Qui - Dipartimento di Matematica

SCIENZE
LA RICERCA COME PILASTRO PER
L’INNOVAZIONE E IL FUTURO
Giacomo Tommei
Dipartimento di Matematica, Università di Pisa
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Stazione Leopolda, 18 Aprile 2012
Cosa fa un matematico all’Università?
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Insegnamento
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Meccanica celeste
La meccanica celeste studia il moto dei corpi celesti, modellando la
realtà fisica con costrutti matematici.
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Perché Matematica?
Luoghi comuni contro l’iscrizione a Matematica
Difficoltà troppo elevata
Poca varietà degli argomenti da studiare
Poche applicazioni
Poche possibilità lavorative
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Post-laurea
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Insegnamento
Informatica
Finanza
Editoria
Indagine ISTAT: 85% dei laureati in Matematica trova lavoro entro 3
anni dalla laurea.
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Orientamento @DM
www.dm.unipi.it/orientamento/
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SpaceDyS
www.spacedys.com
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Backup slides
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MECCANICA CELESTE
La meccanica celeste studia il moto dei corpi celesti, modellando la
realtà fisica con costrutti matematici.
Problema degli N-corpi gravitazionale
↓
d2
mi 2 ri =
dt
n
X
j=1, j6=i
G mi mj
rij
|rij |3
↓
Sistema di equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine.
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MECCANICA CELESTE
Oggetti naturali del Sistema Solare: pianeti, satelliti, asteroidi, comete
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MECCANICA CELESTE
Pianeti extrasolari (729 scoperti al 28/01/2012)
Kepler-11 è una stella nana gialla visibile nella costellazione del Cigno, che
dista circa 2000 anni luce dal sistema solare.
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MECCANICA CELESTE
Oggetti artificiali: satelliti, sonde, space debris
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COPERNICO (1473 -1543)
Il Sole al centro
De Revolutionibus orbium coelestium
“Se per caso vi saranno dei ciarlatani che, pur
essendo del tutto ignoranti in fatto di
matematica, ciò nonostante si arrogano il diritto
di giudicarne, e si permetteranno di biasimare e
diffamare questo mio lavoro, magari invocando
qualche passo della Scrittura malamente distorto
a loro comodo, dirò che di loro non mi curo
affatto, anzi disprezzo il loro giudizio come
temerario. Tutti sanno infatti che Lattanzio,
considerato un celebre scrittore, ma di fatto
scadente matematico, si esprime in modo puerile
sulla forma della terra, mettendosi a deridere
quelli che osarono sostenere che la terra abbia la
forma di un globo... la Matematica si scrive
per i matematici’
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TYCHO BRAHE (1546 - 1601)
Osservando il cielo
1572: Tycho osserva una “stella nuova”
(supernova SN 1572)
1576: nasce Uraniborg (osservatorio e
centro ricerche), dove Tycho mette a punti i
suoi strumenti per l’osservazione del cielo e
compie osservazioni dei pianeti del sistema
solare, in particolare di Marte; compie
anche studi sulla rifrazione atmosferica.
1577: Tycho osserva una cometa
1597: Tycho si sposta a Praga e incontra
Keplero
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KEPLERO (1571 - 1630)
Come si muove Marte?
Osservazioni di Tycho Brahe
↓
Leggi di Keplero
I) Il pianeta si muove descrivendo un’ellisse, in
un fuoco della quale è situato il Sole (1609).
II) Il raggio vettore che congiunge il pianeta
col Sole descrive aree uguali in tempi uguali
(1609).
III) I quadrati dei periodi di rivoluzione sono
proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori
delle ellissi (1619).
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GALILEO (1564 - 1642)
Moto dei gravi
...questo grandissimo libro [della natura] che
continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi
(io dico l’universo), non si può intendere se
prima non s’impara a intender la lingua, e
conoscer i caratteri né quali è scritto. Egli è
scritto in lingua matematica, e i caratteri son
triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche,
senza i quali mezzi è impossibile a intendere
umanamente parola; senza questi è un aggirarsi
vanamente per un oscuro laberinto.
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GALILEO (1564 - 1642)
Moto dei gravi
Come cadono i corpi pesanti?
