SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO CLASSE I Attività di

SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO
CLASSE I
Attività di matematica: angoli consecutivi e adiacenti
PREMESSA: l’incipit per questa argomentazione è arrivato grazie ad una domanda di
chiarimento posta da un alunno che non aveva compreso correttamente un esercizio assegnato
per casa e corretto in classe.
Questo era l'esercizio:
L’esercizio assegnato per casa conteneva alcune affermazioni di cui si doveva stabilire il valore
di verità ( in precedenza erano stati fatti esercizi analoghi su contenuti differenti)
Una parte di alunni aveva eseguito correttamente l’esercizio altri no.
La necessità di chiarimento e il desiderio di comprendere veramente il significato di due frasi,
apparentemente semplici, ha fornito lo stimolo per appurare attraverso l’argomentazione se i
concetti presentati fossero stati compresi a fondo da tutti.
INSEGNANTE:
Partiamo con la discussione.Si interviene alzando la mano, cioè non si può parlare tutti
insieme, ma intervenendo un per volta.
Scrivo la prima frase:
“DUE ANGOLI SONO CONSECUTIVI QUANDO HANNO UN LATO IN COMUNE”….e abbiamo detto
che questa frase è falsa.
Scrivo la seconda frase:
“DUE ANGOLI CONSECUTIVI HANNO UN LATO IN COMUNE” ….e abbiamo detto che questa
frase è vera.
Nel primo caso perché abbiamo detto che è falsa?
ALUNNO 1 (DSA MARCO): perché lì vuol dire che hanno SOLO un lato in comune e non ha
nient’altro!
INSEGNANTE: e non ha nient’altro! Quindi che cosa è necessario affinché due angoli siano
consecutivi?
ALUNNO 1 (DSA MARCO): che abbiano anche il vertice…
INSEGNANTE: anche il vertice in comune, BENISSIMO!
Qui, nella seconda frase lo dice in qualche modo che i due angoli hanno un lato e il vertice in
comune? ......Lo dice o non lo dice?
ALUNNO 2 (DSA TOMMASO): sì perché dice che sono consecutivi…
INSEGNANTE: in che senso? Rileggi la frase…
ALUNNO 2: “DUE ANGOLI CONSECUTIVI HANNO UN LATO IN COMUNE”
INSEGNANTE: quindi tu hai detto….tu hai fatto una osservazione giusta Tommaso….cerca di
spiegare perché sei sicuro che in questa frase si dice già che hanno un lato e un vertice in
comune. Prova a dirlo con le tue parole, gli altri possono intervenire per alzata di mano.
ALUNNO 2: perché dice che sono DUE ANGOLI consecutivi, quindi…
INSEGNANTE…tranquillo…ce l’hai….perchè qui ( indicando la prima frase) ti viene il dubbio che
siano consecutivi? E qui ( nella seconda frase) no?
ALUNNO 2: perché nella prima frase dice SONO, … dice SONO QUANDO.
INSEGNANTE….allora qui nella prima frase c’è un QUANDO (l’insegnante evidenzia la parola
quando cerchiandola)....
E qui? (indicando la seconda frase?)
ALUNNO 2: dice due angoli consecutivi HANNO
INSEGNANTE: bene….in pratica è come se ci fosse una CERTEZZA…..Irene?(alunna 3)
ALUNNA 3: no no…volevo dire la stessa cosa
INSEGNANTE:
Bene, pensate ad un modo in cui potremmo riscrivere queste due frasi., per rendere meglio
questo concetto.
Qui (frase 1) c’è un quando ok?
Qui (frase 2) non c’è un quando…..quindi è come se si desse per scontato che due angoli sono
consecutivi e pertanto hanno un lato e un vertice in comune.
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………
Rivediamo la seconda: a) DUE ANGOLI CONSECUTIVI HANNO UN LATO IN COMUNE
Possiamo anche pensarla come: b) DUE ANGOLI SONO CONSECUTIVI….HANNO UN LATO IN
COMUNE (l’insegnante sulla LIM riscrive le due frasi apportando la prima variazione sulla
seconda)
La domanda (refuso insegnante) possiamo riprenderla come:
“E’ vero che due angoli consecutivi hanno un lato in comune?”
ALUNNO 1: sì è vero, più il vertice…
INSEGNANTE: sì è vero,….è vero che hanno anche il vertice ma diciamo che SE sono
consecutivi è SICURAMENTE VERO che hanno un lato in comune e il vertice in comune,
MENTRE se due angoli hanno un lato in comune, NON e’ detto che siano consecutivi.
L’insegnante completa la frase b) scrivendo:
Secondo voi quale è la parola “magica” che io ho messo in questa frase?
ALUNNO 4: QUANDO
INSEGNANTE: Quando non è proprio nuova…l’abbiamo detta prima….vi rileggo la frase
“SE DUE ANGOLI SONO CONSECUTIVI HANNO UN LATO IN COMUNE”
ALUNNI (7 contemporaneamente): SE!
INSEGNANTE: allora il SE, questa parolina magica, la posso scrivere in modi diversi….mi spiego
meglio…..posso metterla nelle frasi usandola in modi diversi.
Come dovremmo riscrivere usando il SE la prima frase e la seconda? Rispondere sempre per
alzata di mani!
Fabio?
ALUNNO 5 FABIO (BES GRAVE): se due angoli sono consecutivi quando hanno il lato in
comune…se…no aspetti….non è….
ALUNNA 6 GIORGIA (DSA GRAVE): se due angoli sono consecu….NO! Due angoli sono
consecutivi……non non è così….
INSEGNANTE: allora aspetta…..prima leggi la prima frase originaria
ALUNNA 6 GIORGIA (DSA GRAVE): Due angoli sono consecutivi quando hanno un lato in
comune
INSEGNANTE: adesso PROVA a ridirla con il SE
ALUNNA 6 GIORGIA (DSA GRAVE): Due angoli sono consecutivi SE HANNO un lato in comune
INSEGNANTE: BRAVISSIMA!
(l’insegnante riscrive la frase alla lavagna e la fa scrivere a tutti)
Adesso vorrei qualcun altro che mi dice come devo usare la parolina SE nella seconda frase.
ALUNNA 7 MATILDA (DSA GRAVE) Due angoli sono consecutivi SE HANNO un lato in comune
ALUNNO 5 FABIO: no.. è quello che ha detto prima….!
ALUNNO 1 (DSA MARCO) SE due angoli consecutivi,….no…SE due angoli SONO consecutivi
hanno un lato in comune.
