CURVATURA E TORSIONE. IL TRIEDRO DI FRENET
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CURVATURA E TORSIONE. IL TRIEDRO DI FRENET
Capitolo 3 CURVATURA E TORSIONE. IL TRIEDRO DI FRENET Definizione 1. Sia C = α(I) una curva in E regolare in P = α(t). Il vettore (non nullo) α (t) è detto vettore tangente a C in P [rispetto ad α]. La retta per P con vettore direttore α (t) è detta α (t) retta tangente a C in P ed è denotata tg P (C). Il versore ||α (t)|| è detto versore tangente a C in P [rispetto ad α] ed è denotato t(t). n Osservazione 1. (i) La retta tangente a C in P è invariante per riparametrizzazione. Se infatti β = α ◦ h è un’altra parametrizzazione di C, con P = α(t) = β(s) [e dunque h(s) = t], il vettore tangente β (s) = α h(s) h (s) è parallelo a α (t) e quindi la retta tangente per P = β(s) con vettore direttore β (s) coincide con tg P (C). La retta tg P (C) è geometricamente definita come la posizione limite della corda che unisce i punti P = α(t) e P = α(t + h), per h → 0. Infatti tale corda ha vettore direttore h1 α(t + h) − α(t) e per h → 0 tale vettore tende a α (t). Si noti che può accadere che esista la retta tangente anche in un punto non regolare di C [si verifichi 2 3 ad esempio che l’ asse x è la retta tangente in O alla cubica cuspidata y = x ]. (ii) Per ottenere equazioni cartesiane della retta tangente in P = α(t) ad una curva C = α(I) ⊂ E basta imporre la condizione X − α(t) rg = 1 [con X = (x1, ... , xn ) ]. α (t) Se C è una curva differenziabile piana di equazione cartesiana implicita f (x, y) = 0, segue subito dal teorema del Dini che la tangente in un suo punto P0 = (x0, y0) ha equazione cartesiana n fx(P0)(x − x0) + fy(P0)(y − y0) = 0. (iii) Il versore tangente t(t) a C in P = α(t) è invariante per riparametrizzazioni concordi con α, ma cambia verso per riparametrizzazioni discordi. Denotato infatti con t̃(s) il versore tangente a C in P = β(s) [con β = α ◦ h], si ha: α h(s) h (s) α h(s) β (s) t̃(s) = ||β (s)|| = = |hh (s) (s)| = ± t h(s) . ||α h(s) h (s)|| ||α h(s) || Dunque t̃ = ± t ◦ h e vale il segno + ⇐⇒ h > 0 ⇐⇒ α, β sono concordi. Osservazione 2. (i) Sia C = α(I) una curva regolare. Per ogni t ∈ I, consideriamo il vettore derivato t (t) del versore tangente t(t). Essendo || t(t) ||≡ 1, allora t (t) è ortogonale a t(t), cioè t (t) è un vettore contenuto nell’iperpiano normale a t(t). Inoltre, poichè t (t) = lim ∆t→0 t(t+∆t)−t(t) ∆t , t (t) misura la velocità di variazione della retta tangente a C in α(t). Si può poi verificare che, se n = 2 e t (t) = 0, il verso di t (t) è rivolto all’interno della regione convessa localmente individuata da C intorno ad α(t). (ii) Il vettore t (t) dipende dalla parametrizzazione di C. Infatti, riparametrizzando C tramite β = α ◦ h, si ottiene (con le notazioni dell’osservazione precedente): t̃ (s) = (± t ◦ h) (s) = ± t h(s) h (s) = ± h (s) t (t). 