Ipotesi: la velocità è direttamente
proporzionale al tempo. Come varia lo
spazio percorso in funzione del tempo?
s=
1 2
gt
2
Piano inclinato: verifica della precedente
relazione, calcolo di g, conservazione
dell’energia.
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NEWTON (1642 - 1727)
La legge di gravitazione universale
Mele, Luna e palle di cannone: il
ragionamento di Newton
1679: la corrispondenza con Robert Hooke
1684: l’intervento di Edmund Halley
1687:Principi matematici della filosofia
naturale
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NEWTON (1642 - 1727)
La legge di gravitazione universale
Tra due particelle di massa m1 e m2 poste a
distanza r si esercita una forza attrattiva che
agisce lungo la congiungente le due particelle ed
ha modulo
G m1 m2
F =
r2
G è la costante di gravitazione universale e vale
G = 6.6720 × 10−11 m3 (Kg s)2
Fu misurata per la prima volta da Lord
Cavendish nel 1798.
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Il problema dei due corpi
Descrizione
Il moto di corpi nello spazio è storicamente il problema intorno al quale si è
sviluppata la meccanica moderna e gran parte della matematica moderna,
come il calcolo differenziale.
Per problema dei due corpi intendiamo la descrizione del moto di due
corpi puntiformi sotto l’azione della sole forze di interazione dei due corpi
stessi, che si suppongono forze centrali, per le quali valga la legge di azione
e reazione.
Nel caso in cui due soli corpi puntiformi interagiscono mediante una forza
centrale, il problema è integrabile, note le condizioni iniziali siamo in
grado di predire lo stato di moto del sistema.
Nel caso la forza sia quella di attrazione gravitazionale agente su due punti
materiali di massa m1 ,m2
~ = G m1 m2 ~r
F
r3
si ha il problema dei due corpi gravitazionale.
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Il problema dei due corpi
Orbite
Nel problema dei due corpi gravitazionale (la
forza attrattiva è inversamente proporzionale al
quadrato delle distanze) le orbite sono
esprimibili come sezioni coniche.
Cosè un’orbita?
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Il problema dei due corpi
Energia
Nel problema dei due corpi gravitazionali, l’energia potenziale risulta
V (r) = −
G m1 m2
r
La proporzionalità dell’energia potenziale a entrambe le masse, e con una
costante di proporzionalità G che è universale (cioè non dipende dalla
composizione né da alcun altra proprietà dei corpi) deriva dall’equivalenza
della massa inerziale con la massa sorgente del campo
gravitazionale, ed è uno dei principi fondamentali della gravitazione
newtoniana (e anche di quella einsteiniana).
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Il problema dei due corpi
Formulazione
Per studiare il problema dei due corpi è possibile utilizzare il sistema di
riferimento del centro di massa.
Le equazioni del moto sono:


m1~r¨1 = Gm1 m2 ~r
r3
Gm1 m2

m2~r¨2 = −
~r.
r3
Moltiplicando la prima per m2 , la seconda per m1 e sottraendo la prima
alla seconda, otteniamo:
Gm1 m2 (m1 + m2 )
~r.
m1 m2~r¨ = −
r3
Definiamo la massa ridotta del sistema µ :=
µ~r¨ = −
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m1 m2
m1 +m2
GµMtot
~r.
r3
e otteniamo l’equazione
(1)
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Il problema dei due corpi
Formulazione
La quantità di moto totale del sistema si conserva.
Il momento angolare si conserva:
J~ = µ~r × ~r˙ = cost.
L’energia totale del sistema si conserva.
Il moto del problema dei due corpi ridotto avviene nel piano che
contiene ~r(0) e ~r˙ (0).
Passando a coordinate polari per descrivere il moto nel piano ci
possiamo ricondurre ad una equazione differenziale in una incognita:
r̈ =
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2
GMtot
−
.
r3
r2
(2)
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Il problema dei due corpi
Formulazione
L’orbita del problema dei due corpi ridotto è data dalla seguente curva in
forma polare
r(t) =
p
1 + e cos v(t)
dove
p=
(3)
2
GMtot
ed e è il modulo del vettore di Lenz
~e =
1 ˙
~r
~r × ~ − .
GMtot
r
(4)
Cosa rappresenta l’equazione (3) ?
