Alla ricerca di risonanze - Dipartimento di Scienze Umane per la

Alla ricerca di risonanze
Maria Mellone
Università degli studi di Napoli Federico II
Milano 17 Maggio 2012
Uno degli episodi più celebri della matematica del XX secolo
aneddoto su Ramanujan
Un giorno Hardy andò in taxi a trovare il suo amico indiano degente
nell'ospedale di Putney. Entrò nella stanza di Ramanujan e, come sempre
incapace di avviare la conversazione, gli disse, probabilmente senza un
saluto, e certamente come prima osservazione:
Mi pare che il numero del mio taxi fosse 1729.
Mi sembra un numero piuttosto insulso,
privo di ogni interesse
Ma no Hardy! è un numero
molto interessante e accattivante,
infatti è il più piccolo numero esprimibile
come somma di due cubi in due modi diversi:
1729=103 +93 e 1729=123 +13
Dehaene, S.
(Il Pallino della matematica, 2010, edizione originale 1997)
Ireneo Funes, il “memorioso” era dotato di una
esorbitante memoria e quindi capace di
ricordare ogni minima esperienza in ogni
dettaglio: dalle forme delle nuvole del sud nel
tramonto del 30 Aprile del 1882, a tutte le parole
inglesi, francesi, portoghesi e latine (Borges,
1944).
Verso la fine della storia
si rivela la
vera tragedia di Funes:
egli era incapace
di generalizzare,
di generare idee.
Pensare, generare idee può essere vista come la
capacità di generalizzare, dimenticare differenze, di
cercare invarianti. All ’ interno di questa capacità si
colloca il senso del numero. Quando parliamo di “senso
del numero ” ci riferiamo alle fondamentali abilità
elementari o intuizioni sui numeri di cui tutti siamo dotati.
Il numero, infatti, è un dei parametri fondamentali con il
quale noi diamo senso al mondo che ci circonda:
- Percepiamo la numerosità di piccole collezioni di cose
- Tutte le lingue hanno parole che servono ad
esprimere numeri
- Tutti abbiamo imparato a fare i calcoli con le dita
- Intuizione aritmetica
S. Dahaene:
“La mia ipotesi è che il senso del numero sia una categoria
di conoscenza biologicamente determinata. I numeri
appaiono come una delle fondamentali dimensioni in
accordo con le quali il nostro sistema nervoso percepisce il
mondo esterno. Così come i colori, la posizione nello
spazio fanno parte del nostro modo di guardare perché
alcuni circuiti del nostro cervello così ci predispongono,
nello stesso modo le quantità numeriche ci vengono
imposte con forza da circuiti specializzati nel lobo parietale
inferiore. Le strutture del nostro cervello definiscono le
categorie in accordo con le quali noi apprendiamo il mondo
attraverso la matematica”
Quattro
tipi
di
evidenze:
- La presenza di forme preliminari di aritmetica negli
animali.
- La precoce presenza di competenze aritmetiche nei
bambini durante i primi mesi di vita indipendentemente da
altre abilità.
- L’esistenza di un’omologia tra le abilità nei procedimenti
numerici di animali, bambini nei primi mesi di vita, adulti.
-l ’ ipotesi che la corteccia intraparietale di entrambi gli
emisferi è associata con la rappresentazione e
l’acquisizione di conoscenza riguardo ai numeri e alle loro
relazioni.
La presenza di forme preliminari di aritmetica
negli animali:
Sono molti gli studi nei quali si fa riferimento alle
abilità elementari di aritmetica che caratterizzano
gli animali. D ’ altra parte sono immaginabili i
vantaggi, e quindi le conseguenti ripercussioni
sull’evoluzione biologica, del saper riconoscere la
numerosità di certe collezioni, sia nelle ricerca di
cibo, che nel riconoscere predatori e anche nelle
dinamiche di accoppiamento.
Quindi pressioni evoluzionistiche hanno
permesso l’interiorizzazione di
rappresentazioni numeriche nel cervello
di varie specie animali.
