Politica Economica e Finanziaria Dispense di Teoria della Crescita

Politica Economica e Finanziaria
Dispense di
Teoria della Crescita
Vincenzo Lombardo
I concetti chiave
• Crescita economica di lungo periodo
• Rendimenti decrescenti versus crescenti
• Teoria neoclassica e modello di Solow
• Convergenza
• Fattori endogeni: Romer & Lucas
• Trappole della povertà
Politica economica– Teoria della Crescita
Teoria neoclassica della crescita
La funzione di produzione neoclassica
Y = F (K, L)
(1)
• Y è il reddito
• K e L sono i fattori di produzione: capitale e lavoro
• Caratteristiche fondamentali:
– Rendimenti di scala costanti: “ se raddoppio tutti
i fattori di produzione contemporaneamente (K e
L), anche la produzione finale (Y) raddoppia”
– Rendimenti marginali dei fattori di produzione (K
e L) decrescenti: “ogni unità aggiuntiva di un
fattore di produzione produce un aumento della
produzione finale meno che proporzionale”
Proprietà della funzione di produzione neoclassica
Politica economica– Teoria della Crescita
1
1. Essenzialità: è necessario almeno una quantià positiva di entrambi i fattori di produzione per produrre
un output positivo
(a) F (0, L) = F (K, 0) = 0
2. Produttività marginali dei fattori positive e decrescenti
(a) Fi(K, L) > 0, Fii(K, L) < 0, i = K, L
3. Funzione omogenea di grado 1: rendimenti di scala
costanti
(a) F (λK, λL) = λF (K, L)
4. Condizioni di Inada
(a) lim FK (K, L) = ∞, lim FL(K, L) = ∞
k→0
L→0
k→∞
L→∞
(b) lim FK (K, L) = 0, lim FL(K, L) = 0
✘ Esempio: Funzione di produzione Cobb-Douglas
✘ Y = AK αL1−α
Politica economica– Teoria della Crescita
2
Modello di Solow
• Funzione di produzione neoclassica (eq. 1); aggiungiamo esplicitamente la variabile tempo. Nota:
il progresso tecnico A è costante ed esogeno, non
varia nel tempo.
Yt = F (Kt, Lt) = AKtαLt1−α
(2)
• Struttura del mercato: i mercati sono perfettamenti
competitivi e le imprese massimizzano i loro profitti
scegliendo le quantià ottime di capitale e lavoro da
impiegare nella produzione liberamente. In particolare, le imprese sceglieranno la quantità ottimale di
entrambi fattori di produzione il prodotto marginale
di ogni fattore al rispettivo prezzo di mercato:
r = FK (K, L); w = FL(K, L)
– r: tasso di interesse del capitale
– w: salario
• Teorema di Eulero: l’output finale prodotto (Y )
Politica economica– Teoria della Crescita
3
viene diviso tra i fattori di produzione a seconda del
loro prezzo e della loro quantià.
Y = rK + wL
• Tasso di crescita della forza lavoro uguale a quello
della popolazione, ovvero la forza lavoro cresce ad un
tasso n secondo la seguente legge di accumulazione:
Lt+1 = (1 + n)Lt
(3)
• Risparmio è esogeno, cioè la propensione marginale
al risparmio s è esogena e costante:
St = sYt
(4)
• E’ valida la eguaglianza tra investimenti e risparmio:
It = St
(5)
• Il capitale si accumula secondo la legge di accumulazione (lo stock di capitale cresce grazie agli
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4
investimenti It e diminuisce a causa di una quota di
ammortamento δ):
Kt+1 = It + (1 − δ)Kt
(6)
Questa legge dice che lo stock di capitale tra due
periodi consecutivi è una funzione - positiva degli investimenti - e negativa del tasso di deprezzamento;
ossia,
∆Kt ≡ Kt+1 − Kt = It − δKt
Eguagliando la eq. 4 e 5:
It = sYt
e sostituendo nella eq. 6 si ottiene l’equazione di
accumulazione del capitale:
Kt+1 = sYt − δKt = sF (Kt, Lt) − δKt
= sAKtαLt1−α − δKt (7)
Politica economica– Teoria della Crescita
5
Lo stock di capitale dell’economia K cresce proporzionalmente agli investimenti dell’economia, che
sono a loro volta finanziati dal risparmio collettivo, sYt,
cioè sono una percentuale (s, la propensione marginale
al risparmio) del reddito totale prodotto dall’economia.
Variabili in termini pro-capite
Utilizzando la proprietà 3 della funzione di produzione neoclassica si ha che:
F
K L
,
L L
=
1
F (K, L) ⇒
L
Y
⇒ F (k, 1) =
L
Rinominiamo: F (k, 1) ≡ f (k), dove le variabili
minuscole rappresentano le variabili pro-capite (k =
K/L; y = Y /L)
Y = Lf (k)
(8)
o anche in termini intensivi (pro-capite):
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6
y = f (k)
(9)
Riscriviamo la funzione di produzione in eq. 2 in
termini pro-capite:
Yt
Kt
=A
Lt
Lt
α
= Aktα = f (kt) = yt
(10)
Le imprese massimizzano i loro profitti scegliendo
le quantità ottimali dei fattori da impiegare nella produzione eguagliano la produttività marginale di ogni
fattore al suo costo, ovvero:
0
0
r = f (k) = Aαk α−1; w = f (k) − kf (k) = A(1 −
α)k α
Possiamo riscrivere anche l’equazione di accumulazione del capitale (eq. 6) in termini pro-capite.
Sostituiamo nell’ eq. 6 la funzione di produzione (eq.
8 e 10):
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7
Kt+1 = sLtf (kt) + (1 − δ)Kt
(11)
Dividiamo per Lt+1 e sostituiamo la sua legge
dinamica (eq. 3):
Kt+1 sLtf (kt) + (1 − δ)Kt
=
Lt+1
Lt+1
kt+1 =
sLtf (kt) + (1 − δ)Kt
⇒
(1 + n) Lt
Otteniamo infine l’equazione fondamentale di
accumulazione di Solow
sf (kt) + (1 − δ)kt
kt+1 ≡ φ(kt) =
(1 + n)
(12)
Utilizzando la funzione di produzione CobbDouglas, quest’ultima diventa:
sAktα + (1 − δ)kt
kt+1 ≡ φ (kt) =
(1 + n)
Politica economica– Teoria della Crescita
8
La eq. 12 è un’equazione alle differenze prime che
determina la dinamica del capitale “di domani” (kt+1)
in funzione dell’investimento netto di oggi (φ(kt)).
Questa si può studiare partendo dalle caratteristiche
della funzione di produzione neoclassica (f (k)). In
particolare, le proprietà di φ(kt), collegate a quelle della
funzione di produzione neoclassica, sono le seguenti:
• φ(0) = 0, φ0 (kt) > 0, φ00 (kt) < 0;
• lim φ0 (k) = ∞: in un intorno di zero, la pendenza
k→0
della funzione è infinita; la produttività marginale
del capitale infinita in un intorno di zero implica
che l’equilibrio di stato stazionario triviale k∗ = 0 è
instabile, perchè una piccola variazione da questo
livello comporta un grande incremento del prodotto
pro-capite che conduce verso l’equilibrio interno.
• lim φ0 (k) =
k→∞
1−δ
1+n
< 1; per k che tende a infinito
la pendenza della funzione φ(k) tende a un valore
minore di uno; questo assicura che la funzione φ (k)
interseca la retta a 45° da sopra e finirà al di sotto
Politica economica– Teoria della Crescita
9
di essa. Questa condizione garantisce l’esistenza di
un equilibrio interno di stato stazionario stabile.
Definizione 1. [Equilibrio di stato stazionario] Si definisce equilibrio di stato stazionario quel sentiero di equilibrio tale che kt = k ∗ per ogni t. Ovvero
quel livello di capitale pro-capite k ∗ tale che
k ∗ = φ(k ∗)
Figure 1: Dinamica di equilibrio - stato stazionario
Politica economica– Teoria della Crescita
10
In termini di variazione del livello del capitale procapite (∆kt ≡ kt+1 − kt), dalla eq. 12 si ha che
sf (kt) − (n + δ)kt
∆kt =
(1 + n)
(13)
Graficamente possiamo disegnare separatamente
le due funzioni del capitale pro-capite (sf (kt) e
(n + δ) kt):
Figure 2: Modello di Solow: dinamica di equilibrio
Politica economica– Teoria della Crescita
11
Definizione 2. [Equilibrio di stato stazionario] Si definisce capitale pro-capite di equilibrio di stato
stazionario quel livello k ∗ che assicura una crescita
nulla del capitale pro-capite. Ovvero quel k ∗:
sf (k ∗) = (n + δ) k ∗
(14)
Nell’esempio della Cobb-Douglas tale livello si può
calcolare partendo dall’eq. 13, ponendo il termine di
sinistra pari a zero; lo stock di capitale pro-capite di
stato stazionario quindi è dato da:
0 = sAktα−1 − (n + δ) ⇒
k∗ =
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sA
n+δ
1/1−α
(15)
12
Statica comparata
Come varia lo stato stazionario in funzione di variazione dei parametri esogeni (s, n, δ):
Figure 3: Statica comparata: tasso di risparmio
Risparmio:
Politica economica– Teoria della Crescita
∂k∗
∂s
>0
13
Figure 4:
Statica
deprezzamento
comparata:
Popolazione, Deprezzamento:
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∂k∗
∂n
popolazione-
< 0,
∂k∗
∂δ
<0
14
