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LICEO SCIENTIFICO
Tipologia A - Trattazione sintetica di argomenti
1.
Scrivere in modo corretto la seguente definizione. Spiegare perché così scritta non è corretta e
produrre esempi che lo mostrino.
Sia f una funzione definita in un intorno reale del punto x0, tranne al più il punto x0 stesso, e sia
a ∈ R. Si dice allora che f ha limite a per x → x 0 , e si scrive a = lim x →x0 f (x ) , se esistono un
intorno U di a ed un opportuno intorno V di x0 tale che se x ∈ V allora f(x) ∈ U.
Estensione risposta: massimo 25 righe.
2.
Enunciare il teorema di Rolle per una funzione reale g(x) nell'intervallo [0, 1]; esplicitare le varie
ipotesi del teorema (la tesi, come è noto, diventa: "esiste un punto P ∈ ]0, 1[ in cui la derivata prima
di g(x) è nulla").
Supponete che una certa funzione f(x) soddisfi tutte le ipotesi del teorema, tranne una (scegliete voi
quale). Vale ancora la proprietà espressa dalla tesi per la funzione f(x)? Che cosa può succedere?
Perché?
Estensione risposta: massimo 16 righe.
3.
Se f(x) è una funzione reale pari, definita in tutto R, che ammette derivata prima e derivata seconda,
tali derivate saranno anch'esse funzioni pari?
E se f(x) fosse dispari? Motivare le risposte.
Estensione risposta: massimo 10 righe e 6 grafici.
4.
Si esamini la seguente equazione nell’incognita x ∈ R:
ex = 1 − x2
La sua risoluzione viene avviata nel seguente modo:
Dopo avere tracciato i diagrammi cartesiani di:
y = ex
e
y = 1−x2
osserviamo che tali diagrammi hanno due punti in comune. Quindi l’equazione proposta ammette
due soluzioni reali.
a) Si completi la risoluzione con i diagrammi cartesiani e con le necessarie osservazioni e conclusioni.
b) Si indichino gli eventuali teoremi che implicano la correttezza della risoluzione proposta.
c) Si indichi (almeno) un esempio di disequazione del tipo f(x) > g(x) la cui risoluzione può essere
impostata analogamente alla risoluzione dell’equazione sopra proposta.
Estensione risposta: massimo 20 righe e due grafici.
5.
Il teorema di Rolle afferma: sia x→ f(x) una funzione reale definita e continua nell'intervallo chiuso e
limitato [a, b] ⊂ R, derivabile nell'intervallo aperto ]a, b[ e tale da assumere valori uguali agli estremi
dell'intervallo considerato. Allora esiste (almeno) un punto c, interno all'intervallo, tale che:
f '(c) = 0.
a) Si illustri il teorema con un esempio in forma analitica o grafica.
b) Il teorema di Rolle esprime una condizione sufficiente affinché la derivata prima della funzione
considerata si annulli in un punto? Si giustifichi adeguatamente la risposta.
c) La condizione espressa dal teorema di Rolle affinché la derivata prima della funzione considerata
si annulli in un punto è necessaria? Ovvero, può accadere che la derivata prima di una funzione f sia
nulla in un punto c interno all'intervallo [a, b], ma non valgano tutte le ipotesi del teorema? Si illustri
la risposta con (almeno) un esempio.
Estensione risposta: massimo 20 righe e tre grafici.
6.
Il Teorema di Rolle afferma che una funzione reale f definita su un intervallo reale chiuso [a, b],
continua in [a, b] e derivabile nei punti interni all'intervallo, tale che f(a) = f(b), ammette sempre
(almeno) un punto interno all'intervallo in cui la derivata prima si annulla.
Mostrare con opportuni esempi, che:
a) è necessaria l'ipotesi della derivabilità in tutti i punti interni all'intervallo;
b) è necessaria l'ipotesi che f(a) = f(b).
Estensione risposta: massimo 10 righe e due grafici.
7.
Nell'ambiente delle funzioni reali y = f(x) derivabili in un intervallo chiuso [a, b] si trattino i seguenti
argomenti:
a) definizione, esistenza di un punto di massimo relativo; [max 5 righe];
b) definizione, esistenza, unicità di un punto di massimo assoluto; [max 5 righe];
c) metodi analitici per determinarli [max 5 righe];
d) qualche esempio significativo di applicazione a un problema concreto (di fisica, di economia
ecc.). [max10 righe].
8.