46 CAPITOLO 3 Se invece dividiamo t (t) per la norma del suo vettore tangente ||α (t)||, otteniamo un vettore indipendente dalla parametrizzazione (cioè intrinseco per C). Infatti: ± t h(s) h (s) t h(s) t h(s) h (s) t̃ (s) = ||αt (t) = ± |h (s)| =± ± ||β (s)|| = (t)|| ||α e dunque t̃ ||β || = t ||α || ◦ ||α h(s) h (s)|| h(s) || ||α h(s) || h. Diamo un nome a tale vettore. Definizione 2. Sia C = α(I) una curva regolare. Si chiama vettore di curvatura di C in α(t) il ||t (t)|| vettore k(t) = ||αt (t) (t)|| . La sua norma k(t) =||k(t)||= ||α (t)|| è detta curvatura di C in α(t). Un punto P = α(t) è detto punto di flesso di C se k(t) = 0 [ovvero se k(t) = 0, ovvero se t (t) = 0]. Osservazione 3. Per quanto osservato sopra, il vettore di curvatura k e la curvatura k sono invarianti per riparametrizzazione di C [cioè k̃ = k ◦ h e k̃ = k ◦ h]. Poichè k e t sono vettori paralleli e concordemente orientati, k è una misura (intrinseca per C) della velocità di variazione della retta tangente a C intorno ad un suo punto. Quindi la curvatura in un punto P di C è tanto più grande quanto più rapidamente C ’curva’ intorno a P . Invitiamo lo studente a verificare che una retta ha curvatura identicamente nulla mentre una circonferenza di raggio r ha curvatura costante 1r . Definizione 3. Se P = α(t) è un punto non di flesso della curva regolare C = α(I), è definito il k(t) versore n(t) = ||tt (t) (t)|| = k(t) , detto versore normale principale a C in P . La retta per P con vettore direttore n(t) è detta retta normale principale a C in P ed è denotata norm P (C). Infine, il piano per P = α(t) con giacitura t(t), n(t) è detto piano osculatore a C in P . Osservazione 4. (i) È evidente che (come k) anche n è indipendente dalla parametrizzazione di C [infatti ñ = k̃k̃ ◦◦ hh = k̃k̃ ◦ h = n ◦ h]. 3 (ii) Si osservi che, se C ⊂ E , la retta normale principale normP (C) è una particolare retta 2 contenuta nel piano per P ortogonale al versore tangente t(t); se invece C ⊂ E , norm P (C) è l’unica retta per P ortogonale a tg P (C) . Per le curve regolari C = α(I) contenute in E è talvolta utile introdurre la ’curvatura con segno’ k̃, definita in questo modo: si indichi con ñ(t) il versore ortogonale a t(t) tale che la base (ortonormale) 2 t(t), ñ(t) sia equiversa alla base del riferimento standard di E ; ovviamente ñ e k sono paralleli. Si chiama curvatura con segno di C in α(t) il coefficiente k̃(t) tale che k(t) = k̃(t) ñ(t), da cui 2 k̃(t) = k(t) · ñ(t). Ovviamente ñ è definito anche nei flessi di C; inoltre k̃(t) < 0 ⇐⇒ ñ(t) = −n(t). (iii) Si verifica facilmente che t, n ∈ α , α e dunque che la giacitura del piano osculatore è α , α . Anche il piano osculatore (come la retta tangente) ammette una definizione di carattere geometrico: indicato con π h il piano che contiene la retta tg P (C) e la corda per P e P = α(t + h), il piano osculatore a C in P è la posizione limite dei piani π h, ottenuta per h → 0 [si utilizzi lo sviluppo di Taylor fino al secondo ordine di α(t + h) intorno a α(t)]. Si noti che con tale definizione può esistere il piano osculatore anche in punti di flesso. Si verifichi ad esempio che ogni curva regolare C contenuta in un piano π ammette π come piano osculatore in ogni suo punto. Definizione 4. Sia C = α(I) una curva in E , regolare e senza flessi. Per ogni P = α(t) ∈ C è definito il versore b(t) = t(t) ∧ n(t), detto versore binormale a C in P . [Si tratta di un versore ortogonale al piano osculatore a C in P ]. La retta per P con vettore direttore b(t) è detta retta binormale a C in P ed è denotata bin P (C). Il piano per P con giacitura n(t), b(t) è detto piano normale a C in P [ed è ortogonale a t(t)] mentre il piano per P con giacitura t(t), b(t) è detto piano rettificante a C in P [ed è ortogonale a n(t)]. 