Filtri - Sapienza

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Filtri - Sapienza

Filtri
Telecomunicazioni per l’Aerospazio
P. Lombardo – DIET, Univ. di Roma “La Sapienza”
Filtri - 1
L’impulso: definizione
L’impulso (detto anche delta di Dirac) può essere definito (tralasciando il
rigore matematico) come un rettangolo di base T e altezza 1/T quando T
tende a zero:
L’impulso e’ dunque un segnale localizzato nell’origine con base
infinitesima, ampiezza infinita, ma area (integrale) unitaria:
Filtri - 2
L’impulso: proprietà
- Un segnale x(t) moltiplicato per un impulso e’ uguale al valore del segnale in t=0
per l’impulso stesso
- Un segnale x(t) moltiplicato per un impulso ritardato di e’ uguale al
valore del segnale in t=per l’impulso stesso:
x(t)t x()t 
- L’integrale di un segnale x(t) moltiplicato per un impulso ritardato di e’
:
uguale al valore del segnale in t=
Filtri - 3
Rappresentazione grafica dell’impulso
Filtri - 4
PROPRIETA’ CAMPIONATRICE dell’IMPULSO
Filtri - 5
Definizione di sistema
Un sistema e’ un dispositivo che modifica un segnale x(t), detto ingresso,
generando il segnale y(t), detto uscita.
In termini analitici il sistema si rappresenta per mezzo di un generico
operatore matematico indicato con O[.]. che trasforma il segnale
d’ingresso x(t):
Il risultato delle operazioni matematiche eseguite sull’ingresso e’ il segnale
d’uscita y(t).
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Sistemi Lineari
Lineare:
quando l’uscita generata dalla combinazione lineare di due o piu’
ingressi e’ uguale alla combinazione lineare delle uscite che sarebbero
state generate separatamente dai singoli ingressi.
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Sistemi Tempo-Invarianti
Tempo Invariante (o “permanente”): quando l’uscita generata da un segnale
ritardato e’ uguale all’uscita generata dal segnale originale, ritardata della
stessa quantità.
Filtri - 8
Sistemi Lineari Tempo-Invarianti (LTI)
Sistemi LTI:
sistemi che sono allo stesso tempo Lineari e Tempo – Invarianti
Sistemi
Tempo-Invarianti
Sistemi
Lineari
Sistemi LTI
Filtri - 9
Risposta Impulsiva
Risposta Impulsiva: e’ l’uscita del sistema quando l’ingresso e’ l’impulso.
Usualmente indicata con il simbolo h(t)
Se il sistema e’ tempo-invariante (permanente), la forma della risposta impulsiva
non dipende dall’istante in cui si applica l’impulso. Quando l’ingresso e’ un impulso
anticipato o ritardato l’uscita e’ uguale ad h(t) anticipata o ritardata:
Se il sistema e’ anche lineare, nota la risposta impulsiva e’ possibile calcolare
l’uscita del sistema quando l’ingresso e’ una qualsiasi combinazione lineare
d’impulsi:
Filtri - 10
Segnale come combinazione lineare di impulsi
Un qualsiasi segnale x(t) puo’ essere rappresentato come somma
integrale di impulsi:
Filtri - 11
Convoluzione
Ricordando che:
a) Nota la risposta all’impulso, e’ possibile calcolare l’uscita di un sistema LTI
quando l’ingresso e’ una qualsiasi combinazione lineare d’impulsi
b) Un qualsiasi segnale x(t) puo’ essere rappresentato come somma integrale
di impulsi
Ne segue che:
integrale di convoluzione (o semplicemente convoluzione)
* = simbolo della convoluzione
uscita = convoluzione tra ingresso e risposta all’impulso del sistema LTI
Filtri - 12
Calcolo dell’integrale di convoluzione
L’ integrando
) e la risposta all’impulso h() ribaltata in
e’ il prodotto tra il segnale x(
traslata di t (verso destra se t
>0, verso sinistra se t <0)
Filtri - 13
Esempi di calcolo della convoluzione (I)
Filtri - 14
Esempi di calcolo della convoluzione (II)
Filtri - 15
Esempi di calcolo della convoluzione (III)
Filtri - 16
Proprietà della convoluzione
Dalla definizione di sistemi LTI si deducono le seguenti proprietà della
convoluzione:
Filtri - 17
Sistemi L.T.I. causali (I)
Definizione:
Un sistema L.T.I. è detto causale se l’uscita y(t) per un t=t, dipende dai
valori dell’ingresso x(t) solo per valori della variabile tt.
