Le origini della matematica: un`incessante attività di calcolo e di

Ana Millán Gasca!
Le origini della matematica:
un’incessante attività
di calcolo e di misura
Incontro di Formazione
Tirocinio – Corso di laurea in Scienze della Formazione
Primaria
Giovedì 27 novembre 2014!
Queste diapositive sono ad uso esclusivo di
studio dei partecipanti all’incontro di
formazione nell’area di matematica del 27
novembre 2014
Non devono essere diffuse a terze persone.!
«[…] i primordi dell’umano, della sua storia, della sua
civiltà, si rivelano del tutto insondabili e, pur facendo
discendere a profondità favolose lo scandaglio, via via e
sempre più retrocedono verso abissi senza fondo»!
Thomas Mann!
«le tracce del passato nel presente»!
Mirko Grmek!
La matematica in generale e la geometria
in particolare devono la loro esistenza al
nostro bisogno di sapere qualcosa circa il
comportamento degli oggetti reali
Albert Einstein, La geometria e l’esperienza (1921)
Se non vi fossero corpi solidi in natura
non vi sarebbe geometria
Henri Poincaré, La scienza e l’ipotesi (1902)
La vista scivola sulla superficie dell’universo. La
mano sa che l’oggetto implica un peso, che può
essere liscio o rugoso, che non è inscindibile dallo
sfondo di cielo o di terra con il quale sembra far
corpo. L’azione della mano definisce il vuoto dello
spazio e il pieno delle cose che lo occupano.
Superficie, volume, densità, non sono fenomeni
ottici. L’uomo li riconosce innanzitutto tra le dita, sul
palmo della mano. Lo spazio non si misura con lo
sguardo, ma con la mano e il passo. Il tatto colma la
natura di forze misteriose. Se il tatto non esistesse,
infatti, la natura apparirebbe simili ai deliziosi
paesaggi della camera oscura, lievi, piatti e
chimerici.
Henri Focillon, Elogio della mano (1943)
I numeri sono nati dall’operazione di contare: in
un primo tempo gli oggetti da numerare
venivano rappresentati con dei segni, poi a
questi segni – tacche su un osso, sassolini in una
ciotola – venivano dati dei nomi, e infine gli
oggetti venivano contati direttamente per
mezzo dei nomi, senza più bisogno
dell’intermediario dei segni. Ogni numero era
generato dal ripetersi di un atto semplice:
tracciare un segno; la grandezza, o se si vuole la
cardinalità, del numero rifletteva la molteplicità
delle azioni elementari
Enrico Giusti, Ipotesi sulla natura degli oggetti
matematici (1999)
Non vi è dubbio che […] il continuo
geometrico è l’entità primordiale. Se si ha
coscienza, questa è in primo luogo
coscienza del tempo e dello spazio; la
continuità geometrica è in certo senso
legata inseparabilmente al pensiero
cosciente.
René Thom, Modern mathematics:
An Educational and Philosophical Error? (1971)
Tra il Mediterraneo e il Vicino Oriente Antico!
Le origini della
matematica:
la rivoluzione
neolitica
Il villaggio di
Catal Hüyük
(Turchia
meridionale)
(VII millennio
a.C.)
Le origini della
matematica: le
civiltà urbane
Tecniche edilizie
in Mesopotamia:
edifici, canali
Le origini della
matematica
La rivoluzione
urbana: le grandi
organizzazioni
Erodoto, Storie, Libro I
Da quel tempo, infatti, il paese, pur essendo tutto pianeggiante, è divenuto
impraticabile per cavalli e carri, a causa dei canali che vi sono, numerosi e rivolti
in tutte le direzioni. Il re [Sesostri], d’altra parte, aveva questa ragione per farne
scavare in tutto il paese: tutti gli Egiziani che avevano le città non nei pressi del
fiume, ma piuttosto all’interno, ogni volta che il Nilo si ritirava, venendo a
scarseggiare l’acqua, dovevano servirsi di acque salmastre, che attingevano dai
pozzi: è per questo che l’Egitto fu solcato da canali.