Sia f una funzione reale della variabile reale x definita in un intervallo (a, b).
a) Si dice che f(x) è crescente in (a, b) se . . . . . (completare).
b) Si dice che f(x) è derivabile in (a ,b) se . . . . . . (completare).
c) Dimostrare che se f(x) è derivabile in (a, b) ed è f '(x) > 0 qualunque sia x in (a, b), allora f(x) è
crescente in (a, b).
d) Provare che l'equazione algebrica:
x9 + x5 – 1 = 0
ha una sola soluzione reale e che questa soluzione appartiene all'intervallo ]0, 1[ .
e) Dare un esempio di funzione f(x) che sia crescente in (a, b) e non sia ivi
derivabile.
f) Se la funzione f(x) è derivabile in (a, b), l'ipotesi f '(x) > 0 qualunque sia x in (a, b) è necessaria
per la crescenza in (a, b)? Giustificare la risposta.
Estensione risposta: massimo 30 righe e tre disegni.
9.
Sia f una funzione reale della variabile reale x definita in un intervallo (a, b).
a) Se f(x) è continua ed assume in due punti di (a, b) i valori c e d con c < d , esiste almeno un
numero reale h, compreso tra c e d, che la funzione non assume?
b) Se |f(x)| è costante in (a, b), risulta ivi costante anche la funzione f(x)?
Giustificare le risposte.
Estensione risposta: massimo 15 righe e 2 disegni.
10.
Si tratti sinteticamente la nozione di integrale definito dandone una precisa definizione e
descrivendone le principali proprietà (teoremi) e il loro uso in matematica. [max 20 righe]. Si accenni
ad applicazioni di queste nozioni e teoremi nelle scienze applicate (per es. fisica). [max 20 righe].
11.
Si espongano i metodi noti (di varia natura: elementare, trigonometrica, ...) per calcolare l'area di un
triangolo; si motivi poi l'equivalenza di due di essi scelti a piacere (si spieghi, cioè, il motivo per cui
due formule portano allo stesso risultato).
Estensione risposta: massimo 15 righe.
12.
Lo studente esponga sinteticamente i vari tipi di valor medio, concetto più volte incontrato nel
programma dell'ultimo anno, e ne dia alcuni esempi che ritiene significativi.
Estensione risposta: massimo 25 righe.
13.
Si esamini la nozione di logaritmo in base b di un numero a dandone la definizione, descrivendone le
principali proprietà (o formule significative) [max 20 righe] e l'uso che se ne può fare nella
descrizione di qualche fenomeno naturale (per es. fisico, economico, biologico…).
[max 20 righe].
14.
Vengono enunciate le seguenti proprietà relative ad una funzione continua da [a, b] in R e tale che
f(a) < 0 < f(b). Per ciascuna delle affermazioni dire se è VERA o FALSA e, nel caso sia falsa,
mostrarlo con un opportuno esempio:
a) esiste un solo punto x0 ∈ [a, b] tale che f(x0) = 0
b) esiste almeno un punto x0 ∈ [a, b] tale che f(x0) = 0
c) esiste un solo punto x0 ∈ (a, b) tale che f(x0) = 0 se la funzione è dispari (cioè se f(x) = - f(-x)) ed
a = -b.
Estensione risposta: massimo 3 righe o un grafico per ogni domanda .
Risposte e commenti
n.1
La definizione di limite è qui data in modo scorretto: l'errore sta nell'uso errato dei quantificatori, che
riportiamo in MAIUSCOLO:
Sia f una funzione definita in un intorno reale del punto x0, tranne al più il punto x0 stesso, e sia
a ∈ R. Si dice allora che f ha limite a per x → x 0, e si scrive a = lim x →x0 f (x ) , SE ESISTONO UN
intorno U di a ed UN OPPORTUNO intorno V di x0 tale che se x ∈ V allora f(x) ∈ U.
L'intorno U deve essere scelto in modo arbitrario e l'intorno V dipende dalla scelta fatta dell'intorno
U.
Nella definizione data (in modo erroneo) la scelta dell'intervallo implicherebbe, paradossalmente, che
tutte le funzioni avrebbero limite se U venisse scelto coincidente con un intorno del punto a che
contenga il codominio della funzione e per V si scegliesse il dominio della funzione (o un insieme
aperto che lo contenga).
Facciamo il seguente semplice esempio:
Sia f(x) la funzione reale di variabile reale definita da :
f(x) = x, x ∈W = [-10, 10]
e consideriamo la veridicità delle espressioni
lim x→ 0 f (x) = 5 ;
lim x→ 0 f (x) = π .
E' evidente che entrambe le affermazioni sono errate, ma è altrettanto evidente che diventano ...
(entrambe!) vere se prendiamo U = W = V.
La definizione corretta è la seguente:
Sia f una funzione definita in un intorno reale del punto x0, tranne al più il punto x0 stesso, e sia
a ∈ R. Si dice allora che f ha limite a per x → x0 , e si scrive a = lim x →x0 f (x ) , se, per ogni intorno U
di a, esiste un intorno V di x0 , tale che se x ∈ V allora f(x) ∈ U.
n.2
Teorema di Rolle: Sia g(x) una funzione reale di variabile reale definita per x∈[0, 1] ed ivi continua.