La condizione di causalità è molto importante se la variabile indipendente è il
tempo: in questo caso un sistema fisico deve essere causale. Se ciò non fosse
infatti il sistema sarebbe in grado di predire il futuro.
Condizione da rispettare per garantire la causalità:
Filtri - 18
Sistemi L.T.I. causali (II)
Talvolta si utilizzano risposte impulsive
del tipo:
Questa risposta impulsiva non è causale: puo’ essere resa causale attraverso
opportuni troncamenti (nel tempo, se h(t) si estende da - a +) e ritardi.
Utilizzare h(t) invece che h1(t) significa trascurare (cioe’ sottintendere) i ritardi
necessari a rendere causale la risposta all’impulso.
Filtri - 19
Risposta in frequenza dei sistemi LTI (I)
Se il segnale d’ingresso di un sistema Lineare Tempo-Invariante (LTI) e’
un esponenziale complesso l’uscita sara’ ancora un esponenziale complesso
con la stessa frequenza, ma con ampiezza e fase modificate.
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Risposta in frequenza dei sistemi LTI (II)
L’ampiezza e la fase iniziale dell’uscita dipendono da H(f).
H(f): denominata Risposta in frequenza o Funzione di Trasferimento:
E’ la funzione della frequenza che descrive come vengono modificate
ampiezza e fase di un esponenziale complesso quando passa attraverso
un sistema LTI.
Filtri - 21
Funzione di trasferimento e Trasformata di Fourier
La risposta in frequenza H(f) e’ una funzione complessa della frequenza
che dipende solo dalla risposta all’impulso del sistema h(t).
L’operatore che consente di ottenere la risposta in frequenza H(f) a partire
dalla risposta all’impulso del sistema h(t), viene detto trasformata di
Fourier.
La trasformata di Fourier puo’ essere calcolata per un generico segnale
x(t), non solo per la risposta all’impulso di un sistema LTI:
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Segnali come somma di esponenziali complessi
La trasformata Inversa di Fourier
ha la seguente interpretazione:
un qualsiasi segnale x(t) puo’ essere scomposto nella somma (integrale)
di esponenziali complessi le cui ampiezze (infinitesime) e fasi iniziali in
funzione della frequenza sono date dalla trasformata di Fourier X(f) :
Filtri - 23
Risposta in frequenza di sistemi reali
Se il sistema LTI ha risposta all’impulso h(t) reale, la risposta in frequenza H(f) e’
una funzione con simmetria complessa coniugata: H(f) = H*(-f) (come si verifica
facilmente dalla definizione di H(f)). Dunque il modulo di H(f) e’ pari (simmetrico
rispetto all’origine) e la fase di H(f) e’ dispari (antisimmetrica rispetto all’origine).
Filtri - 24
Risposta in frequenza di sistemi reali (II)
Sistemi LTI:
sistemi che sono allo stesso tempo Lineari e Tempo – Invarianti
Filtri - 25
Sistemi LTI: legame ingresso-uscita in frequenza
- Se l’ingresso e’ un esponenziale complesso x(t) = A exp{ j 2f t } ,
l’uscita e’ y(t)= H(f) A exp{ j 2f t }
-Un generico segnale x(t) puo’ essere scomposto nella somma (integrale) di
esponenziali complessi (di ampiezza infinitesima) del tipo X(f) exp{ j 2f t } df
-L’uscita y(t) di un sistema LTI per un generico segnale d’ingresso x(t) e’ data dalla somma
(integrale) di esponenziali complessi H(f) X(f) exp{ j 2f t } df
- L’uscita y(t), come tutti i segnali, puo’ essere scomposta nella somma di
esponenziali complessi del tipo Y(f) exp{ j 2f t } df
Quindi:
Questo risultato corrisponde ad una importante proprieta’ della trasformata di Fourier:
la trasformata della convoluzione y(t) = h(t)* x(t) e’ il prodotto delle trasformate Y( f )H( f )X ( f )
Filtri - 26
TRASFORMATA DI FOURIER dell’IMPULSO
Filtri - 27
TRASFORMATA DI FOURIER dell’IMPULSO
Filtri - 28
Sintesi – caratterizzazione filtri
•
•
Risposta Impulsiva (dominio del tempo):
– Uscita del filtro in risposta a un ingresso di tipo delta di Dirac;
Risposta in frequenza – Funzione di trasferimento (dominio della frequenza)
– Trasformata di Fourier della risposta impulsiva;
– Risposta del filtro ad un ingresso esponenziale è pari allo stesso esponenziale pesato
da H(f0).
(t)

