Probabilità e genetica

Probabilità e genetica
Obiettivi
Riconoscere situazioni determinate e situazioni incerte. Rappresentare e analizzare dati
relativi a una situazione incerta, esprimere la probabilità come rapporto e in percentuale.
Risolvere problemi in condizione di incertezza.
Contenuti
Il concetto di probabilità di un evento dal punto di vista classico; determinazione dei casi
possibili, eventi particolari: l'evento semplice, l'evento certo e quello impossibile.
Metodi e attività
Negli ultimi anni l'interesse attorno al calcolo delle probabilità è cresciuto nella società
come nella scuola: l'auspicata introduzione, nell'ambito della riforma dell'insegnamento
della matematica, di elementi del calcolo delle probabilità è ormai avvenuta. È importante
un lavoro di riflessione sui metodi e gli obiettivi di questa disciplina in modo che essa
costituisca una parte di un percorso formativo generale, realmente fruibile dai ragazzi e
non semplicemente l'assunzione di risultati sommari di un argomento tra gli altri o peggio
di tecniche risolutive di esercizi scolastici.
La prima difficoltà che si incontra parlando di probabilità ai ragazzi della scuola media
viene da lontano e riguarda la concezione che essi hanno della matematica, in genere
viziata di "determinismo", convinzione spesso rinforzata dal modo con cui viene proposta:
le espressioni hanno sempre un solo risultato, i problemi hanno sempre una sola
soluzione, le domande hanno sempre una sola risposta, di solito in fondo al libro. I ragazzi
faticano ad accettare che in matematica ci siano domande a cui si risponde "Dipende" o
"Non si può dire", sospettando che manchino gli elementi per giungere alla risposta
determinata, o che si voglia tenerli loro nascosti. Occorre aiutarli a modificare la loro
concezione, spostando l'attenzione dalla certezza di ottenere un risultato alla certezza,
propria della matematica, dei suoi metodi, che possono anche produrre in modo
ragionevole risultati non univocamente determinati.
Ciò non di meno i ragazzi incontrano nell'esperienza quotidiana situazioni non determinate
che riescono ad affrontare, con le quali riescono a "fare i conti", senza grosse difficoltà:
basta pensare alla "gestione" delle interrogazioni per convincersi di quale competenza
venga sviluppata nel prevedere e in qualche misura condizionare una situazione incerta.
Questa base di esperienze può essere utile per introdurre i primi elementi del "calcolo"
delle probabilità, ovvero il passaggio da una concezione qualitativa, se non ingenua, a una
prima forma quantitativa. Questo argomento consente inoltre di tornare a lavorare, per
consolidarlo, sul legame tra gli aspetti della descrizione di situazioni reali in linguaggio
naturale e in forma simbolica, fondando quest'ultimo su quello e mostrandone la
convenienza. Osserviamo che il linguaggio naturale ha sviluppato delle forme per
esprimere situazioni di incertezza, i modi verbali del condizionale e del congiuntivo, il
periodo ipotetico: «Se venissi a trovarti ti telefonerei per avvisarti» esprime una situazione
non determinata, «Se nessuno è stato interrogato ogni alunno può essere interrogato»
esprime una situazione incerta caratterizzata da equiprobabilità, «Manca solo uno studente
per completare le interrogazioni» esprime una situazione ancora incerta, in cui la
probabilità che l'alunno mancante sia interrogato è molto alta e maggiore di quella dei
compagni. A partire dalla riflessione su situazioni simili è possibile, procedendo con
attenzione, muovere verso una descrizione quantitativa, dando una veste numerica alla
trattazione di queste situazioni.
La maggiore difficoltà sottesa a questo passaggio è sicuramente il salto di astrazione
richiesto, non sempre affrontato in modo esplicito e che per questo rischia di essere
sottovalutato, per staccarsi dalle situazioni concrete e dar vita ad un modello descrittivo e
interpretativo: per esso vanno considerati nella situazione reale solo gli elementi
significativi relativamente alla finalità individuata, occorre discernere e numerare tutte le
possibilità, attribuire a ciascuna di esse una "misura" della evenienza che si verifichi. La
storia stessa della probabilità come teoria scientifica è relativamente breve, ma articolata,
segno anch'esso della complessità dell'argomento: si sono succedute diverse concezioni
dal Settecento in poi, la concezione classica di Laplace, quella frequentista fino alla teoria
assiomatica sviluppata nella prima metà del Novecento.
Mi sembra importante iniziare presentando degli esempi
che possono entrare
nell'esperienza dei ragazzi, anche se non possono essere trattati con il calcolo delle
probabilità in termini elementari, per esempio le previsioni del tempo. Riflettendo su di essi
si possono introdurre i concetti fondamentali della probabilità: l'individuazione di tutti i casi
possibili, il concetto di evento, gli eventi impossibili e gli eventi certi, la necessità di uno
strumento che restituisca la gradualità delle probabilità, prima di passare al calcolo vero e
proprio. Questa parte del lavoro, la corretta individuazione dei concetti fondamentali, può
essere affrontato con successo anche dai ragazzi in difficoltà.