Supponiamo inoltre che la funzione g(x) sia derivabile in ]0, 1[ e che g(0) = g(1). Allora esiste un
punto x0 ∈]0, 1[ tale che g '(x0 )= 0.
Sia data la funzione) g(x)=x(1 - x) per x ∈ [0, 1]. La funzione g(x) è continua in tale intervallo,
derivabile in ]0, 1[ ed è tale che g(0) = 0 = g(1).
Allora esiste un punto x0 ∈ ]0, 1[ tale che g '(x0) = 0.
Nel caso della funzione considerata si ha x0 =
1
.
2
Abbiamo visto le tre ipotesi del Teorema di Rolle: presentiamo adesso tre esempi di funzioni che
NON verificano rispettivamente ciascuna delle tre ipotesi; possiamo vedere che non è verificata la
tesi.
1) g(x) = x, x ∈ ]0, 1], g(0) = 1; qui manca la continuità in [0, 1] e non esiste alcun punto in cui si
annulla la derivata prima.
1
2) g(x) = | x - |, x ∈ [0, 1]; qui manca la derivabilità in ]0, 1[ e non esiste alcun punto in cui si
2
annulla la derivata prima.
3) g(x) = x, x ∈ [0, 1] ; qui non è verificata la condizione g(0) = g(1) e non esiste alcun punto in
cui si annulla la derivata prima.
n.9
Rispondiamo alle due questioni:
a) Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua in un intervallo (a, b) e tale che f(a) = c,
f(b) = d, con c < d . Esiste un valore h ∈ (c, d) tale che f(x), per ogni x ∈ [a, b], è sempre diverso
da h ?
Supponiamo che ciò si verifichi: allora f(x) ≠ h per ogni x∈ [a, b].
1
Definiamo allora la funzione g(x) =
x ∈ [a, b] .
h − f ( x)
La funzione g(x) è una funzione continua, perché quoziente di funzioni continue ed il denominatore
non si annulla mai per ogni x ∈ [a, b].
1
1
Abbiamo poi g(a) =
> 0, g(b) =
< 0, essendo c < h < d.
h−c
h−d
Pertanto, per il teorema dei valori intermedi, possiamo dire che esiste un punto x0 ∈ [a, b] tale che
g(x0 ) = 0. Ma ciò, per come è definita la funzione g(x), è assurdo. Dunque non è possibile che, per
ogni x ∈ [a, b] , si abbia f(x) ≠ h.
b) Consideriamo il seguente esempio:
f(x) = - 1, per x ∈ (a, c], f(x) = 1, per x ∈ (c, b),
con c ∈ (a, b).
Vediamo allora che la funzione |f(x)| è una funzione che è costantemente uguale ad 1, mentre la
funzione f(x) non è una funzione costante.
n.10
Ricordiamo preliminarmente una definizione dell'integrale definito, detto anche integrale di MengoliCauchy o integrale di Riemann.
Consideriamo una funzione reale limitata f(x) della variabile reale x in un intervallo [a,b]. Si suddivide
[a, b], in modo arbitrario, in un numero finito di intervalli I1 , …, Ir,…, I n e si moltiplica la
lunghezza mis(Ir) di ciascun intervallo per f(xr), il valore che f(x) assume per x = xr , con x r punto
arbitrario dell'intervallo Ir.
n
Si considera poi la somma dei prodotti S =
∑ f (x r ) mis(I r ) e se ne cerca il limite al tendere a zero
1
del massimo degli intervalli Ir.
Se questo limite esiste finito, la funzione f(x) è detta integrabile in [a, b] ed il limite è allora chiamato
integrale definito di f(x) in [a, b]; esso è indicato con il simbolo
b
∫a
f(x) dx.
Si può mostrare che alla classe delle funzioni integrabili appartengono le funzioni continue in [a, b];
la classe delle funzioni monotone (ovvero non crescenti o non decrescenti) in [a, b]; la classe delle
funzioni che in [a, b] hanno al più un numero finito di punti di discontinuità. Tali classi non
esauriscono ovviamente la classe delle funzioni integrabili.
L'applicazione che ad ogni funzione integrabile fa corrispondere l'integrale definito, gode delle
seguenti proprietà:
- additività rispetto alla funzione integranda
b
∫a
b
a
[f(x) + g(x)]dx = ∫
f(x) dx +
b
∫a
g(x) dx ;
- linearità rispetto alla funzione integranda
b
∫a
[k g(x)]dx = k
b
∫a
g(x) dx, con k numero reale;
- additività rispetto all'intervallo di integrazione
b
∫a
f(x) dx =
c
∫a
f(x) dx +
b
∫c
f(x) dx ,
c∈[a, b];
- proprietà del confronto fra due funzioni integrabili
b
∫a
f(x) dx <
b
∫a
g(x)dx se f(x) < g(x) per ogni x ∈ [a, b].