Raccontavano, poi, che questo re di Egitto] aveva distribuito la terra fra
tutti gli Egiziani, assegnando a ciascuno, in misura uguale, una porzione di
terreno in forma quadrangolare; e si era procurato in questo modo delle entrate,
con lo stabilire un tributo che dovevano pagargli ogni anno.
Se il fiume asportava una parte qualsivoglia della porzione assegnata ad
uno, questi andava di volta in volta dal re a segnalargli l’accaduto; e il re
mandava degli addetti a fare sopraluoghi e a misurare di quanto risultasse
ridotto l’appezzamento, affinché, per l’avvenire, il cittadino riducesse
proporzionalmente il contributo stabilito.
Di qui, secondo me, ha avuto origine la scoperta della geometria che, poi,
fu introdotta in Grecia; poiché l’orologio solare, la meridiana e la divisione del
giorno in dodici parti i Greci la ricevettero dai Babilonesi.
Le origini della matematica
Agrimensura ed edilizia egizia
Le origini della matematica
Agrimensura: geometria piana
Le origini della matematica
Circonferenza e angolo retto
Le origini della matematica
Recinti e angolo retto
Le origini della matematica
Arte e rappresentazione: geometria piana
Le origini della matematica
Un “geometrico senso dell’ordine”
Ernst Gombrich, La storia dell’arte!
Le origini della matematica
Architettura,
scultura,
pittura:!
Uguaglianza,
simmetria,
proporzione
Le origini della matematica:
la rivoluzione neolitica!
I contrassegni
del Vicino Oriente antico
Disco: pecora!
Ovale: orcio di olio!
Le origini della matematica:
la rivoluzione neolitica!
Le origini della matematica:
le civiltà urbane!
Bullae,
contrassegni, sigilli
Le ricerche diDenise
Schmandt-Besserat
The history of counting
Civiltà urbana sumera
(fine del IV millennio a.C.)
Rappresentazione simbolica!
– decomposizione aritmetica di un
totale (addizione)!
– alcuni simboli!
23 è 10, 10, 1,1,1!
Una tavoletta sumerica
del 2650 a. C. (sistema
per contare con i
simboli rotati di 90° in
senso antiorario)
4 volte 600
meno 4 volte 10
La mazza del re Narmer (3.050 a.C. ca.)!
400.000 bovini, 1422.000 ovini e 120.000 prigionieri
Le origini della matematica:
la misura di lunghezze, angoli, aree, capacità, tempo!
sovrapposizione, trasporto (adiacente)
ripetizione e conteggio
Addizione e multipli di segmenti, angoli, figure !
Le origini della matematica: la misura del mondo
Misure nel mondo antico
Misure nel mondo antico
Il mondo della archeologia:
i sistemi di misura
Treccani (2002)
Eduba, la scuola degli scribi
Nippur, Edificio F!
Ritorniamo alle origini:
uno sguardo antropologico
mente e corpo
agire umano
Contare:
calcolo del totale (+1+1+1…)
pecore, persone, giorni
Misurare:
“accostamento” di segmenti uguali +u+u+u
distanze (passi …)
Tutto ciò che è suscettibile di essere osservato
dagli occhi si conta, si misura e si descrive
geometricamente, sempre con gli stessi numeri
e a partire dalle stesse forme geometriche
elementari. La possibilità stessa della misura e
del conteggio poggia sulla ripetizione
all’infinito di strutture o specie simili, di cui la
mente umana ne riconosce l’identità, e sul fatto
che lo spazio o il tempo ci appaiono come
essenzialmente omogenei. Si esprime così
l’unità profonda di ciò che è
Laurent Lafforgue, L’importanza del calcolo e della
geometria nella scuola primaria (2010)
Contare:
calcolo del totale (+1+1+1…)
pecore, persone, giorni
Misurare:
“accostamento” di segmenti uguali +u+u+u
distanze (passi …)
La matematica è la scienza che tratta di
tutto ciò che può essere studiato
nell’ambito dell’ordine e della misura
Cartesio (René Descartes, 1596-1650)
La metodica geometrica della determinazione di alcune e poi di tutte
le forme ideali a partire da forme fondamentali, in quanto mezzi
elementari di determinazione, rimanda alla metodica esercitata già nel
mondo circostante pre-scientifico-intuitivo, dapprima in modo
rudimentale poi secondo regole d’arte, alla metodica della
misurazione e in generale della determinazione misurativa. […]
da un lato si tratta di produrre concetti adatti per le forme corporee
dei fiumi, dei monti, degli edifici ecc. che di regola devono rinunciare
a concetti e a nomi rigorosamente determinanti; innanzitutto per le
loro “forme” (nell’ambito della somiglianza visiva), e poi per le loro
grandezze e per i loro rapporti di grandezza e, ancora, per
l’ubicazione, mediante la determinazione delle distanze e degli angoli
che vengono riportati a luoghi e a direzioni presupposti noti e
immobili!