INSEGNANTE: BRAVISSIMO!
( Le due frasi vengono completate alla lavagna aggiungendo il SE)
E’ un po’ difficile…..probabilmente non lo avete ancora fatto in grammatica…. però diciamo che
nell’esperienza comune possiamo già individuare due cose:
ALUUNO 8 DANIELE: che non è più tanto preciso….
INSEGNANTE:….che non è più tanto preciso mi piace…perché mi ricorda una cosa che adesso
andiamo a discutere…..
Questa cosa SE vi ricorda qualcos’altro che avete fatto anche in altre materie? Scientifiche ad
esempio?
ALUNNO 9 NICHOLAS : sì in scienze….
INSEGNANTE: In scienze……in scienze ad esempio c’è qualcosa che vi ricorda questo modo di
procedere?
Allora abbiamo parlato del SE come di un….. dubbio….quindi se noi abbiamo ho un dubbio…
ALUNNO 2 TOMMASO (DSA): IL METODO DI STUDIO, cioè IL METODO SCIENTIFICO! (subito)
INSEGNANTE: BRAVO Tommaso! Cosa succede con il metodo scientifico? Cosa è la cosa che
facciamo quando vogliamo procedere con il metodo scientifico. Vi ricordate che avete fatto
anche le mappe?
ALUNNO 2 TOMMASO (DSA): leggiamo tutto
DOCENTE: sì è vero ti documenti sull’argomento….ma se sei uno scienziato cosa fai?
ALUNNO 2 TOMMASO (DSA): sperimento
DOCENTE: prima ancora di sperimentare?
ALUNNO 10 (MASSIMO): procedo con delle ipotesi?
DOCENTE: prima ancora di fare delle ipotes?
ALUNNO 10 : penso,….osservo…
DOCENTE: bravo osservi….
quindi: Osservo, faccio delle ipotesi, verifico con l’esperimento e poi ?
ALUNNA 11 (LINDA): se è venuto ( l’esperimento) faccio la teoria, se invece è sbagliato
ricomincio con gli esperimenti
DOCENTE: quindi devo…o trovare degli altri esperimenti che confermino la mia ipotesi, oppure
cambiare la mia ipotesi se penso che sia sbagliata.
Allora qui siamo di fronte a una IPOTESI….questo SE mi esprime una IPOTESI.
Quello che in scienze abbiamo chiamato come il risultato dell’esperimento…come lo possiamo
pensare qui?...
L’ esperimento…..che cosa rappresentano quando ottengo i risultati ?
ALUNNO: una prova!
DOCENTE: una prova…..
Proviamo a vedere se vi risulta più facile con un esempio preso dalla vita quotidiana usando
una frase con il SE:
“ Se cado in una pozzanghera mi bagno e mi sporco”
Che cosa è “Se cado in una pozzanghera”?.........E che cosa è “mi bagno e mi sporco”
ALUNNO: CAUSA ED EFFETTO
ALUNNO 9 NICHOLAS: intanto ci devo andare nella pozzanghera!
DOCENTE: infatti NICHOLAS! che cosa è “se cado in una pozzanghera”?
ALUNNO 1 (DSA MARCO)
DOCENTE: e’ certo che io debba cadere?
ALUNNO 1 (DSA MARCO)
DOCENTE: quindi è una?.....
ALUNNO 1 (DSA MARCO)
DOCENTE: se si verifica che io cado in una pozzanghera….quando dico mi sporco e mi bagno…
ALUNNO 1 (DSA MARCO) E’ una certezza!
DOCENTE: E’ una certezza…però non è detto…la pozzanghera potrebbe essere asciutta..cosa
potrebbe rappresentare questa azione?
ALUNNO: una causa!
ALUNNA: l’effetto, Una conseguenza!
DOCENTE: è una conseguenza. Quando si parla di causa ed effetto, generalmente si parla di un
rapporto che li lega che è una certezza…qui non abbiamo una certezza…abbiamo una IPOTESI
e un qualcosa che è una possibile conseguenza.....in matematica la conseguenza è, ad
esempio, una DEDUZIONE LOGICA, una specie di conseguenza….
Allora rileggiamo queste due frasi con il SE:
Quale è l’ipotesi nella prima frase?
DANIELE: l’ipotesi è che due angoli sono consecutivi SE hanno un lato in comune
DOCENTE: dimmi solo la parte di frase che corrisponde all’ipotesi
DANIELE: due angoli sono consecutivi….
DOCENTE: no
VALENTE: SE due angoli sono consecutivi
DOCENTE: : guarda la frase…. dove è il SE? Davanti all’ipotesi!…il SE lo metto davanti
all’ipotesi, quindi quale è l’ipotesi nella prima frase?
ANDREANI: SE hanno un lato in comune
DOCENTE: SE hanno un lato in comune sottolineate anche voi e mettete Hp che sta per ipotesi
sopra quella parte di frase! (vengono sottolineate le frasi contenenti il se ed accanto viene
scritto il simbolo Hp per ipotesi)
Nicole quale è l’ipotesi nella seconda frase?
NICOLE: se due angoli sono consecutivi…
DOCENTE: se due angoli sono consecutivi….questa è un'altra ipotesi!
RIFLESSIONE DELL’INSEGNANTE
1) durante la discussione sono emerse difficoltà da parte di tutti nell’argomentazione,
anche da parte di chi aveva eseguito correttamente l’esercizio
2) Molti ragazzi hanno partecipato alla discussione, specialmente quelli che normalmente
non partecipano (DSA, ragazzi in difficoltà, ragazzi disattenti)
3) L’attività ha richiesto molto tempo (20 min) per due frasi ma è servita ad ottenere una
più ampia ed approfondita analisi del testo matematico proposto e a sviscerarne il
concetto sotteso
4) Al termine dell’attività i ragazzi erano stanchi ma sostenevano di aver capito meglio. Il
tempo massimo di argomentazione in una scuola media, non dovrebbe a mio parere
superare i 15 min...pena la decadenza dell’attenzione di una parte degli studenti.
5) L’idea che mi si è presentata per favorire l’attività di argomentazione è di creare dei
gruppi tra pari in cui un tutor ( scelto tra i ragazzi più bravi) si faccia carico degli errori
di un compagno che ha preso un brutto voto e rispieghi le cose da lui non comprese
utilizzando degli esempi e ragionando su questi esempi usando le parole SE, ALLORA,
PERCHE’, SICCOME e/o analoghe.