La precoce presenza di competenze aritmetiche
nei bambini durante i primi mesi di vita:
Nei bambini molto piccoli appare evidente già
a 6-7 mesi di vita la capacità di discriminare
visivamente collezioni di oggetti di differenti
quantità numeriche. Tale capacità inoltre si
trasporta anche a contesti diversi dalla
visualizzazione di insiemi di oggetti infatti è
stata mostrata anche la capacità di
distinguere parole costituite da due o tre
sillabe.
Esperimento di Piaget
Bambini di 3-4 anni
Quale fila contiene un
maggiore numero di palline?
Esperimento di J. Meheler e T. Bever
Bambini di 3-4 anni, ripetuto con bambini di 2 anni
Quale fila vuoi?
L ’ esistenza di un ’ omologia tra le abilità nei
procedimenti numerici di animali, bambini,
adulti:
• Effetto distanza: se la distanza tra i numeri
decresce anche la performance relativa alla sua
identificazione decresce.
• Effetto grandezza: se la stessa distanza è
rapportata a numeri più grandi la performance
decresce.
La corteccia intraparietale di entrambi gli emisferi
è associata con la rappresentazione e
l’acquisizione di conoscenza riguardo ai numeri e
alle loro relazioni:
• per prima cosa studi neuropsicologici di pazienti
umani con lesioni al cervello indicano che problemi
riguardo le rappresentazioni interne delle quantità
possono essere fatte risalire proprio a lesioni in
quell’area.
• in secondo luogo, studi di immagini celebrali
indicano che questa regione è specificamente
attivata durante la risoluzione di diversi compiti
numerici.
Tutti i bambini hanno delle fisiologiche
rappresentazione della quantità, nascono quindi
equipaggiati dal nucleo dei significati delle
quantità numeriche. La successiva esposizione
ad un dato linguaggio, come ad una data cultura
o ad una data educazione matematica
permettono l’acquisizione di competenze e sfere
addizionali come il lessico delle parole
matematiche, o l’insieme di cifre per la notazione
scritta, o le procedure per i calcoli a più cifre, e
così via. Non solo queste abilità devono essere
interiorizzate; ma più di tutto hanno bisogno di
essere coordinate, integrate con la già
biologicamente
esistente
rappresentazione
concettuale dell’aritmetica!!!!!
Interiorizzare
Appropriarsi
Oggettificare
Assimilare-Accomodare
Mettere in risonanza
Il modello cognitivo della risonanza
Individuo
Realtà
il processo di apprendimento si realizza a partire da una
disposizione biologica del nostro cervello di produrre “prerappresentazioni”, il cui corrispettivo fisico è una produzione di
sinapsi che si stabiliscono o muoiono in base al riscontro con la
realtà esterna (Changeux, 2003).
Primo livello di risonanza
Risonanza tra cognizione individuale e
realtà
“Il cervello funziona come un continuo generatore
di ipotesi” (Changeux, 2003)
Ogni “conoscenza astratta” viene in
definitiva costruita “parassitando” le strutture
di percezione e azione.
(Gallese & Lakoff, 2005)
Riciclaggio neuronale
Da diversi esperimenti è emerso che i
neuroni che si occupano del riconoscimento
visivo degli oggetti e dei volti sono gli stessi
utilizzati nell’identificazione delle lettere e
che permettono, quindi, ai bambini di
imparare a leggere.
b
Dehahene, S.
(I neuroni della lettura, 2009)
d
“Il nostro cervello collega immediatamente il
numero astratto con le nozioni concrete di
grandezza, posizione e tempo. Non facciamo
aritmetica astratta. Piuttosto, per eseguire
compiti matematici usiamo circuiti cerebrali
che servono anche a guidare i nostri occhi e le
nostre mani nello spazio, circuiti che sono
presenti anche nel cervello delle scimmie e
che di certo non si sono evoluti per la
matematica, ma che sono stati ridestinati dopo
essere stati utilizzati in altro ambito”
(Dehaene, 2010, p.283 ).
