Esercizi di Matematica Finanziaria

Esercizi di Matematica Finanziaria
Copyright SDA Bocconi
1
1 Fattori …nanziari
1 Classi…care e rappresentare gra…camente i seguenti fattori …nanziari per
t 0:
f (t) = 1 + 0; 08t (b) f (t) = (1 + 0; 12)t
(a)
(d)
(t) = 1
(e)
0; 1t
(c) f (t) =
t
(t) = (1 + 0; 15)
(f)
(t) =
1
0; 04t
1
1
1 + 0; 11t
[Risposta. (a) Fattore di montante semplice con tasso annuo d’interesse i =
8%, rappresentato gra…camente dalla semiretta uscente da punto (0; 1) con pendenza 0; 08 (vedi gra…co 1.1.1). (b) Fattore di montante composto con tasso
annuo d’interesse
f(t)
f(t)
10
f(t)
10
10
5
5
5
0
0
0
10
20
0
0
t
10
20
Figura 1.1.2
Figura 1.1.1
0
t
10
20
t
Figura 1.1.3
i = 12%, il suo gra…co descrive f come funzione che parte dal punto (0; 1),
strettamente crescente e convessa (vedi gra…co 1.1.2). (c) Fattore di montante
semplice anticipato con tasso annuo di sconto d = 4%. Esso è de…nito per ogni
t < 25.
f(t)
3
f(t)
2
f(t)
2
2
1
1
1
0
0
0
5
Figura 1.1.4
10
t
0
0
10
Figura 1.1.5
1
20
t
0
10
Figura 1.1.6
20
t
Esso è rappresentato gra…camente da una porzione di ramo d’iperbole che parte
dal punto (0; 1) e ammette come asintoto la retta verticale t = 25 (vedi …gura
1.1.3). (d) Fattore di sconto commerciale con d = 10%, de…nito per ogni t 10
e rappresentato gra…camente dal segmento di retta con estremi in (0; 1) e (10; 0)
(vedi …gura 1.1.4). (e) Fattore di sconto composto con i = 15%, il suo gra…co
descrive f come funzione che parte dal punto (0; 1), strettamente decrescente
e convessa (vedi gra…co 1.1.5). Per t ! +1 si ha (t) ! 0+ . (f) Fattore
di sconto semplice (o razionale) con i = 11%, il suo gra…co descrive f come
funzione che parte dal punto (0; 1), strettamente decrescente e convessa (vedi
gra…co 1.1.6). Per t ! +1 si ha (t) ! 0+ .]
2 Capitalizzazione e attualizzazione
2 Una banca sconta cambiali usando il regime dello sconto commerciale con
tasso annuo di sconto d = 14%.
(a) Scrivere l’espressione analitica del fattore di montante f (t) che la banca
di fatto usa e calcolare il corrispondente tasso annuo d’interesse.
(b) In corrispondenza a quale scadenza cambiaria t > 0 il valore scontato
dell’e¤etto è pari alla metà del nominale?
[Risposta. (a) Il fattore di sconto commerciale è (t) = 1 0; 14t, con t
7; 1429. (a) f (t) = 1= (t) = 1= (1 0; 14t), con t < 1=0; 14 = 7; 1429. Il tasso
annuo d’interesse risulta i = f (1) 1 = 0; 1628 = 16; 28%. (b) Da f (t) = 2, si
ottiene t = 3; 5714.]
3 Un impiego …nanziario di C = 5000 e può farsi: (1) a interessi semplici,
a tasso annuo d’interesse i = 5%, o (2) a interessi semplici anticipati, a tasso
annuo di sconto d = 4%.
(a) Calcolare i montanti M1 e M2 dei due impieghi dopo 6 mesi.
(b) Per quale valore di d il montante M2 è uguale al montante M1 ?
(c) Per quale durata speciale t > 0 i due impieghi conducono allo stesso
montante?
[Risposta. f1 (t) = 1 + 0; 05t con t 0, f2 (t) = 1= (1 0; 04t) con t 2 [0; 25).
(a) I montanti sono M1 = 5000 f1 (6=12) = 5125 e M2 = 5000 f2 (6=12) =
5102; 04. (b) d = 0; 0488 = 4; 88%. (c) Da f1 (t) = f2 (t), si ricava t = 5.]
4 Un …nanziamento di S = 10000 e comporta un unico pagamento a carico
del debitore d’ammontare M = 11664 e, dovuto esattamente due anni dopo
l’erogazione del …nanziamento.
(a) Calcolare il tasso annuo d’interesse semplice is e il tasso annuo d’interesse
composto ic , cui è concesso il …nanziamento.
2
(b) Calcolare il tasso annuo di sconto d (per capitalizzazione a interessi semplici anticipati) che caratterizza la stessa operazione.