Angoli consecutivi - Riflessioni del gruppo di progetto
I ragazzi, che hanno lavorato sugli angoli consecutivi (angoli che hanno il vertice in comune, un lato in
comune e ciascuno degli altri due dalla parte opposta dello stesso) sono invitati a confrontare e mettere
in discussione due affermazioni con la seguente consegna:
“DUE ANGOLI SONO CONSECUTIVI QUANDO HANNO UN LATO IN COMUNE”….e
abbiamo detto che questa frase è falsa.
“DUE ANGOLI CONSECUTIVI HANNO UN LATO IN COMUNE”
….e abbiamo detto che questa frase è vera.
Dopo un momento di riflessione individuale a livello adulto sulla discussione si analizza cosa rende vera
la seconda frase e falsa la prima e quale tra le due è un’argomentazione:
 la prima affermazione è falsa perché è incompleta, ma ha struttura di argomentazione: la
conclusione è “sono angoli consecutivi” e la garanzia (warrant) è “hanno un lato in comune”,
però la garanzia è parziale, bisognerebbe completarla con altri due warrant, vertice in comune e
gli altri due lati dalla parte opposta;

la seconda dal punto di vista linguistico è un testo espositivo, conseguenza parziale della
definizione,quindi vera, però non ha struttura argomentativa; rispetto all’argomentazione
dovrebbe essere costruita in modo diverso e ci sono vari modi per farlo.
Il gruppo prova a ricostruire questa seconda frase anche con argomentazioni false:
Se due angoli che hanno un lato in comune etc. sono consecutivi, allora DUE ANGOLI CONSECUTIVI
HANNO UN LATO IN COMUNE. (vera)
Se DUE ANGOLI CONSECUTIVI HANNO UN LATO IN COMUNE, allora tutti gli angoli con un lato in comune
sono consecutivi. (falsa).
Quando DUE ANGOLI CONSECUTIVI HANNO UN LATO IN COMUNE, hanno in comune anche il vertice.
DUE ANGOLI CONSECUTIVI HANNO UN LATO IN COMUNE, è conseguenza della definizione di angoli
consecutivi. (testo espositivo, non argomentativo).
Se Roma è capitale della Francia, allora DUE ANGOLI CONSECUTIVI HANNO UN LATO IN COMUNE.
(falsa e un po’ pazza, ma con struttura argomentativa).
La struttura argomentativa, quindi, può stare in piedi anche se il giudizio di verità è “falso”.
All’interno di un percorso di sviluppo dell’argomentazione e della riflessione linguistica proposta dalle
moderne grammatiche e dai programmi dell’85, questa attività si potrebbe collocare in una 5^ primaria.
Su di essa si potrebbe costruire una vera continuità tra primaria e secondaria, non su lavori come frazioni
e calcolo delle frazioni o altre cose del genere che molti insegnanti della secondaria continuano a chiedere
a quelli della primaria..
Nel dossier si rileva che, in interazione individualizzata con l’insegnante, i ragazzi (anche DSA o BES)
arrivano abbastanza presto a capire che la prima frase è incompleta: manca una condizione.
Interessante è soffermarsi sulla seconda affermazione per chiedersi come potremmo a livello adulto
giustificarne la verità.
Angoli consecutivi precisa un ambito, ha un insieme di significati e ha un insieme di conseguenze, dal
momento che come ogni parola ha un campo semantico ben delimitato, cioè un campo di validità.
In questo caso sarebbe veramente utile una rappresentazione insiemistica (al contrario dell’insiemistica
usata per introdurre i numeri che crea solo problemi):
l’intersezione tra l’insieme degli angoli consecutivi e quello degli angoli con un lato in comune fa parte
dell’ambito di condizioni.
Nel dossier si può vedere il modo in cui i ragazzi arrivano da soli o nell’interazione con l’insegnante a far
emergere il fatto che avere un lato in comune è contenuto tra le proprietà che definiscono gli angoli
consecutivi, come nell’esempio che segue:
ALUNNO 2: perché dice che sono due angoli consecutivi, quindi…
INSEGNANTE…tranquillo…ce l’hai….perchè qui ( indicando la prima frase) ti viene il dubbio che siano
consecutivi? E qui ( nella seconda frase) no?
A questo punto l’insegnante avrebbe dovuto portare l’alunno a completare la frase aperta dal QUINDI,
spingendolo a esplicitare che la proprietà di avere un lato in comune è contenuta nella prima parte della
frase: è vera perché la seconda parte della frase è contenuta nella prima. Invece l’insegnante lascia
incompiuto lo sforzo del ragazzo e lo riporta alla prima frase.
Tuttavia dopo l’insegnante suggerisce un’interessante operazione per trasformare un’affermazione vera
in un’argomentazione: il passaggio da DUE ANGOLI CONSECUTIVI HANNO UN LATO IN COMUNE a Se
DUE ANGOLI CONSECUTIVI HANNO UN LATO IN COMUNE… mette in evidenza il perché è vera
l’affermazione fatta all’inizio:
<<sì è vero,….è vero che hanno anche il vertice, ma diciamo che “SE sono consecutivi è SICURAMENTE
VERO che hanno un lato in comune e il vertice in comune, MENTRE se due angoli hanno un lato in
comune, NON È DETTO che siano consecutivi.>>
Due parole–chiave che l’insegnante dovrebbe far emergere in questo contesto sono “occorre” e “basta”:
perché due angoli siano consecutivi OCCORRE che abbiano un lato in comune, ma non BASTA.
“OCCORRE, ma non BASTA”, è un primo approccio a comprendere il significato di CONDIZIONE
NECESSARIA MA NON SUFFICIENTE.
Questa attività è stata svolta in ambito matematico, però attività analoghe dovrebbero trovare spazio
anche in lingua, rompendo una tradizione della scuola secondaria di primo grado per la quale solo al terzo
anno si arriva al testo argomentativo, completamente fuori dalla continuità, dato che già nei programmi
dell’85 per la scuola primaria si chiede il testo argomentativo. Dal punto di vista delle competenze
linguistiche, inoltre, questo lavoro sarebbe molto potenziato se venisse sviluppato anche in altri ambiti
disciplinari.