3 CURVATURA E TORSIONE. IL TRIEDRO DI FRENET 47 Infine i tre versori t(t), n(t), b(t) (nell’ordine considerato) formano una base ortonormale equiversa 3 alla base canonica di R ed il riferimento cartesiano RC α(t); t(t), n(t), b(t) è detto triedro mobile o triedro di Frenet di C in α(t). Osservazione 5. (i) Se C = α(I) è una curva (regolare senza flessi) contenuta in E , interpretando 2 3 E come piano z = 0 di E , si ottiene b(t) ≡ ±e3. 2 (ii) Come il versore tangente, anche il versore binormale b è invariante per riparametrizzazioni concordi con α, ma cambia verso per riparametrizzazioni discordi. Infatti si ha: b̃ = t̃ ∧ ñ = (± t ◦ h) ∧ (n ◦ h) = ±(t ∧ n) ◦ h = ± b ◦ h. Dividendo b per ||α ||, otteniamo un vettore invariante per riparametrizzazione. Infatti: b̃ ||β || = ±(b ◦ h) h ||α ◦ h|| |h | =± ± b ◦ h ||α ◦ h|| b ||α || = ◦ h. [È evidente l’analogia tra tale vettore ed il vettore di curvatura (cfr. Osserv. 2(ii)]. Lemma 1. Se C = α(I) è una curva regolare senza flessi in E , risulta: b (t) n(t), ∀ t ∈ I. 3 Dim. Poichè n = t, b ⊥ = t⊥ ∩ b , basta dimostrare che b ∈ t⊥ ∩ b ⊥ ⊥ e cioè che b · t ≡ 0 e b · b ≡ 0 (in I). La seconda identità segue immediatamente dal fatto che || b ||≡ 1. Per dimostrare la prima deriviamo (rispetto a t) la definizione b = t ∧ n. Si ottiene b = (t ∧ n) = t ∧ n + t ∧ n . Poichè t n, allora b = t ∧ n e dunque b ⊥ t, cioè b · t ≡ 0. Dal lemma precedente segue che i vettori ||αb (t) (t)|| e n(t) [entrambi intrinseci per C] sono proporzionali: diamo quindi un nome al coefficiente di proporzionalità. Definizione 5. Sia C = α(I) una curva regolare senza flessi in E . P = α(t) il numero reale τ (t) tale che ||αb (t) (t)|| = τ (t) n(t). 3 Osservazione 6. (i) Da τ n = b ||α || Si chiama torsione di C in , moltiplicando scalarmente per n si ottiene τ =τn·n= b ||α || ·n= b ·n ||α || . Ne segue che τ : I → R è una funzione differenziabile (detta torsione di C). Ovviamente tale funzione è invariante per riparametrizzazione [infatti τ̃ = ||βb̃ || · ñ = ||αb || · n ◦ h = τ ◦ h]. (ii) Alla torsione attribuiamo il seguente significato geometrico: se α è una parametrizzazione naturale di C [cioè || α ||≡ 1], allora τ = b · n e dunque |τ | =|| b || || n || cos 0 =|| b ||= lim ∆t→0 ||b(t+∆t)−b(t)|| ∆t . Pertanto |τ | misura la velocità di variazione del versore binormale b, cioè del piano osculatore [in quanto b è il versore normale del piano osculatore]. Anche il segno di τ ha un significato geometrico, per il quale rinviamo all’Eserc. 3.12. (iii) Se C ⊂ E , segue dall’Osserv. 5(i) che b (t) ≡ 0. Pertanto τ (t) ≡ 0. Vedremo nel seguito (cfr. Cap. 6) che per una curva regolare senza flessi C si ha: C è piana ⇐⇒ τ ≡ 0. 