1 Calcolo del volume di un liquido contenuto in un serbatoio Prof

Calcolo del volume di un liquido
contenuto in un serbatoio
Prof. Ettore Limoli
Ci proponiamo di calcolare il volume di liquido, contenuto in un serbatoio di forma cilindrica, tramite
l’introduzione di un’asta metrica che, bagnandosi, fornirà la lettura diretta di x.
Siano noti il raggio di base r del cilindro e la sua altezza h.
Se A è l’area del segmento circolare ad una base di altezza x, il volume cercato è dato da V = h  A.
Ci proponiamo, quindi, di calcolare A in funzione di x.
L’area da determinare è colorata in giallo. Possiamo calcolarla sottraendo all’area del settore circolare AOB
(parte colorata in rosso unita a quella colorata in giallo) l’area del triangolo AOB (colorata in rosso).
Essendo HB l’altezza relativa all’ipotenusa del triangolo rettangolo NBM, retto in B, per il secondo teorema
di Euclide, si ha:
.
Essendo ancora l’angolo al centro
, dove  è l’angolo alla circonferenza che insiste sulla corda
MB.
Pertanto:
Dal triangolo rettangolo NHB, retto in H, ricaviamo:
Pertanto:
In conclusione, il volume è:
1
Servendoci del foglio elettronico di calcolo, determiniamo una tabella che, al variare di x, ci fornisce il
volume del liquido in metri cubici e in litri.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
A
h
B
C
r
2
x
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
D
0,4
a
0,00
0,25
0,36
0,45
0,52
0,59
0,66
0,72
0,79
0,85
0,91
0,98
1,05
1,12
1,21
1,32
1,57
V
0,00
0,03
0,07
0,13
0,20
0,27
0,34
0,42
0,50
0,58
0,66
0,74
0,81
0,87
0,93
0,98
1,01
V(litri)
26,16
72,53
130,49
196,54
268,40
344,34
422,86
502,65
582,45
660,97
736,90
808,77
874,82
932,78
979,15
1.005,31
Avendo assegnato i nomi: h alla cella [A2], r_ alla cella [C2], x all’intervallo [A5:A21], a all’intervallo
[B5:B21]. Lo schema delle formule inserite è riportato sotto:
x
a
0
=SE(x<>2*r_;ARCTAN(RADQ(x/(2*r_-x)));PI.GRECO()/2)
0,05 =SE(x<>2*r_;ARCTAN(RADQ(x/(2*r_-x)));PI.GRECO()/2)
0,1 =SE(x<>2*r_;ARCTAN(RADQ(x/(2*r_-x)));PI.GRECO()/2)
V
=h*(2*r_^2*a-(r_-x)*RADQ(x*(2*r_-x)))
=h*(2*r_^2*a-(r_-x)*RADQ(x*(2*r_-x)))
=h*(2*r_^2*a-(r_-x)*RADQ(x*(2*r_-x)))
Poiché la funzione arcotangente non restituisce l’angolo retto, si è introdotta la funzione:
se(condizione; azione_1; azione_2)
Se la condizione è vera viene eseguita l’azione 1, se è falsa l’azione 2.
Se x = 2 r allora  è retto, ossia  = /2.

Prof. Ettore Limoli
2