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Il problema dei due corpi
Formulazione
r(t) =
p
1 + e cos v(t)
Ripassando a coordinate cartesiane
x = r cos v
y = r sin v
si ha
(x2 + y 2 )1/2 = p − e x
e=0
⇒
0<e<1
x2 + y 2 = (p − e x)2
circonferenza
⇒
ellisse
e=1
⇒
parabola
e>1
⇒
iperbole
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⇔
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Maree
Non più punti materiali
L’intensità della forza gravitazionale
dipende fortemente dalla distanza e di
conseguenza la parte di superficie del nostro
pianeta rivolta verso la Luna sarà attratta
maggiormente che non il centro della Terra
poiché è circa 6400 km più vicina.
Mentre la Terra ruota le sue parti sentono
l’attrazione lunare crescere e diminuire
nell’arco di una giornata poiché varia
continuamente la loro distanza dalla Luna;
in particolare le grandi masse liquide si
gonfiano sensibilmente in direzione della
Luna e l’effetto osservabile è un periodico
alzarsi e abbassarsi degli oceani.
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Maree
Non più punti materiali
Perchè vi sono due periodi di alta marea?
Dove non ci sono oceani, esistono le
cosiddette maree solide, deformazioni della
superficie meno evidenti ma altrettanto
importanti.
Il fenomeno delle maree è presente su ogni
corpo celeste ed è necessario tenere conto
dei suoi effetti nello studio delle orbite.
L’attrito dovuto al rigonfiamento mareale
(che si oppone alla rotazione del corpo)
provoca un rallentamento, aumentando la
durata del “giorno”. La durata del giorno
terrestre aumenta di circa 2/1000 di
secondo al secolo, mentre la distanza dalla
Luna cresce di qualche centimetro ogni
anno (Halley 1693).
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Il problema dei 3-corpi
Una sfida insolubile
Fine Ottocento il re di Svezia Oscar II mise
in palio una cospicua somma di denaro
destinata a chi fosse riuscito a risolvere il
problema dei 3 corpi: il premio fu
assegnato a Henri Poincaré (1854-1912)
che dimostrò che per tale problema non
esiste soluzione.
la non esistenza di una soluzione generale
del problema dei tre corpi non esclude che
sia possibile ottenerne una descrizione
accurata quando ci si limita a studiare dei
casi specifici.
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Il problema dei 3-corpi
La soluzione particolare di Lagrange
1772: Lagrange dimostrò che tre corpi di
massa arbitraria si possono muovere in
modo da mantenere inalterata nel tempo la
propria disposizione relativa nello spazio.
Le geometrie possibili sono solo due: in
linea retta oppure ai vertici di un triangolo
equilatero.
I punti lagrangiani di equilibrio vengono
suddivisi in collineari (L1 , L2 , L3 ) e
triangolari (L4 , L5 ).
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Il problema dei 3-corpi
Teoria del caos
Sensibilità alle condizioni iniziali:
leggerissimi cambiamenti possono portare a
grandi variazioni dello stato globale di un
sistema (effetto farfalla).
Fu Poincaré ad investigare per primo i
comportamenti caotici, ma solo dal 1970 si
è ripreso ad indagare sistematicamente
questi fenomeni.
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Sistema Solare e caos
Il Sistema Solare è caotico?
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L’era spaziale
Dallo Sputnik alle missioni interplanetarie
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L’era spaziale
Space Debris
The near-Earth space is filled by more than
300 000 artificial debris particles with
diameter larger than 1 cm.
This population is similar to the asteroidal
one because its long term evolution is
affected by high-velocity mutual collisions.