2 Teorema 1. Sia C = α(I) una curva regolare senza flessi in E . In ogni punto P = α(t) ∈ C valgono le tre seguenti formule, rispettivamente note come prima, seconda e terza formula di Frenet: F1) t (t) = ||α (t)|| k(t) n(t); (F F2) n (t) =||α (t)|| −k(t) t(t) − τ (t) b(t) ; (F 3 F3) b (t) = ||α (t)|| τ (t) n(t). (F F1). Da n = Dim. (F k k e da k = t ||α || segue: k n = t ||α || e quindi t =|| α || k n. 48 CAPITOLO 3 F3). Da b = (F t ||α || = τ n segue subito che b =|| α || τ n. F2). Da b = t ∧ n segue che n = b ∧ t. Derivando (rispetto a t) ed usando F1 e F3: (F n = b ∧ t + b ∧ t =|| α || τ n ∧ t + b ∧ k n = − || α || τ (t ∧ n) + k(n ∧ b) = − || α || k t + τ b . Completeremo il capitolo dimostrando alcune formule, utili nel calcolo dell’apparato di Frenet di 3 una curva regolare C = α(I) regolare e senza flessi di E . [Per semplificare le notazioni, scriveremo |v| anziché || v || per indicare la norma di un vettore v]. (1) t = 1 α · α α α − |α | |α |3 e quindi k = Dim. Basta derivare (rispetto a t) t = (2) b = α |α | 1 α · α α − α. 2 |α | |α |4 . La seconda formula discende subito dalla prima. α ∧ α . |α ∧ α | Dim. Si ha (utilizzando F1 e (1)): b=t∧n= α |α | ∧ t |t | = α |α | ∧ t |α | k = 1 |α |2 k α ∧ 1 |α | α ·α |α |3 α − α = 1 |α |3 k α ∧ α . Poichè |α1|3 k > 0, i due vettori b e α ∧ α sono paralleli e concordemente orientati. Allora b è il versore di α ∧ α . (3) Il piano osculatore a C in P = α(t) ha equazione X − α(t), α (t), α (t) = 0, cioè x − x(t) y − y(t) z − z(t) x (t) y (t) z (t) = 0 x (t) y (t) z (t) [se α(t) = x(t), y(t), z(t) ]. (4) k = |α ∧ α | |α |3 (formula della curvatura). Dim. Si osservi che la formula vale anche se P = α(t) è un punto di flesso di C [cioè se k = 0]. In tal caso α , α sono linearmente dipendenti [infatti 0 = t = |α1 | α − α|α·α Ne segue che |3 α ]. α ∧ α = 0 e quindi |α ∧α | |α |3 = 0. Sia ora P = α(t) un punto non di flesso. Dalla dimostrazione di (2), 1 = | b | = Ne segue subito la formula richiesta. 1 |α |α |3 k ∧ α |. Nota. Un’altra dimostrazione della (4) può essere ottenuta calcolando in due modi diversi il prodotto vettoriale t ∧ t . Lasciamo allo studente il compito di verificare che: (a) Utilizzando l’espressione (1) di t , si ottiene: t ∧ t = F1) e la (2) si ottiene: t ∧ t = (b) Utilizzando (F k |α | |α ∧α | 1 |α |2 α ∧ α . α ∧ α . Confrontando i coefficienti di α ∧ α nelle due espressioni ottenute, segue subito la formula cercata. (5) n = |α | α · α α α . − |α ∧ α | |α | |α ∧ α | CURVATURA E TORSIONE. IL TRIEDRO DI FRENET 49 Dim. Segue subito dal fatto che n = kk , da (4) e da (1). [Si noti che spesso è più semplice calcolare n tramite il prodotto vettoriale n = b ∧ t]. (6) τ = − [α , α , α ] |α ∧ α |2 (formula della torsione). Dim. Derivando la (2) si ottiene α ∧α |α ∧α | b = − (...) α ∧ α . Tenuto conto della (5) e del fatto che α · (α ∧ α ) = α · (α ∧ α ) = α · (α ∧ α ) = 0, allora n · b = Si conclude che τ = |α | | α ∧α | n·b |α | α · 1 | α ∧α | α ∧ α + 0 + 0 + 0 = |α | | α ∧α |2 [α , α , α ]. 1 = − | α ∧α |2 [α , α , α ]. Nota. Un’altra dimostrazione della (6) può essere ottenuta calcolando il prodotto misto [t, t , t ] in due modi diversi. Lasciamo allo studente il compito di verificare che: (a) Calcolando t a partire dall’espressione (1) di t , si ottiene: [t, t , t ] = F1) ed (F F2): [t, t , t ] = t ∧ |α | k n · |α | k n = −|α |3 k 2 τ . (b) Utilizzando (F [α , α , α ] |α |3 . Dal confronto delle due espressioni appena ottenute e dalla (4) segue subito la formula cercata.