La definizione data ci propone subito alcune applicazioni del concetto di integrale definito, anche alle
scienze applicate; dopo aver ricordato un paio di applicazioni di tipo geometrico, ricorderemo due
applicazioni alla fisica.
1) Area di una regione piana compresa fra due grafici. Si ha;
A=
b
∫a
[f(x) - g(x)] dx se f(x) > g(x) per ogni x ∈ [a, b],
se f(x) e g(x) sono due funzioni continue, se A rappresenta l'area della regione limitata
superiormente dal grafico di f(x) ed inferiormente dal grafico di g(x) e, lateralmente, dalle rette
x = a, x = b.
2) Volumi di solidi (misurabili) limitati da due piani tra di loro paralleli e perpendicolari ad un asse
coordinato (ragionando praticamente come nel caso precedente), che si ottengono ruotando una curva
piana intorno all’asse.
3) Spostamento nel tempo t ∈ [ t1 ,t2 ] di un punto materiale che si muove ad una certa velocità v(t)
su un asse coordinato:
s( t 2 ) - s( t1 ) =
t2
∫t1
v(t) dt;
4) Lavoro compiuto da una forza F(x) che agisce lungo la direzione dello spostamento rettilineo di
un oggetto da a verso b: L =
b
∫a
F(x)dx;
n.11
Commento. Domanda teorica che dovrebbe permettere a tutti i candidati di scrivere qualcosa e ai
bravi di scrivere di più, ad esempio citando la formula di Erone o le matrici.
n.12
Il concetto di valore medio è stato incontrato ampiamente a livello elementare e basta per questo
ricordare i concetti di media aritmetica o di media ponderata; in seguito si sono incontrate la media
geometrica e, più raramente, la media armonica.
Questi concetti, validi per insiemi di dati numerici, possono essere generalizzati anche in presenza di
funzioni reali (di variabile reale).
Iniziamo ricordando il Teorema del valor medio:
Sia data una funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b); allora esiste un punto c ∈ (a, b) tale
che
f (b) − f ( a)
= f ' ( c)
b−a
Geometricamente possiamo esprimere quanto detto dal teorema dicendo che la retta secante ad una
curva regolare, tracciata per gli estremi del grafico, è parallela alla retta tangente in (almeno un) punto
"intermedio".
Da un punto di vista fisico possiamo dire che la velocità media di un oggetto che si muove
nell'intervallo di tempo [ t1 ,t2 ], è uguale alla velocità istantanea valutata in (almeno un) punto
"intermedio".
Ricordiamo due applicazioni particolarmente importanti del Teorema del valor medio:
- se ∀ x ∈ (a, b) f ' (x) = 0, allora f(x) è una funzione costante in (a, b);
- se ∀ x ∈ (a, b) F '(x) = G '(x) allora esiste una costante c tale che F(x) = G(x) + c.
Fra i vari tipi di "media" ricordiamo anche la media integrale:
Se f(x) è una funzione integrabile in (a, b), allora il numero
è chiamato la media integrale della funzione f(x) in (a,b).
m=
1
b−a
∫
b
a
f(x) dx
Tipologia B - Quesiti a risposta singola
1.
Leggere il seguente testo, costituito da due frasi A, B:
A) Le lattine delle bibite sono approssimativamente dei cilindri in cui l'altezza è 3,6 volte il raggio.
B) Le proporzioni tra le dimensioni sono scelte in questo modo dai produttori, perché si rende
minima la quantità di metallo necessario per confezionarle e quindi si minimizzano i costi.
La frase A risulta vera con buona approssimazione.
Discutere l’attendibilità della frase B da un punto di vista matematico.
Estensione risposta: massimo 18 righe.
2.
Lo studente tratteggi brevemente gli strumenti matematici necessari per rispondere correttamente alla
domanda:
Descrivere nel piano Oxy l'insieme dei punti descritti dal sistema di equazioni
x = (t + 1)2, y = (t - 1)2, t parametro reale
Estensione risposta: massimo 10 righe.
3.
Lo psicologo L.L. Thurstone nel 1916 elaborò un metodo per descrivere l'apprendimento L di una
data abilità (imparare a leggere, a guidare un'auto, a risolvere problemi di matematica...) in funzione
del grado di pratica x. L'equazione formulata è
x
L(x ) =
,
con a, b parametri reali positivi
a + bx
x reale positivo
a) Valori diversi del parametro b si riferiscono a persone che imparano con diversa facilità: a chi
attribuire i valori minori di b?
b) Quale significato assume in psicologia dell'apprendimento l'esistenza dell'asintoto orizzontale?
c) Quale significato assume la derivata prima della funzione L(x)?