Il gruppo cerca di inventare frasi con la stessa struttura logico-linguistica della due esaminate
(argomentazione incompleta/falsa e affermazione vera non argomentata) in un ambito che non sia quello
matematico, ma grammaticale, storico, delle leggi e delle regole in cui ci sono più condizioni, etc …
la storia del pensiero scientifico attribuisce oggi, e quasi tutti gli storici sono d’accordo, alla discussione
delle leggi in Grecia il nascere della dimostrazione, come figlia della discussione. La civiltà greca mostra
questa singolarità rispetto alle altre conosciute, perché è l’unica che non ha un dio legislatore, ma sono
gli uomini che fanno e discutono le leggi, con avvocati e giudici, senza sacerdoti. In questo contesto
culturale due secoli dopo comincia a emergere la dimostrazione matematica.).
Ecco alcune delle molte frasi proposte:
 Una molecola è di acqua quando ha un atomo di idrogeno.
Una molecola di acqua ha una parte di idrogeno.
 Il verbo è di forma riflessiva quando ha un complemento oggetto.
Il verbo di forma riflessiva ha un complemento oggetto.
 Il predicato nominale è nominale quando c’è il verbo essere.
Il
predicato nominale è formato dal verbo essere.
 Si è ammessi agli esami di Stato quando non si hanno insufficienze.
Per essere ammessi agli esami di Stato non bisogna avere insufficienze.
Se gli alunni trovassero insegnanti di lingua e di matematica che in parallelo li portano a riflettere su
questi nodi trasversali delle potenzialità logiche e argomentative della lingua, ci sarebbe un effetto di
sinergia eccezionale, idonea a preparare il terreno per accedere a obbiettivi alti nella scuola secondaria
superiore in matematica, in filosofia, in storia e in generale sia nella comprensione di testi complessi che
nella produzione di dimostrazioni
Si riflette sulla differenza tra l’uso del SE e l’uso del QUANDO e ci si chiede se siano sempre
intercambiabili. Su questo terreno sono già stati prodotti dei buoni lavori di tipo argomentativo con gli
alunni; è una riflessione che può essere anticipata per formare una sensibilità all’uso di queste parolechiave dell’argomentazione.
Campo semantico del SE e del QUANDO
SE
Con funzione
dubitativa
ipotetica dell’irrealtà
optativa
SE o QUANDO
Con funzione condizionale
temporale negli accadimenti
QUANDO
Con funzione interrogativotemporale
locativo-temporale
non condizionale
Come dinamiche mentali il se è figlio del quando, mentalmente la condizione la collochiamo nel tempo e
allora il se è una forma più astratta, più sofisticata.
Quando facciamo un’ipotesi, fortissimo punto d’incontro tra il SE e il QUANDO, il QUANDO esprime il
retroterra cognitivo del SE, per questo motivo in fase di sviluppo non è opportuno forzare troppo i
bambini a utilizzare il SE.
Il SE nel periodo ipotetico dell’irrealtà non può essere sostituito dal quando, ma potrebbe essere
sostituito dal QUALORA, parola colta che accentua l’irrealtà.
Es.- “Se fossi stato qui…”.
La scoperta che nel costrutto congiuntivo+condizionale il SE non può essere sostituito dal QUANDO è già
possibile introdurla in 4^- 5^ primaria.
Altrettanta attenzione gli insegnanti dovrebbero dedicare alla transizione dal PERCHÈ al QUINDI, altre due
parole-chiave dell’argomentazione.
SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO
CLASSE II
Progetto: figure equivalenti
Tema: Figure equivalenti (trasformazione della materia)
Durata: 1 mese (8h circa)
Contesto educativo: Prerequisiti (tangram: scomposizione e composizione di figure e “misura” delle
superfici; frazione come operatore)
Metodi e conoscenze: …….
Tappe principali: …….
Consegna/e: Descrizione del progetto.
Verrà portata una cioccolata di 24 quadretti in classe e verrà chiesto agli alunni come è possibile dividerla
tra 25 persone in modo che le parti siano uguali per tutti.
Si prevede che alcuni non proporranno soluzioni, altri potrebbero proporre di darne 1/25 a testa; altri
ancora faranno proposte più “avanzate”.
Partendo dall’1/25 a testa si chiederà di chiarire ma soprattutto di spiegare come “praticamente” questo
sia possibile. Una difficoltà che continuo a riscontrare in questa classe è che spesso molti cercano risposte
teoriche a problemi pratici senza preoccuparsi minimamente se questo poi sia effettivamente praticabile.
Il tagliare una tavoletta di cioccolato da 24 quadretti in 25 parti uguali è, secondo me, un problema di
esperienza reale e significativo per ragazzi di quell’età, così come viene richiesto dalle indicazioni
nazionali.
Dal tentativo pratico, si lavorerà sulla cioccolata indicando come la si possa effettivamente tagliare, senza
però tagliarla (non posso portare 23 cioccolate), si passerà a costruire modelli di taglio su carta.
A questo punto spero, ma penso che ciò possa ragionevolmente accadere, si vedrà bene che cercare di
tagliare questa cioccolata in 25 parti, suddividendola ad esempio in 5 righe e 5 colonne, comporta
problemi pratici e anche una non equa suddivisione della cioccolata, perché lo spessore è minore al
confine tra i quadretti e maggiore nei quadretti. Tutto questo lavoro potrebbe richiedere da 1 a 3 ore di
tempo (Non ho comunque intenzione di “spingere” per cercare di chiudere questa parte nell’arco di una
mattinata).
A questo punto farò la mia proposta di suddivisione della cioccolata, proposta che trasforma una
cioccolata di 24 quadretti in una di 25 quadretti, con la “creazione” di un quadretto di cioccolata, e
proponendola agli alunni; non so se sia il caso di dire che, secondo me, questa suddivisione è ottima
perché consente a tutti di avere la stessa quantità di cioccolata (cosa ovviamente non vera), o di lasciare
liberi gli alunni di arrivare a conclusioni favorevoli o contrarie in tal senso; probabilmente per alcuni non
sarà necessaria nessuna domanda, mentre altri necessiteranno di essere stimolati con opportune
domande.
Adesso le direzioni da seguire sono due: una “scientifica” (allora è possibile creare materia?), una
matematica (allora è possibile scomporre un poligono di determinata superficie ed ottenerne due la cui
somma delle superfici è maggiore di quella del poligono di partenza?)
Come si procederà da qui in poi dipenderà ora molto dalle risposte che si avranno dagli alunni!
Esecuzione del progetto
Il progetto è iniziato Giovedì 13 Marzo nella classe 2^B della scuola media secondaria di primo
grado “D. Alighieri”, dell’Istituto Comprensivo Castelnuovo Magra.