Secondo livello di risonanza
Risonanza tra cognizione individuale, realtà e cultura
individuo
sistemazione culturale
comunità
“L’apprendimento che si basa sul capire è il
risultato di un processo di risonanza tra la
sfera della cognizione individuale, la sfera
culturale e le strutture della realtà, processo
che si sviluppa attraverso percorsi di
conoscenza di cui occorre tenere sotto
efficace controllo le dinamiche di senso.”
(Guidoni, Iannece e Tortora, 2005, p. 75).
L’irragionevole efficacia della matematica
“Non potrebbe essere che le leggi matematiche,
e, prima ancora, i principi di organizzazione del
cervello siano stati selezionati in funzione del loro
adattamento alla struttura dell’universo? Il
miracolo dell’efficacia della matematica, caro a
Wigner, si spiegherebbe allora con un’evoluzione
selettiva. Se la matematica di oggi è efficace,
forse dipende dal fatto che la matematica
inefficace di un tempo è stata eliminata senza
pietà …
L’insegnante mediatore di risonanza...
...dovrebbe essere in grado di mettere in relazione gli
individui con la cultura facendo percepire l’utilità di tali
conoscenze e la soddisfazione del loro uso finalizzato
Gli individui dovrebbero ri-vivere alcuni nodi cruciali
dell’interazione natura-cultura.
Una differenza saliente tra matematica e MKT la
Mathematical Knowledge for the Teachers (MKT)
una potente caratteristica della matematica è la
sua capacità di compressione (packing) delle
informazioni in forme astratte utili in una vasta
generalità di casi …
… al contrario
la matematica che deve essere insegnata (MKT)
richiede
una
specie
di
decompressione
(unpacking), ossia
una analisi
ed una
esplicitazione delle idee ad essa soggiacenti.
Bass, H. 2005
Il processo di interiorizzazione
Il processo di interiorizzazione consiste in una serie
di trasformazioni:
a) un’operazione che inizialmente rappresenta
un’attività esterna è ricostruita e comincia a prodursi
internamente.
b) Un processo interpersonale si trasforma in un
processo intrapersonale.
c) La trasformazione di un processo interpersonale
in uno intrapersonale è il risultato di una lunga serie
di eventi evolutivi.
La mediazione semiotica
Il segno svolge una mediazione tra l’individuo ed il suo
contesto, e permette il passaggio dall ’ interpsicologico
all’intrapsicologico che assicura la ricostruzione interna
dell’azione, cioè, della sua internalizzazione definita come
ricostruzione interna di un processo esterno.
Genesi del gesto indicativo
“All’inizio questo gesto non è niente di più che un tentativo non riuscito
di afferrare qualcosa, un movimento indirizzato ad un certo oggetto che
designa un’attività prossima.[…] Quando la madre accorre in aiuto del
piccolo e si dà conto che il suo movimento sta indicando qualche
cosa, la situazione cambia radicalmente. L’indicare diventa un gesto
per altre persone. Il tentativo non riuscito del bambino genera una
reazione non da parte dell’oggetto che egli vuole afferrare, ma da parte
di un’altra persona. Di conseguenza, il significato originario di quel
movimento per afferrare non riuscito è stabilito da altri. Soltanto più tardi,
quando il bambino è capace di abbinare il suo movimento fallito di
afferrare alla situazione obiettiva nel suo intero, egli incomincia ad
intendere questo movimento come indicare.”
(Vygotskij, 1987, p. 86)
Ipotesi di ricerca
Mediazione semiotica -vs- Risonanza
La mediazione semiotica esercitata da quegli artefattisegni-rappresentazioni (ad esempio, matematici)
riconosciuti come risonanti avvia un processo di
interiorizzazione
della
conoscenza
(matematica)
posseduta da questi ultimi.
Alcune azioni di design per creare corridoi
di risonanza tra cognizione individuale e
cultura
la nostra strategia didattica:
azioni
“azioni strutturate”
strutture
formali.