Estensione risposta: massimo 10 righe.
4.
Se f(x) è una funzione reale dispari (ossia il suo grafico cartesiano è simmetrico rispetto all'origine),
definita e integrabile nell'intervallo [-2, 2], che dire del suo integrale esteso a tale intervallo?
Quanto varrebbe nel medesimo intervallo l'integrale della funzione 3 + f(x) ?
Estensione risposta: massimo 6 righe e due grafici.
5.
Spiegare perché il valore finale è palesemente errato
1 1
dx
−1 x 2
∫
1 −2
x dx =
−1
=∫
x −1
−1
1
=
−1
1 −1
−
= −2
−1 −1
Estensione risposta: massimo 8 righe e un eventuale grafico.
6.
Dopo aver disegnato il grafico della funzione y = cos x, si dica quante soluzioni reali ammette
l'equazione x = cos x.
Come si può giustificare la risposta senza fare riferimento al grafico cartesiano?
Si indichi poi un metodo per trovare un valore approssimato della o delle soluzioni dell'equazione.
Estensione risposta: massimo 15 righe e un disegno.
7.
Disegnare il grafico di una funzione reale definita sull'intervallo (0; 1) che sia sempre negativa ed
abbia negative la derivata prima e la derivata seconda.
(Facoltativo) Scrivere l'equazione di una tale funzione.
Estensione risposta: un disegno ed una riga .
8.
Tracciare il grafico cartesiano di una funzione che abbia per dominio l'intervallo reale [0; 3] e tale che
i valori assunti sia dalla funzione, sia dalla derivata prima, sia dalla derivata seconda siano negativi in
tutto il dominio.
Estensione risposta: un disegno.
9.
a) Esiste una funzione reale y = f(x) che abbia per dominio tutto l'asse reale e sia tale che:
- lim x→ +∞ f ( x ) = 0
- la derivata prima di f sia sempre positiva
- la derivata seconda di f sia sempre negativa ?
b) Esiste una funzione reale y = f(x) che abbia per dominio tutto l'asse reale e sia tale che:
- lim x→ +∞ f ( x ) = 0
- la derivata prima di f sia sempre positiva
- la derivata seconda di f sia sempre positiva ?
In caso di risposta negativa, spiegarne il motivo; in caso di risposta affermativa, tracciare il grafico di
una funzione che soddisfa alle richieste.
Estensione risposta: massimo 10 righe e due disegni.
10.
Dire, spiegando perché, se può esistere una funzione f: R → R tale che f(x) è discontinua per ogni
x∈R e tale che | f(x) | è continua per ogni x ∈ R.
Estensione risposta: 10 righe e i disegni necessari.
11.
Determinare l'area di un triangolo rettangolo conoscendo la lunghezza dell'ipotenusa e l'ampiezza di
un angolo acuto. Fissata la lunghezza dell'ipotenusa, per quale ampiezza l'area è massima?
Rispondere poi alle domande precedenti nel caso si conoscano la lunghezza di un cateto e l'ampiezza
dell'angolo acuto opposto al cateto.
Estensione risposta: 25 righe e due disegni.
12.
a) Si ricordi la legge di annullamento del prodotto e se ne illustri (almeno) un esempio di
applicazione.
b) Si tracci il grafico cartesiano dell’equazione in x ∈ R, y ∈ R:
(x+y)(x+1)(y−2) = 0
evidenziando, in particolare, il ruolo assunto dalla legge di annullamento del prodotto.
Estensione risposta: massimo 12 righe e un grafico.
Risposte e commenti
n.1
Naturalmente si considera la quantità minima di metallo, essendo fissato il volume, e si osserva che
tale quantità è proporzionale alla superficie del contenitore, cioè con buona approssimazione a quella
di un cilindro.
Sia R il raggio del cerchio della base e h l'altezza del cilindro.
L'area della superficie totale è S = 2 π R 2 + 2 π R h;
inoltre il volume è V = π R 2 h; esso è costante (per le lattine comuni è un po' superiore a 0,33 dm3).
Dobbiamo studiare il minimo di S in funzione di R e di h.
V
Possiamo esprimere h mediante R: h =
(*).
πR 2
Pertanto è S = 2 π R 2 + 2 π R
V
πR 2
La derivata prima di S rispetto a R è
= 2 π ( R2+
V
).
πR
S' = 2π ( 2 R -
Risulta S' = 0 per V= 2 π R 3 . Sostituendo in (*)
V
).
