Problemi di logica e matematica - supsi

Scuola Universitaria Professionale
della Svizzera Italiana
Dipartimento
Tecnologie
Innovative
Problemi di logica e matematica
SUPSI–DTI
Preparation:
May 24, 2008
Approval:
Approval:
Approval:
SUPSI–DTI
via Cantonale
Galleria 2
CH-6928 Manno
Phone
Fax
+41 91 610 85 31
+41 91 610 85 71
E-mail
[email protected]
Ing. I. Furlan
Logica matematica
Revision
Data
30.04.04
2
Author
I. Furlan
State
–
Object of revision
Creation
SUPSI–DTI, CH-6928 Manno
May 24, 2008
Contents
1 Domande e risposte
2 Problemi di vario genere
2.1 Permutazioni . . . . .
2.2 Fisica . . . . . . . . .
2.3 Probabilitá . . . . . .
2.4 Analisi . . . . . . . . .
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9
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Logica matematica
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CONTENTS
SUPSI–DTI, CH-6928 Manno
May 24, 2008
Chapter 1
Domande e risposte
1. Se due allievi ottengono due risultati diversi da un problema con un’unica risposta possibile, quale delle seguenti affermazioni é necessariamente vera:
(a) Hanno sbagliato entrambi
(b) Almeno uno dei due ha sbagliato
(c) Hanno risposto esatto entrambi
(d) Almeno uno dei due ha risposto esatto
2. Si dice che : CAN CHE ABBAIA NON MORDE!!! Sapendo che questo é sempre vero,
quale delle seguenti frasi é per forza vera:
(a) Can che morde non abbaia
(b) Can che non morde abbaia
(c) Can che non morde non abbaia
(d) Il cane é pericoloso!
3. Due treni sono in corsa uno contro l’altro sul medesimo binario. Il primo viaggia ad una
velocitá di 100km/h, mentre il secondo ad una velocitá di 25km/h. Una vespa, quando i
due treni distano 100km, parte dal primo treno verso il secondoc volando ad una velocitá
di 100km/h. Quando raggiunge il secondo treno istantaneamente gira e torna verso il
primo, quando raggiunge di nuovo il primo treno istantaneamente gira e vola verso il
secondo, continuando in questo modo fin che i due treni si scontrano. Quanta strada avrá
percorso la vespa al momento dell’incidente ferroviario?
(a) 100 km
(b) 200 km
(c) 250 km
(d) Non si puó dire esattamente
4. Un cassetto contiene 10 calze nere e 23 calze bianche. Pescando a caso quante calze come
minimo bisogna prendere per essere sicuri di averene una coppia di colore uguale?
(a) 24
(b) 11
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5
Logica matematica
Chapter 1. Domande e risposte
(c) 2
(d) 3
5. Nel mondo MATH23 vi sono solamente 3 paesi, in ogni paese si pagano due imposte sulla
merce comperata. Nel paese INTEGRAL : si paga prima un’imposta dell’ 11% ed in
seguito una del 9%, nel paese SQRT : si paga prima un’imposta del 9% ed in seguito una
dell’ 11%, nel paese DERIV : si paga prima un’imposta del 19% ed in seguito una del 2%.
In quale paese si pagano meno imposte?
(a) SQRT e INTEGRAL
(b) SQRT
(c) DERIV
(d) INTEGRAL
6. Un marziano ed un essere umano contano degli asteroidi. Il marziano afferma di averne
contati 142 mentre l’umano 79. Quante dita ha in totale il marziano?
(a) 10
(b) 7
(c) 2
(d) 3
7. Un negozio di gelati ha 6 gusti tutti diversi di scelta. I gelati vengono sempre serviti in
coppette con due gusti sempre diversi. Un gruppo di persone arriva, ed il gelataio riesce
a vendere tutti i gusti che ha a disposizione. Quante sono come minimo le persone?
(a) 15
(b) 6
(c) 12
(d) 34
8. Prima di partire per Milano, Marco dovrá aver trovato appartamento! Sapendo che questa
frase é vera, quale delle seguenti frasi allora é per forza vera?