Mentre si agisce, e anche dopo, si comincia
a rappresentare ciò che si fa per registrarlo
e per schematizzarlo:
si incomincia a vedere la struttura
TEMUJIN E LA MACCHINA DEL
CONTARE
Contare come centratura di
attenzione
Il giovane Temujin è
stato
fatto prigioniero e
costretto
a scontare una pena
lavorando
ad una macchina che
libera il riso dalla pula.
Egli è stato perciò legato
alla macchina e
costretto
a girarvi intorno
per sbramare il riso.
Ogni mattina Temujin
viene
svegliato da due
colpi di
gong suonati da
una guardia
e comincia il suo
lavoro,
fino a che – a sera –
non viene arrestato
da un solo colpo
del gong
(…. nell’arco
di un giorno,
sono completati due giri!).
Per ogni giro completo compiuto intorno alla macchina,
vengono fuori quattro chicchi di riso,
che vengono raccolti cumulativamente in un contenitore.
Una pletora di contabili ha il compito di
controllare il numero di giri compiuti da Temujin
e il numero di giornate di lavoro, poiché
dovranno renderne conto a un ispettore reale.
Coloro che contano i giorni sono bendati.
Dopo un certo
numero di iterazioni (pensiamo a 6 giorni)
si presenta un ispettore con il compito
di verificare che Temujin abbia scontato
la sua pena; egli dichiara che il giovane
potrà essere rimesso in libertà
quando avrà lavorato
per 6 giorni e avrà compiuto 14 giri:
i contabili vengono allora interpellati
per decidere
del destino di Temujin.
Incominciamo a
contare e
a controllare quello
che contiamo:
dobbiamo dar “conto”
all’ispettore!
E i conti devono
tornare:
quelli dei contatori dei
giorni(bendati),
quelli dei contatori dei
giri,
quelli dei contatori dei
chicchi…
Il gioco si ripete tante volte;
Rispettare le consegne dell’ispettore e salvare
Temujin non è facile.
Come si possono fare 14 giri in 6 giorni?
E quanti chicchi deve produrre la macchina?
A turno gruppetti di bambini assumono ora il compito di contare
i giorni, i giri, i chicchi.
Dopo vari tentativi, varie sono le proposte di soluzione, ma per fortuna
torna l’ispettore che ci facilita il compito: i giorni possono essere 8 e
i giri da compiere 16. Se così sarà Temujin sarà libero!!
L’aiuto dell’ispettore
permette di portare a
termine la missione.
Bisogna ora preparare il documento che
racconti all’ispettore quanto è avvenuto.
L’ispettore non parla la nostra lingua,
può capire solo dalla lettura di simboli quello
che è successo.
A gruppetti, i bambini, utilizzando degli oggetti
e dei simboli, preparano il documento
per l’ispettore.
Maria ci dice:
“Il documento deve essere comprensibile
anche a chi parla un’altra lingua.
Ci potremmo dividere a coppie, ogni coppia avrà un
cartellone e 64 chicchi, 16 pezzi di pasta (i giri)
E dei fogli ritagliare da cui7 cerchi (i giorni)
Lavoriamo insieme perché così ci aiutiamo a capire
meglio.”
Torna l’ispettore!!!
Proviamo a “leggere”
all’ispettore
il nostro documento
E l’ispettore ci dimostra
che ha capito
mimando le azioni raccontate
simbolicamente
dal documento
Percorso di avvio alla rappresentazione
polinomiale del numero
Raggruppamenti
Abaco
Raggruppamenti
Costruzioni
materiali che
tengono
traccia
dell’esperienzaA questo stadio già è possibile
osservare una risonanza tra le
strategie dei bambini e la
formalizzazione
culturale: la
Orchestrazione di una
strategia di organizzare
discussione i semi di
zucca
in gruppi
(ovviamente
matematica
Temujin (Gengis
Khan),
diventato
il khan un
della sua nazione,
artefatto)
viene
scelta tra leper il suo popolo.
deve capire quanto
cibo ha
a disposizione
alternative
come
la più
efficace principe
per
I bambini sono
invitati ad
aiutare
il giovane
a contare
Passi significiativi
l’obiettivo.
le sue provvigioni,raggiungere
materializzate
in classe nella forma
verso di un
grande mucchio di semi di zucca.
rappresentazioni
standardizzate
Gengis Kahn
chiede:
“In che modo dividere questa grande quantità in parti uguali?