LTI Filtro
y(t)=h(t)*(t)=h(t)
h(t)
Y(f)=H(f)1=H(f)
ej2f0t
H(f)
Y(f)=H(f0) ej2f0t
y(t)=x(t)*h(t)  Y(f)=X(f)H(f)
x(t)  X(f)
Filtri - 29
Richiamo filtri ideali
•
H(f)
-B
•
1
Filtro passa-alto (HPF: High Pass Filter)
Filtro passa-banda (BPF: Band Pass Filter)
-B1
1
B1
f B
B2
f B
f B
Il filtro lascia passare inalterate le alte frequenze
[B ) ed elimina le basse frequenze.
f
B
H(f)
-B2
0
Hf  
1
1
-B
f B
Il filtro lascia passare inalterate le basse
frequenze [0 B] ed elimina le alte frequenze.
f
B
H(f)
•
1
Hf  
0
Filtro passa-basso (LPF: Low Pass Filter)
0

H  f   1
0

f  B1
B1  f  B2
f  B2
Il filtro lascia passare inalterate le frequenze nella
banda passante [B1 B2] ed elimina le frequenze al di
fuori di tale banda.
Filtri - 30
Filtri
Tutti i segnali devono essere, in varia misura, “condizionati” dai filtri, prima di
essere trasmessi, elaborati o registrati in forma analogica o digitale.
Durante e dopo l'amplificazione il filtro provvede a trattare il segnale con
diversi scopi:

Separare il segnale utile dal rumore

Eliminare segnali non desiderati mescolati a quello utile

Eliminare le frequenze in eccesso alla banda utile del segnale
biologico.

Eliminare frequenze molto basse (anche la corrente continua)
Caratteristiche fondamentali dei filtri
Frequenza di taglio ( -3dB, cutoff frequency)
La frequenza di taglio o di cutoff (-3dB) è la frequenza alla quale
l'ampiezza del segnale in uscita dal filtro è ridotta a 0,7071 volte
l'ampiezza del segnale in ingresso.
Filtri - 31
Tipo di filtro (I)
Un filtro passa-basso (low-pass)
elimina tutte le armoniche a
frequenza alta e lascia passare
quelle inferiori alla frequenza di
taglio (cut frequency).
Un filtro passa-alto (high-pass)
elimina le armoniche al di sotto
della frequenza di taglio.
Filtri - 32
Tipo di filtro (II)
Un filtro passa-banda elimina le
armoniche inferiori e superiori ad
una determinata banda di
frequenze.
Un filtro a reiezione di banda (notch)
elimina solamente le armoniche
all'interno di una determinata banda e
lascia passare quelle esterne.
Filtri - 33
Tipo di filtro (III)
Ordine del filtro.
Un semplice filtro costituito da un condensatore e da un resistore è detto
filtro di primo ordine. Mettendo in serie vari filtri di primo ordine, se ne
costruiscono di ordine superiore. Più è elevato l'ordine del filtro e maggiore
è l'eliminazione delle armoniche fuori banda. Nel filtro di primo ordine
l'attenuazione del segnale oltre la frequenza di taglio aumenta di 6
dB/ottava, e cioè 20 dB/decade.
Struttura del filtro: Attivo, passivo, digitale.
I filtri attivi sono costruiti con resistori, condensatori ed amplificatori
operazionali. I filtri passivi usano solamente resistori e condensatori
(eventualmente anche induttori). I filtri attivi hanno il vantaggio di non
costituire un carico significativo per la sorgente del segnale e di non
attenuarlo. I filtri digitali sono implementati con del software: consistono in
una serie di calcoli matematici che processano i dati.
Filtri - 34
Tipo di filtro (IV)
Con i filtri attivi possono essere implementate diverse funzioni di
trasferimento. I filtri più comuni sono:Ellittico, Cauer, Chebyshev, Bessel e
Butterworth.Ciascuno di questi presenta caratteristiche particolari per
quanto riguarda la forma della curva di risposta, il ritardo di fase e
l'attenuazione fuori banda.
Filtri - 35
Tipo di filtro (V)
Terminologia dei filtri.
Attenuazione
L'attenuazione è il reciproco del guadagno. Un'attenuazione di 10
corrisponde ad un guadagno di 0,1.
Banda passante (Pass Band )
La banda passante è la regione di frequenze al di sotto della frequenza di
taglio.
Banda soppressa (Stop Band )
La banda soppressa è la regione di frequenze al di sopra della frequenza
di taglio.
Spostamento di fase (Phase Shift )
Le fasi delle varie componenti sinusoidali del segnale di ingresso sono
spostate dal filtro in varia misura dai vari tipi di filtro. I filtri che hanno piccoli
spostamenti di fase producono piccole distorsioni nel segnale.
Filtri - 36
Tipo di filtro (VI)
Ottava (octave )
Un'ottava è l'intervallo di
frequenze in cui la frequenza
più elevata è doppia della
minore.
Decade (decade )
La decade è l'intervallo di
frequenze in cui la frequenza
più elevata è dieci volte la
minore.
Filtri - 37
Tipo di filtro (VII)
Overshoot
Quando lo spostamento di fase nella banda passante
non è linearmente dipendente dalla frequenza della
componente sinusoidale il segnale filtrato presenta
overshoot. In questo caso la risposta ad un impulso
rettangolare è distorta.
Filtri - 38
Decibels (dB)
Voltaggio
Decibels
3 dB
6 dB
20 dB
40 dB
60 dB
66 dB
72 dB
80 dB
100 dB
120 dB
Potenza
Rapporto di voltaggio
1,414:1
2:1
10:1
100:1
1.000:1
2.000:1
4.000:1
10.000:1
100.000:1
1.000.000:1
Rapporto di potenza
2:1
4:1
100:1
10.000:1
1.000.000:1
4.000.000:1
16.000.000:1
108:1
1010:1
1012:1
Filtri - 39
Ordine
Poli
1 polo
2 poli
4 poli
8 poli
Ordine
1° ordine
2° ordine
4° ordine
8° ordine
Pendenze (slope)
6 dB/ottava
20 dB/decade
12 db/ottava
40 dB/decade
24 dB/ottava
80 dB/decade
48 dB/ottava
160 dB/decade
Filtri - 40
Esempi di filtri
Filtro passa-alto
Filtro passa-basso
f 
1
2πRC
Filtri - 41
Filtri reali (I)
Filtri reali possono essere ottenuti mediante circuiti con
elementi resistivi, capacitivi e induttivi
•
Resistore (R)
v t   R  i t   V  f   R  I  f
•
Condensatore (C)
i t   C 
•