(a) Se Marco parte per Milano, ha trovato appartamento
(b) Se Marco non trova appartamento, parte per Milano
(c) Se Marco trova appartamento poi parte per Milano
(d) Se Marco non parte per Milano, non ha trovato appartamento
9. Un ciclista viaggia nel primo tratto di strada che percorre ad una velocitá media di
30km/h, nel secondo tratto di strada che percorrre, che lungo esattamente come il primo,
viaggia invece ad una media di 25km/h. Che media oraria ha in totale?
(a) Circa 27 km/h
(b) Circa 28 km/h
(c) Non si puó dire siccome non si conoscono le distanze percorse
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Logica matematica
(d) 27.5 km/h
10. Una mattina un tizio parte per andare in montagna alle 9 : 00 del mattino. Alle 12 : 00
giunge in una capanna dove passa poi la notte. Il giorno seguente, sempre alle 8 : 00 parte
dalla capanna per tornarsene a casa. Alle 10 : 30 giunge a destinazione.Esiste un punto
del percorso nel quale si é trovato alla stessa ora sia il giorno dell’andata che il giorno del
ritorno?
(a) Si
(b) No
(c) Impossibile saperlo
(d) Dipende dalla velocitá
11. 7 uomini fumano 7 sigarette in 7 minuti, quanto tempo impiega un uomo solo a fumare
una sigaretta?
(a) 1 minuto
(b) 3.5 minuti
(c) 7 minuti
(d) 2 minuti
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Logica matematica
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Chapter 1. Domande e risposte
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Chapter 2
Problemi di vario genere
2.1
Permutazioni
1. In qunti modi diversi posso sedersi 3 coppie di sposi su 6 sedie, tenedo conto del fatto che
le coppie non vogliono separarsi?
Soluzione:
Possimo prendere le coppie come un unico blocco di due persone, abbiamo quindi 3 blocchi. I tre blocchi posso sedersi in 3! modi diversi. Siccome ogni blocco puó permutare,
avremo 3! · 23 modi diversi. Piú in generale per n coppie:
n! · 2n
2.2
Fisica
1. Un elicottero sorvola il perimetro di una nave che si muove di moto rettilineo uniforme
in mezzo al mare. La nave ha forma quadrata e ha lato d. Nel tempo in cui l’elicottero
compie un giro completo del perimetro della nave la nave stessa si spostata di una
distanza d. L’elicottero si muove a velocitá costante, quanto spazio percorre l’elicottero?
2. Stesso problema, ma stavolta la nave ruota su se stessa e l’elicottero compie un giro
completo del perimetro nel tempo in cui la nave ha fatto un’evoluzione completa. Quanta
distanza percorre l’elicottero?
3. Un ragazzo lascia cadere un sasso nel fondo di un pozzo per cercare di capire quanto sia
profondo. Dal istante in cui molla il sasso all’istante in cui sente il rumore del sasso che
tocca il fondo passano T secondi. Senza trascurare la velocitá del suono Vsuono calcola la
profonditá del pozzo.
Soluzione:
Con:
T = Tsuono + Tcaduta
sapendo che:
1
2
· g · Tcaduta
2
= Vsuono · Tsuono
Ppozzo =
Ppozzo
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Logica matematica
Chapter 2. Problemi di vario genere
si ottiene:
Ppozzo
T =
+
Vsuono
s
2 · Ppozzo
g
svolgendo si trova:
Ã
2
Ppozzo
!
