Dispensa N.4

NOTA 1
VETTORI LIBERI e VETTORI APPLICATI
Negli esempi visti sono stati considerati due tipi di vettori :
1) Vettori liberi , quando non è specificato il punto di applicazione. Di conseguenza ad uno stesso
vettore corrispondono 2 (infiniti alla seconda) segmenti orientati aventi la stessa direzione, lo
stesso verso, la stessa direzione (uno per ogni punto del piano).
2) Vettori Applicati, quando è specificato il punto di applicazione A . Di conseguenza il vettore è
univocamente determinato dall’unico segmento orientato che ha origine nel punto
considerato. Cioè tra tutti i vettori liberi che hanno lo stesso modulo, direzione e verso(uguali
fra loro) ne consideriamo solo uno, quello applicato in A.
●A
Non tutte le operazioni introdotte si possono fare indifferentemente per i due tipi di vettori:
Volendo eseguire la somma di due vettori applicati , la posso fare solo se la punta del primo
vettore si trova sulla coda del secondo vettore, oppure se i due vettori hanno lo stesso punto di
applicazione.
Il prodotto di un vettore v applicato nel punto A per uno scalare t sarà il vettore tv applicato nel
punto A.
NOTA 2
Componenti di un vettore
Dato un vettore v = vxi + vyj , le componenti soddisfano le seguenti relazioni:
vx = v · i , v y = v · j
come si verifica facilmente svolgendo i prodotti scalari.
NOTA 3
Dato un vettore v , il vettore unitario u , avente la direzione e il verso di v ( si dice che u è il
versore di v) , si ottiene dividendo v per il suo modulo :
u
=
v
,
v
es : v = i + j
Verifica :
u
, u=
=
(i + j )
· i+j
=
·
= 1
Vettori nello spazio R3
Nello spazio tridimensionale si definisce (analogamente al caso del piano) una terna di assi
cartesiani ortogonali fra loro,0xyz, con origine 0. La terna è orientata in verso antiorario,cioè, un
osservatore con i piedi nell’origine 0 e la testa sulla freccia dell’asse z vede ruotare l’asse x
sull’asse y in senso antiorario. I punti dello spazio sono individuati dalle coordinate (x,y,z)
[corrispondenza biunivoca tra i punti e le terne di numeri reali]. Oltre ai versori degli assi x e y, i e
j, denotiamo con k il versore dell’asse z che unisce l’origine con il punto (0,0,1).
z
k
i
O
x
j
y
Consideriamo il punto P(a,b,c) e il vettore v di origine il punto O(0,0,0) ed estremo P, v = OP, detto
vettore posizione del punto P.
i, j, k versori degli assi della terna cartesiani
P1(a,b,0)
proiezione ortogonale di P sul piano xy
Graficamente: il vettore OP1 ,congiungente l’origine degli assi con il punto P1, è la diagonale del
parallelogramma costruito con i vettori ai e b j
Quindi si ha :
OP1 = ai + b j vettore nel piano xy, per la regola del parallelogramma
OP2 = c k , dove P2 è la proiezione ortogonale di P sull’asse z, essendo c la coordinata z di P.
Applicando nuovamente la regola del Parallelogramma ai vettori OP1 e ck
( P1P = ck )
Il triangolo OP1P è rettangolo in P1
P1
Si ottiene la rappresentazione cartesiana del vettore v
v = OP = OP1 + OP2 = ai + b j + c k
Dove ,quindi, a, b, c, sono le componenti di v lungo i tre assi cartesiani x, y, z.
