21)
- 13 -
DiC
Progetto di una travata in cemento armato
Calcolo all’appoggio “C” (2/2)
9 Il momento
t resistente
i t t d
dell fferro (MRd) sii ottiene
tti
d
dall’equilibrio
ll’
ilib i alla
ll rotazione
t i
rispetto al centro di compressione (kNm):
M Rd = As f yd ( d − λ xc )
M Rd = 1137 × 391.3 ( 470 − 0.416 × 65 ) = 197.1
9 Per cui risulta:
l
192 8 < 197.1
192.8
197 1 ⇔ M Ed < M Rd
9 Lunghezza di ancoraggio per
la =
φ
φ f yd
4 fbd
20
(mm):
20 391.3
=
= 725 40φ
4 2.70
2 70
9 Lunghezza di traslazione (NTC 4.1.2.1.3.2): è necessario conoscere l’inclinazione
del campo di compressione θ e quindi effettuare la verifica a taglio per
determinare il prolungamento dell’armatura longitudinale
- 14 -
DiC
Progetto di una travata in cemento armato
Calcolo a flessione
b
MEd
mm
As,cal
As,eff
MRd
mmq
mmq
kNm
A
300
28.2
159
2 φ20
628
111.9
AB
300
36.5
204
2 φ18
509
90.0
B
300
87 7
87.7
499
2 φ20
628
111 9
111.9
BC
300
71.7
406
2 φ18
509
90.0
C
300
192.8
1115
2 φ20 + 2 φ18
1137
197.1
CD
300
147.2
856
2 φ18 + 1 φ20
823
141.9
D
300
158.5
912
2 f20 + 1 φ18
883
155.1
- 15 -
DiC
Progetto di una travata in cemento armato
Distinta delle armature
- 16 -
DiC
Progetto di una travata in cemento armato
P
Progetto
tt a Taglio
T li (1/2)
9 Il passo minimo tra le staffe non deve essere maggiore della minore tra
l seguenti
le
ti quantità:
tità
• Minimo 3 staffe / metro ( s= 33 cm)
• s < 0.8d ( 0.8 x 470 = 37.6 cm )
• Ast = 1.5 bw (mm2/m) = 1.5 x 300 = 450 mm2/m (s = 22 cm )
9 IIn zona sismica
i i (NTC 7.4.6.2.1) : nelle
ll zone critiche
iti h ((estese
t
per una
lunghezza pari ad H dal filo pilastro e CD “B”):
• La prima staffa deve distare non più di 5 cm dalla sezione filo pilastro; le
successive ad un passo non superiore alla minore tra le seguenti
grandezze:
#
#
#
#
- 17 -
d/4
( s = 12 cm)
22.5 cm
8 φlmin
( s = 14 cm)
24 φst
( s = 19 cm)
DiC
Progetto di una travata in cemento armato
P
Progetto
tt a Taglio
T li (2/2)
9 Resistenza al taglio di elementi con armatura trasversale (NTC 4.1.2.1.3.2).
• Taglio
T li compressione:
i
(1)
Rcd
w
V
(
= ( 0.9d ) b α c ( 0.5 f cd )( cot α + cot ϑ ) 1 + cot 2 ϑ
)
• Taglio
T li trazione:
i
(2)
Rsd
V
Ast
f yd ( cot α + cot ϑ ) sin α
= ( 0.9d )
s
9 Eguagliando la (1) e la (2) è possibile ricavare la cotθ per il passo di staffe
minimo (ad esempio nelle zone critiche s = 120 mm) e quindi verificare che 1 <
cotθ < 2.5
9 Noto il valore di cotθ lo si sostituisce nella (2) in modo da ottenere il valore
del taglio resistente VRd. Questo va quindi confrontato con il corrispondente
valore di taglio sollecitante, in modo da valutare se sono o meno necessarie
staffe aggiuntive (quindi spaziatura inferiore a quella minima).
9 La lunghezza di traslazione dei ferri longitudinali si valuta come segue:
a1=0.9d(cotα+cotθ)/2
- 18 -
DiC
Progetto di una travata in cemento armato
Calcolo all’appoggio “C” (1/2)
( 0.9 × 470 ) 300 ×1( 0.5 ×14.1)( 0 + cot ϑ )
(1 + cot ϑ ) =
2
100
= ( 0.9 × 470 )
391.3 × ( 0 + cot ϑ ) × 1
120
cot ϑ = 2.40
9 Scelgo cotθ = 2.40
9 Il taglio resistente (kN) risulta:
VRsd
100
= ( 0.9 × 470 )
391.3 × ( 0 + 2.40 ) × 1 = 324400
120
9 L’armatura trasversale è sufficiente a riprendere lo sforzo di taglio:
VRsd > VEd
324400 > 225300
- 19 -
DiC
Progetto di una travata in cemento armato
Calcolo all’appoggio “C” (2/2)
9 http://ww2.unime.it/dic/nspinella/cewt/
- 20 -
DiC
Progetto di una travata in cemento armato
Calcolo a taglio
- 21 -
VEd
b
kN
mm
A
57 1
57.1
300
B
154.2
C
D
cot θ
s
a1
cm
cm
2 40
2.40
12
51
300
2.40
12
51
225.3
300
2.40
12
51
188.4
300
2.40
12
51
DiC