Come da progetto è stata portata in classe una tavoletta di cioccolata da 1 hg, formata da 24
quadretti ed è stato chiesto agli alunni di dividerla in 25 parti uguali, specificando che non
sarebbe dovuta avanzare cioccolata!
I ragazzi hanno lavorato individualmente per circa mezz’ora, interrotti solo dal suono della
campana. Hanno scritto le loro proposte su foglio e sono stati da me stimolati con domande
individuali scritte.
Questo lavoro è continuato per circa mezz’ora anche il giorno successivo.
Il giorno seguente, Venerdì 14 Marzo, è continuato per circa 5-10 minuti, il lavoro individuale
da parte dei ragazzi.
Di seguito sono trascritte le loro risposte al quesito iniziale e alle mie successive domande (in
corsivo quanto scritto il secondo giorno).
In questo testo sono segnate in corsivo le parti che riguardano le riflessioni personali scritte
fatte
dai ragazzi il secondo giorno!
Alcuni alunni sono partiti subito con il disegno!
Veronica. Ha fatto da sola il disegno
Si dividono a metà due quadretti!
Quindi ora quanti quadretti hai?
22 e 4 metà!
Quanti pezzi?
26
Sono tutti uguali?
No!
E allora come facciamo a dare a tutti la stessa quantità?
Se rompo la cioccolata in quadretti i pezzi non si rompono in modo uguale c'è (forse voleva
dire
cioè) si rompono in pezzetti tutti scagliati, potrei provare a girarla e cercare di dividerla in 25
parti
uguali.
Federico.
Divido ogni spicchio in 2 parti così tutti ne prendono 1.
Se dividi ogni quadretto in 2 parti, quanti quadretti ottieni?
48
Non devono avanzare quadretti! Puoi distribuire 48 quadretti a 25 persone in modo
che tutti
abbiano la stessa quantità?
No.
Divido ogni spicchio di cioccolata in 25 pezzi!
Ok, va bene! Ora fallo sulla fotocopia di cioccolata che ti ho dato!
Secondo me non è attuabile questo metodo perché verrebbero troppo piccoli.
Orlando Liam.
Si divide ogni quadretto in 25 parti
Hai presente quant'è grande un quadretto di cioccolata? Ce la fai a dividerlo in 25
parti
uguali? Come?
Si divide ogni quadretto in 5 parti uguali e poi si divide ogni 1/5 in altre 5 parti uguali
Sei sicuro di riuscire a farcela?
No
Puoi provare in qualche altro modo?
Si può girare la tavola dalla parte piatta e li si taglia in 25 parti uguali ignorando totalmente i
quadretti.
Comunque è quasi impossibile dividere la cioccolata in parti esattamente uguali, perché alcune
delle parti saranno più grandi di altre anche se forse di solo una molecola.
Perché alcune parti saranno più grandi e altre di meno?
Perché la mano e l'occhio umano non sono abbastanza precisi per dividere una qualsiasi cosa
in
parti esattamente uguali (speravo si riferisse alle scanalature, invece non era quello)
Andrea. Ha fatto da solo il disegno.
Dividiamo i quadratini di cioccolato a metà e lo distribuiamo
Se li dividi a metà e prima erano 24, dopo averli divisi a metà quanti sono? Riesci a
distribuirli a 25 persone in parti uguali?
Io non lo prendo
No! La consegna è dividere la cioccolata in 25 parti uguali!
Grattugio la cioccolata e la metto in 25 bicchieri in parti uguali.
Come fai a vedere che le parti sono uguali?
Prendo una grattugia (avrà voluto dire una bilancia?) e poi peso la cioccolata grattugiata
nei
bicchieri.
Quanto ce ne metti in ogni bicchiere?
4 g l'uno.
Come fai a distribuirne questa quantità?
Vado a peso. Prendo un coltello taglio un pezzo lo peso e vedo se pesa 4 g
Prendo grattugia bicchiere bilancia. Imposto la bilancia per ignorare il peso del bicchiere poi
grattugio la cioccolata nel bicchiere e lo peso.
Alessandro. Ha fatto da solo il disegno
E' impossibile
No! Prova qualcosa!
"parola incomprensibile" una riga non vengono uguali
Devi dividere tutto in 25 parti uguali.
Ha disegnato la cioccolata e ha evidenziato un pezzettino da ogni quadretto, quindi ha
disegnato
un pezzo che probabilmente è l'unione dei pezzettini evidenziati. Infine ha scritto 23x3-25,
23x3=69-25=44-25=19
Margherita. Ha fatto da sola il disegno
Dividere i quadratini a metà (tutti uguali)
Sai quanti ce ne sono?
24
Se li dividi tutti a metà, dopo quanti ne hai? Riesci a darli a 25 persone in modo che
tutti
abbiano la stessa quantità di cioccolata?
Se li divido a metà ce ne sono 48.
Si, riesco a darli a tutti
Ma stessa cioccolata a tutti? O qualcuno ne ha di più e qualcuno di meno?
Qualcuno ne ha di meno
Io vorrei che ne avessero tutti la stessa quantità!
66-25=44-25=19 (probabilmente questi sono conti che hanno fatto quando hanno
lavorato in
gruppo visto che sono uguali a quelli di Alessandro).
Meryem
Ha fatto un disegno nel quale ci sono 5 quadrati divisi in 5 parti.
C'è una cioccolata con 24 quadrettini uguali ma io la voglio di 25 quadrettini uguali come
faccio?
(E' una domanda che si è fatta da sola)
Se giro la cioccolata ci sono i 24 quadretti ma se la giro dall'altra dove non ci sono i quadretti
la
posso tagliare col coltello da sola in 25 parti uguali.
Alessia F.
Ha fatto il disegno quindi ha scritto 25:24=1,04
Il giorno dopo ha cancellato quello che aveva scritto il giorno prima, quindi ha scritto
"prenderei un
piccolo pezzo uguale da tutti i pezzettini"; l'ha cancellato e poi l'ha riscritto.
L'insieme dei pezzettini deve essere uguale a quello che rimane!
Sara.
Ha disegnato la cioccolata, quindi di 21 quadretti ha evidenziato 1/4, poi ha scritto:
48
24+1=25
46:2=23
22
Ha spiegato il disegno che aveva fatto il giorno prima con i relativi calcoli (molto
interessante la
sua spiegazione: l'avessi vista prima!!!!!)