V2
2
+ −2 · suono − 2 · T · Vsuono · Ppozzo + Vsuono
· T2 = 0
g
che quindi dá:
³
Ppozzo =
2·
2
Vsuono
g
´
r³
+ 2 · T · Vsuono + −
2·
2
Vsuono
g
+ 2 · T · Vsuono
´2
2
− 4 · Vsuono
· T2
2
Ci sono due soluzioni di cui una parassita causata dall’elevazione al quadrato. Cerchiamo
ora di capire quale é quella da scartare, prendendo l’equazione:
Ppozzo
T =
+
Vsuono
e girandola:
Ppozzo
T−
=
Vsuono
s
s
2 · Ppozzo
g
2 · Ppozzo
g
e supponendo che la soluzione piú grande sia quella corretta, non si trova nessun motivo
per cui la piú piccola non sarebbe valida.É dunque impossibile che la piú grande sia quella
valida altrimenti avremmo due soluzioni il che é fisicamente impossibile. Supponiamo
allora che sia quella piú piccola valida allora la piú grande potrebbe dare:
T−
Ppozzo
<0
Vsuono
e quindi ci potrebbe essere un motivo per scartarla essendo impossibile un termine minore
di zero essendo il termine stesso uguagliato ad una radice. Dunque se una soluzione deve
essere scartata non puó che essere la piú grande. Abbiamo qundi che l’altezza del pozzo
vale:
³
Ppozzo =
2·
2
Vsuono
g
´
+ 2 · T · Vsuono −
r³
2·
2
Vsuono
g
+ 2 · T · Vsuono
´2
2
− 4 · Vsuono
· T2
2
4. Due nuotatori partono nel mezzo di una piscina uno in direzione opposta all’altro. Il
nuotatori viaggiano a velocitá costante V1 e V2 . La piscina é lunga d.Dopo quanto tempo
si incontrano per l’ennesima volta faccia a faccia? Trovare la funzione che esprime la
distanza di incontro dei nuotatori in funzione del numero x dell’incontro.
Soluzione:
• É come se i nuotatori partissero uno contro l’altro alla distanza di 2 · d, dunque il
tempo d’incontro vale:
2·d
tincontro =
V1 + V1
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2.2. Fisica
Logica matematica
• Se i nuotatori viaggiassero alla stessa velocitá, si incontrerrebbero faccia a faccia
sempre al centro della piscina (punto di partenza). Quindi ogni nuotatore percorerebbe una distanza d. Supponendo V1 > V2 , il notatore 1 percorrerrá una distanza
maggiore rispetto il nuotatore 2, quindi si avrá:
Dnuotatore1 = d + ∆x
Dnuotatore2 = d − ∆x
Dove la distanza del nuotatore 1 vale:
Dnuotatore1 = V1 · tincontro
Combinando le equazioni si ottiene che:
∆x = V1 · tincontro − d = V1 ·
2·d
V1 − V2
−d=d·
V1 + V2
V1 + V2
dunque il punto d’incontro si sposterá di volta in volta della distanza ∆x, quindi la
distanza d’incontro dei nuotatori dai bordi della piscina vale:
¯
¯
!¯
!¯
Ã
Ã
¯
¯
¯
¯
V1 − V2
d
d
¯
¯
n ¯
n ¯
Dincontro (n) = ¯modd
− ∆x · n + d · (−1) ¯ = ¯modd
−d·
· n + d · (−1) ¯
¯
¯
¯
¯
2
2
V1 + V2
dove la formula indica la distanza dal bordo che inizialmente raggiunge il nuotatore
lento. Nella figura 2.1 sono rappresentati i punti d’incontro dei nuotatori con dei
cerchi. Si sono usati i seguenti dati: V1 = 5km/h, V2 = 2km/h e d = 50m.
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Figure 2.1: Punti d’incontro dei nuotatori
5. Un tizio con braccio infortunato di massa M si trova su di una terrazza di una casa in
fiamme all’altezza H dal terreno!!! Ha a disposizione una carrucula, N bottiglie piene di
benzina da un litro, un cesto ed una corda lunga piú di H. A cusa del braccio infortunato
non riesce a calarsi lungo la corda legandola al terrazzo. Deve scappare il piú velocemente
possibile senza farsi male. Si fa male se arriva a terra con una velocitá superiore a V . La
benzina ha peso specifico ρbenzina Come puó fare?
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Logica matematica
2.3
Chapter 2. Problemi di vario genere
Probabilitá
1. Sarebbe meno o piú probabile vincere al lotto se invece di 6 numeri dovremmo indovinarne
39?
2. Partecipo ad un gioco, dove vi sono 20 scatole, in una sola scatola vi é un premio di
1000000F r, mentre nelle altre 19 scatole non vi é niente. Se trovo la scatola con il premio
ho vinto il premio stesso. Scelgo quindi a caso una scatola e vengono quindi aperte le
scatole una ad una fino a rimanere con sole due scatole chiuse. Il premio di 1000000F r
non é ancora stato trovato, mi viene offerto uno scambio di scatola. Se voglio vincere mi
conviene accettare?