Il modulo di v corrispondente alla lunghezza OP e cioè alla distanza del punto P dall’origine, sarà
quindi per il Teorema di Pitagora:
2
v =
OP1 + OP2
2
= (a 2 + b 2 ) + c 2
Più in generale, la distanza fra due punti P1(x1,y1,z1) e P2 (x2,y2,z2) nello spazio, sarà
P1 P2 =
(x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y1 ) 2 + ( z 2 - z1 ) 2
Si estendono facilmente ai vettori nello spazio le regole introdotte nel caso piano(somma,
prodotto per uno scalare, prodotto scalare tra due vettori). Essendo i tre versori mutuamente
ortogonali, risulta
i· j=i· k=j· k=0ei· i=j· j=k· k=1
Quindi
Dati :
v = x1i + y1j + z1 k , u = x2i + y2j + z2k
Risulta :
t(u + v) = t(x1 + x2) i + t(y1 + y2) j + t(z1 + z2) k ,
t
R
u·v = x1 x2 + y1 y2 + z1z2
Nota che :
|u| =
x 2 + y 2 + z2 = u ⋅ u
2
2
2
Inoltre, come nel caso piano, risulta.
x1 = v · i , y1 = v · j , z1 = v · k
COSENI DIRETTORI
Siano
gli angoli che un vettore v forma con gli assi coordinati x,y,z, risulta allora dalla
definizione di prodotto scalare
vx = v · i =
cos
, vy = v · j =
v = vxi + vy j + vz k =
(cos
cos , vz = v · k =
i + cos j + cos
cos e quindi
k)
v
= (cos
v
i + cos j + cos
k)
1=
v
v
=
cos
i + cos j + cos
k
= cos2 + cos2 +cos2
Che è la ben nota proprietà dei coseni direttori .
Prodotto vettoriale
Il prodotto vettoriale tra due vettori, v ∧ u è un vettore caratterizzato dalle seguenti proprietà:
1) |v ∧ u | = |v||u| senα
2) v ∧ u è perpendicolare al piano individuato da u e v
3) v , u e v ∧ u formano,nell’ordine, una terna orientata in senso antiorario.
Dalla 1) segue che il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è nullo in quanto se sono
concordi l’angolo α = 0, se sono discordi α = π ,
Dalla 3) si ha che il prodotto vettoriale non è commutativo infatti risulta
u ∧v = - v∧u
Proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto vettoriale
tu ∧ (av + bw) = ta u ∧v +tb u ∧ w
Dalle proprietà 1), 2), 3) segue
i ∧j = - j ∧i = k , i ∧k = - k ∧i = -j , j ∧k = - k ∧j = i
t,a,b ∈ R
i ∧i = j ∧j = k ∧k = 0
Componenti di v ∧u
v ∧u = (x1i + y1j + z1 k )∧( x2i + y2j + z2k) =
x1y2 i ∧j + x1z2 i ∧k + y1x2 j ∧i + y1z2j ∧k + z1 x2 k ∧i + z1 y2 k ∧j
(x1y2 - y1x2) k + (-x1z2 + z1 x2)j +( y1z2 - z1 y2)i
Esempio
v = 2i + 3j – k
,
u = -i + 2k
v ∧ u = (2i + 3j – k) ∧ (-i + 2k) =
2i∧(-i) + 2i∧2k + 3j∧(-i) +3j ∧2k + (-k) ∧ (-i) + (-k) ∧ 2 k =
= 0 - 4j + 3k + 6i +j =
= -3j +6i + 3k
Esempio: Momento di una forza F applicata nel punto A rispetto ad un punto (polo) O.
M = OA ∧ F ,
retta di azione di F
= OA |F| sen = b |F| , b = OA sen ≡braccio≡distanza di O dalla
L’effetto di un momento di una forza è sempre quello di produrre una rotazione attorno al polo (per
esempio la rotazione del volante di un auto generata dalla forza della mano sul bordo e che si trova
ad una distanza fissata dal centro del volante).
Esempi di applicazioni dei vettori a semplici problemi di Statica dei corpi rigidi vincolati.
Nota: La teoria dettagliata e completa di quest’argomento verrà insegnata in corsi specifici.
Diamo le definizioni basilari dei termini usati.
1. Corpo rigido: corpo ideale assolutamente indeformabile, in cui cioè le distanze fra due suoi punti
qualsiasi rimangono costanti. Ovviamente un liquido non è un corpo rigido, il cemento sì. Ma si
tratta comunque di una idealizzazione perché , ad esempio, la dilatazione termica avviene anche
per il cemento.
2. Vincolo: qualunque collegamento esterno adatto ad impedire i vari movimenti del corpo
considerato. Esempio:
Il tavolo(vincolo) impedisce all’oggetto pesante poggiato su di esso di compiere traslazioni verso il
basso per effetto della gravità.
