Diagonalizzazione: costruzione della matrice diagonalizzante

Diagonalizzazione di matrici: costruzione
della matrice diagonalizzante P
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Premessa
Supponiamo che A ∈ Mn (R) sia una matrice diagonalizzabile.
Ciò significa che esiste una matrice invertibile P ∈ Mn (R) tale
che:


λ1 0 · · · 0

.. 
 0 λ2
. 
−1
.
P ·A·P = 
(1)
 ..

..
 .
. 0 
0 · · · 0 λn
I coefficienti λi sulla diagonale principale, nella matrice a destra
dell’uguale in (1), sono gli autovalori di A , ognuno ripetuto un
numero di volte pari alla sua molteplicità (algebrica, o
geometrica, visto che le due coincidono quando A è
diagonalizzabile).
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Criterio di diagonalizzabilità
Ricordiamo anche:
Criterio di diagonalizzabilità: Sia A = [aij ] ∈ Mn (R). Allora A è
diagonalizzabile se e solo se sono soddisfatte le due proprietà
seguenti:
(i) Tutte le radici di P(λ ) sono reali;
(ii) per ognuna di esse (autovalore), si ha ma (λ ) = mg (λ ).
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Costruzione di P
In questa lezione esaminiamo la costruzione della matrice
diagonalizzante P in (1).
Le colonne di P sono costituite da una base di Rn formata da
autovettori di A.
Più precisamente, ad ogni autovalore λi dobbiamo far
corrispondere un numero di colonne di P pari a mg (λi ): queste
colonne devono formare una base di Vλi .
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Costruzione di P
Si noti che non è importante l’ordine degli autovalori, ma c’è
corrispondenza tra l’ordine delle colonne di P e la successione
degli autovalori che compaiono nella matrice diagonale a
destra in (1).
Ad esempio, supponiamo di scegliere come λ1 un autovalore
con mg (λ1 ) = 2. Allora le prime 2 colonne di P saranno formate
da una base di Vλ1 , e nella matrice diagonale a destra in (1) si
avrà: a11 = a22 = λ1 .
Poi, considerando tutti gli altri autovalori, si completa la
costruzione di P.
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