Dinamica di transizione e ipotesi di
convergenza
Dalla condizione (14) si ricava che in equilibrio di
stato stazionario il tasso di crescita del capitale procapite è nullo; dividendo l’eq. (13) per kt si ottiene
l’espressione del tasso di crescita del capitale pro-capite
come:
∆kt
sf (kt)
(n + δ)
≡ gk =
−
kt
(1 + n)kt (1 + n)
(16)
Definizione 3. [Equilibrio di stato stazionario] Versione Generale.
Si definisce stato
stazionario quell’equilibrio in cui tutte le variabili
crescono allo stesso (possibilmente zero) tasso di
crescita.
Politica economica– Teoria della Crescita
15
Figure 5: Dinamica di transizione e convergenza
Dinamica di transizione: le economie convergono
verso l’equilibrio di stato stazionario su un sentiero di
crescita bilanciato. Per livelli di capitale pro-capite
molto bassi i tassi di crescita pro-capite sono positivi (fig. 5). Questa implicazione deriva dall’ipotesi
di rendimenti decrescenti marginali, che inducono per
livelli di capitale pro-capite bassi tassi di produzione
molto alti, tanto alti tali che la funzione di accumulazione é maggiore della retta a 450 (fig. 1); o anche
Politica economica– Teoria della Crescita
16
che i risparmi generati per tale livello di produttivitá
sono grandi abbastanza da riuscire a compensare la
perdita dovuta alla crescita della popolazione ed al
deprezzamento del capitale, cosicché i risparmi netti
sono positivi (fig. 2). Conversamente, per livelli di
capitale pro-capite molto alti (maggiori del livello di
capitale di stato stazionario), la produttivitá é molto
bassa cosicché in ogni periodo si perde una parte del
capitale iniziale (fig. 1 e 2) ed i tassi di crescita sono
negativi (fig. 5)
Tassi di crescita aggregati e sentiero bilanciato:
nonostante in equilibrio di stato stazionario le variabili
pro-capite crescono ad un tasso di crescita nullo, le
variabili aggregate mostrano tutte lo stesso tasso di
crescita positivo. L’idea di sentiero di crescita bilanciato risiede nell’equilibrio con cui cresce l’economia; se
tutte le variabili (reddito, capitale e consumo) crescono
allo stesso tasso allora si dice che l’economia si trova
su un sentiero di crescita bilanciato.
Definizione 4. [Sentiero di crescita bilanciato] Un’economia cresce seguendo un sentiero di equiPolitica economica– Teoria della Crescita
17
librio bilanciato se tutte le variabili crescono allo stesso
tasso di crescita.
Per calcolare i tassi di crescita aggregati si può
partire dalle definizioni di variabili pro-capite; dalla
eq. 8 possiamo scrivere il tasso di crescita del reddito
pro-capite come
Yt+1
f (kt+1)
Lt+1f (kt+1)
gY =
−1 = (1+n)
−1 ⇒
−1 =
Yt
Ltf (kt)
f (kt)
in stato stazionario quando kt+1 = kt = k ∗
f (k ∗)
gY = (1 + n)
−1=n
∗
f (k )
(17)
Allo stesso modo il capitale aggregato, in equilibrio
di stato stazionario, cresce esattamente al tasso di
crescita della popolazione
gK
Lt+1kt+1
=
−1=n
Ltkt
Politica economica– Teoria della Crescita
(18)
18
Ipotesi di convergenza
Il modello neoclassico fornisce una precisa ipotesi
sulla crescita e lo sviluppo delle economie. Si consideri
il grafico (fig. 5) dell’equazione 14 di seguito:
Teoria della convergenza assoluta: questa teoria
predice che le economie più povere - quelle con un
k0 iniziale più basso - dovrebbero crescere a tassi
più alti, cosicchè nel lungo periodo tutte le economie
convergerebbero verso un unico equilibrio in cui i tassi
di crescita pro-capite sono nulli.
Da dove deriva questo risultato: dalla fondamentale
ipotesi di partenza
• Rendimenti marginali decrescenti del capitale:
questa ipotesi implica che ogni aggiunta marginale
di capitale nella produzione produce un aumento di
produzione meno che proporzionale. Questo fatto
implica che il tasso di crescita dello stock di capitale
pro-capite diminuisce all’aumentare dello stock di
capitale pro-capite (si veda il grafico) e quindi la
Politica economica– Teoria della Crescita
19
stessa dinamica rappresenta anche la dinamica del
reddito pro-capite.
Teoria della convergenza condizionata: non è vero
che tutte le economie nel lungo periodo convergono
verso un unico e generale tasso di crescita di stato
stazionario, k ∗, ma ogni economia avrebbe un “proprio” tasso di crescita di equilibrio di stato stazionario
verso cui converge; ogni economia in base a propri
specifici parametri (s, n, A) avrebbe un proprio specifico tasso di crescita di equilibrio verso cui converge (si
veda grafico sotto - figura 2).
Figure 6: Convergenza condizionata
Politica economica– Teoria della Crescita
20
Evoluzione del consumo e regola aurea
Una volta determinato il livello di capitale procapite di equilibrio di stato stazionario, sará determinato anche il consumo pro-capite di equilibrio di stato
stazionario. Graficamente, la figura (7) descrive la
relazione tra investimenti, risparmio e consumo nel
modello neoclassico
Figure 7: Consumo, risparmio e investimento nel modello di Solow
Politica economica– Teoria della Crescita
21
• Dato un livello di output pro-capite (y = f (k)),
una parte di esso viene risparmiato (sf (k)) e rivolto
agli investimenti e la parte restante sará devoluta al
consumo (c = f (k) − sf (k)). Il consumo é dato
dalla distanza verticale tra la funzione di produzione
f (k) e la funzione del risparmio sf (k).
Consumo, Risparmio e Regola Aurea: la relazione
che lega il livello di consumo pro-capite di stato
stazionario ed il tasso di risparmio non é monotona,
ma presenta un andamento a U rovesciata.
Figure 8: Regola Aurea
Il consumo pro-capite di stato stazionario é una
funzione crescente del tasso di risparmio fino ad un
Politica economica– Teoria della Crescita
22
certo tasso di risparmio (sgold), in cui raggiunge il suo
massimo (c∗gold); da questo punto in poi la relazione
diventa negativa, ovvero all’aumentare del tasso di
risparmio il consumo pro-capite di stato stazionario
diminuisce all’aumentare del tasso di risparmio (fig.
8). Il tasso di risparmio (sgold) ed il consumo procapite (cgold) sono definiti di regola aurea.
Il consumo pro-capite di stato stazionario puó essere
definito analiticamente come
c∗ = (1 − s)f (k ∗)
(19)
Dalla condizione di equilibrio di stato stazionario
sappiamo che vale la condizione(eq. 14)
sf (k ∗) = (n + δ) k ∗
Mettendo insieme le due equazioni si ottiene una
relazione tra il consumo pro-capite di stato stazionario
ed il tasso di risparmio:
Politica economica– Teoria della Crescita
23
c∗(s) = f [k ∗(s)] − (n + δ) k ∗(s)
(20)
Nota: c∗(s) e k ∗(s) sono i livelli di consumo e
capitale pro-capite di stato stazionario in funzione del
tasso di risparmio.
Dall’equazione (20) e ricordando le caratteristiche
della funzione di produzione neoclassica si vede che
il consumo prima cresce all’aumentare del tasso di
risparmio e poi - superato il punto di massimo - la
relazione si inverte, con il consumo che diminuisce
all’aumentare del tasso di risparmio.
Per trovare il livello di consumo pro-capite di stato
stazionario massimo, c∗gold, si puó differenziare l’eq.
(20) in funzione di s e porla uguale a zero;
f
0
∗
kgold
=n+δ
∂c∗ (s)
∂s
=0⇒
(21)
L’eq. (21) ci dice qual’é il livello di capitale procapite di stato stazionario che assicura anche il massimo livello di consumo pro-capite. Tale condizione é
Politica economica– Teoria della Crescita
24
chiamata regola aurea dell’accumulazione di capitale. In un’economia bilanciata la regola aurea ci dice
che se vogliamo che ogni generazione abbia lo stesso
livello di consumo, cioé che non ci siano generazioni
che consumano meno di altre, allora il livello che assicura il massimo consumo pro-capite di equilibrio nel
lungo periodo é esattamente pari cgold .
Inefficienza dinamica: per capire l’origine e il funzionamento della regola aurea, si puó fare riferimento
alla figura (9). Ci sono tre possibili tassi di risparmio,
s1, s2, ed sgold, con s2 < sgold < s1. Per ognuno di
questi tassi di risparmio si trova un capitale di stato
∗
. Il consumo pro-capite di
stazionario k1∗, k2∗, ed kgold
∗