F1 = Forza peso = massa x accelerazione di gravità (mg)
Kilogrammi x 9,8metri /secondi2
Newton (unità di misura)
Es: il peso di una massa di 4 Kg. è di 39,2 Newton
Si definisce Reazione Vincolare la forza esercitata dal vincolo per impedire i movimenti del corpo
rigido.
Il tavolo (vincolo) esercita una reazione vincolare che deve bilanciare il peso dell’oggetto, quindi:
F2 = - F1 (vettori opposti)
In un riferimento cartesiano piano Oxy sarà
F1 = - mgj
,
F2 = mgj
Dove j è il versore dell’asse y.
3. STATICA: è la parte della Meccanica Classica che studia l’equilibrio dei corpi.
Le reazioni vincolari esercitate su un corpo rigido soggetto ad assegnate forze attive, sono in genere
incognite e devono di volta in volta essere calcolate imponendo l’equilibrio di tutte le forze esterne,
sia attive che vincolari. Questo corrisponde a risolvere le Equazioni Cardinali della Statica che
affermano che affinché un corpo sia fermo la somma di tutte le forze applicate deve essere
uguale a zero e così pure la somma dei momenti di tali forze rispetto ad un polo fissato :
n
∑ Fi = 0 ,
i =1
n
∑M
i
= 0 , n numero delle forze presenti
i =1
n
dove il simbolo di sommatoria
∑
i =1
significa
F1 + F2 + F3 +......+ Fn .
Nell’esempio del tavolo
2
∑ Fi = F1 + F2 = −mg j + mg j = 0
i=1
Lo studio dell’equilibrio delle travi è alla base della Scienza delle Costruzioni. La trave è un corpo
rigido di forma allungata in cui una delle tre dimensioni (lunghezza) è molto più grande delle altre
due(larghezza,altezza) e viene, quindi schematizzata con una linea(l’asse).
Nel piano la trave ha tre possibilità di movimento(tre gradi di libertà):
1)traslazione orizzontale
2)traslazione verticale
3)rotazione nel piano
Quindi per mantenerla in equilibrio occorre bloccare tutti e tre i movimenti. Questo si può fare
mettendo dei vincoli alla trave che eliminano 1 grado di libertà (vincolo semplice) o 2 o più
gradi di libertà(vincoli composti).
I vincoli più usati sono:
Carrello (appoggio semplice): blocca solo lo spostamento verticale, non si oppone né a rotazioni
attorno ad al punto di appoggio A né a traslazioni orizzontali(verso destra o verso sinistra). Quindi
la reazione vincolare può avere solo una componente ortogonale all’appoggio(toglie un solo grado
di libertà).
A
Cerniera : consente solo le rotazioni attorno al punto di appoggio A, blocca sia lo spostamento
verticale che orizzontale, quindi la reazione vincolare avrà sia una componente orizzontale che
una verticale (toglie due gradi di libertà): RA = R Axi + R Ayj
A
Incastro : blocca tutti e tre gli spostamenti, fornisce quindi una reazione vincolare più un
momento (toglie 3 gradi di libertà)
Esempio di trave isostatica(l’equilibrio esiste e le reazioni sono calcolabili)
P
F
y
A
RB
H
B
x
La trave AB è incernierata in A e appoggiata in B, ha lunghezza l ed è caricata da una
forza F = - F j a distanza uguale da A e B( con F
modulo di F e P punto di applicazione).
Calcolare le reazioni vincolari in A e in B.
Incognite in A: R Ax , R Ay
Incognite in B : R By
La prima equazione cardinale della Statica dice che:
RA + RB + F = 0
Cioè
R Ax i + R Ay j + R By j - F j = 0
in forma cartesiana
Questa equazione vettoriale fornisce due equazioni scalari in quanto il vettore risultante (somma)
delle tre forze, è nullo se e solo se le sue componenti lungo l’asse x e l’asse y sono nulle:
proiettando sull’asse x si ha
R Ax = 0
sull’asse y sarà
R Ay - F + R By = 0
1 equazione in due incognite
Nota
La componente x si ottiene moltiplicando scalarmente il vettore per il versore i :
(R Ax i + R Ay j + R By j - F j ) ⋅ i = R Ax
e , analogamente, per la componente y si moltiplica per il versore j :
(R Ax i + R Ay j + R By j - F j ) ⋅ j = R Ay + R By − F
Essendoci due incognite, abbiamo bisogno di un’altra equazione.