(c) Qualora il …nanziatore trattenga all’erogazione 500 e, trovare il tasso
annuo d’interesse composto ic dell’operazione “dopo la ritenuta”.
[Risposta. (a) Da 1000 (1 + is 2) = 11664, si ha is = 0; 0832 = 8; 32%, mentre
da 1000 (1 + ic )2 = 11664, si ha ic = 0; 08 = 8%; (b) d = 0; 0713 = 7; 13%; (c)
ic = 0; 1081 = 10; 81%.]
5 Un’impresa s’impegna a restituire tra 6 mesi la somma di S = 10000; 00 e a
una banca che le fa un prestito. L’ammontare che la banca versa oggi all’impresa
è il valore attuale A della somma C calcolato a sconto razionale (semplice) con
tasso annuo d’interesse i = 12%.
(a) Determinare il valore scontato A.
(b) Determinare l’ammontare D dello sconto.
(c) Calcolare il tasso annuo d’interesse composto r che darebbe luogo agli
stessi ‡ussi di cassa.
[Risposta. (a) A = 9433; 96; (b) D = 566; 04; (c) r = 0; 1236 = 12; 36% .]
6 Un’impresa ha un credito di S = 1000 e che scade tra un anno (t = 1).
Lo cede a una banca che trattiene lo sconto commerciale a tasso annuo di
sconto d = 20% e, inoltre, una commissione d’incasso pari allo 0; 5% del valore
nominale.
(a) Trovare l’ammontare D dello sconto trattenuto e il netto ricavo A per
l’impresa tenuto conto anche della provvigione.
(b) Quale tasso annuo d’interesse composto x avrebbe generato A come valore
scontato del credito ceduto?
[Risposta. (a) Si ha D = 200, mentre il netto ricavo risulta A = 1000 200
5 = 795. (b) Dall’equazione 795 = 1000 (1 + x) 1 si trova x = 0; 2579 = 25; 79%
.]
3 Tassi equivalenti
7 Dato il tasso trimestrale d’interesse composto i4 = 0; 04, calcolare i tassi ad
esso equivalenti: (a) i2 ; (b) i3 ; (c) j6 ; (d) j12 ; (e) i; (f) .
[Risposta. (a) Da (1 + i2 )2 = (1 + 0; 04)4 , si ricava i2 = 1; 042 1 = 0; 0816 =
8; 16%; (b) i3 = 5; 37%; (c) j6 = 15; 9%; (d) j12 = 15; 79%; (e) i = 16; 99%; (f)
Da e = 1; 044 si trova = 4 ln 1; 04 = 0; 1569 = 15; 69%.]
8 (a) Dato il tasso annuo nominale j2 = 0; 12, calcolare i tassi ad esso equivalenti: (1) i2 ; (2) i3 ; (3) i12 ; (4) i; (5) . (b) Si sconta un credito d’ammontare
3
M con scadenza tre mesi. La banca pratica lo sconto commerciale con tasso
annuo di sconto d = 8%. Ricavare il tasso annuo d’interesse composto i che
caratterizza la stessa operazione.
[Risposta. (a) (1) i2 = j2 =2 = 6%; (2) Da (1 + i3 )3 = (1 + 0; 06)2 si ha
i3 = 3; 96%; (3) 0; 976%; (4) 12; 36%; (5)
= 0; 1165 = 11; 65%; (b) Da
1=4
1 0; 08=4 = (1 + i)
si trova i = 8; 42% .]
4 Rendite limitate e illimitate
9 Per la rendita (in e), dove le scadenze sono espresse in anni:
Scadenze 1
2
3
4
5
Importi
500 550 600 700 1000
utilizzando l’interesse composto con i = 10%, trovare: (a) il montante M alla
scadenza dell’ultima rata; (b) il valore attuale in 0 (V0 ); (c) il valore in t = 3
(V3 ).
P5
t
[Risposta. f (t)
P5= 1; 1 con t 0. (a) Si ha M = s=1 Rs f (5 s) = 3960; 1;
(b) Si ha V0 = s=1 Rs (s) = 2458; 91; (c) Si ha:
V3 = 500 1; 12 + 550 1; 1 + 600 + 700 1; 1
1
+ 1000 1; 1
2
= 3272; 81 .]
10 Calcolare: (a) s8j0;05 ; (b) s12j0;025 ; (c) s•6j0;05 ; (d) a10j0;075 ; (e) a
•18j0;04 .
[Risposta. (a) 9; 5491; (b) 13; 7956; (c) 7; 142; (d) 6; 8641; (e) 13; 1657 .]