, perché in questo
stato stazionario é massimo in kgold
punto la tangente alla funzione di produzione é parallela alla retta (n + δ)kt.
Per verificare se uno di questi tassi di risparmio é
migliore degli altri, si consideri il caso in cui il tasso di
risparmio iniziale sia pari a s1 > sgold; per questo tasso
∗
e c∗1 < c∗gold
di risparmio si avrá anche che k1∗ > kgold
(da eq. (19)). La domanda é: é possibile aumentare
il consumo di stato stazionario da c∗1 a c∗gold? E a che
prezzo?
Politica economica– Teoria della Crescita
25
Figure 9: Regola Aurea e inefficienza dinamica
Immaginiamo di ridurre permanentemente il tasso
di risparmio da s1 a sgold. Partendo dal livello di k1∗,
il consumo inizialmente aumenta moltissimo (in k1∗ fa
un salto, dato dalla distanza verticale tra la funzione
di produzione f (k) e la funzione sgoldf (k). Successivamente il consumo diminuisce fino a raggiungere il
∗
. Si
livello di stato stazionario in cgold, con k ∗ = kgold
deve notare che durante la transizione da uno stato
Politica economica– Teoria della Crescita
26
stazionario all’altro, il consumo sará sempre maggiore
del consumo di partenza c∗1 . Quindi anche se durante
la transizione il consumo pro-capite diminuisce, il suo
livello sará sempre maggiore del livello di partenza ed
in piú lo sará anche in equilibrio di stato stazionario,
dove c∗gold > c∗1 . Per questo motivo, tutti i livelli
di capitale pro-capite di stato stazionario maggiori di
∗
sono inefficienti e tutta la parte a destra di
kgold
tale punto si chiama di inefficienza dinamica. In
questo caso si dice che le economie stanno accumulando eccessivamente (sovraccumulando) capitale;
eccessiva accumulazione é dovuta ad un eccesso di
risparmio (sovra-risparmio) che implica la rinuncia ad
una parte di consumo.
∗
invece é definita di effiLa parte a sinistra di kgold
cienza dinamica. Infatti, in questo caso non si puó
aumentare il consumo futuro senza diminuire il consumo corrente. Per vederlo, si consideri il caso in cui il
tasso di risparmio di partenza sia s2. Se immaginiamo
di aumentarlo a sgold, si avrá una transizione verso
∗
. In questo caso per
il nuovo stato stazionario kgold
aumentare il consumo pro-capite di stato stazionario si
deve aumentare (e non diminuire) il tasso di risparmio;
Politica economica– Teoria della Crescita
27
questo fatto implica che per avere un livello di consumo
∗
) bisogna rinunciare
maggiore in futuro (c∗gold in kgold
ad una parte di consumo corrente. Per questo motivo
tale zona si chiama di efficienza dinamica; ora,
infatti, non si puó giudicare la desiderabilitá di uno
stato stazionario rispetto ad un altro. Mentre nel
primo caso, si aveva che una riduzione del tasso di
risparmio induceva sempre (nel presente e nel futuro)
un aumento del consumo ed era quindi desiderabile il
passaggio da uno stato stazionario (k1∗) ad un altro
∗
), nel secondo caso tale discriminazione non si
(kgold
puó piú fare.
Politica economica– Teoria della Crescita
28
Progresso tecnologico
Per superare una delle imperfezioni del modello di
Solow di base, ovvero quella dell’implicazione di tassi di
crescita pro-capite nulli in equilibri di stato stazionario,
modifichiamo in maniera semplice la funzione di produzione neoclassica introducendo il progresso tecnologico. In questa prima fase continuiamo a supporre
che il modello sia di crescita esogena, ed anche il
progresso tecnologico viene considerato esogeno.
Ipotizziamo che il progresso tecnologico entri nella
produzione in una forma particolare, ovvero labouraugmenting ; questo significa che il progresso tecnologico va ad incrementare l’efficienza dei lavoratori
soltanto. La funzione di produzione può essere quindi
riscritta come
Yt = F (Kt, LtAt)
(22)
Esprimiamo tutte le variabili non più in termini proK
capite, ma in termini di unità di efficienza: k̂ ≡ AL
;
y
.
ŷ ≡ AL
Politica economica– Teoria della Crescita
29
Dividendo la funzione di produzione per AtLt, si
ha:
F
ha
Kt
1
Yt
,1 =
F (Kt, LtAt) =
AtLt
AtLt
AtLt
(23)
Rinominando F AKtLt t , 1 ≡ f (k̂t). Dalla (23) si
Yt = AtLtf (k̂t)
(24)
o anche in termini di unità di efficienza
ŷt = f (k̂t)
(25)
Nel caso della funzione di produzione CobbDouglas:
Politica economica– Teoria della Crescita
30
Yt = Ktα (LtAt)
1−α
⇒
Yt
=
AtLt
Kt
AtLt
α
= k̂tα ⇒
Yt = LtAtk̂tα
(26)
yˆt = k̂tα
(27)
o anche
Il resto del modello resta identico al modello di
base; l’unica cosa da aggiungere è una legge che
descriva la dinamica del progresso tecnologico. Come
detto, supponiamo che questo evolva esogenamente ad
un tasso di crescita λ:
At=1 = (1 + λ)At
Dalla (11) si ha:
Politica economica– Teoria della Crescita
31
Kt+1 = sAtLtk̂tα + (1 − δ)Kt
(28)
Dividendo per At+1Lt+1 si ha:
sk̂tα + (1 − δ)kˆt
k̂t+1 ≡ φ(k̂t) =
(1 + n)(1 + λ)
(29)
La dinamica delle variabili espresse in unità di efficienza replica quella vista nel modello di base, implicando che in equilibrio di stato stazionario il tasso di
crescita delle varibili per unità di efficienza sia nullo.
Infatti dalla (29) si ha in tassi di variazione
sk̂tα − (n + δ + λ(1 + n))kˆt
∆k̂t =
(1 + n)(1 + λ)
(30)
In equilibrio di stato stazionario k̂ ∗ è tale che:
∆k̂ ∗ = 0, ovvero:
sk̂ ∗α = (n + δ + λ(1 + n))k̂ ∗ ⇒
Politica economica– Teoria della Crescita
32
k̂ ∗ =
s
(n + δ + λ(1 + n))
1/1−α
(31)
Il tasso di crescita del capitale per unità di efficienza
viene espresso dalla (30) come
∆k̂t
k̂t
(n + δ + λ(1 + n))
sk̂tα−1
−
≡ gk̂ =
(1 + n)(1 + λ)
(1 + n)(1 + λ)
(32)
Anche la dinamica di transizione (convergenza)
delle variabili per unità di efficienza è la stessa delle
varibili pro-capite nel modello di base.
Tassi di crescita pro-capite e aggregati: la differenza rispetto al modello base é che ora la crescita
del progresso tecnologico permette di osservare tassi
di crescita pro-capite positivi in equilibrio di stato
stazionario; in particolare il tasso di crescita delle
variabili pro-capite sará pari al tasso di crescita del
progresso tecnologico, mentre quello delle variabili aggregate sará pari alla somma dei tassi di crescita della
Politica economica– Teoria della Crescita
33
popolazione e del progresso tecnologico (più un termini
di secondo ordine, piccolo abbastanza).
Come nel modello base, si usino le definizioni di
variabili espresse in unitá di efficienza.
• Il tasso di crescita del capitale pro-capite é:
gk =
At+1k̂t+1
Atk̂t
− 1 = (1 + λ)
k̂t+1
k̂t
−1
in equilibrio di stato stazionario (k̂t+1 = k̂t = k̂ ∗)
gk = λ
(33)
• Ugualmente, il tasso di crescita del reddito procapite é:
gy =
f (k̂t+1)
At+1ŷt+1
−1 = (1+λ)
−1 = λ (34)
Atŷt
f (k̂t)
Politica economica– Teoria della Crescita
34
Per i tassi di crescita aggregati il procedimento é lo
stesso;
• Il tasso di crescita aggregato del capitale é:
gK =
At+1Lt+1k̂t+1
AtLtk̂t
−1 = (1+λ)(1+n)
k̂t+1
k̂t
−1 ⇒
gK = λ + n + λn
– Nota: il fattore λn é molto piccolo (di secondo
ordine) e puó essere non considerato; quindi si
puó dire che il capitale aggregato cresce ad un
tasso pari alla somma del tasso di crescita della
popolazione e del progresso tecnologico.
gK = λ + n
(35)
• Il tasso di crescita aggregato del reddito é:
Politica economica– Teoria della Crescita
35
gY =
At+1Lt+1ŷt+1
f (k̂t+1)
−1 ⇒
−1 = (1+λ)(1+n)
AtLtŷt
f (k̂t)
gY = λ + n + λn
gY = λ + n
Politica economica– Teoria della Crescita
(36)
36
Teoria della crescita endogena
Risultati del modello di Solow senza progresso tecnologico:
• Un’economia può crescere nel lungo periodo solo
accumulando capitale fisico? NO
• Tutte le economie convergono verso un unico equilibrio di stato stazionario in cui i tassi di crescita
delle variabili pro-capite sono nulli.
Perplessità del precedente modello:
• In equilibrio di stato stazionario i tassi di crescita
pro-capite sono nulli;
• La teorie della convergenza assoluta non é verificata
nei dati: considerando tutti i paesi del mondo, non
si osserva sistematicamente che quelli con basso
livello di reddito/capitale pro-capite crescono a tassi
maggiori.
Politica economica– Teoria della Crescita