Edmund Husserl 1936!
Si capisce così come, in seguito all’esigenza, ormai desta, di una
conoscenza “filosofica”, di una conoscenza che determinasse il “vero”
essere, l’essere obiettivo del mondo, la misurazione empirica e la sua
funzione empiricamente-praticamente obiettivante, attraverso la
trasformazione dell’interesse pratico in interesse puramente
teoretico, potesse venir idealizzata e trapassare così in un pensiero
puramente geometrico. La misurazione prepara così la geometria
universale e il suo “mondo” di pure forme-limite.!
Husserl 1936!
Concetti matematici primitivi: oggetti e relazioni!
Può essere definita l’idea di numero mediante idee più
semplici? Si può dedurre la proprietà commutativa da
proprietà più semplici?
E a queste domande si possono dare dai vari autori
differenti risposte, potendosi diversamente intendere la
semplicità. Per mio conto, la risposta alla prima si è che
il numero (intero positivo) non si può definire (poiché le
idee di ordine, di successione, aggregato ecc. sono
altrettanto complesse come quella di numero). La
risposta alla seconda domanda è stata affermativa.
Giuseppe Peano, Sul concetto di numero(1891)
Concetti matematici
primitivi
Numero!
Uno!
Successivo!
ARITMETICA
Assiomi di Peano (1891)!
Numero!
Uno!
Successivo!
ARITMETICA
Assiomi di Peano (1891)!
Concetti matematici primitivi
Punto!
Estremi!
“Per dritto”!
GEOMETRIA
Essere fra, “parte”!
Giacere su!
Uguale!
perpendicolare!
Postulati di Euclide !
Assiomi di Hilbert (1899)!
Assiomi di connessione
Per ogni coppia di punti esiste una retta unica
Esistono almeno due punti su una retta
Assiomi di ordinamento!
“tra”, “parte”, consecutivo: segmento, angolo, semiretta,
semipiano!
Assiomi di congruenza !
Uguaglianza: segmenti, angoli, triangoli!
Assiomi di continuità (il continuo, la misura)!
Assioma delle parallele!
Postulati di Euclide !
GEOMETRIA
Assiomi di Hilbert (1899)!
Concetti matematici
primitivi
Punto!
Numero!
Estremi!
Uno!
“Per dritto”!
Successivo!
Essere fra!
Giacere su!
Uguale!
=!
ARITMETICA
GEOMETRIA
+!
La presentazione si basa sul
libro
Pensare in matematica
di Giorgio Israel e Ana Millán
Gasca (Zanichelli, 2012)
dove troverete ciò che di
matematica elementare e di
storia della matematica è utile
per
comprendere
la
profondità dei concetti della
matematica elementare.
* Nel sito del libro (di libero accesso) all’indirizzo
http://online.universita.zanichelli.it/israel/
potete consultare gli esempi da proporre agli alunni e i
saggi della sezione materiali didattici
* Nel sito del Laboratorio della prof.ssa Millán Gasca
all’indirizzo
http://www.mat.uniroma3.it/users/primaria/index.html
potete consultare altri saggi e presentazioni, nella sezione
Materiali (menu in basso al centro)
e trovate molte attività realizzate nella scuola dell’infanzia
e primaria (menu in basso a sinistra) nel corso dei tirocini
di Scienze della Formazione Primaria di Roma Tre.
Se vi
interessa
conoscere
di più la
storia della
matematica