Il passaggio agli aspetti quantitativi può essere svolto come proposto su molti testi
lavorando con i lanci dei dadi o con l'estrazione di palline diversamente colorate da
un'urna, del resto la probabilità stessa nasce dal gioco d'azzardo; la probabilità può essere
introdotta, secondo la concezione classica, esprimendo il numero di casi favorevoli sul
numero dei casi possibili in forma di rapporto o in forma percentuale.
Sono importanti alcune attenzioni. Nell'introdurre il linguaggio specifico è bene dedicare
una particolare cura a distinguere tra evento ed evento semplice: per esempio lanciando
un dado si possono ottenere i valori da 1 a 6, ciascuno di essi è un evento semplice; si
può richiedere di valutare la probabilità di ottenere un numero pari, "è uscito un numero
pari" è un evento, che si verifica quando il dado segna 2, 4 o 6. Ovviamente anche gli
eventi semplici sono eventi, ma non è scontato che i ragazzi acquisiscano facilmente la
distinzione: occorre sottolineare la differenza per evitare incomprensioni difficilmente
rimediabili. È utile rappresentare e fare rappresentare le situazioni anche in modi diversi
per confrontarne l'efficacia: si può semplicemente elencare i casi possibili, si può
strutturare i dati in un diagramma ad albero, si possono costruire diagrammi di EuleroVenn.
L'aspetto più interessante della introduzione delle probabilità nella scuola media sta
nell'opportunità di vedere un modello matematico impiegato in altre discipline. Uno degli
argomenti che più di altri si presenta interessante da questo punto di vista è la genetica
che generalmente viene affrontato in terza media nel programma di Scienze. È possibile
anche il percorso inverso: affrontare la probabilità a partire dalla genetica. È avvincente
anche ripercorrere alcune fasi del lavoro di Mendel: nel suo modo di procedere ben si
vedono i metodi della ricerca scientifica e il ruolo del calcolo della probabilità, si può
restare affascinati dal fatto che le sue teorie hanno avuto conferma dalla biologia
molecolare un secolo dopo la loro formulazione. I vantaggi di questo argomento sono da
cercare nell'interesse che suscita nei ragazzi e nella relativa semplicità di alcune situazioni
che si possono proporre. Se l'argomento viene proposto nella seconda parte dell'anno si
possono anche proporre esercizi che richiedono un lavoro di sintesi, quanto meno articolati
se non complessi.
Presentiamo alcuni quesiti e problemi che costituiscono un possibile percorso:
La pianta del pisello odoroso può presentare il seme liscio e rugoso. Si incrocia un
esemplare con il seme liscio e uno con il seme rugoso. Che cosa si può affermare del seme
della prima generazione?
Con quesiti di questo tipo si vuole proporre situazioni di cui indagare l'incertezza.
Dopo aver affrontato le prime due leggi di Mendel si possono proporre esercizi in cui
chiedere di calcolare delle probabilità:
In un allevamento di 800 cavie il 77% è di colore grigio, le restanti sono bianche. Quante
sono le cavie grigie?
Due cavie grigie vengono incrociate, entrambe eterozigote. Quale è la probabilità di
generare una cavia bianca?
Una cavia grigia e una cavia bianca vengono incrociate. Quale è la probabilità di generare
una cavia bianca? Esamina tutte le situazioni possibili.
Si possono proporre anche situazioni inverse:
Nel fagiolo il carattere buccia liscia è dominante sul carattere buccia grinzosa.
Dall’incrocio di due piantine si ottengono 2734 semi a buccia liscia e 907 semi a buccia
grinzosa. Determina la probabilità percentuale che una piantina della prima generazione
abbia la buccia liscia o grinzosa. Determina, se necessario con l'aiuto di una tabella
opportuna, il fenotipo e il genotipo dei genitori.
Si
possono
proporre
situazioni
ancora
più
complicate,
dove
intervengono
contemporaneamente più caratteri:
Da un incrocio tra una piantina nana a seme scuro e una piantina alta a seme bianco, si
ottengono piantine tutte alte a seme scuro. Si incrociano due individui della prima
generazione. Stabilisci le tutte le possibili coppie di caratteri per gli individui della seconda
generazione e le loro probabilità percentuali.
Verifiche
1. Distingui le situazioni determinate da quelle incerte
a. Se non giochi non puoi vincere
b. La nonna mi ha regalato dei soldi. Forse ora ne ho abbastanza per il nuovo videogioco.
c. Si è guastata l'auto. Perderò il treno.
d. Se il papà avrà le ferie faremo un viaggio.
2. Una famiglia ha tre figli. Scrivi tutte le possibili situazioni relative al sesso dei figli.
3. Incrociando due rose, una gialla e una bianca, si generano 39 nuove piantine: 28 gialle
e 11 bianche. Si può dire che la probabilità che una nuova pianta abbia i fiori gialli è del
75%?
4. Nell'uomo il carattere occhi scuri è dominante sul carattere occhi chiari. Due genitori
con gli occhi scuri generano un figlio con gli occhi chiari. Stabilisci la probabilità che il
secondo figlio abbia gli occhi chiari.
Andrea Gorini