Ho diviso a metà ogni quadratino (spiegato il 48), e ho dato a ognuno una metà, così sono
rimaste 23 metà, che a sua volta ho diviso a metà così mi sono rimaste 22 metà della metà,
che ho
dato una ad ognuno. Rimangono i quadratini neri raffigurati sopra (c'è qualche errore di
calcolo,
ma lei si sta avvicinando al calcolo infinitesimale)!
Poi ha cambiato strategia.
Li ho divisi in quadratini e da ogni quadratino ho tolto uno spicchio che poi l'ho usato per
formare
l'altro 25esimo quadratino senza uno spicchio.
Alessia G.
Ha fatto solo il disegno
Si deve togliere una piccolissima parte da ogni quadretto e si forma un quadretto.
Quando metti insieme i pezzettini devi fare in modo che la loro unione non sia più
grande di
quelli rimasti.
Giulia
Ha fatto il disegno e ha scritto: "che ogni pezzo bisogna dividerlo in 25 parti"
Da ogni pezzo bisogna toglierne un pezzo e nell'ultimo due pezzi.
Iacopo.
Ogni pezzo in 25 parti
Per ogni pezzo intendi ogni quadretto? Se si, credi di riuscire a dividerlo in 25 parti
uguali,
considerate le sue dimensioni? Con che strumento lo dividi?
Si intendo ogni quadretto. No, non riesco a dividerlo in parti uguali.
Greta.
Ha fatto un disegno nel quale ci sono 23 quadretti e ha scritto: "divido ogni pezzo in 2 parti
così
ogni uno ne può prendere una parte"
Ma così ne avanzano?
Si, vengono 48 parti.
Non ne devono avanzare!
Helga.
Ha fatto il disegno e ha scritto: "un rettangolo lo divido in 4 parti"
Il giorno dopo ha aggiunto "e a ciascuno do un quadratino e quello che avanza si divide
ancora" (è
più o meno la direzione di Sarà).
Lorenzo L.
Si può fare la cioccolata calda poi si mette in parti uguali in 25 bicchieri e poi si fa tornare allo
stato
solido e ognuno mangia la sua parte.
Di cosa hai bisogno per fare tutto questo? Come intendi fare dal punto di vista
pratico?
Ho bisogno di un pentolino dove metto la tavola di cioccolata poi si mette sul fuoco finché non
si
scioglie poi si mette la cioccolata fluida in un beacker; si vede quanta ce n'è poi si divide in 25
parti
e si mette una parte uguale in ognuno dei 25 bicchieri.
Come faccio a vedere quanta ce n'è e come faccio a mettere la stessa quantità in ogni
bicchiere?
Si vede a che livello graduato del beacker è la cioccolata fluida poi si divide la quantità di
liquido
per 25 facendo un calcolo con la calcolatrice o a mente.
Manca la trascrizione del secondo giorno!
Giada
Primo giorno: foglio vuoto.
Secondo me se prendo per ogni pezzo un piccolo pezzetto ne faccio una.
Vivien
Divido ogni pezzo in 5 parti uguali e le altre le rimangiamo i giorni dopo 5 pezzi x uno
Quanti sono i pezzi iniziali?
24
Dividendoli tutti in 5 pezzi, quanti pezzi ottengo?
4,8
Non ho capito!
Divido ogni quadretto.
Elena
Prima ha disegnato una striscia 2x12
Non è così, è 4x6
L'ha disegnata 4x6 e ha scritto: "i quadretti si possono dividere in 2 parti, così vengono 48
quadretti uguali"
Si dividono a metà due quadretti e unisco le 4 parti.
Così facendo le parti sono tutte uguali?
Si
Cioè hai 25 parti uguali ora?
No
Poi ha scritto il solito calcolo 23x3=69-25=44-25=19
Francesca
Ha fatto un disegno 8x3 e ha scritto: "un pezzo"
Vengono 48 quadratini
Come fai a darne a tutti la stessa quantità se hai 48 quadratini?
Richard
Se sono 24 pezzi e bisogna distribuire a 25 persone i pezzi in parte uguale non si può perché i
pezzi non corrispondono ai numeri delle persone.
Però io vorrei dividere quella cioccolata in 25 parti uguali.
Magari un pezzo si potrebbe dividere in 5 piccoli pezzi uguali, come tutti gli altri pezzi.
Alla fine quanti pezzi hai?
Alla fine ci sono 120 piccoli pezzi.
Il giorno dopo ha cambiato strategia e mi ha fatto lui una domanda.
Quanti kg è la cioccolata?
E' 1 etto.
1hg=kg 0,1 0,1:25=0,004
Secondo me a ogni persona toccherà 0,004 kg se la tavoletta di cioccolata è 1 hg, cioè 0,1kg
Usa i grammi! Praticamente come si fa a darne quella quantità in grammi?
1 hg = g 100 100:25 = 4 g
Se tutta la tavoletta di cioccolata misura 100 grammi a ogni persona toccherà 4 grammi.
Come fai praticamente a darne 4 grammi a testa?
Magari si potrebbe far sciogliere la cioccolata di 100 g, facendo diventare cioccolata calda.
Quindi
si potrebbe riempire
Lorenzo T.
Ha fatto il disegno e ha scritto: "si divide ogni quadretto in 25 pezzi uguali"
Quindi ha diviso il quadretto nel suo disegno e ha scritto:
1/25 1/600 25/25 25/600
Divido la barretta in 5 colonne uguali che poi divido in 5 parti uguali.
Allega disegno
Nella riflessione individuale fatta il secondo giorno alcuni hanno cambiato le proposte del
giorno prima, specialmente quelli che avevano proposto di dividere ogni quadretto in 25 parti
uguali!
Dopo questo lavoro individuale ho formato dei gruppi. Ero indeciso se fare gruppi formati da
alunni che avevano proposte diverse o gruppi formati da alunni con proposte identiche. Ho
optato per la seconda, perché nel primo caso avevo paura che gli alunni "più forti"
prevalessero sugli altri.
Ho formato 5 gruppi.
Gruppo 1: alunni che ancora non avevano un'idea molto chiara di come procedere: Vivien,
Margherita, Elena, Sara, Alessandro, Nadia, Greta, Francesca, Helga.
Gruppo 2: alunni che non avevano trovato una soluzione ma che oggi hanno pensato di
togliere un pezzettino da ogni quadretto e con quei pezzettini fare il 25 quadretto
(interessante!!!): Alessia F., Alessia G., Giulia, Giada.
Gruppo 3: distruzione della cioccolata, per fusione o mediante grattuggiamento! Lorenzo L.,
Andrea, Richard.