The space where the debris is placed can be
divided into three main regions:
Low Earth Orbit (LEO), below
2000 Km
Medium Earth Orbit (MEO), between
2000 Km and 36000 Km
Geosynchronous Earth Orbit (GEO),
36000 Km of altitude
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Matematica vs Armageddon
Come evitare di fare la fine dei dinosauri
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Matematica vs Armageddon
Classificazione dei NEOs
CLASSE
NECs
DESCRIZIONE
Near-Earth Comets
NEAs
Atens
Near-Earth Asteroids
Earth-crossing asteroids
Apollo
Earth-crossing asteroids
Amors
NEAs with external-Earth
orbit
IEO
NEAs with internal-Earth
orbit
DEFINIZIONE
q < 1.3 AU
P < 200 y
q < 1.3 AU
a < 1.0 AU
Q > 0.983 AU
a > 1.0 AU
q < 1.017 AU
a > 1.0 AU
1.017 < q < 1.3 AU
a < 1.0 AU
Q < 0.983 AU
q: distanza del peielio Q : distanza dell’afelio P : periodo
1.017 AU è la distanza dell’afelio della Terra, 0.983 AU è la distanza del
perielio della Terra
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Matematica vs Armageddon
Frequenze d’impatto
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Matematica vs Armageddon
Incontri ravvicinati
Un incontro ravvicinato di un NEO è definito come un passaggio del
piccolo corpo vicino alla Terra: con la parola vicino intendiamo di solito
dentro la sfera di influenza del pianeta
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Matematica vs Armageddon
Brief history of impact monitoring
1801 G. Piazzi discovers the first asteroid Ceres
1898 C.G. Witt discovers Eros, the first Near-Earth Asteroid
’70s Apollo program ⇒ attention for NEOs increases
1990 NASA workshops studies on NEOs requested by U.S. Congress ⇒
Program Spaceguard
1998 1997XF11 : prediction about an extremely close approach to Earth in
2028
1999 New class of algorithms using multiple solutions to scan the
confidence region are implemented by Milani et al. and applied to the
case of 1999AN10 founding some impact solutions
1999 CLOMON (University of Pisa), an automatic monitoring system, is
operational
2002 CLOMON2 (University of Pisa) and Sentry (JPL), the second
generation systems of impact monitoring, are operational
2004 Asteroid 2004M N4 (Apophis) reaches the highest probability of
impact with the Earth in 2029 (2.7 %)
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Matematica vs Armageddon
Confidence Region
When an asteroid has just been discovered, its orbit is weakly
constrained by observations spanning only a short arc.
Using the least squares method we often found a nominal orbit, but
other orbits are acceptable as solutions, in that they correspond to
RMS of the residuals not significantly above the minimum.
This situation can be described by defining a confidence region
Z(χ) in the orbital elements space such that initial orbital elements
belong to Z(χ) if the penalty does not exceed some threshold
depending upon the parameter χ.
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Matematica vs Armageddon
Virtual Asteroids (VAs)
PROBLEM: we need to consider the set of the orbits with initial
conditions in the confidence region as a whole. Since the dynamic model for
asteroid orbits (the N-body problem) is not integrable there is no way to
compute all the solutions for some time span in the future (or past).
SOLUTION: we sample the confidence region by a finite number of
Virtual Asteroids (VAs), obtaining a set of initial conditions.
HOW TO SAMPLE:
Random sampling of the confidence region, using the probabilistic
interpretation of the least square principle
Monte Carlo (MC) method
Statistical Ranging (SR) method
Geometric sampling of the confidence region
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Matematica vs Armageddon
Line Of Variations (LOV)
The Line Of Variations (LOV) is a one-dimensional segment of a
(curved) line in the initial conditions space.
There is a number of different ways to define, and to practically
compute, the LOV, but the general idea is that a segment of this line
is a kind of spine of the confidence region.
Several different definitions of the LOV are possible and they will be
described in the second part of the talk.
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Matematica vs Armageddon
Virtual Impactors (VIs)
GOAL OF IMPACT MONITORING: to establish if the confidence
region of a given NEA contains some Virtual Impactor (VI), a small
subset of initial conditions leading to a collision with the Earth.
1
LOV sampling −→ finite set of initial conditions (VAs)
2
Integration of each orbit forward to some point in the future
3
Close approaches information for each orbit, split of the VAs into
showers and trails
4
Target Plane (TP) analysis of each trail
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Matematica vs Armageddon
Target Planes
The Target Plane (TP) is a plane containing the center of the Earth and
orthogonal to the velocity vector of the small body.
1
Target Plane (TP), or b-plane, used in Öpik theory: it contains the
center of the Earth and is orthogonal to the incoming asymptote of the
geocentric hyperbola on which the small body travels when it is closest
to the planet
2
Modified Target Plane (MTP), introduced by Milani and Valsecchi in
1999: it contains the center of the Earth and is orthogonal to the
geocentric velocity vector of the small body at closest approach.
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Matematica vs Armageddon
Target Planes
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