37
• La teoria della convergenza condizionata é maggiormente plausibile empiricamente, ma il principale
difetto del modello teorico é che non ci aiuta a capire
dove possano nascere le differenze nei parametri che sono tutti esogeni - che giustificherebbero i
diversi possibili equilibri di stato stazionario.
• La sola determinante della crescita di lungo periodo è il progresso tecnico, ma in quell’approccio è
una variabile esogena al modello stesso; cioè, nulla
spiega la reale capacità di un sistema di crescere.
Soluzione a queste perplessità: teoria della crescita
endogena
• Si introducono fattori endogeni che riescono a
controbilanciare i rendimenti decrescenti del capitale
del modello di Solow
– Esternalità (Modello di Romer)
– Capitale umano (Modello di Lucas)
Politica economica– Teoria della Crescita
38
Classe di Modelli AK
Prima di analizzare il modello di Romer, possiamo
introdurre una classe di modelli denominata AK, che
permette di avere tassi di crescita positivi delle variabili pro-capite. A tal fine si modificano alcune delle
proprietà della funzione di produzione neoclassica; in
particolare, ipotizziamo che non siano verificate le condizioni di Inada e che la produttività marginale del
capitale non sia più decrescente. Tali caratteristiche
possono essere inglobate in una funzione di produzione
del tipo:
Yt = F (Kt, Lt) = AKt = Ltf (kt) = ALtkt
(37)
e in termini pro-capite può essere riscritta come
yt = f (kt) = Akt
(38)
Notare che:
Politica economica– Teoria della Crescita
39
0
• La produttivitá marginale é costante: f (k) = A, e
che
• Le condizioni di Inada non sono verificate:
0
0
lim f (k) = A 6= ∞; lim f (k) = A 6= 0.
k→0
k→∞
Graficamente, questa funzione di produzione é rappresentata da una retta la cui inclinazione é data dal
parametro tecnologico A:
Utilizzando l’equazione di accumulazione di Solow
in eq. 12 si ottiene:
kt+1 ≡ φ (kt) =
sAkt + (1 − δ)kt
(1 + n)
(39)
che espresso in tassi di variazione é:
Politica economica– Teoria della Crescita
40
sAkt − (n + δ)kt
∆kt =
(1 + n)
(40)
Figure 10: Accumulazione nel modello AK
Dalle equazioni dinamiche (39) e (40) e dalla figura
(10) si nota che ora non esiste piú un unico equilibrio
di stato stazionario, perché non esiste piú un livello di
capitale di equilibrio di lungo periodo. Dalla (40), si
possono invece notare le seguenti carattersitiche:
• Equilibrio instabile o “Knife-edge”:
(n + δ) kt, ovvero se
Politica economica– Teoria della Crescita
se sAkt =
41
A=
n+δ
s
(41)
– L’economia si troverá in equilibrio; l’equilibrio é
differente da quello visto fin’ora.
– Non esiste infatti un capitale pro-capite di equilibrio, ma tutti i livelli di equilibrio di capitale di
stato stazionario sono possibili equilibri.
– Tale equilibrio é instabile: se vi é una deviazione
da tale condizione l’economia non converge piú
verso un equilibrio ma divergerá verso le due
seguenti possibilitá. Per tale motivo tale condizione viene anche chiamata di “knife-edge” (’a
lama di rasoio’ - Harrod)
• Crescita esplosiva: se sAkt > (n + δ) kt, ovvero se
n+δ
A>
s
(42)
– L’economia entra in un sentiero di crescita esplosivo (fig. (10), tratto blu), su cui il capitale ed il
reddito pro-capite crescono all’infinito.
Politica economica– Teoria della Crescita
42
• Depressione: se sAkt < (n + δ) kt, ovvero se
n+δ
A<
s
(43)
– L’economia entra in un sentiero di decrescita continua (fig. (10), tratto rosso), su cui il capitale ed
il reddito pro-capite diminuiscono continuamente
fino a zero, punto in cui l’economia scompare.
Tassi di crescita e convergenza: il tasso di crescita
é calcolabile dalla (40) come
gk =
sf (kt) − (n + δ)kt
sA
(n + δ)
=
−
(44)
(1 + n) kt
(1 + n) (1 + n)
Nel caso di crescita positiva (A > (n+δ)/s) si ha
che il tasso di crescita sará positivo e costante. Graficamente:
Politica economica– Teoria della Crescita
43
Figure 11: AK: crescita
• Convergenza: il grande difetto dei modelli AK é
che non prevedono alcun tipo di convergenza né
assoluta né condizionata.
– Nei dati invece almeno la convergenza condizionata sembra essere osservata.
– Visto che il tasso di crescita é costante si puó
immaginare che se due paesi identici, con le stesse
caratteristiche (s, A, n, δ) e quindi uguali tassi
di crescita del capitale pro-capite, partono per
qualche eventualitá da due livelli di capitale procapite differenti, tali paesi non si raggingeranno
mai economicamente; tale controindicazione non
é verificata empiricamente.
Politica economica– Teoria della Crescita
44
Modello di Romer: le esternalità
In questo modello il progresso tecnologico che fino
ad ora era assunto come esogenamente dato, viene
endogenizzato facendo uso del concetto di esternalità.
Idea: Gli investimenti accumulati fino ad un certo
momento t contengono conoscenze tecniche che generano esternalità a tutte le imprese dell’economia; queste
conoscenze tecniche hanno cioè la forma di bene pubblico - ovvero tutti se ne possono appropriare.
• La presenza di esternalità determina economie di
scala che producono tassi di crescita pro-capite
costanti anche se l’ipotesi dei rendimenti decrescenti
dei singoli fattori continua ad essere mantenuta valida.
Caratteristiche del modello e della funzione di produzione:
• Esiste un numero N di i imprese identiche
Politica economica– Teoria della Crescita
45
• Ogni fattore di produzione Ki e Li ha rendimenti
decrescenti
La funzione di produzione neoclassica con progresso
tecnologico nella forma labour-augmenting:
α
Yi,t = F (Ki,t, Ai,tLi,t) = Ki,t
(LitAi,t)1−α
(45)
• La tecnologia Ai,t = Kt; ovvero si assume che la
tecnologia a disposizione di ogni singola impresa sia
data da questo fattore comune - bene pubblico - che
rappresenta le conoscenze accumulate nell’economia
fino al tempo t.
• Differenza tra Kit e Kt: il primo rappresenta lo
stock di capitale fisico privato accumulato da ogni
singola impresa; il secondo, invece, rappresenta un
capitale disponibile a tutta la società - tutte le
imprese - e deriva dall’accumulazione di conoscenze
tecniche all’interno della società, ovvero rappresenta
l’esternalitá positiva di cui gode l’economia.
Politica economica– Teoria della Crescita
46
α
Yi,t = F (Ki,t, KtLi,t) = Ki,t
(KtLi,t)1−α
(46)
In termini pro-capite:
Yi,t
1
α
=
F (ki,t, Kt) = ki,t
(Kt)1−α = f (ki,t, Kt) = yi,t
Li,t Li,t
(47)
Quindi si ha anche che:
α
Yi,t = Li,tf (ki,t, Kt) = Li,tki,t
(Kt)1−α
(48)
Aggregando la funzione di produzione in equazione
(47) su tutte le imprese - cioè considerando la produzione complessiva di tutte le imprese possiamo riscrivere la (47):
yt = ktαKt1−α
Politica economica– Teoria della Crescita
47
Notando che K = kL e sostituendo si ha ancora
che:
yt = ktLt1−α
(49)
Questa funzione di produzione ha alcune delle caratteristiche viste nei modelli AK; inoltre
• La potenza di k ora non è più α, ma 1; questi rappresentano rendimenti non più decrescenti del capitale
che implicano che la funzione di produzione aggregata avrà rendimenti di scala (economie di scala)
costanti. Questa è la caratteristica fondamentale
che permette di avere non più tassi di crescita procapite nulli in equilibrio di stato stazionario, ma al
contrario di avere equilibri di stato stato stazionario
in cui i tassi di crescita del reddito pro-capite sono
positivi.
Facendo gli stessi passaggi del modello di Solow, possiamo scrivere l’equazione fondamentale di accumulazione del capitale pro-capite come:
Politica economica– Teoria della Crescita
48
sf (kt) + (1 − δ)kt
kt+1 ≡ φ(kt) =
(1 + n)
(50)
sktLt1−α + (1 − δ)kt
kt+1 ≡ φ(kt) =
(1 + n)
(51)
da cui
Tale equazione dinamica ha le stesse caratteristiche
di quella vista nei modelli AK. Quindi i tassi di crescita
saranno positivi e costanti. Oltre questa caratteristica,
troviamo in questo modello una peculiaritá. La presenza del fattore Lt1−α ci indica che maggiore é il livello
della popolazione, piú grandi sono i tassi di crescita.
Per vederlo scriviamo l’equazione dei tassi di crescita:
kt+1
sALα
(n + δ)