Usiamo allora la seconda equazione cardinale della Statica scegliendo come polo il punto A:
MF + MR A + MR B = 0
Usando la definizione di momento di un vettore rispetto ad un polo, si ha:
MF = AP ∧ F =[ (AP)x i + (AP)y j ] ∧ (-Fj) = (- F) ( k ) ( braccio =
MR A = 0 ∧ R A = 0
)
(la retta di azione di RA passa per A quindi il braccio è nullo)
MRB = AB ∧ RB = ( AB)x i ∧ (RB)y j = l RB ( k)
Nota che si è scelto l’asse delle z con il verso uscente dal foglio (terna levogira)
Quindi, le componenti dei momenti lungo l’asse z sono:
MF = - F , MRA = 0, MRB = + R By l
e la seconda equazione della Statica in forma scalare fornisce
-F
+ RBy l
=0
Nota : Nei sistemi piani, come quello dell’esercizio, il momento è sempre perpendicolare al
piano e quindi ha solo la componente lungo l’asse z . In alcuni testi si sceglie per convenzione
di considerare positiva tale componente quando la forza tende a far ruotare la struttura
intorno ad A in senso orario( negativo nell’altro senso). Cioè, in pratica, tale componente è
data dal prodotto della lunghezza del vettore per il braccio con il segno + o – a seconda della
rotazione.
E quindi in tal caso risulta
+ (F ) - (RBy l) = 0
(Il risultato è identico perché c’è l’uguaglianza a zero).
In definitiva, il sistema di due equazioni in 2 incognite da risolvere è:
R Ay − F + R By = 0
l
- F + R By l = 0
2
Due equazioni in due incognite
1 sola soluzione trave (isostatica):
l
F
2
l
R Ay = F
2
Cioè le reazioni in A e in B saranno ambedue verticali e rivolte come il verso positivo dell’asse y.
R By =
Può capitare che le condizioni di vincolo e le corrispondenti reazioni vincolari siano in numero
superiore a quello delle equazioni fornite dalla statica dei corpi rigidi. La struttura, assimilata
ad un corpo rigido, si dice allora iperstatica o staticamente indeterminata, perché, in tal
caso, esistono infinite soluzioni che soddisfano le equazioni di equilibrio. Si può pensare infatti
di fissare ad arbitrio le n componenti di reazione vincolare incognite eccedenti il numero delle
equazioni disponibili e ricavare corrispondentemente le incognite rimanenti (vedi teorema di
Rouchè-Capelli nelle lezioni sulle Matrici). Il grado di indeterminazione di una struttura è
misurato dal numero n di condizioni di vincolo eccedenti quello delle equazioni disponibili
Il caso delle strutture iperstatiche è quello più frequente nella pratica e per queste l'esperienza
dimostra che l'equilibrio risulta ben definito. È perciò evidente che è l'ipotesi di corpo rigido che
rende indeterminato questo caso, problema che viceversa ridiventa determinato quando si
tenga conto della deformabilità dei corpi. Per questo motivo lo studio della Scienza delle
Costruzioni è basato sulla meccanica dei solidi deformabili.
La conoscenza delle deformazioni poi è utile di per sé stessa in quanto consente quei riscontri
sperimentali che si effettuano in sede di collaudo di una struttura.
Equazione della retta in R3:
P(x,y,z)
P0(x0,y0,z0)
v(a,b,c)
3
Consideriamo una retta passante per un punto P0 in R e parallela al vettore v.
Un generico punto P sulla retta a distanza t v da P0 ,con t ∈ R, soddisfa la seguente relazione
1) OP = OP0 + tv , t ∈ R (regola della somma di due vettori con punti di applicazione non
coincidenti)
v vettore direzione della retta , tv multiplo di v
La 1) in forma cartesiana è:
2) xi + y j + z k = xo i + yo j + zo k + ta i + tb j + tc k
Uguagliando le componenti dei vettori nella 2) si ha :
x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct
tv vettore parallelo al vettore v.