11 Calcolare il valore attuale A e il valore …nale alla scadenza dell’ultima rata
M , utilizzando l’interesse composto a tasso annuo i = 4%, delle seguenti rendite
limitate (in e):
(a)
Anni
1 2 3 4 5 6
Importi 50 50 50 50 50 50
(b)
Anni
1=2 1 3=2 2 5=2 3
Importi 50 50 50 50 50 50
(c)
Anni
1=3 2=3 1 4=3 5=3 3
Importi 50 50 50 50 50 50
(d)
Anni
1=4 2=4 3=4 1 5=4 6=4 7=4 2
Importi 500 500 500 500 500 500 500 500
[Risposta. (a) A = 50 a6j0;04 = 262; 11, M = 50 s6j0;04 = 331; 65; (b)
A = 280; 26, M = 315; 25; (c) A = 286; 61, M = 310; 08; (d) A = 3828; 37,
M = 4140; 65 .]
4
12 Per la rendita annua (in e):
Anni
1 2 3 4 5 6 7 8
Importi 40 40 40 40 40 40 40 40
utilizzando l’interesse composto a tasso annuo i = 0; 10, calcolare: (a) il montante M alla scadenza dell’ultima rata; (b) il valore attuale in 0; (c) il valore
in t = 2 (V2 ) e in t = 5 (V5 ); (d) stabilire di quanto deve aumentare la rata
costante ( R) a¢ nché il montante di cui al punto (a) aumenti del 15%.
[Risposta. (a) 457; 44; (b) 213; 40; (c) 258; 21 e 343; 68; (d) R = 6 .]
13 Per la rendita limitata annua (in e):
Anni
1 2 3 4
5
6
7
8
9
10
Importi 40 40 40 40 100 100 100 100 100 100
utilizzando l’interesse composto a tasso annuo i = 0; 10, calcolare: (a) il montante M alla scadenza dell’ultima rata; (b) il valore attuale in 0; (c) il valore in
t = 2 (V2 ) e in t = 5 (V5 ).
[Risposta. (a) M = 1100; 43; (b) A = 424; 26; (c) V2 = 513; 36, V5 = 683; 28.]
14 (a) Calcolare: (1) a1j0;05 ; (2) a
•1j0;025 . (b) Calcolare il valore attuale A,
utilizzando l’interesse composto a tasso annuo i = 4%, delle seguenti rendite
illimitate (in e):
(1)
Anni
1
2
3
4
5
6
Importi 250 250 250 250 250 250
n
250
(2)
Anni
1=2 1 3=2 2 5=2 3
Importi 250 250 250 250 250 250
n=2
250
(3)
Anni
1
2
3
4
5
6
Importi 200 200 200 300 300 300
n
300
(4)
Anni
1=2 1 3=2 2 5=2 3
Importi 200 200 200 500 500 500
n=2
500
(c) Stabilire di quanto deve aumentare l’ammontare della rata a¢ nchè il valore attuale della rendita perpetua (b.2), calcolata al tasso annuo d’interesse
composto i = 4%, diventi A = 15000.
[Risposta. (a) (1) 20 (2) 41; (b) (1) 6250; (2) 12626; 26; (3) 7222; 49; (4)
24387; 02; (c) 297 .]
5 Ammortamenti in generale
5
15 Una banca eroga un …nanziamento ad un’azienda per l’importo di e 5000,
contro il pagamento di quattro rate semestrali posticipate al tasso i2 = 4%. Le
prime tre quote di capitale sono: C1 = 1000, C2 = 1500 e C3 = 1200. (a)
Calcolare la quota di capitale C4 e determinare i debiti residui. (b) Costruire il
piano d’ammortamento del …nanziamento.
[Risposta. (a) C4 = 1300, D0 = 5000, D1 = 4000, D2 = 2500, D3 = 1300; (b)
Il piano d’ammortamento richiesto è:
t
0
1
2
3
4
Rt
1200; 00
1660; 00
1300; 00
1352; 00
Ct
It
Dt
5000; 00
4000; 00
2500; 00
1300; 00
0; 00
1000; 00 200; 00
1500; 00 160; 00
1200; 00 100; 00
1300; 00 52; 00
.]
16 I movimenti di cassa (in e) di un …nanziamento sono:
Anni
0
Importi 10000
1
3000
2
3800
3
R
(a) Ricavare l’ammontare R > 0, in modo che x = 10% sia il TIR per il
…nanziamento e determinare la sequenza dei debiti residui utilizzando la
nota relazione di ricorrenza.
(b) Costruire il piano d’ammortamento e calcolare il monte interessi.
[Risposta. (a) La rata risulta R = 5500, mentre i debiti residui sono D0 =
10000, D1 = 8000, D2 = 5000; (b) Il piano d’ammortamento richiesto è:
t
Rt
Ct
It
Dt
0
10000; 00
1 3000; 00 2000; 00 1000; 00 8000; 00
2 3800; 00 3000; 00 800; 00 5000; 00
3 5500; 00 5000; 00 500; 00
0; 00
e, pertanto, il monte interessi risulta e 2300; 00 .]
6