t
gk =
−1=
−
kt
(1 + n) (1 + n)
(52)
Il tasso di crescita pro-capite in questo caso risente
di effetti di scala (il termine Lα
t ): cioè paesi con
popolazioni maggiori tendono a crescere più velocemente.
Politica economica– Teoria della Crescita
49
✘ Discussione:
È un modello endogeno perchè l’incentivo individuale
di ogni impresa di accumulare capitale privato produce
un‘esternalità verso tutta l’economia. La differenza tra
la produttività marginale del capitale privato e quello
pubblico è cruciale per la comprensione dell’evoluzione
dinamica del modello. Ogni impresa ha l’obiettivo di
massimizzare i proprio profitti; a tal fine accumula capitale privato (Ki,t), ma non prende in considerazione la
possibilità di produzione di esternalità. Accumulando
capitale privato, ogni impresa contribuisce ad accumulare capitale pubblico che incrementa la tecnologia a
disposizione di tutte le imprese. Tale elemento permette di controbilanciare i rendimenti decrescenti dei
fattori di produzione e di ottenere tassi di crescita
positivi.
• Il principale punto di forza del modello di Romer
é di aver individuato un processo endogeno, che
induce il superamento di tassi di crescita pro-capite
nulli in stato stazionario. Tale meccanismo risiede
nella produzione di esternalitá positive, dovute
Politica economica– Teoria della Crescita
50
all’interazione e alla diffusione della conoscenza
tra gli imprenditori. Tali effetti hanno il nome
di spillover, per indicare esattamente il processo attraverso cui la conoscenza fluisce da un imprenditore
ad altri e via via a tutta la societá.
• I punti di debolezza sono principalmente di due
categorie:
– Difetti AK: il modello di Romer presenta le stesse
problematiche viste nei modelli AK in termini
assenza di convergenza.
– Effetti di scala: l’ulteriore difficoltá del modello
é la presenza di effetti di scala, che sono empiricamente non presenti. Esempio: il Lussemburgo
ha avuto per molto tempo e tuttora ha tassi di
crescita molto maggiori del Ghana. Nota: gli effetti di scala fanno riferimento al livello assoluto
della popolazione (il numero) e non al tasso di
crescita della stessa.
Politica economica– Teoria della Crescita
51
Modello di Lucas: il capitale umano
1. Non solo il capitale fisico, ma tutti i tipi di capitale
sono accumulabili: si distinguono allora il capitale
fisico dal capitale umano. Ciò che conta nella
produzione non è solo il numero di lavoratori (L
di prima), ma il capitale umano incorporato in essi
(quanto sono bravi!)
2. Esistono due settori produttivi ed economici: non
piú solo il settore di accumulazione del capitale
fisico, ma anche quello di accumulazione del capitale
umano.
(a) Il tasso di crescita del reddito pro-capite risulta
allora determinato dall’interazione dei due settori
produttivi. Il tasso di crescita del reddito procapite di stato stazionario sará una media della
crescita del capitale fisico e umano pro-capite.
(b) Versione generale: la conseguenza é che nonostante la presenza di rendimenti decrescenti del
capitale fisico (tasso di crescita del capitale procapite nullo in stato stazionario), il reddito procapite in equilibrio di stato stazionario ha un tasso
Politica economica– Teoria della Crescita
52
di crescita positivo, determinato dalla crescita del
capitale umano.
(c) Sentiero bilanciato: in un’economia su un sentiero bilanciato peró tutte le grandezze economiche crescono allo stesso tasso. In questo
caso e a differenza del punto (b), anche
l’accumulazione del capitale fisico trarrá giovamento dall’accumulazione del capitale umano.
L’accumulazione del capitale umano, infatti, assume la funzione di controbilanciare i rendimenti
decrescenti del capitale fisico, cosı́ come visto
nel modello di Solow con progresso tecnologico
esogeno. Il risultato finale é che in equilibrio
di stato stazionario tutte le grandezze pro-capite
(capitale, fisico ed umano, e reddito) cresceranno
allo stesso tasso di crescita positivo.
3. Si puó integrare il modello base inserendo il concetto di esternalitá visto nel modello di Romer. Lo
stock di capitale umano che ogni singolo lavoratore
accumula va ad aumentare lo stock di conoscenze
medie, costituendo un’esternalità positiva per tutta
l’economia.
Politica economica– Teoria della Crescita
53
Parte prima: modello base a due settori e crescita
(punto 1, 2-a-b).
La funzione di produzione tiene in considerazione
la presenza di due fattori e due settori di produzione,
quello del capitale fisico e del capitale umano. La
funzione di produzione aggregata conserva le proprietá neoclassiche (nel punto 3 si abbondanerá questa
ipotesi) e prende la seguente forma:
1−α
Yt = AKtαHp,t
(53)
Caratteristiche:
• Hp: é il capitale umano impiegato nella produzione
Hp = Hu
– H: é il capitale umano aggregato dell’economia
H = hL
– h: qualità pro-capite del lavoro (quanto sono
bravi i lavoratori!)
Politica economica– Teoria della Crescita
54
– L: numero lavoratori
• u: porzione di tempo dedicato al lavoro
• 1 − u: porzione di tempo dedicato allo studio;
• Nota: é importante distinguere il capitale umano
impiegato direttamente nella produzione (Hp) dal
capitale umano generale dell’economia (H), a seconda del tempo che gli individui endogenamente
scelgono di studiare o lavorare. Quanto piú tempo si
dedica allo studio, tanto meno se ne puó impiegare
per lavorare, e viceversa; ma accumulare capitale
umano attraverso lo studio induce un aumento della
produttivitá. Quindi la scelta del tempo ottimo da
dedicare alla due attivitá deriva dalla valutazione
del trade-off tra i ricavi ed i costi derivanti dalle
due attivitá. Studiare di piú (dedicare piú tempo
allo studio) ha due effetti contrapposti sull’output
finale: da un lato aumenta la produttivitá e quindi
l’output finale per ogni unitá di lavoro impiegato,
ma dall’altro diminuisce l’output finale perché minore tempo é dedicato alla produzione. La scelta
ottima di u contempla entrambe le possibilitá.
Politica economica– Teoria della Crescita
55
• uhL: capitale umano dell’impresa
• 0<α<1
La funzione di produzione in eq.
riscritta come
Yt = AKtα (Htu)
1−α
(53) puó essere
= AKtα (htLtu)
1−α
(54)
in termini pro-capite puó essere espressa come
1−α
yt = f (kt, ht) = Aktα (htu)
(55)
• Il capitale umano medio (o pro-capite) impiegato
1−α
nella produzione pro-capite ((htu)
) ha la funzione di controbilanciare i rendimenti decrescenti
del capitale fisico.
Nuovo settore di produzione: capitale umano.
Politica economica– Teoria della Crescita
56
• Gli individui scelgono quanto tempo studiare e
quanto tempo lavorare: più studiano più accumulano capitale umano.
• Quanto più capitale umano viene accumulato tanto
più le imprese producono (i lavoratori diventano più
bravi!) e quindi tanto più l’economia cresce.
• Il capitale umano si accumula secondo una sua
specifica funzione di produzione:
ht+1 = Φht (1 − u)
(56)
– Questa funzione di produzione presenta rendimenti di scala costanti ed il capitale umano rendimenti marginali costanti.
– Implicazione: quanto più si studia (1 − u), e
quanto più si è bravi inizialmente (ht), tanto più
si accumula capitale umano.
∗ Non vi é la tendenza dei rendimenti decrescenti
del capitale fisico.
• La conseguenza é che il tasso di crescita del capitale
umano pro-capite gh sará positivo e costante:
Politica economica– Teoria della Crescita
57
gh ≡
∆ht ht+1 − ht
=
= Φ (1 − u) − 1
ht
ht
(57)
– Il tasso di crescita è costante e positivo fintantoché: Φ (1 − u) > 1
∗ Nota: la funzione di produzione (57) é una
rappresentazione di quella classe di funzioni
AK, viste in precedenza, e ne condivide le stesse
proprietá.
• La novità: h cresce costantemente nel tempo. In
questo senso ht svolge la funzione che aveva prima
At nel modello di Solow, ma con una grande differenza:
– Il progresso tecnico At nel modello di Solow era
esogeno;
– Invece, ora, il capitale umano si accumula endogenamente (crescita endogena), perchè gli individui
scelgono quanto tempo studiare e quanto invece