Quindi , se a ≠ 0 , b ≠ 0 , c ≠ 0 si ha
Equazioni parametriche della retta di direzione v
(parallela al vettore v di componenti a,b,c)
x – x0 = t , y – y0 = t , z – z0 = t
a
b
c
cioè
x – x0 = y – y0 = z – z0
Equazioni cartesiane
a
b
c
Esempio : Scrivere le equazioni parametriche e cartesiane della retta passante per P0(5,-6,2) e
parallela al vettore v = 3i + 12j -8k
x = 5 + 3t

 y = - 6 + 12t
z = 2 - 8t

,
x -5 y + 6 z -2
=
=
3
12
-8
Esempio: Scrivere l’equazione della retta passante per i due punti
P0(3,-1,1) , P1(4,2,-3)
Possiamo scegliere come vettore direzione v della retta il vettore P0P1
v = P0P1 = (x1-x0)i + (y1-y0)j +(z1-z0)k = (4 - 3) i + [2-(-1)] j + (-3 -1) k = i + 3j – 4k
Cioè, in questo caso, a = (x1-x0), b = (y1-y0), c = (z1-z0)
Quindi
x= 3+ t
y = -1 + 3t ⇒
z = 1 – 4t
x–3=y+1=z-1
1
3
-4
NOTA
x – x0 = y – y0 = z – z0
x1 – x0 y1 –y0 z1 – z0
Equazione retta per due punti
Casi particolari
y - y0
z - z0
=
b
c
è una retta che giace nel piano parallelo al piano cartesiano yz e passante per x = x0
a = 0 ⇒ x = x0 ,
Analogamente per i casi b = 0 , c = 0
Equazione del piano in R3
Un piano nello spazio può essere individuato da un punto e da un vettore ortogonale al piano
stesso .
Per tre punti passa uno e un solo piano.
Per direzione di un piano si intende la direzione della retta ad esso ortogonale.
1)Equazione del piano assegnato un suo punto ed un vettore ortogonale ad esso
1) P0 (x0 , y0 , z0)∈ piano , n( a , b , c) vettore ortogonale al piano (ortogonale a tutte le rette
del piano), P(x , y , z) generico punto del piano
P0P giace sul piano e quindi è perpendicolare a n
cioè
n·P0P = 0
(ai + bj + ck)[(x – x0) i + (y – y0) j + (z – z0) k] = 0
a(x – x0) + b(y –y0) + c(z – z0) = 0
oppure
Equazione del piano
ax + by + cz = d , d = ax0 + by0 + cz0
se d = 0 , ax + by + cz = 0 equazione passante per l’origine
se c = 0 , ax + by = d è un piano perpendicolare al piano xy (parallelo all’asse z).
d
se a = 0 e c = 0 il piano ha equazione y = = costante ed è parallelo al piano xz.
b
2)Equazione del piano assegnati tre suoi punti:
P0(x0,y0,z0) , P1(x1,y1,z1) , P2(x2,y2,z2)
I due vettori v = P0P1 e u = P0P2 determinano il piano e quindi il loro prodotto vettoriale è
ortogonale al piano.
Allora possiamo calcolare n facendo il prodotto vettoriale v ∧ u e quindi si torna all’equazione
n·P0P = 0, con
n = P0P1∧ P0P2
Esempio:
P0(1,0,-1) , P1(2,1,0) , P2(0,1,-2)
P0 P1 = (2 - 1) i + (1 – 0) j + (0 + 1) k = i + j + k
P0 P2 = (0 – 1) i + (1 – 0) j + (-2 + 1) k = -i + j – k
P0 P1 ∧ P0 P2 = (i + j – k) ∧ (-i + j – k) = -2i + 2k = n
n·P0P = (-2i + 2k) · [(x – 1) i + (y – 0) j + (z + 1) k] = 0
-2(x-1) + 2(z +1) = 0
-2x +2z -4 = 0
-x + z – 2 = 0