πR 2
si ottiene h =
Si osserva che si tratta di un minimo, perché S'' = 2 π (2 +
2V
πR 3
)
2πR 3
πR 2
= 2 R.
è sempre positiva in quanto
contiene solo variabili e parametri positivi.
Si conclude che la superficie minima si ha quando l'altezza è doppia del raggio di base. Le lattine reali
sono lontane da questo rapporto, pertanto le ragioni della loro forma non vanno cercate nell'obiettivo
di rendere minima la quantità di metallo.
Commento: Le difficoltà maggiori consistono:
1) nell'individuare quali siano le variabili indipendenti ( il raggio e l'altezza);
2) nell'osservare che una delle variabili dipendenti ( il volume) va tenuta costante (la condizione
non compare esplicitamente nel testo del problema, ma va desunta da questo);
3) nel rilevare che in realtà le variabili indipendenti sono riducibili ad una, poiché interessa solo il
loro rapporto ( condizione che risulta esplicitamente nel testo).
Si noti che i calcoli, all'opposto, sono semplici e di routine.
n.3
a) Tenendo conto che parametri e variabili sono tutti positivi, poiché il parametro b compare a
denominatore, i suoi valori minori, a parità di altre condizioni, daranno valori maggiori della
funzione L, quindi essi si riferiscono alle persone che apprendono con più facilità.
b) L'asintoto orizzontale significa che dopo una certa quantità di pratica (in definitiva quindi di
tempo), l'apprendimento non si incrementa quasi più, tende a stabilizzarsi.
c) La derivata prima misura la variazione dell'apprendimento in relazione al grado di pratica, quindi
la velocità di apprendimento.
Si noti che, fissando i valori dei parametri, il grafico cartesiano della funzione nel piano (x,L), è dato
da un ramo di iperbole equilatera che passa per l'origine con asintoto la retta di equazione L = 1/b.
n.5
Il valore finale dell'integrale è certamente errato perché è negativo, e non positivo come dovrebbe
essere osservando che la funzione integranda è sempre positiva (ove definita) e gli estremi di
integrazione sono ordinati nel modo consueto secondo il verso crescente.
Si può aggiungere che l'errore è dovuto al fatto che l'intervallo di integrazione contiene lo zero, punto
dove la funzione x −2 non è definita; la funzione risulta illimitata in tale intervallo e non integrabile.
n.6
Commento. L'esercizio di per sé è piuttosto facile; la maggiore difficoltà consiste nel fatto che si
chiede di spiegare perché c'è una e una sola soluzione, senza tuttavia determinarla. Si può rispondere
o intuitivamente, oppure, in maniera più rigorosa, applicando teoremi elementari di analisi
matematica (ad esempio il teorema degli zeri).
n.8
Si può tracciare un grafico analogo a quello qui riportato. Per via analitica è sufficiente ad esempio
considerare il grafico della parabola y = - x 2 e traslarne il vertice "verso sinistra" ad esempio nel
punto P (-1,0).
Nell'intervallo [0, 3] la funzione risulta negativa, con derivate prima e seconda negative.
(L'equazione della curva si ottiene facilmente: da y = - x 2 , basta considerare
y = - (x+1) 2 =- x 2 -2x -1).
n.9
a) Si può ad esempio considerare una funzione con andamento come quello di f(x) = - e − x .
Essa è definita su tutto l'asse reale.
Risulta lim x →∞ ( −e − x ) = 0.
La funzione è continua e derivabile ovunque: f ' (x) = - (-1) e − x = e − x >0 per ogni x.
f "(x) = - e − x < 0
su tutto l'asse reale.
Il grafico di f(x)= e x
è noto; simmetrizzandolo rispetto all'asse delle ordinate si ottiene il grafico di e
−x ,
che, simmetrizzato rispetto all'asse delle ascisse, dà la funzione considerata. Più rapidamente, si
può operare un'unica simmetria del grafico di e x rispetto all'origine.
b) Con argomentazioni intuitive si può osservare che una tale funzione non può esistere. Infatti:
2. Se f "(x)>0 allora f ' è crescente ; così pure la condizione imposta f ' >0 implica che anche f deve
essere crescente. Dunque per x → ∞ la f(x) tende a zero assumendo valori negativi.
3. Ciò implica che la f ' , come pendenza della curva, tende a zero (cioè la tangente alla curva
tende a disporsi orizzontalmente) per valori positivi via via decrescenti.