lavorare.
Dinamica e crescita: versione generale (punto 2-b)
Politica economica– Teoria della Crescita
58
Dall’equazione di accumulazione di Solow
kt+1 ≡ φ(kt) =
sf (kt, ht) + (1 − δ)kt
(1 + n)
si ha
1−α
sAktα (htu)
+ (1 − δ)kt
kt+1 ≡ φ(kt) =
(1 + n)
(58)
e
sAktα (htu)1−α − (n + δ)kt
∆kt =
(1 + n)
(59)
Da cui il tasso di crescita del capitale pro-capite
sAktα−1 (uht)
gk =
1+n
Politica economica– Teoria della Crescita
1−α
n+δ
−
1+n
(60)
59
• Se non consideriamo l’interazione tra i due settori,
il capitale pro-capite, dati i rendimenti decrescenti,
convergerá ad un stato stazionario in cui il suo tasso
di crescita é nullo.
• Nonostante questa caratteristica il reddito procapite in stato stazionario presenta un tasso di
crescita positivo, determinato dalla crescita del capitale umano.
Infatti, il tasso di crescita del reddito pro-capite é
determinato come segue
1−α
α
(ht+1u)
yt+1 − yt Akt+1
gy =
−1=
=
1−α
α
yt
Akt (htu)
α 1−α
kt+1
ht+1u
=
− 1 (61)
kt
htu
• Il tasso di crescita del reddito pro-capite é determinato dalla crescita nei due settori di produzione:
capitale fisico ed umano
Politica economica– Teoria della Crescita
60
– In questo modello il contributo all’output finale é
dato dai due settori di produzione; l’output finale
ed il suo tasso di crescita é determinato da una
media della produzione nei due settori.
– Questa media é determinata dalle potenze α ed
1−α che indicano la proporzione con cui vengono
impiegati i fattori (K e H) nella funzione di
produzione (eq. (54)): maggiore é l’uso (la
proporzione) di uno dei due fattori nella funzione
di produzione, maggiore sará il contributo di quel
settore di produzione all’output finale.
• Sostituendo nella eq. (61) i valori di equilibrio di
stato stazionario, kt+1 = kt = k ∗, e il valore di
ht+1
ht determinato dalla (56), si ha che il tasso di
crescita del reddito pro-capite in equilibrio di stato
stazionario é
gy =
∗
k
k∗
α ht+1u
htu
1−α
gy = (Φ (1 − u))
Politica economica– Teoria della Crescita
1−α
−1⇒
−1
(62)
61
• Il tasso di crescita del reddito pro-capite è determinato dal tasso di crescita del capitale umano (eq.
(57)); esso sará positivo e costante in equilibrio di
stato stazionario fintantoché il tasso di crescita del
capitale umano é positivo, ovvero se: Φ (1 − u) > 1.
• Implicazioni
– Questa é la versione generale di un modello a due
settori; l’economia non si trova su un sentiero di
crescita bilanciato, visto che le variabili crescono
a tassi di crescita differenti.
∗ gk = 0; gh = Φ (1 − u) − 1; gy =
1−α
(Φ (1 − u))
−1
– La dinamica di convergenza del reddito pro-capite
indica che le economie convergono verso un equilibrio di stato stazionario in cui il tasso di crescita
é positivo e costante. Questo rende il modello
differente dai modelli AK, in quanto questi ultimi
non presentano una dinamica di convergenza.
– Nonostante questa differenza dai modelli AK, il
tasso di crescita positivo e costante (come nei
modelli AK) in equilibrio di stato stazionario ci
da nuove implicazioni in termini di convergenza
Politica economica– Teoria della Crescita
62
condizionata e divergenza tra paesi.
– Dati i rendimenti di scala costanti nella produzione di h, si puó notare che se si considerano
due paesi o due regioni con due differenti h iniziali, un hl basso e uno alto hh, risulta che la
regione con il capitale umano più basso cresce
sempre di meno di quella ricca di capitale umano.
Questa proprietá é la conseguenza della relazione
o similaritá tra le caratteristiche della funzione
di produzione del capitale umano con quella dei
modelli AK (rendimeni marginali costanti del capitale).
– Altra spiegazione per le divergenze economiche
tra regioni/paesi
– Questo modello fornisce un ulteriore spiegazione
teorica per il processo di convergenza condizionata che risulta empiricamente verificata. A differenza dell’approccio visto nel modello di Solow
con progresso tecnologico esogeno, tale modello
raggiunge tale conclusione all’interno di un approccio endogeno.
Dinamica e crescita: sentiero bilanciato
Politica economica– Teoria della Crescita
63
Indipendentemente dal modello generale a due settori, il modello di Lucas presenta il caso di un’economia
su un sentiero di crescita bilanciato, implicando che in
stato stazionario le variabili hanno tutte lo stesso tasso
di crescita. A tal fine si deve considerare l’interazione
tra l’accumulazione del capitale fisico ed umano. Si
consideri lo stesso approccio utilizzato nel modello
di Solow con l’inserimento del progresso tecnologico.
Definiamo le variabili in termini di forza lavoro effettiva, come quelle ponderate per la quantitá di capitale
umano.
• Capitale pro-capite per unitá di forza lavoro effetK
tiva: k̃ ≡ hL
=K
H
• Reddito pro-capite per unitá di forza lavoro effettiva:
Y
Y
ỹ ≡ hL
=H
La funzione di produzione in eq. (54) si puó trasformare
in
Yt = AHtf (k̃t, u) = AHtk̃tαu1−α
Politica economica– Teoria della Crescita
(63)
64
ed in termini intensivi
ỹt =
Yt
= Af (k̃t, u) = Ak̃tαu1−α
Ht
(64)
L’equazione fondamentale di accumulazione in eq.
(58) diventa
sAk̃tαu1−α + (1 − δ)k̃t
k̃t+1 ≡ φ(k̃t) =
(1 + n) Φ (1 − u)
(65)
che in termini di variazione é
sAk̃tαu1−α − (δ + (1 + n) Φ (1 − u) − 1)k̃t
∆k̃t =
(1 + n) Φ (1 − u)
(66)
• Ora é il tasso di crescita del capitale pro-capite per
unitá di forza lavoro effettive a convergere verso un
Politica economica– Teoria della Crescita
65
equilibrio di stato stazionario, in cui il suo tasso di
crescita é pari a zero.
Il tasso di crescita si puó derivare dalla eq. (66) come
sAk̃tα−1 u1−α
δ + (1 + n) Φ (1 − u) − 1
gk̃ =
−
(1 + n) Φ (1 − u)
(1 + n) Φ (1 − u)
(67)
Dalla (67) si ricava che in equilibrio di stato
stazionario il tasso di crescita del capitale pro-capite per
unitá effettive di forza lavoro (k̃) é pari a zero. Il capitale pro-capite, peró, come nel modello con progresso
tecnologico, cresce ad un tasso positivo; infatti, si noti
K
che il capitale pro-capite é dato da k = hk̃ = h hL
.
Il tasso di crescita del capitale pro-capite puó infine
essere determinato come
gk =
ht+1k̃t+1
−1⇒
htk̃t
in stato stazionario, dove k̃t+1 = k̃t = k̃ ∗, si ha
Politica economica– Teoria della Crescita
66
ht+1
gk =
− 1 = Φ(1 − u) − 1
ht
(68)
• Il tasso di crescita del capitale fisico pro-capite é
uguale a quello del capitale umano (eq. (57)).
• Ugualmente, sostituendo il valore di
h
kt+1
kt
= (1 + gk )
(da eq. (68)) e di ht+1
= (1 + gh) (da eq. (57))
t
nell’equazione (61), si verifica che anche il reddito
pro-capite cresce ad un tasso positivo, costante ed
uguale a gk e gh:
α
1−α
gy = [Φ(1 − u)] [Φ(1 − u)]
−1⇒
gy = gk = gh = Φ(1 − u) − 1
(69)
Seconda parte: il ruolo dell’esternalità (punto 3)
Lucas introduce anche un’esternalità nella funzione
di produzione in (54): si suppone che i lavoratori
accumulando capitale umano forniscono un servizio non
Politica economica– Teoria della Crescita
67
solo a se stessi ed all’impresa per cui lavorano (sono
più bravi, producono di più e quindi guadagnano un
salario più alto) ma forniscono un contributo all’intera
società: come?
• L’accumulazione di capitale umano si diffonde - in
una certa misura - all’intera società facendo migliorare l’economia intera (vedi modello di Romer).
• Nuova funzione di produzione:
Yt = AKtα (uhtLt)
1−α
hβt
(70)
– Nuovo elemento: hβt rappresenta il capitale
umano medio posseduto dai lavoratori. Rappresenta un’esternalità che tenta di catturare
l’interazione tra persone e gruppi: la produttività di ogni lavoratore (la sua bravura) viene
accresciuta ancora di più (e non solo dal suo
studio personale) se si trova a lavorare vicino a
lavoratori bravi. Quanto più è alto il capitale
umano medio, tanto più lo sarà quello di ogni
singolo lavoratore.
Politica economica– Teoria della Crescita
68
• Altro elemento di divergenza tra regioni o paesi
ricchi e poveri: paesi più ricchi attirano più investimenti in capitale umano (punto 1) e visto che hanno
più capitale umano hanno un’esternalità ancora più
