PROPOSIZIONI 4, 8 E 14 DEL LIBRO DEI LEMMI
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PROPOSIZIONI 4, 8 E 14 DEL LIBRO DEI LEMMI
PROPOSIZIONI 4, 8 E 14 DEL LIBRO DEI LEMMI “L’alba della teoria delle curve si perde nella notte dei tempi: la contemplazione del moto delle stelle e l’osservazione della caduta dei gravi, i giochi dei raggi luminosi e il volo di un uccello, questi e numerosi altri fatti naturali devono aver fatto sorgere, nella mente di chiunque avesse occhi per vedere e cervello per ragionare, il concetto di linea come traiettoria di un punto mobile o come qualcosa capace di separare l’una dall’altra due regioni contigue di una medesima superficie” Gino Loria (Curve piane speciali, algebriche e trascendenti, teoria e storia) Proposizione 4 - Arbelos Sia ABC un semicerchio, e si costruiscano sopra il diametro AC due semicerchi, uno dei quali sia [di diametro] AD, l’ altro [di diametro] DC, e sia DB perpendicolare [a CA]: la figura generata, che Archimede chiama arbelo (è la superficie compresa dall’ arco del semicerchio maggiore e dalle due circonferenze dei semicerchi minori) è uguale al cerchio il cui diametro è la perpendicolare DB. Dimostrazione: Vediamo come Archimede determina la superficie dell’arbelo. Con riferimento alla figura risulta: ( ) Per il secondo teorema di Euclide, il quale sostiene che in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa, si ha: Per cui sostituendo nella relazione sopra scritta si ha: Il primo membro dell’uguaglianza rappresenta la superficie dell’arbelo, data dalla differenza tra il semicerchio di diametro AC e i semicerchi di diametri CD e DA: ( ) ( ) ( ) Il secondo membro dell’uguaglianza rappresenta l’area del cerchio di diametro BD: ( ) come affermato da Archimede. Un’altra proprietà dell’arbelo è che la lunghezza del suo contorno è uguale alla circonferenza di diametro AC. Dimostrazione: Calcoliamo la lunghezza LA del contorno dell’arbelo, come somma delle lunghezze delle semicirconferenze di diametro AC, CD e DA. ( ) ( ) che è proprio la lunghezza della circonferenza di diametro AC. Proposizione 8: Trisezione dell’angolo Se in un cerchio viene prolungata una corda AB e si pone BC uguale al semidiametro del cerchio, si congiunge C col centro D del cerchio e si prolunga (la congiungente) fino ad E, l’arco AE sarà triplo dell’arco BF. Archimede in questa proposizione propone una soluzione al problema della trisezione dell’angolo, che è uno dei tre problemi dell’antichità, accanto a quello della quadratura del cerchio e della duplicazione del cubo. Tuttavia nella risoluzione Archimede utilizza una riga come strumento graduato, proprietà non ammessa nelle costruzioni che si propongono solo l’utilizzo di “riga e compasso”. Dimostrazione: Consideriamo una corda AB, di una circonferenza di centro D, e la prolunghiamo di un tratto BC pari al raggio della circonferenza data. Nel prendere sulla retta AB un segmento BC congruente al raggio BD, Archimede ha di fatto misurato e riportato una lunghezza, ossia ha utilizzato la riga come strumento graduato. Congiungiamo C con il centro D della circonferenza e prolunghiamo il segmento CD fino ad incontrare in E la circonferenza stessa. Conduciamo la corda EG parallela alla corda AB, per cui gli archi AE e BG hanno ugual lunghezza, e congiungiamo il centro della circonferenza D con B e con G. ̂ Essendo in quanto raggi, il triangolo EDG è isoscele e quindi ̂ In ogni triangolo, l’angolo esterno è uguale alla somma degli angoli interni non adiacenti ̂ (Euclide ,I, 16); per cui essendo ̂ l’angolo esterno di ̂ , risulta ̂ Essendo le corde EG e AC parallele, l’angolo ̂ ̂ in quanto tali angoli sono alterni interni formati da due rette parallele tagliate dalla trasversale EC (Euclide I,29). Essendo per l’ipotesi fatta, anche il triangolo DCB è isoscele e quindi risulta ̂ ̂ ̂ ̂ Di conseguenza: ̂ ̂ Quindi tutto l’angolo ̂ sarà pari a : ̂ ̂ ̂ = ̂ ̂ ̂ Abbiamo così risolto il problema della trisezione dell’angolo, essendo ̂ Ne segue che l’arco BG è triplo dell’ arco BF. Ma poiché l’arco BG è congruente all’arco AE, anche l’arco AE è triplo dell’arco BF. Proposizione 14 - Salinon Se AB è un semicerchio, dal suo diametro AB si staccano due segmenti uguali AC e BD sulle linee AC, CD e DB (come diametri) si costruiscono due semicerchi, se E è il centro dei due semicerchi di diametri AB e CD e se EF perpendicolare ad AB viene prolungata fino a G, il cerchio di diametro FG è uguale alla superficie racchiusa dal semicerchio maggiore di diametro AB, dai due semicerchi tracciati entro ad esso di diametri AC e DB e dal semicerchio medio di diametro CD che è fuori di esso (e’ questa la figura che Archimede chiama salinon). Dimostrazione: Vediamo come Archimede determina la superficie della saliera. Con riferimento alla figura osserviamo che: AC=DB per costruzione (sono diametri delle due semicirconferenze tracciate) CE=ED=EF per costruzione (sono raggi della semicirconferenza di diametro CD) AE=EB=EG per costruzione (sono raggi della semicirconferenza di diametro AB) Archimede scrive innanzitutto due uguaglianze: ( La prima è: ( ) ) . Verifichiamola: ) ( ) ( ( ) ( ) La seconda è: Calcoliamo la superficie della saliera facendo la somma dei semicerchi di diametro AB e CD e sottraendo da tale area la somma dei semicerchi di diametro AC e DB. Calcoliamo innanzitutto: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) per la prima uguaglianza scritta ( ) [( ) [( ) [( ) [( ( ) ) ( ( ) ( ( )] [( [ ) )] ( ) ] ) ] ( ] ( ) ) ( ) ] per la seconda uguaglianza scritta Ulteriore caratteristica della saliera di Archimede, è che il suo perimetro è pari alla circonferenza di diametro AB Dimostrazione: Calcoliamo il perimetro della saliera sommando le lunghezze delle semicirconferenze di diametro AB, AC, DB e CD: ( ( ) ( ) ( ) che è proprio la lunghezza della circonferenza di diametro AB. ( ) )