4. Ciò contraddice il fatto che la f ' sia crescente .
Commento. Il problema nella parte b) richiede di riflettere a livello intuitivo sul grafico di una
funzione, ragionando sia sull'andamento della funzione che delle sue derivate successive: richiede
quindi un controllo sia concettuale che figurale.
n.11
a)
a
Per via geometrica si può ricordare che, fissata la lunghezza dell'ipotenusa a, tutti i triangoli
rettangoli sono inscritti in una semicirconferenza che ha per diametro l'ipotenusa. Poiché l'area si
1
può esprimere con a h (h misura dell'altezza relativa all'ipotenusa), essa sarà massima quando h
2
è massima: ciò corrisponde ad h uguale al raggio: il triangolo risulta isoscele, con angoli acuti di 45°.
Per via trigonometrica, indicata con a la lunghezza dell'ipotenusa e con α l'ampiezza di uno dei due
angoli acuti, le lunghezze dei cateti saranno date da a cosα e a sinα , rispettivamente.
1
1
L'area A del triangolo è pertanto data da: A = a 2 sin α cosα = a 2 sin 2α .
2
4
π
Per costruzione deve essere 0 < α < .
2
Fissato a, possiamo considerare A come funzione di α . Allora si vede subito che A = A(α ) è una
π
π
funzione crescente rispetto ad α per α <
e decrescente per α > .
4
4
π
Il valore α =
ci dà dunque il valore massimo per l'area del triangolo rettangolo e ciò corrisponde al
4
caso di cateti uguali.
b)
k
A'
A''
Fissata la lunghezza di un cateto, geometricamente si osserva che l'area del triangolo cresce via via
che diminuisce l'ampiezza dell'angolo acuto opposto a tale cateto; contemporaneamente la lunghezza
del secondo cateto cresce, senza limitazioni. Pertanto non esiste un'area massima.
Mediante la trigonometria, ragionando in modo analogo al caso precedente, indicando con k la
lunghezza del cateto considerato e con α l'ampiezza dell'angolo acuto opposto, abbiamo l'area del
triangolo rettangolo data da:
1
1
1
A= k 2
, essendo k
la lunghezza del secondo cateto.
2
tan α
tan α
Questa volta la funzione A = A(α ) è sempre decrescente, per 0 < α <
π
, e non vi sono valori
2
estremi. Non è dunque possibile determinare l'area massima.
Tipologia C - Quesiti a risposta multipla
1.
Nel piano cartesiano Oxy l'equazione x 2 − 1 = 0 , x ∈ R, rappresenta
a)
b)
c)
d)
una parabola
la circonferenza di centro l'origine e raggio 1
l'unione di due rette parallele
il punto P(1; -1)
2.
Si deve calcolare l'area di una regione limitata di piano H. Quale delle seguenti affermazioni non è
corretta?
a) Se H è simmetrica rispetto all'asse x, si può calcolare l'area della parte di H contenuta nel
semipiano y ≥ 0 e moltiplicare per 2.
b) Se H è simmetrica rispetto all'origine, si può calcolare l'area della parte di H contenuta nel
semipiano y ≥ 0 e moltiplicare per 2.
c) Se H è simmetrica rispetto all'asse x e rispetto all'asse y, si può calcolare l'area della parte di H
contenuta nel primo quadrante e moltiplicare per 4.
d) Se H è simmetrica rispetto all'origine, si può calcolare l'area della parte di H contenuta nel primo
quadrante e moltiplicare per 4.
3.
Quale delle seguenti uguaglianze vale per ogni numero reale x?
a) sen3 2 x + cos2 x = 1
b) x − 1 = x 2 + x +1
x −1
c) x 2 = x
d) log 10 ( 4 + x) 2 = 2 log 10 (4 + x )
4.
L'uguaglianza log10 (3 − x )2 = 2log10 (3 − x ) in R vale:
a)
b)
c)
d)
per ogni x
per tutti gli x<3
per gli x interni all'intervallo (-3, 3)
per tutti gli x>0
5.
Quali tra i seguenti grafici corrispondono ad una funzione continua nell'intervallo [0, 1] e quali ad una
funzione derivabile in tutto l'intervallo?
a)
c)
b)
0
1
0
1
0
1
0
1
e)
d)
0
1
6.
Sia a1 , a 2 , a 3 , … la successione che ha per termini le aree di ciascuno dei quadrati che si
ottengono come in figura:
Il lato del quadrato iniziale è 3. Il lato di ogni quadrato è metà del lato del quadrato precedente.
Pertanto il termine generale an della successione è:
9
a)
2n
3
b)
n
9
c)
2 n −2
2
9
d)
2 n −2
7.
L'equazione x 1+ log 2 x = x 2 log 2 x ha
a)
b)
c)
d)
una soluzione reale
due soluzioni reali
infinite soluzioni reali
nessuna soluzione reale
8.
Una delle seguenti affermazioni in R è vera (a ≠ 1, b ≠ 1):
1
a) log a b −
log b a
1
b) log a b −
log b a
1
c) log a b +
log b a
1
d) log a b −
log b a
=0
=1
= ab
=e
9.