forte che fa crescere ancora di più il loro reddito
pro-capite (punto 2).
Politica economica– Teoria della Crescita
69
Trappole della povertà
Fatti empirici robusti
• Per lunghi periodi di tempo i tassi di crescita delle
variabili pro-capite non sono nulli, ma positivi.
• Empiricamente, un processo di convergenza condizionata è verificato nei dati.
• Si nota un processo di “convergenza condizionata
per club”: paesi e/o regioni con caratteristiche economiche, istituzionali, sociali tendono a convergere
un equilibrio di stato stazionario.
Quale teoria? Varie teorie possono spiegare alcuni
elementi empiricamente osservati
• Modello di Solow: Convergenza Condizionata
✔ Pros (Cosa ci piace): processo verificato nei dati
empirici.
Politica economica– Teoria della Crescita
70
✘ Cons (Cosa non ci piace): per spiegare teoricamente il processo di convergenza condizionata,
dobbiamo assumere che i paesi e/o regioni abbiano parametri strutturali (s, n, δ, A) differenti.
Ma tutti questi parametri nel modello di Solow
sono esogeni, e quindi nulla si riesce ad inferire
circa le attuali differenze tra paesi/aree/regioni.
• Progresso tecnologico esogeno
✔ Pros: tassi di crescita pro-capite positivi; si
supera uno dei limiti del modello di Solow.
✘ Cons: esogeneità non ci aiuta a spiegare nulla, e
quindi neanche le origine delle differenze regionali.
• Crescita endogena
1. Romer: esternalità
✔ Pros: progresso tecnologico endogeno
✘ Cons: a) Assenza di convergenza; b) Effetti di
scala
2. Lucas: capitale umano
Politica economica– Teoria della Crescita
71
✔ Pros: a) altro meccanismo endogeno; b) tassi
di crescita positivi in stato stazionario; c) processo di convergenza verso equilibrio di stato
stazionario, spiegato endogenamente.
Quello che ci piacerebbe: “Convergenza Condizionata
per club”
• Un modello che con gli stessi parametri - disponibili
in principio per tutti i paesi - generi contemporaneamente più equilibri
Equilibri Multipli: Trappole della Povertà
Idea
• La condizione di arretratezza economica di alcune
aree economiche rispetto ad altre è descritta come
una condizione di “stabile povertà”.
• Alcune regioni/paesi restano intrappolati in un circolo vizioso di povertà e qualunque tentativo si faccia per uscire da tale condizione risulta inutile. Tutti
Politica economica– Teoria della Crescita
72
gli sforzi che una regione intrappolata in povertà fa
per avanzare economicamente risultano inutili, in
quanto tale regioni con il tempo ritornano nella loro
condizione di arretratezza economica.
Un semplice meccanismo: carenza di fondi per appropriarsi di tecnologie “avanzate”/efficienti
Idee chiave
• Indivisibilità
• Non convessità della funzione di produzione
Ipotizziamo di avere a disposizione due tecnologie di
tipo neoclassico (rendimenti marginali decrescenti dei
fattori di produzione e rendimenti di scala costanti):
• Una tecnologia meno efficiente “O” (old)
YtO = AO KtαLt1−α
Politica economica– Teoria della Crescita
(71)
73
• Ed una tecnologia efficiente “M” (modern)
YtM = AM KtαLt1−α
(72)
con AM AO .
Per poter utilizzare la tecnologia AM è necessario
sostenere un costo fisso abbastanza alto (ad es. per
infrastrutture, sistema educativo, etc...);
• Supponiamo che tale costo sia dato da: ψ = bL
– b: costo fisso unitario
In questo modo si creano due gruppi distinti:
• I “ricchi” che possono sostenere tale costo, e possono cosı̀ utilizzare la tecnologia più efficiente.
• I “poveri” che invece per scarsità di risorse economiche non possono accedere e non trovano conveniente la tecnologia più efficiente, ma useranno la
tecnologia meno produttiva (AO ).
Politica economica– Teoria della Crescita
74
Riscriviamo le funzioni di produzione in termini procapite:
ytO = AO f (kt) = AO ktα
(73)
ytM = AM f (kt) = AM ktα
(74)
Per poter utilizzare la tecnologia AM bisogna
sostenere il costo fisso unitario b;
• La funzione di produzione presenta una non convessità;
• La non convessità deriva dall’indivisibilità del costo
fisso; che significa?
– Devo pagare prima tutta il costo fisso per poter
produrre (esempio: studio 3 anni e prendo la
laurea; se studio solo due anni non ottengo il
titolo, ma ho comunque pagato il costo)
– Fino a quando non riesco a pagare il costo fisso
con la produzione, l’output finale sarà negativo.
Politica economica– Teoria della Crescita
75
• La funzione di produzione pro-capite netta nel settore moderno deve tenere conto anche del costo
b:
ytM = AM ktα − b
(75)
Caratteristiche delle due funzioni di produzioni:
• ytM ha un’inclinazione maggiore di ytO : AM > AO .
• ytM è minore di zero fintantochè AM ktα < b: non
posso adottare la tecnologia perchè non è economicamente possibile; l’unico modo per poter pagare il
costo è riuscire ad ottenere un ammontare di ricavi
alti abbastanza, ma in questo tratto i costi sono
maggiori dei ricavi e quindi vi è un’impossibilità
economica.
• ytM < ytO fino ad un certo valore di kt ≡ k̂t:
non conviene adottare la tecnologia moderna perchè
quella tradizionale fornisce un output maggiore, una
volta considerato anche il costo fisso b che bisogna
sostenere per la tecnologia moderna.
Politica economica– Teoria della Crescita
76
Graficamente:
Figure 12: Poverty traps - funzioni di produzione
Dal grafico (12) si vede come dato l’iniziale costo
fisso, è profittevole utilizzare la tecnologia più efficiente
- AM - solo se si dispone di uno stock di capite procapite pari almeno a k̂t (cioè dal punto E in poi). Il
livello di k̂t è quindi fissato come quel livello soglia
tale che
Politica economica– Teoria della Crescita
77
ytM ≡ AM ktα − b = AO ktα ≡ ytO
• E’ quel livello per cui è indifferente usare l’una
o l’altra delle tecnologie (punto E). Facendo le
opportune sostituzioni il livello soglia del capitale
pro-capite è definito da
k̂t ≡
AM
b
− AO
1/α
(76)
• Per kt > k̂t, ytM > ytO : è conveniente utilizzare la
tecnologia moderna
• Per kt < k̂t, ytM < ytO : non è conveniente utilizzare
la tecnologia moderna
• Nota: si parla di convenienza tecnologica, perchè
non è solo un problema di possibilità economica
(posso permettermi di pagare il costo).
– Il livello di capitale pro-capite che mi permetterebbe di pagare il costo b è: kt ≡ k̃t =
Politica economica– Teoria della Crescita
78
b 1/α
.
AM
Ovvero quel livello tale per cui ytM = 0.
Tale livello è minore di quello necessario ad assicurare anche la convenienza tecnologica.
– Ma finchè non si raggiunge il valore di k̂t, non
si ha convenienza tecnologica; perchè bisogna
ottenere dei ricavi abbastanza grandi per poter
ripagare il costo fisso e guadagnare un profitto
positivo netto. Tale livello si raggiunge solo se il
livello di capitale pro-capite è abbastanza elevato.
• Come varia il livello soglia k̂t:
– Maggiore è il gap tecnologico (AM −AO ), minore
è la soglia k̂t: maggiore è la differenza tra AM
e AO , più basso è il livello al quale si trova
conveniente usare la tecnologia moderna, perchè
più alto è l’incentivo economico.
– Minore è il costo fisso (b), minore è la soglia k̂t.
• Funzione di produzione: possiamo riscrivere la funzione di produzione come una funzione “a due pezzi”
Politica economica– Teoria della Crescita
79
yt =
(
AO f (kt) = AO ktα
AM f (kt) = AM ktα
kt ≤ k̂t
kt ≥ k̂t
(77)
Per valori di kt ≤ k̂t si usa la tecnologia meno
efficiente - AO . Siccome bassi valori di kt implicano
anche bassi valori di yt, per una regione che abbia un
livello di capitale pro-capite o anche di reddito procapite basso risulta difficile uscire dal meccanismo che
la riporta in condizioni di povertà.
Dinamica: Equilibri Multipli
Il modello per il resto è identico al modello di Solow;
• La dinamica è caratterizzata da un’equazione di
accumulazione del capitale pro-capite simile nella
struttura, ma
• questa equazione, cosı̀ come la funzione di produzione in (77), avrà “due pezzi”, a seconda se il
sentiero di riferimento è quello moderno o quello
antico.
Politica economica– Teoria della Crescita
80
kt+1 =
 O
sA f (kt) + (1 − δ)kt