3. Nel macabro gioco ’La Roululette Russa’ chi ha piú probabilitá di morire, il primo che
spara, oppure il secondo? Come evolve la probabilitá di morire durante il gioco per ogni
giocatore?
2.4
Analisi
1. Su di un isola vi sono inizialmente due conigli, sapendo che quando si accoppiano dopo un
mese nasce un coniglietto maschio e uno femmina e che i coniglietti dopo un mese esatto
dalla nascita sono in grado di procreare. Trova una formula che esprime la popolazione
di conigli su l’isola in funzione dei mesi che passano.
Soluzione:
Il numero di conigli ad un mese k equivale alla somma dei conigli del mese k − 1 piú quelli
nati ad inizio mese k. I conigli nati ad inizio mese k saranno equivalenti al numero di
conigli presenti al mese k − 2 siccome tutte le coppie di conigli presenti quel mese avranno
sicuramente messo al mondo una coppia di cuccioli. Se f (n) é il numero di conigli al mese
n, si ha che:
f (n) = f (n − 1) + f (n − 2)
Detta anche serie di Fibonacci (Leonardo ”Pisano” Fibonacci). É noto che la serie di
fibonacci puó essere anche descritta dalla seguente funzione:
f (n + 1) = int(R · f (n) + 0.5)
n>1
√
R
= (1+2 5)
dove R é il rapporto aureo. Con questa funzione da un termine generico f (n) della serie
ṕossibile calcolarne il sucessivo senza dover conoscere il precedente.
Gli esempi in natura di elementi che richiamano la serie di Fibonacci sono numerosissimi.
La serie di Fibonacci approssima il numero di placche che si contano procedendo per
circonferenze, a partire dalla base in un frutto di ananas, analoghi esempi valgono per
le pigne, i lati della banana, la struttura dei grappoli duva eccetera. Tuttavia, l’esempio
piú eclatante é dato dalla connessione con il Rapporto Aureo. Gli studi di Leonardo Da
Vinci sul corpo umano hanno indicato come Rapporto Aureo il rapporto esteticamente
piú piacevole tra le lunghezze del corpo umano (ad esempio tronco/gambe).
2. Trova tutte le radici nell’insieme C di : z 9 + z 8 + z 7 + z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0
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2.4. Analisi
Logica matematica
Soluzione:
Il polinomio in questo caso puó essere visto come una serie geometrica finita, dunque é
possibile fare la sostituzione:
z9 + z8 + z7 + z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =
1 − z 11
1−z
con la condizione z! = 1. Dunque si ottiene:
1 − z 10
=0
1−z
da cui:
z 10 = 1
le cui soluzioni sono:
zi = e( 10 ·n)
2·π
Con n = 1, 2, .., 9.La solutione z10 = 1 viene scartata, in quanto soluzione parassita dovuta
alla sostituzione non valida per z = 1.
3. Dimostra che
Pk=n
k=0
(2 · k + 1) = (n + 1)2
1
4. Come si potrebbe dimostrare in modo grafico che: limx−>0 (1 + x) x = e ?
Soluzione:
Si potrebbe cercare di spiegare questo fatto con un metodo ”grafico”. Sappiamo che la
funzione ex per x = 0 vale 1 e che per ogni x il suo valore equivale alla tangente nel punto,
inoltre ex = e per x = 1. Potremmo quindi disegnare la funzione in modo approssimativo
nel seguente modo:
Per x = 0 la pendenza vale 1 quindi troviamo il valore nel punto x = dx che vale y = 1+dx
siccome la pendenza vale 1.
Per x = ∆x la pendeza vale 1 + ∆x quindi troviamo il valore nel punto x = 2 · ∆x che
vale y = (1 + ∆x) + ∆x · (1 + ∆x) = (1 + ∆x)2 siccome la pendenza vale 1 + ∆x.