Quanti piatti di riso potremo fare e quanta gente potremo
sfamare?”
È difficile “tenere il conto”, e per contare usiamo le mani…
non bastano!
Utilizziamo degli oggetti “marcatori”!
Antonio: Abbiamo fatto i gruppetti di dieci perché ci sembrava
più facile.
Eleonora: Si, è meglio fare gruppi di 10 così contiamo 10, 20,
30.
Criteri di convenienza
Raggruppamenti
Ornella: “È difficile tenere il conto dei gruppi”
Stefano: “Per contare usiamo le mani…non bastano!”
Insegnante: “Possiamo utilizzare degli oggetti
marcatori!”
Abacus
Lucio: Voleva fare tre.
Sveva: Forse è uno strumento musicale e voleva suonarlo.
Alice: Forse voleva contare, ma non sapeva come fare perchè sono troppi fagioli
e quindi ha fatto un numero a caso.
Maestra: Tu sapresti contarli?
Alice: [conta i fagioli] Sono ventuno.
Silvia: Vuole fare vedere al re come si conta.
Elena: Forse io ho capitò perché! Perché due e uno, cioè perché due sono i due
gruppi da dieci e uno è ventuno!
Maestra: Bambini pensate se quello che dice Elena vi convince.
2 1
Elena: questi sono due, no? [tocca i due maccheroni] perché due
gruppi da dieci. Ventuno, quindi ce ne deve restare uno che è
questo [tocca il maccherone delle unità], quindi è per questo!
Alice: Elena e Lucio dicevano che questi erano venti [indica i due
maccheroni nella colonna delle decine] e questo era uno [indica il
maccherone nella colonna delle unità]. Però questi due sono
maccheroni e pure questo è un maccherone, siccome questi due
valgono dieci, quindi dieci più dieci fa venti, ma siccome anche
questo è un maccherone anche questo dovrebbe essere un dieci,
quindi trenta.
i maccheroni sono
sempre
maccheroni e dovrebbero
valere sempre lo stesso.
Ed invece scopriamo che
…
“qua vale 1 e qua il
maccherone vale
10!!!”
E la terza bacchetta vale
“cifre”
Riferimenti Bibliografici
Bass, H. (2005). Mathematics, mathematicians and mathematics education. Bulletin of The
American Mathematical Society, Vol. 42, Issue 4, p. 417-430.
Changeux, J.-P. (2003). L’uomo di verità, Feltrinelli, Milano.
Dehaene, S. (2009). I neuroni della lettura, Milano, Raffaello Cortina.
Dehaene, S. (2010). Il pallino della matematica, Milano, Raffaello Cortina.
Gallese, V. e Lakoff, G. (2005). The Brain’s Concepts: the Role of the Sensory-Motor System in
Conceptual Knowledge. Cognitive Neuropsychology, 21.
Guidoni, P.; Iannece, D. e Tortora, R. (2005). Forming teacher as resonance mediator.
Proceedings of the 29th Conference of International Group for the Psychology of Mathematics
Education , (Vol. 3, pp. 73-80). Melbourne, Australia: PME.
Guidoni, P.; Mellone, M.; Minichini, C. e Serpico, M. (2011). Towards a “resonance”
comprehension of the polynomial representation of numbers. Proceedings of the International
Symposium Elementary Mathematics Teaching, pp. 142-149. Repubblica Ceca, Praga.
Iannece, D. e Tortora, R. (2007). La risonanza nei processi di apprendimento. Seminario di
Ricerca in Didattica della Matematica. http://www.seminariodidama.unito.it/mat07.php
Wynn, K. (1992). Addition and subtraction by human infants. Nature, 358, 749-750.