Gruppo 4: divisione di ogni quadretto in 1/25. Non era un gruppo perché c'era solo Federico.
Gruppo 5: dividere tutta la cioccolata in 25 parti facendo 5 righe e 5 colonne uguali. Lorenzo
T., Meryem, Veronica, Iacopo, Orlando. Prima della formazione del gruppo, Meryem aveva
pensato di tagliare la cioccolata dal dorso, per non essere disturbata dalle scanalature!
Dopo una breve conversazione all’interno di ogni gruppo sono state esposte le varie soluzioni.
(Su questa esposizione c’è un video di circa 12 minuti)
Il gruppo 1 ha pensato di dividere la cioccolata in 5 striscie di 2 cm e in 5 colonne di 2,5 cm,
però così facevano notare che avanzava una strisciolina piccola e una colonna piccola. Gli altri
hanno chiesto perché strisce e colonne di quelle dimensioni e hanno risposto perché tornavano
loro bene numericamente.
Gruppo 2: ha sostenuto il togliere un pezzettino da ogni quadretto, però questo creava loro
difficoltà perché non sapevano se sarebbero riusciti a far si che i pezzettini tolti, messi insieme,
fossero grandi come la restante parte di ogni quadretto.
Gruppo 3: ha scelto sia la grattugia che la fusione!
Gruppo 4: ha rilevato la difficoltà pratica anzi impossibilità di tagliare ogni quadretto in 25
pezzi.
Gruppo 5: ha deciso di tagliare la cioccolata in 25 parti usando la faccia senza scanalature.
I gruppi hanno quindi discusso tra di loro e hanno deciso che lunedì avrebbero provato la
soluzione del gruppo 5, taglio in 25 parti uguali, la soluzione della grattugia e quella della
fusione.
Sono stati scartati il taglio dei quadretti in 25 parti e il taglio di un pezzettino da ogni quadretto
e la soluzione del primo gruppo perché comportava un resto di cioccolata!
(Su questa esposizione c’è un video di circa 11 minuti)
Lunedì 17 Febbraio l’attività è proseguita con l’intervento di Teresa.
Dapprima gli alunni hanno sperimentato le soluzioni individuate il Venerdì precedente.
Si è iniziato con la fusione della cioccolata proposta da Lorenzo L. Dopo averla fusa l’alunno
non è stato però in grado di distribuire la cioccolata in parti uguali, sia perché molta è rimasta
attaccata al pentolino, sia perché ha cercato di basarsi, nella sua suddivisione, sul volume,
invece che sul peso. La cioccolata inoltre è stata versata in un becher non lavato, per cui
l’abbiamo alla fine buttata.
Quindi Andrea ha grattugiato la cioccolata e, pesandola, l’ha suddivisa in 25 bicchierini da
caffè. Ha avuto delle difficoltà, ma è riuscito più o meno a dividere la cioccolata in parti uguali,
recuperandola quasi tutta dalla grattugia.
Infine, Lorenzo T., Orlando, Veronica e Meryem hanno tagliato, anche in questo caso, non
senza difficoltà, la cioccolata dal dorso in 25 parti approssimativamente uguali.
A questo punto ho proposto la mia soluzione di taglio della cioccolata, dicendo che mi era stata
suggerita da un alunno di Teresa. Il taglio non è venuto molto bene, specialmente quello
obliquo.
Quindi è iniziata la discussione (tutte queste attività sono state registrate su video)
Dalla discussione è emerso abbastanza velocemente che la maggior parte degli alunni non era
convinta dell’equità della suddivisione proposta. Alcuni inoltre hanno segnalato che i quadretti
della fila dove è stato effettuato il taglio obliquo erano più piccoli degli altri. Solo un alunno
però, Orlando, è stato in grado di spiegare il motivo di tale diversità nella dimensione dei
quadretti. Anche dopo le osservazioni di Orlando tuttavia, la gran parte degli alunni non
riusciva a comprendere il motivo della diversità nella dimensione dei quadretti.
Giovedì 20 Febbraio.
Abbiamo proseguito la discussione sulla suddivisione della cioccolata in 25 quadretti, secondo
la mia proposta. Per fare questo ad ogni alunno è stato dato un modello fotocopiato della
cioccolata.
CLASSE II
Attività di matematica: Il Nero
Una signora di una certa età prende una scodella di pasta in brodo e, quando
sta per sedersi a uno dei tanti tavoli, si accorge di aver dimenticato qualcosa,
così appoggia il vassoio sul tavolo e cerca ciò di cui ha bisogno per mangiare.
Quando torna, sorpresa! Un Nero si è seduto di fronte alla sua minestra e sta
mangiando tranquillo.
“Eh, questa poi! Ma guarda che roba!”. Pensa la donna. “Però ha l'aria di un
tipo tranquillo, gentile: sarà meglio prenderlo con le buone”. E così si siede di
fronte e, portando la scodella dalla sua parte, gli dice:
“ Permette? ”. Il Nero non risponde, le fa solo un largo sorriso. La signora
comincia a mangiare. Ma il Nero riprende gentilmente la scodella e la mette in
mezzo al tavolo, a metà strada tra i due, e vi reimmerge il cucchiaio. Lo fa con
una tale dolcezza, nel gesto e nello sguardo, che la signora lo lascia fare,
disarmata. Anzi, sorge in lei una specie di complicità silenziosa. Finiscono la
minestra. Il Nero si alza, le fa segno di non muoversi. Poco dopo ritorna con
una grossa porzione di patate fritte, e la mette in mezzo al tavolo. Anche le
patate fanno la stessa fine della minestra. Il Nero si alza di nuovo, questa volta
per andarsene.
Si congeda dalla Bianca con un sorriso. La signora, ripresasi dallo stupore,
decide a sua volta di andarsene; cerca con la mano la borsetta che aveva
appeso allo schienale della sedia ma...non c'è più! “ Ma come? Ma allora...quel
Nero...! “.
Sta già per gridare che lo rincorrano, che lo fermino, quando, guardandosi
attorno vede tutte le sue cose due file dietro il suo posto...In un attimo si
rende conto di cosa era successo.
Domande possibili
1. Secondo te, dove si svolge la vicenda?
2. Che cosa manca alla donna per poter mangiare la pasta in brodo?
3. Perché il Nero non comunica mai con le parole ?
4. Perché la signora decide di “ Prenderlo con le buone”?
5. Perché il Nero mette la scodella in mezzo al tavolo?
6. Perché allo schienale non c'è appesa la borsetta della signora?
7. Che cosa comprende la signora quando scorge “Due file dietro il suo
posto”Una scodella di minestra senza il cucchiaio”?