dv t 
1
 I  f   j 2fC  V  f   V  f  
If
dt
j 2fC

Induttanza (L)
vt   L 
di t 
 V  f   j 2fL  I  f 
dt
Filtri - 42
Filtro RC passa-basso
vout(t)
vin(t)

1 
  I  f 
Vin  f    R 
2
j
fC



1
Vout  f  
 I f 
j 2fC
• Funzione di trasferimento
H LPF  f  
V f 
1 j 2fC
1


H LPF  f   out
Vin  f  R  1 j 2fC 1  j 2fRC
1
1  2fRC 
2
argH LPF  f   arctg 2fRC 
0
-1
• Frequenza di taglio del filtro (banda passante)
2
1

2
fT 
1
2RC
LPF
H LPF  f T  
-3
|HLPF
|H (f)|
(f)|(dB)
(dB)
fT
-2
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-3
-2
-1
0
f/ft
1
2
3
f/ft
Filtri - 43
Filtro RC passa-alto
vout(t
)
vin(t)

 1
Vin  f   
 R   I  f 

 j 2fC
Vout  f   R  I  f 
V f 
R
j 2fRC
H HPF  f   out


Vin  f  R  1 j 2fC 1  j 2 fRC
H HPF  f  
2 f RC
1  2fRC 
2
argH HPF  f  

2
sign f   arctg 2fRC 
0
• Frequenza di taglio del filtro
-1
-2
fT
H HPF  f T 
2
1

2

1
fT 
2RC
|HHPF(f)| (dB)
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
f/ft
Filtri - 44
Filtro RLC passa-banda


1
Vin  f    j 2fL 
 R   I  f 
j 2fC


Vout  f   R  I  f 
vout(t)
vin(t)
1
f0 
2 LC
4f 0 L
Q
R
V f 
R
H BPF  f   out

Vin  f  R  j 2fL  1 j 2fC
j 2fRC

2
1  2f  LC  j 2fRC
• Frequenza di risonanza e banda passante
f0
H BPF  f 0   1
H BPF  f  
2 f RC
1  2f  LC   2fRC 
2
2
2

1   f
2f
f 0Q
f0 
  2 f
2 2
f 0Q 
0
-1
-2
-3
|HBPF(f)| (dB)
-4
-5
-6
-7
-8
f
f H BPF  f 0  f 2   1 2  f  0
Q
2
-9
-10
-3
-2
-1
0
1
2
3
f/f0
Filtri - 45
2
Esempi di filtri di pratico utilizzo
Filtro di smoothing
Filtri che eseguono medie mobili (comportamento di tipo passa-basso) tipicamente utilizzati
per eliminare le fluttuazioni veloci su dati misurati ed evidenziare da tali dati l’andamento
medio.
Filtro a spillo per rimozione interferenza
Filtri che presentano funzioni di trasferimento tali da far transitare il segnale utile e eliminare
eventuali segnali interferenti (zeri della funzione di trasferimento posti sulle frequenze
interessate dai segnali interferenti).
Filtro per la sintonizzazione di un canale radiofonico
Filtri passa-banda accordati intorno ad un data frequenza con banda passante tale da far
passare unicamente il segnale audio di interesse e eliminare tutto il resto.
Filtri - 46

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