In genrerale per n incementi ∆x avremo y che vale: y(n · ∆x) = (1 + ∆x)(n·∆x)
Nel punto x = 1 otteniamo il numero di nepero. Il numero sará apprissimato sicome
1
gli incrementi ∆x non sono infinitesimamente piccoli. In tale punto avremo fatto ∆x
incrementi e quindi:
1
eapprossimato = (1 + ∆x) ∆x
per ottenere e esatto basta fare tendere ∆x a zero e quindi si ha che:
e = lim
∆x−>0
³
1
(1 + ∆x) ∆x
´
che dimostra la tesi.
5. Quanto vale la sommatoria S(x, y) =
May 24, 2008
´2
Pk=inf ³ k
x + yk ?
k=0
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Logica matematica
Chapter 2. Problemi di vario genere
Soluzione:
Il termine k della sommatoria puó anche essere scritto come:
³
xk + y k
´2
³
= x2
´k
³
+ 2 · (x · y)k + y 2
´k
Per la linearitá della sommatoria abbiamo quindi che:
S(x, y) =
k=inf
X
³
xk + y k
´2
k=0
=
k=inf
X
³
x2
´k
+2·
k=0
k=inf
X
(x · y)k +
k=0
k=inf
X
³
y2
´k
k=0
Abbiamo quindi la somma di tre serie geometriche infinite, esse convergono se |x| < 1 e
|y| < 1, e danno il valore:
S(x, y) =
6. Dimostrare che
√
1
2
1
+
+
2
1−x
1 − x · y 1 − y2
2 é un numero irrazionale.
Soluzione:
√
Se 2 fosse razionale allora sarebbe possibile esprimerlo con una frazione ridotta ai minimi
termini, come segue:
√
a
2=
b
svolgendo , si ottiene:
2 · b2 = a 2
da qui si puó dire che a deve essere pari, dunque esprimendo a = 2 · p si ottiene:
2 · b2 = (2 · p)2
che diventa:
b2 = 2 · p2
dunque anche b deve essere pari. Ma se a e b sono entrambi pari hanno almeno il fattore
primo 2 in comune, quindi la frazione iniziale ab non sarebbe ridotta ai minimi termini,
ma questo
√ contraddice la supposizione iniziale e ció rende assurdo tutto lo svolgimento.
Dunque 2 non é razionalizzabile.
7. Trovare i numeri reali x tali che verificano sempre la seguente identitá:
int(x2·N −1 ) = x2·N −1 − x1−2·N
per qualunque valore N appartenente ai numeri interi positivi.
Soluzione:
Comincio a cercare l’insieme delle soluzioni con N = 1, abbiamo quindi:
int(x) = x −
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1
x
May 24, 2008
2.4. Analisi
Logica matematica
dalla quale:
x2 − int(x) · x − 1 = 0
dove la soluzione positiva é:
int(x) +
q
int(x)2 + 4
2
si ottengono le soluzioni valide per N = 1:
int(x)
1
2
3
4
..
x
1.61803398874989
2.41421356237309
3.30277563773199
4.23606797749979
√..
int(n)+
int(n)
int(n)2 +4
2
Ora bisogna dimostrare che una soluzione qualsiasi moltiplicata per il quadrato di se stessa
dia un’altra soluzione possibile, cosı́ facendo si dimostra che tutte le soluzioni valide per
N = 1 sono valide in generale per ogni N intero positivo. Una generico valore moltiplicato
per il quadrato di se stesso dá un risultato esprimibile nella forma (con int(n) = c):
Ã
c+
√
√
! Ã
!2
q
c + c2 + 4
c2 + 4
·
=α+ β
2
2
dove:
α=
c3 + 3 · c
2
dovendo essere:
q
q
α+
β=
c1 +
c21 + 4
2
si puó uguagliare:
α = c1
e dunque:
c1 = c3 + 3 · c
sostituendo ora c = c1 in:
Ã
c+
√
c2 + 4
2
!
si ottiene che:


q
c1 +

c21 + 4
=
2
Ã
c+
√
√
! Ã
!2
c2 + 4
c + c2 + 4
·
2
2
Ció dimostra la tesi, vale a dire ogni elemento dell’insieme delle soluzioni che si trovano
per N = 1 se moltiplicato per il quadrato di se stesso dá un altro numero appartenete
allo stesso insieme. Dunque tutti i numeri dell’insieme rispettano la condizione data.
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