Programma del corso di Matematica Generale per Scienze

Programma del corso di Matematica Generale per Scienze Biologiche (M-Z)
Prof. Gilberto Bini, Prof. Anna Gori
A.A. 2016/2017
Algebra lineare. Vettori nel piano e nello spazio. Somma e prodotto per uno scalare.
Prodotto scalare di due vettori. Matrici. Somma e prodotto di due matrici. Matrici
moltiplicabili. Prodotto righe per colonne. Matrici quadrate, triangolari superiori,
inferiori, matrici diagonali. Determinante di una matrice 2 x 2. Complementi algebrici.
Determinante di una matrice qualunque con il metodo di Laplace. Proprietà del
determinante. Matrici invertibili. Matrice aggiunta e calcolo della matrice inversa.
Rango di matrici. Sistemi lineari: discussione e risoluzione. Autovalori e autovettori di
una matrice.
Successioni. Definizione e primi esempi. La successione dei numeri di Fibonacci e il
rapporto aureo. Alcuni esempi di modelli di popolazione. Le successioni la cui
differenza o rapporto fra termini consecutivi è costante: la generalizzazione delle
progressioni aritmetiche e geometriche. Somma di una progressione aritmetica e di
una progressione geometrica. Il limite di una successione: definizione e prime
proprietà. Il teorema dell’unicità del limite, della permanenza del segno e dei due
carabinieri. Il principio di induzione come strumento per determinare alcune
proprietà delle successioni. L’algebra dei limiti e le forme indeterminate. Infiniti e
infinitesimi e loro confronti.
Funzioni. Definizione e primi esempi. Il grafico di una funzione. La preimmagine di un
elemento. Funzioni iniettive e suriettive. Composizione di funzioni. Funzioni
biunivoche e funzioni invertibili. Funzioni elementari: prime proprietà e grafico.
Funzioni potenza e funzioni radici. Esponenziali e logaritmi. Funzioni periodiche e
funzioni inverse. Costruzione di grafici di funzioni a partire da quelli di funzioni
elementari mediante operazioni elementari, come traslazioni, simmetrie rispetto agli
assi coordinati. Insieme di definizione di una funzione reale di variabile reale. Segno
di una funzione e intersezione con gli assi. Principali tecniche per la risoluzione di
equazioni e disequazioni che coinvolgono composizione di funzioni elementari. Il
limite di una funzione reale di variabile reale. Nozione di intorno nell’insieme dei
numeri reali esteso e definizione di limite. Verifica della definizione. Calcolo di limiti
di funzioni mediante i vari limiti notevoli. La relazione fra limiti di successioni e limiti
di funzioni. La nozione di continuità in un punto e in un insieme e le fondamentali
proprietà. La nozione di discontinuità di prima specie e di seconda specie. Proprietà
delle funzioni continue: il teorema di Weierstrass, il teorema della permanenza del
segno (con dimostrazione) e il teorema dei valori intermedi.
Derivabilità. Definizione di derivata di una funzione in un punto del suo dominio.
Significato geometrico e meccanico della derivata. La derivata per approssimare una
funzione in un intorno opportuno di un punto del dominio. La funzione derivata.
Esempi di funzioni derivabili e di funzioni non derivabili. Ogni funzione derivabile in
un punto è continua in quel punto (dimostrazione). Esempi di funzioni continue ma
non derivabili. Calcolo di funzioni derivate: regole per la somma, il prodotto e la
composizione di funzioni. Derivate delle funzioni elementari. Teorema di de L’Hopital
per il calcolo di forme indeterminate. Punti critici di una funzione. Il teorema di
Fermat, il teorema di Rolle e il teorema di Lagrange (dimostrazione). Massimi e minimi
di una funzione. Funzioni crescenti e decrescenti, convesse e concave e legame
rispettivamente con la derivata prima e la derivata seconda. Punti di flesso. Un
accenno ai problemi di ottimizzazione. Studi di funzioni. Asintoti verticali, orizzontali
e obliqui.
Integrabilità. Il concetto di funzione primitiva. L’integrale indefinito come insieme
delle primitive di una funzione. Due primitive di una funzione differiscono per una
costante. Calcolo di integrali indefiniti: tecniche elementari, per sostituzione e per
parti. Definizione dell’integrale definito di una funzione continua in un intervallo
chiuso e limitato. Integrabilità secondo Riemann e significato geometrico
dell’integrale definito come area con segno della regione individuata dal grafico di
una funzione. Calcolo di aree di alcune regioni piane. Il teorema della media (con
dimostrazione). La funzione integrale e il teorema fondamentale del calcolo (con
dimostrazione). Gli integrali impropri e le loro applicazioni.