8. Perché l'autore del brano definisce l'uomo “ Il Nero” e la donna “La
Bianca”?
CLASSE II
Prove di ingresso di matematica
1) Una bottiglia piena d’acqua pesa 1,5 kg. Se invece è piena d’acqua solo per
metà, pesa 900 g. Quanto pesa la bottiglia vuota?
Come mai ?
Estratto del verbale
La prova 1, concepita per la II media come prova di verifica, atta anche a favorire l’uso delle
lettere e delle equazioni, potrebbe essere usata come scheda di lavoro sulla differenza nella
scuola primaria.
Tra il peso di una bottiglia piena d’acqua e il peso della stessa bottiglia piena a metà la
differenza è il peso della metà d’acqua mancante, etc. Si tratta di un problema complesso che
alunni di V con una buona padronanza di concatenazione delle operazioni dovrebbero essere in
grado di risolvere, anche utilizzando il disegno.
La possibilità di risolvere problemi di questa complessità si è verificata per circa 2/3 della
classe, se è stato fatto un percorso che fin dalla I ha proposto problemi di tipo additivo, anche
con completamento (quanto manca per arrivare a…), arrivando a fine anno a mettere insieme
due o tre somme; che in II ha proposto problemi di addizione, sottrazione fino al resto; che in
III ha portato a lavorare a fondo su problemi di divisione e a più operazioni.
Un problema per classe IV inizio V che, mettendo in gioco un serio ragionamento di divisione,
ha un’altra qualità è il seguente: “Ogni anno il ramadan anticipa di 10 giorni, dopo quanti anni
all’incirca torna uguale?”. I bambini che sono stati abituati a leggere il testo e evidenziare i
dati, qui sono in difficoltà, perché manca un dato.
L’abitudine a estrarre i dati produce due effetti rischiosi rispetto a una vera capacità di risolvere
problemi: 1. Induce a voler utilizzare tutti i dati perdendo il contatto con la soluzione
problematica; 2. Non mette in grado, quando non ci sono tutti i dati, di ricavarli dalla propria
enciclopedia o chiederli all’insegnante.
Mettere in evidenza i dati turba il primo passo nella risoluzione di un problema, che è il
ricostruire mentalmente la situazione problematica che permette di capire quali dati servono.
Sono molto funzionali alla soluzione dei problemi la concretezza del disegno o
dell’immaginazione, mentre i dati numerici possono indurre a scegliere a volte indovinandola
l’operazione.
2) Con riferimento alla figura, quale uguaglianza è vera? Spiega il motivo della
tua risposta
 A.    = 90°
 B.    = 90°
 C.    = 90°
 D.    = 90°
La prova, assegnata come verifica del lavoro sulla somma degli angoli interni di un triangolo,
sulle proprietà degli angoli e sulle equazioni, in un percorso ideale di continuità potrebbe
essere proposta a fine V come un bel problema basato su un ragionamento con linguaggio
naturale e uso della misura con il goniometro. Alla scuola media, poi, il compito di guidare gli
alunni a distanziarsi dalla misura concreta per passare al discorso più astratto, teorico, della
geometria delle relazioni e proprietà degli angoli.
Prova ingresso in II media – si vedono alcune risposte:
Risposta D. Ho scelto la D perché l’angolo a e l’angolo g sono completamente uguali e
misurano 45° ciascuno e sommati formano un angolo retto di 90°.
Questo
alunno non si è emancipato dal guardare, ma se avesse lavorato a fondo sul guardare e poi sul
superamento del guardare, sarebbe in grado di controllare. Quando Piaget diceva che
bisogna attraversare certe forme di pensiero per poi poterle superare non aveva torto: in
questo caso il pensiero della misura, il pensiero del guardare era necessario viverlo a fondo,
attraversarlo per poi superarlo. Risposta C. La soluzione A non può essere perché b è
maggiore di 90° quindi la somma non può essere 90°. La soluzione B non può essere perché d
è 90° ed    quindi la somma non è 90°. La soluzione C perché a misura 60° e f misura
30° e quindi 30°+60°=90° e la somma corrisponde. La soluzione D non è    perché la
loro somma è 180°.
Qui si
lavora per esclusione, però per quanto riguarda la soluzione C casca sull’impressione visiva e
su un’idea di misura. Altra conferma che se non si matura la misura e il suo superamento, poi
si casca in una giustificazione fondata sulla misura Risposta C. La soluzione A non può essere
perché b è maggiore di 90° quindi la somma non può essere 90°. La soluzione B non può
essere perché d è 90° ed    quindi la somma non è 90°. La soluzione C perché a misura
60° e f misura 30° e quindi 30°+60°=90° e la somma corrisponde. La soluzione D non è  
 perché la loro somma è 180°.
Risposta molto strutturata, che può essere ripresa per far riconoscere alla classe che cosa non
è ragionamento geometrico e capire cosa si chiede in geometria
I ragazzi trovano
diverse giustificazioni per la risposta C, quindi si può far loro rilevare che esistono modi diversi
di ragionare.
Risposta C. Perché in un triangolo rettangolo un
angolo è di 90° e la somma degli altri due è 90°, infatti gli angoli a e f sono congruenti a g ed
e.
Risposta sintetica di livello molto alto.
Un problema a monte è costituito dal fatto che alcuni mescolano considerazioni visive a
misura, ma questo a livello di scuola primaria non costituisce problema, si tratta di una forma
di razionalità, di un criterio di verità valido nella storia dell’umanità.
Fino al VI
sec a.C. andavano benissimo evidenza visiva e evidenza di misura: il teorema di Pitagora era
stato scoperto dai Babilonesi e dagli Egizi e dai Cinesi che lo usavano sulla base di
considerazioni empiriche. Quindi si tratta di uno stadio del pensiero geometrico prima del
pensiero geometrico astratto da Talete in poi.
Lavorare bene a fondo sulla misura,
vedendo anche tecnicamente come si fa, permette il passaggio a un altro livello di pensiero
geometrico, più preciso e breve. Questo percorso dovrebbe essere fatto in continuità con la
scuola primaria.
2) Con riferimento alla figura, quale uguaglianza è vera? Spiega il motivo della tua risposta.
 A.    = 90°
 B.    = 90°
 C.    = 90°
 D.    = 90°