O


≡
φ
(kt)


1+n

M


sA
f (kt) − b + (1 − δ)kt


≡ φM (kt)
1+n
kt ≤ k̂t
kt ≥ k̂t
(78)
da cui sostituendo
kt+1 =
 O α
sA kt + (1 − δ)kt



≡ φO (kt)


1+n



sAM ktα − b + (1 − δ)kt


≡ φM (kt)
1+n
kt ≤ k̂t
kt ≥ k̂t
(79)
• Se osserviamo separatamente le funzioni di accumulazione φO (kt) e φM (kt), si nota che, come nel
modello di Solow, date le caratteristiche neoclassiche delle funzioni di produzione, vi sarà convergenza verso equilibri di stato stazionario.
Politica economica– Teoria della Crescita
81
• A differenza del modello di Solow, non ci sarà più
un unico equilibrio, ma avremo più equilibri di stato
stazionario - equilibri multipli. Ovvero più punti
di equilibrio verso cui il sistema converge a seconda
della posizione di partenza iniziale (fig. 13)
∗
– Equilibrio basso (kL
): tutte le economie che
partono con un livello di capitale (k0) minore di
k̂t, adotteranno una tecnologia antiquata e quindi
non potranno svilupparsi completamente. Queste
economie sono condannate a convergere verso
∗
un equilibrio “povero” (basso - kL
). Questo
equilibrio è stabile, perchè per tutti i livelli di
capitale minori di k̂t, e quindi anche per livelli
∗
maggiori di kL
, le convergono verso l’equilibrio
basso.
∗
– Equilibrio alto (kH
): tutte le economie che
00
partono con un livello di capitale (k0 ) maggiore
∗
di kU
, adotteranno una tecnologia moderna ∗
visto che kU
> k̂t - e quindi si svilupparsi completamente. Queste economie convergono verso
∗
un equilibrio “ricco” (alto - kH
). Anche questo
equilibrio è stabile, perchè tutte le economie che
partono con un livello di capitale pro-capite magPolitica economica– Teoria della Crescita
82
∗
giore di kU
convergono verso l’equilibrio alto; anche quelle che hanno un capitle iniziale maggiore
∗
del livello di stato stazionario kH
.
∗
– Equilibrio instabile (kU
): per tutti i livelli di
0
∗
∗
e kU
capitale iniziale (k0) compresi tra kL
∗
∗
(kt ∈ [kL
, kU
]), le economie convergono verso
l’equilibrio basso. Quindi anche economie che
hanno potenzialmente la possibilità economica
di accedere alla tecnologia moderna ed la convenienza tecnologica ad adottare la tecnologia
moderna, si ritrovano su un sentiero che le porta
verso l’equilibrio basso. Questo è dovuto al fatto
che non basta rispettare queste due condizioni
(possibilità economica e convenienza tecnologcia) per poter completamente svilupparsi; per
poter utilizzare a pieno la tecnologia moderna ed
ottenere un vantaggio talmente elevato in termini
di crescita economica è necessario avere un livello
∗
di capitale iniziale ancora maggiore (kU
). Tale
equilibrio è instabile, perchè piccole deviazioni
da tale equilibrio fa si che non si converge più
∗
verso il punto kU
, ma verso uno dei due equilibri
stabili, a seconda di dove è diretta la deviazione.
Politica economica– Teoria della Crescita
83
– Trappole della povertà: da qui il concetto di
trappole della povertà, perchè anche paesi a
medio-basso reddito che potenzialmente possono
adottare la tecnologia moderna restano intrappolati in un circolo che li riconduce verso un
equilibrio povero.
Figure 13: Poverty traps - dinamica
Politica economica– Teoria della Crescita
84
Dinamica di transizione
Lo studio della transizione verso l’equilibrio di stato
stazionario passa dall’evoluzione dei tassi di crescia,
che da eq. (78) e (79) risultano
gk =

O

sA
f (kt) (n + δ)

O

−
≡
g

k

1+n
 (1 + n) kt



sAM f (kt) − b (n + δ)


≡ gkM
−

(1 + n) kt
1+n
kt ≤ k̂t
kt ≥ k̂t
(80)
da cui sostituendo
gk =


sAO ktα−1 (n + δ)

O

−
≡
g

k

1+n
 (1 + n)


M α−1

− b (n + δ)
sA
kt


−
≡ gkM

(1 + n)
1+n
Politica economica– Teoria della Crescita
kt ≤ k̂t
kt ≥ k̂t
(81)
85
Dalle equazioni (80) e (81) si nota come per entrambi i tratti dui accumulazione vi sia convergenza
verso un equilibrio di stato stazionario, in cui i tassi di
crescita pro-capite sono nulli.
• Nota: tale caratteristiche si potrebbe eliminare con
uno degli accorgimenti (crescita esogena o endogena) visti.
Le equazioni che descrivono questa dinamica di convergenza e la presenza di equilibri multipli sono rappresentate graficamente da
Politica economica– Teoria della Crescita
86
Figure 14: Poverty traps - Dinamica di transizione
∗
• Per ogni valore iniziale di kt compreso tra 0 e kU
(ad
0
esempio k0 e k0) il paese/regione tende a convergere
∗
verso l’equilibrio basso kL
.
∗
• Per ogni valore di kt maggiore di kU
(ad esempio
00
k0 ), il paese tende a convergere verso l’equilibrio
∗
alto kH
.
✔ Cosa significa? Paesi/regioni povere con poca possibilità di fare investimenti sono condannate a riPolitica economica– Teoria della Crescita
87
manere in povertà. L’unica soluzione è riuscire ad
avere un ingente quantità di finanziamenti che permettono di investire nella tecnologia più efficiente.
Basta questo? NO
Indicazioni di politica economica per le aree svantaggiate
✔ Ruolo dei finanziamenti: Ipotesi di Sachs
• non è sufficiente assicurare una quantità di finanziamenti che permettono ad un area svantaggiata di utilizzare la tecnologia più efficiente
per fare uscire un’area in povertà dalla sua arretratezza economica.
• è necessario che le aree povere ricevano un ingente
quantità di finanziamenti ed è inoltre necessario
che tali finanziamenti arrivino alle aree povere
“tutti e subito”
✘ Perchè?
• Perchè è non solo necessario che i paesi possano
permettersi e abbiano convenienza di utilizzare
Politica economica– Teoria della Crescita
88
la tecnologia moderna; ovvero un capitale iniziale kt ≥ k̂t.
• Ma anche che, una volta adottata tale tecnologia, essa sia realmente efficiente nel produrre
un guadagno maggiore rispetto a quella antica;
per questo è necessario che il capitale iniziale
∗
sia kt ≥ kU
• Quindi è necessario dotare le aree povere di
un’ingente quantità iniziale e poi è possibile
“disinteressarsi”, perchè questi si ritroveranno
su un circuito virtuoso che li fa convergere verso
l’equilibrio alto.
• Dal grafico, si vede che se un paese/area in
povertà riceve un finanziamento non altissimo,
e tale per cui il suo livello di kt rimane tra k̂t
∗
e kU
, tale regione ritornerà in una condizione
di povertà nonostante sia “abbastanza” conveniente ed economicamente possibile utilizzare
la tecnologia più efficiente.
• Esempi:
– Africa: si pensi a ciò che è successo in Africa
negli ultimi 10-15 anni: nonostante la grandissima quantità di fondi ricevuti dai paesi africani,
Politica economica– Teoria della Crescita
89
questi non sono riusciti ad uscire dalla loro condizione di povertà
– Campania (o più in generale Mezzogiorno):
si pensi a tutti i fondi della Comunità Europea (FAS - Fondi per le Aree Svantaggiate)
che la regione Campania ha ricevuto e tuttora
riceve perchè indicata tra le regioni più povere
dell’Europa.
• Quale possibile soluzione? Massiccia dose di aiuti
in investimenti produttivi (Jeffrey Sachs)
– Secondo questa teoria fornire aiuti economici
spalmati nel tempo è una soluzione insufficiente
a “tirare fuori” dalla trappola le aree economiche
povere. Sarebbe opportuno concentrare tutti gli
aiuti economici in un solo momento. Perchè?
– Ritorniamo al grafico: per permettere ad un’area
di uscire dal circuito che la mantiene povera
è necessario fornire aiuti economici sufficienti a
superare il punto critico - ovvero sufficienti a
∗
superare il livello di kU
.
✔ Altre possibilità
Politica economica– Teoria della Crescita
90
0
• Riduzione della soglia da k̂t a k̂t (fig. (15))
– Diminuendo incidenza costo fisso b
– Diminuendo gap tecnologico (AM − AO ):
ovvero aumentando AO .
Figure 15: Effetto riduzione soglia
(a) Dinamica
(b) Transizione
• Spostamento della curva
– Un aumento del tasso di risparmio s potrebbe
spostare verso l’alto tutta la curva della transizione (curva rossa, fig. (16)), facendo sı̀ che
il processo dinamico converga verso un unico
stato stazionario (quello alto).
Politica economica– Teoria della Crescita
91
Figure 16: Effetto aumento tasso risparmio
Politica economica– Teoria della Crescita
92