Una delle seguenti uguaglianze in R è falsa:
( )
a) 20 x − 5x = 5 x 4 x − 1
b) 23 x + 53 x = 76 x
c) 6 x ⋅12 x = 72 x
d) 2 x + 2 x = 2 x +1
10.
Una delle seguente affermazioni è vera:
a)
b)
c)
d)
sin 1 > sin 1°
sin 1 < sin 1°
sin 1 = sin 1°
sin 1 e sin 1° non sono confrontabili
11.
Una delle seguenti affermazioni è vera:
a)
b)
c)
d)
tan 1 < tan 2
tan 1 > tan 2
tan 2 = 2tan 1
tan 2 > 2 tan 1
12.
L'equazione 2 sin2 x = 1 ha soluzioni:
π
+ kπ , con k intero
4
π kπ
b)
+
, con k intero
4
4
π kπ
c)
+
, con k intero
2
2
a)
d)
π kπ
+
, con k intero
4
2
Risposte
n.1
n.2
n.3
n.4
n.5
n.6
n.7
n.8
n.9
n.10
n.11
n.12
c
d
a
b
a,c,d; nessuno
c
b
a
b
a
b
d
Tipologia D - Problemi a soluzione rapida
1.
C'è un campo giochi per ragazzi recintato con una rete; la sua forma si può assimilare ad un
rettangolo. I ragazzi trovano un pezzo di rete in più: viene concesso loro di utilizzarla per ampliare il
campo. Pensano di operare in uno dei due modi indicati in figura .
Quale tra le due soluzioni assicura un'area maggiore ?
Valutare il vantaggio relativo della soluzione migliore in funzione della lunghezza del pezzo di rete
aggiunto (Il vantaggio relativo si può definire come rapporto tra la differenza delle due nuove aree e
la maggiore).
2.
Determinare le condizioni cui devono soddisfare x ed y in campo reale affinché il sistema
2 cos ϑ + cos ϕ = x

cos ϑ + cos ϕ = y
ammetta soluzioni nelle incognite cos ϑ e cos ϕ ( ϑ , ϕ reali).
Interpretate x ed y come le coordinate di un punto del piano cartesiano, determinare la regione piana
individuata dai punti che permettono di risolvere il precedente sistema.
3.
È dato un cubo C1. Dimostrare che i baricentri delle sei facce di C1 sono i vertici di un ottaedro
regolare O2. Dimostrare che i baricentri delle otto facce di O2 sono i vertici di un cubo C3.
Si può allora costruire la successione di solidi
(1)
C1, O2, C3, O4, C5, . . . . .
Se l è la lunghezza degli spigoli di C1, calcolare la lunghezza li degli spigoli dei solidi (1). Verificare
che la successione li è decrescente e che converge a zero.
4.
Da un rettangolo (di cartone) ABCD di lati l ed m si tolgono 4 quadrati uguali di lato x come
indicato in figura.
A
B
x
D
l
C
a) Esprimere in funzione di x il volume V della scatola a forma di parallelepipedo che si forma
ripiegando i quattro lembi ad angolo retto verso l'alto.
b) Dati i valori l = 8 ed m = 3, assegnare liberamente ad x alcuni valori, tabulare i corrispondenti
valori del volume V e stimare il massimo della funzione V(x) con approssimazione di due cifre
decimali.
a) (Facoltativo) Studiare la funzione V(x) con l'uso delle derivate e calcolarne il massimo.
È consentito l'uso di calcolatrice tascabile.
Risposte
n.1
Chiamiamo a, b le lunghezze dei lati del rettangolo (con a>b) e k la lunghezza del pezzo di rete
aggiunto. L'area che si ottiene ampliando il campo lungo il lato più lungo è
a (b + k/2) = ab + ak/2.
Invece, ampliando il campo lungo il lato più corto, si ottiene un'area uguale a
b (a + k/2) = ab + bk/2.
Siccome a>b, la prima soluzione assicura un'area maggiore.
La differenza fra le due aree è
(ab + ak/2) – (ab + bk/2) = k(a–b)/2.
Il vantaggio relativo è dato dal rapporto
k(a–b)/2 = k(a–b)
ab + ak/2
a(2b + k)
Ad esempio, se a = 100 m, b = 50 m, k = 60 m, allora le due aree sono rispettivamente 8 000 m2
e 6 500 m2; il vantaggio relativo è 3/16.
Il vantaggio è tanto più grande quanto più grande è la differenza fra i lati del rettangolo iniziale. Nel
caso particolare in cui a = b (cioè se il campo di partenza è un quadrato) le due soluzioni sono
naturalmente equivalenti.